第5讲 截面问题解决技巧复习讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何截面问题，涵盖定义、理论基础、四种基本类型及十种核心题型，按“定义-理论-类型-题型”逻辑架构组织知识点，通过考点梳理、方法指导（交线法、平行法）、真题训练（55道例题）三环节，帮助学生构建解题框架，突破作图与计算难点。 讲义采用“性质优先”创新策略，如利用“两平行平面被截交线平行”性质简化作图，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光）。设置分层练习与即时方法总结，确保高效突破截面形状判断、周长面积计算等考点，为教师提供精准复习路径，助力学生提升应考能力。

冲刺清北数学工作室 第 5 讲 截面问题解决技巧 第一部分：截面的基本定义及理论基础 （1）截面的定义与作法 用一个平面去截几何体，此平面与几何体的交集，叫做这个几何体的截面.此平面与几何体表面的交集（交线）叫做截线.此平面与几何体的棱的交集（交点）叫做实截点，与几何体某棱的延长线的交集（交点）叫做虚截点. （2）理论根据 1.确定实截点，在几何体的同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而确定截面； 2.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们相交于过此点的一条确定的直线（交线）； 3.如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内（公里1）； 4.如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行； 5.如果两个平面平行，被第三个平面所截（相交），那么两交线平行. （3）解决方法 [法1]交线法:延长截面中的线段与几何体的某棱（或棱的延长线）交于一点（虚截点），在让两虚截点或一实截点与虚截点连接与几何体的某棱相交，就有一个实截点. [法2]平行法：根据两平行被第三个平面所截，两交线平行的性质，在几何体的某平面内作与截面某线段（直线）的平行线，与几何体的棱（或棱的延长线）交于一实截点（虚截点），从而确定截面的性质. （4）正方体中的简单截面类型 截面为三角形 截面为四边形 截面为四边形 截面为四边形 截面为五边形 截面为六边形 【注】用一个截面去截一个几何体，所得截面的边数最多与几何体的面数相等.从不同的角度去截，所得的截面是不同的，横看成岭侧成峰，远近高低各不同. 第二部分：截面四种基本类型及其作法 类型一：截面经过的三个已知点分别在几何体的棱上，且其中有两点在同一面的棱上 【例1】如图（1），正方体中，点、、分别在、、上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）延长与的延长线交于点（虚截点）， （2）连接与交于点（实截点）； （3）延长与的延长线交于点（虚截点）， （4）连接与交于点（实截点）；则截面为五边形. 【例2】如图（2），直四棱柱中，点、、分别在、、上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）延长与的延长线交于点（虚截点）， （2） 连接与交于点（实截点）； （3）延长与的延长线交于点（虚截点）， （3） 连接与交于点（实截点），交交于点（实截点），则截面为五边形. 【例3】如图（3），五棱锥中，点、、分别在棱、、上，求、、作过的截面. [解]作法：（1）延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点， （4） 延长与交于点（实截点）； （3）延长与交于点（虚截点）， （5） 连接与交于点（实截点），交交于点（实截点），则截面为五边形. 图（1） 图（2） 图（3） 类型二：截面经过的三个已知点至少有一点在几何体的面上，其余点在棱上 【例4】如图（4），正方体中，点、分别在棱、上，点在平面底面内，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）过点作∥交于点，则面为所作辅助面， （2）在面内，延长与的延长线交于点， （3）在面内，连接交于点（实截点），延长交于点（实截点）， （4）在面内，延长与的延长线交于点， （5）在面内，连接与交于点，则截面为五边形. 图（4） 图（5） 【例5】如图（5），长方体中，点在面内，点在面内，点在棱上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）过点作∥交于点，过点作∥交于点， （2） 在面内，连接、，交于点， （3） 在面内，过点作∥交于点，则点必落在面内， （4） 在面内，连接并延长与交于点， （5） 在面内，连接并延长与交于点， （6）在面内，连接并延长与交于点，则截面为四边形. 类型三：截面经过的三个已知点中，有两个点在同一棱上，第三个点在几何体内 【例6】如图（6），正三棱柱中，上下底面的中心点分别为、，点为的中点，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）连接，并延长与交于点，连接，并延长与交于点， （2） 在面内，连接，并延长与交于点， （3） 在面内，过点作∥，交于点，交于点， （4） 连接、，则截面为四边形. 图（6） 图（7） 【例7】如图（7），在正四棱锥中，侧棱和高的夹角为（），作经过点且与点所对侧棱垂直的截面. [解]作法：（1）连接，在中，过点作于点， （2）在面内，过点作∥，与的延长线交于点，与的延长线交于点， （3）连接、分别与、交于点、， （4）连接、，则截面为四边形. 类型四：截面经过的三个已知点分别在三条不同的棱上 【例8】如图（8），正方体中，点在棱上，点在棱上，点在棱上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）过点作∥，与交于点，则面为所作的辅助面， （2） 在面内，连接与的延长线交于点， （3） 在面内，连接与交于点，延长与的延长线交于点， （4）在面内，连接与交于点，延长与的延长线交于点，再连接与交于点， （5）连接、、，则截面为六边形. 图（8） 图（9-1） 图（9-2） 【例9】如图（9-1,9-2），四棱锥中，点在棱上，点在棱上，点在棱上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点， （2）连接，若与四边形内部相交，如图（9-1），与、分别交于、，连接、，则截面为五边形； 若与四边形内部不相交，而是交于它的延展面上，如图（9-2），延长与交于点，连接与交于点，连接，则截面为四边形. 【例10】如图（10-1,10-2），正方体中，点在棱上，点在棱上，点在面内，作经过、、三点的截面. [解]作法1：如图（10-1） （1）过点作∥，交于点，连接与的延长线交于点，过作∥交的延长线于点， （2） 在面内，连接，并延长与交于点， （3） 在面内，连接，与交于点， （4） 在面内，连接，并延长与交于点，与的延长线交于点， （5） 在面内，连接，与交于点，连接，则截面为五边形. 作法2：如图（10-2） （1）在正方如图体中，分别在棱、上取点、，使得、，则∥， （2） 在面内，过点作∥，与交于点，与交于点，并延长与与的延长线交于点， （3）在面内，连接，与交于点，连接，则截面为五边形. 图（10-1） 图（10-2） 【例11】如图（11），正方体中，点在正方体内部，点在正方体外部，点在棱上，作经过、、三点的截面. [解]作法：（1）过点补充为辅助长方体，过点作∥，与下底面交于点，与上底面交于点， （2）延长与交于点，延长与交于点，延长与交于点， （3）在面内，延长与交于点，与的延长线交于点， （4）在面内，连接与交于点， （5）在面内，连接并延长与交于点，与交于点， （6）过点，作∥，交于点，或者是过点，作∥，交于点，则截面为四边形. 图（11） 第三部分：截面十种题型 题型一：截面基本技巧之补全截面法 【例12】如图（12），过正方体的棱的中点作一个截面，使截面与底面所成的角为，则此截面的形状为 （ ） 三角形或五边形 三角形或六边形 六边形 三角形或四边形 [解] 图（12） 图（12-1） 图（12-2） 【例13】用一个平面去截正方体，所得截面不可能为（ ）（多选） 直角三角形 直角梯形 正五边形 正六边形 [解] 图（13-1） 图（13-2） 图（13-3） 图（13-4） 【例14】如图（14），在长方体中，，，点、分别是、的中点，点、、平面，，则直线与直线所成角的余弦值为 . [解][法1]如图（14-1） [法2]如图（14-2） 如图（12-3） 图（14） 图（14-1） 图（14-2） 图（14-3） 【例15】如图（15-1），在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则经过、、的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ） 三角形 平面四边形 平面五边形 平面六边形 [解]如图（15-2） 图（15-1） 图（15-2） 图（16-1） 图（16-2） 【例16】如图（16-1,16-2），在中，为棱的中点，则经过、、的截面过（ ） 的中点 的中点 的中点 的中点 [解][法1]如图（16-1） [法2]如图（16-2） 【例17】设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形时平行四边形，则这样的平面（ ） 不存在 只有一个 只有两个 有无数多个 图（17） 题型二：截面形状的判断 【例18】如图（18），一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） [解]如图（18） 图（18） 【总结】截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数； 不会与同一哥表面有两条交线； 与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长），即两平行平面被第三个平面所截，两交线平行； 截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系. 【例19】如图（19），正方体中，棱长为1，棱的中点，为线段上的动点，过、、的平面截该正方体所得得截面为.若，在下列结论错误的是（ ） 当时，为四边形 当时，为等腰梯形 当时，为六边形 当时，的面积为 [解]如图（19-1） 如图（19-2） 图（19） 图（19-1） 图（19-2） 图（19-3） 图（19-4） 如图（19-3） 如图（19-4） 【例20】如图（20），在正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点（不含），过、、与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确的序号有 . ①当为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；③当截面为四边形时，它一定时候等腰梯形. [解]①如图（20-1）当 ②如图（20-2，20-3） ③如图（20-4） 图（20） 图（20-1） 图（20-2） 图（20-3） 图（20-4） 题型三：根据平行关系确定截面 【例21】如图（21），在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是 与 . [解] 图（21） 图（21-1） 图（21-2） 【例22】如图（22-1），在三棱锥中，,截面与、都平行，则截面的周长为 . [解][法1]如图（22-1） [法2]如图（22-2） 图（22-1） 图（22-2） 题型四：根据垂直关系确定截面 【例23】如图（23-1），已知正三棱柱的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积最小值为 . [解] 图（23-1） 图（23-2） 【注】垂直关系确定的面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直. 【例24】如图（24-1），在正方体中，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ） 为定值，不为定值 不为定值，为定值 与均为定值 与均不为定值 [解]如图（24-1） 如图（24-2） 图（24-1） 图（24-2） 【例25】在正方体中，棱长为4，平面，，则关于、截此正方体所得截面的判断不正确的是（ ） 截得的截面形状可能为正三角形 与截面所成角的余弦值为 截得的截面形状可能是正六边形 截得的截面形状可能是正方体 [解]如图（25-1） 如图（25-2） 如图（25-3） 图（25-1） 图（25-2） 图（25-3） 【例26】如图（26），已知正方体的棱长为2，为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） ∥平面 平面∥平面 平面截正方体所得的截面面积为 [解]如图（26） 图（26） 题型五：截面周长问题 【例27】如图（27），在正方体中，棱长为4，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点、、作该正方体的截面，则该截面的周长是 . [解]如图（27） 图（27） 图（28） 【例28】如图（28），正三棱柱，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面周长为 . [解]如图（28） 【例29】如图（29），在正方体中，棱长为6，、分别为棱、的中点，过点、、作该正方体的截面，则该截面的周长是 . [解]如图（29） 图（29） 图（30） 【例30】如图（30），已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为 . [解]如图（30） 【例31】如图（31-1），四面体的各面都是锐角三角形，且，，，平面分别截棱、、、与点、、、，则四边形的周长的最小值为 . [解]如图（31-2） 图（31-1） 图（31-2） 题型六：截面面积问题 【例32】如图（32），已知正四棱柱中，点在棱上，，，则该四棱柱被过点、、的平面截得的截面面积为 . [解]如图（32） 图（32） 图（33） 【例33】已知正方体中，棱长为2，为的中点，则平面截该正方体的截面的面积为 . [解]如图（33） 【注】由两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，可以快速找到点. 【例34】如图（34），在棱长为1的正方体中，点为棱中点，则过点、、的平面截得的截面面积为 . [解]如图（34） 【注】根据两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，过点作∥，交交于点就可以了，就不用这么复杂了. 图（34） 图（35-1） 图（35-2） 【例35】如图（35-1），在棱长为2的正方体中，点在线段上，且，平面经过点、、的平面截得的截面为 （在图形中做出来，并指明），其截面面积为 . [解]如图（35-2）， 题型七：球截面问题 【例36】如图（36），正三棱椎中，，，点在棱上，且，已知点、、、都在球上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为 . [解]如图（36） 图（36） 图（37） 【例37】如图（37）已知正三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过、、的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为、，则 . [解]如图（37） 【注】设正四面体的棱长为，则，，. 【例38】某正四棱椎的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱椎所有顶点都在半径为3的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积为 . [解]如图（38）， 图（38） 图（39） 【例39】如图（39），已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面面积最小值为 . [解]如图（39） 【例40】如图（40-1），在棱长为1的正方体内，有两球外切，并且又分别与正方体内切，当两球半径分别 时，两球的体积之和最小为 . [解]如图（40-2） 图（40-1） 图（40-2） 题型八：截面分割体积问题 【例41】如图（41），已知正四棱柱中，、的交点为，、的交点为，连接，点为的中点，过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为和，则正四棱柱的体积为 . [解]如图（41-1,41-2） 图（41） 图（41-1） 图（41-2） 【例42】正方体中，、分别为、的中点，则正方体被截面分成两部分的体积比为 . [解]如图（42） 图（42） 图（43） 【例43】在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余的体积之比 . [解]如图（43） 题型九：不规则截面问题（圆锥曲线） 【例44】如图（44），一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为（）的平面所截，当时，这个椭圆的离心率为 . [解]如图(44） 图（44） 图（45-1） 图（45-2） 【例45】古希腊数学家阿波罗斯采用平面割圆锥的方法来研究曲线，如图（45-1），一个一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是椭圆、抛物线和双曲线.如图（45-2），在底面半径和高均为1的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为 ，、是该曲线上的两点且∥,若经过点，则= . [解] 【例46】如图（46-1），用一个平面取截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球的两个焦点、.过椭圆上的一点作椭圆的母线，分别与两个球相切于点、.由球和圆的几何性质可知，、.已知两球半径分别为1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 . [解]如图（46-2） 图（46-1） 图（46-2） 【例47】如图（47-1），用一个平面取截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行研究，其中比利时数学家 （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球的两个焦点、.过椭圆上的一点作椭圆的母线，分别与两个球相切于点、.由球和圆的几何性质可知，、.由、产生的方法可知，它们之间的距离四定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图（47-2），一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知、是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 . [解]如图（47-2） 图（47-1） 图（47-2） 题型十：截面最值问题 【例48】如图（48），已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点、，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围为 . [解]如图（48-1） 如图（48-2） 图（48） 图（48-1） 图（48-2） 【注】截面有关的最值计算，多从这方面 1.极限法，可通过动点运动到两端（极限位置），计算截面最值（需要判断是否为单调性）； 2、坐标法，可通过建立坐标系设坐标，构造对应的函数求最值； 3.化规法，可通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算. 【例49】如图（49），在棱长为1的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值为 . [解]如图（49-1） 如图（45-2） 图（49） 图（49-1） 图（49-2） 图（49-3） 如图（45-3） 如图（49-4）， 图（49-4） 图（50） 【例50】如图（50），直三棱柱中，，过点作平面分别交棱、于点、，且，，则截面面积的最小值为 . [解]如图（50） 【例51】如图（51-1），在长方体中，，，，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，则四棱锥的体积为 ，截面的周长的最小值为 . [解]如图（51-1） 如图（51-2） 图（51-1） 图（51-2） 图（52） 【例52】如图（52），已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成角的锐二面角的余弦值为，已知被平面截得的两个几何体的体积分别为、（），则 . [解]如图（52） 【例53】如图（53-1），在正方体中，点为线段上的动点（点与、不重合），则下列说法不正确的是（ ） 三棱锥的体积为定值 过、、三点作为正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 与平面所成角的正弦值最大为 [解]如图（53-1） 如图（53-2） 如图（53-3） 如图（53-4） 图（53-1） 图（53-2） 图（53-3） 图（53-4） 【例54】如图（54），正方体中，点、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为、（），则 . [解]如图（54） 图（54） 【例55】如图（55），已知四面体中，分别在棱、、上取（，）等分，形成点、、，过、、（）作四面体的截面，记该截面的面积为，则（ ） 数列为等差数列 数列为等比数列 数列为等差数列 数列为等比数列 图（55） [解]如图（55） 总结 如何作出截面，先利用两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，在考虑交线法 第五讲 截面问题解决技巧 第三部分：截面十种题型 题型一：截面基本技巧之补全截面法 【例12】如图（12），过正方体的棱的中点作一个截面，使截面与底面所成的角为，则此截面的形状为 （ ） 三角形或五边形 三角形或六边形 六边形 三角形或四边形 [解]如图（12-1），设，由，则，取棱上取点使得，则截面为；如图（12-2）由，则，取棱上取点使得，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，与与交于点；连接与交于点，与交于点，则截面为六边形.答案：. 图（12） 图（12-1） 图（12-2） 【例13】用一个平面去截正方体，所得截面不可能为（ ）（多选） 直角三角形 直角梯形 正五边形 正六边形 [解]如图（13-1），当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形； 如图（13-2），当截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形； 如图（13-3），当截面为五边形时，不可能是正五边形； 如图（13-4），当截面为六边形时，可能出现正六边形.答案： 图（13-1） 图（13-2） 图（13-3） 图（13-4） 【例14】如图（14），在长方体中，，，点、分别是、的中点，点、、平面，，则直线与直线所成角的余弦值为 . [解][法1]如图（14-1），延长交的延长线于点，连接交于点. 由几何性质可知：≌，则，又∥， 则∽，则，即. [法2]如图（14-2），过点作∥交的延长线于点，连接交于点，延长交的延长线于点，连接交于点.由几何性质可知：，由∥，则∽，故，即. 如图（12-3），建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，， 则，即直线与直线所成角的余弦值为. 图（14） 图（14-1） 图（14-2） 图（14-3） 【例15】如图（15-1），在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则经过、、的平面与正方体相交形成的截面是一个（ ） 三角形 平面四边形 平面五边形 平面六边形 [解]如图（15-2），分别取、、的中点、、，连接、、、、、、、、、，由、、分别是棱、、的中点，则∥，∥，又∥，则∥，即、、、四点共面，由∥，，故四边形为平行四边形，则∥，又∥，则∥，且平面，平面，则平面，故平面，由∥，，故四边形为平行四边形，则∥，又∥，则∥，且平面，平面，则平面，故平面，即、、、、、六点共面，即平面六边形为经过、、与正方体相交形成的截面.答案： 图（15-1） 图（15-2） 图（16-1） 图（16-2） 【例16】如图（16-1,16-2），在中，为棱的中点，则经过、、的截面过（ ） 的中点 的中点 的中点 的中点 [解][法1]如图（16-1）,取棱的中点，则∥，又∥，则∥，即过、、的截面为四边形，即截面经过棱的中点. [法2]如图（16-2），延长交的延长线于点，连接交于点，由∥，，故，则≌，即点棱的中点，即截面经过棱的中点.答案： 【例17】设四棱锥的底面不是平行四边形，用平面去截此四棱锥，使得截面四边形时平行四边形，则这样的平面（ ） 不存在 只有一个 只有两个 有无数多个 [解]如图（17），延长、交于点，延长、交于点，则平面平面=，平面平面=，设由、所确定的平面为.作于平面平行的平面与四棱锥的各个侧棱、、、依次交于点、、、,则四边形为平行四边形. 下面证明：当∥，∥，证明：∥，∥. 【证明】由已知：由∥，，，则∥， 故，又平面，平面，则∥， 故∥，同理∥，故，又平面，平面，则∥，故∥，则四边形为平行四边形.由于题中只需要满足∥，∥即可，则符合题意的四边形可以是任意的，即无数多个满足条件.答案： 图（17） 题型二：截面形状的判断 【例18】如图（18），一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是（ ） [解]如图（18），由已知，三棱锥为正四面体，内切球与各面相切于各个面的中心，即可知过一条侧棱和对边中点作三棱锥的截面，该截面与左侧面及底面相切的切点在角平分线上，故对.答案： 图（18） 【总结】截面与几何体表面相交，交线不会超过几何体表面个数； 不会与同一个表面有两条交线； 与一对平行表面相交，交线平行（不一定等长），即两平行平面被第三个平面所截，两交线平行； 截面截内切球或者外接球时，区分与面相切和与棱相切之间的关系. 【例19】如图（19），正方体中，棱长为1，棱的中点，为线段上的动点，过、、的平面截该正方体所得得截面为.若，在下列结论错误的是（ ） 当时，为四边形 当时，为等腰梯形 当时，为六边形 当时，的面积为 [解]如图（19-1），当时，在正方形中，取棱的中点，棱上取，过点作∥与棱交于点，由于，则，点在棱之间，故截面为四边形，对； 如图（19-2），当时，由点为棱的中点，则∥，即点与点重合，即截面为四边形，又∥，∥，又，，即接截面为等腰梯形，对； 图（19） 图（19-1） 图（19-2） 图（19-3） 图（19-4） 如图（19-3），当时，由，则，则，故点在的延长线上，连接交与点，连接交与点，则五边形为截面，错； 如图（19-4），当时，由，则点与重合，故，连接交与点，点为的中点，则平行四边形为截面， 由，则四边形为菱形， ，对. 答案： 【例20】如图（20），在正方体中，为中点，为中点，为线段上一动点（不含），过、、与正方体的截面记为，则下面三个判断，其中正确的序号有 . ①当为中点时，截面为六边形；②当时，截面为五边形；③当截面为四边形时，它一定时候等腰梯形. [解]①如图（20-1）当为中点时，延长交的延长线于点，延长交的延长线于点，连接交于点，交的延长线于点，连接交于点，交于点，则截面为六边形（正六边形）； ②如图（20-2，20-3），要使截面为五边形，则由①，需要、、三点重合于点或连接交于点（在线段之间），由相似可知：， 而，故，即. ③如图（20-4），要使截面为四边形，则与重合，连接交的延长线于点，连接过点，截面为四边形，又∥，，则四边形为等腰梯形，即截面为等腰梯形.答案：①③ 图（20） 图（20-1） 图（20-2） 图（20-3） 图（20-4） 题型三：根据平行关系确定截面 【例21】如图（21），在正方体中，与平行，且过正方体三个顶点的截面是 与 . [解]由于∥，则与平行，且过正方体三个顶点的截面为平面为（图（21-1））与平面（图（20-2））. 图（21） 图（21-1） 图（21-2） 【例22】如图（22-1），在三棱锥中，,截面与、都平行，则截面的周长为 . [解][法1]如图（22-1），设，由∥平面，平面平面=，平面，则∥，同理可得∥，∥，∥，则四边形为平行四边形，则，，由，则，，故四边形的周长. [法2]如图（22-2），将四面体的侧面展开成平面图形，且，则在展开的平面图形中∥∥，其中与，与在四面体中是同一个点，故、、；、、分别三点共线，且，又四边形在展开图中变为折线（与在四面体中是同一个点），由∥∥，∥∥，则∥，故四边形的周长. 图（22-1） 图（22-2） 题型四：根据垂直关系确定截面 【例23】如图（23-1），已知正三棱柱的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积最小值为 . [解]由，故，平面即为平面， 由于，要使三棱锥的体积最小，则三棱锥的体积最大，而为定值，则点到平面的距离最大时，此时体积最大，由题意，平面，则，即点在以线段为直径的半圆上，如图（23-2），则点到底面距离的最大值为此圆的半径，即，则， 故. 图（23-1） 图（23-2） 【注】垂直关系确定的面，利用线面垂直定理，转化到表面寻找线线垂直. 【例24】如图（24-1），在正方体中，任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则（ ） 为定值，不为定值 不为定值，为定值 与均为定值 与均不为定值 [解]如图（24-1），由已知，则截面的各棱依次与、、、、、平行，将正方体切去两个正三棱锥与后，得到的一个平面与为上下底面的几何体记为，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一条边平行，将的侧面沿棱剪开，展开在一个平面上，得到一个平行四边形，如图（24-2）所示： 而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中），显然， 即为定值，当位于中点时，截面为正六边形，而当与重合时，截面为正三角形，则正六边形与正三角形的面积分别为、，则不是定值.答案： 图（24-1） 图（24-2） 【例25】在正方体中，棱长为4，平面，，则关于、截此正方体所得截面的判断不正确的是（ ） 截得的截面形状可能为正三角形 与截面所成角的余弦值为 截得的截面形状可能是正六边形 截得的截面形状可能是正方体 [解]如图（25-1）由正方体的性质可知：平面（平面），又平面，则截面∥平面，则截面可能为（），即截面此时为正三角形，对； 若取、、、、、的中点、、、、、并依次连接，则∥∥，且，故点、、、、、六点共面，则此时截面为六边形，又，故截面为正六边形，对； 由截面∥平面，则与截面所成角的角，即为与平面所成角的角,又平面，故直线与所成的角即为与平面所成角的角的余角，而，则与截面所成角的余弦值为，对； 如图（25-2），由于，只要找到两条直线分别过、且互相平行即可，比如∥，则截面为四边形，而四边形为矩形（非正方形），如图（25-3），比如在侧棱、分别取点、，使得∥，此时截面为平行四边形（非正方形）,但截面的形状都不可能是正方形，错. 答案： 图（25-1） 图（25-2） 图（25-3） 【例26】如图（26），已知正方体的棱长为2，为的中点，平面过点且与垂直，则（ ） ∥平面 平面∥平面 平面截正方体所得的截面面积为 [解]如图（26），接，则，又，，故平面，又平面，则，对； 由平面，而，∥ ，则，则截面与底面的交线为，满足∥∥ ，则∥平面，对； 且，又，，则平面，又平面，则，在正方形中，设，由，则，故，， 由，得， 即点为的中点，且点为的中点，又，则截面为等腰梯形，，，则梯形的高为：， 故，对； 由平面，而与平面不垂直，故平面与平面不平行，对错. 答案：. 图（26） 题型五：截面周长问题 【例27】如图（27），在正方体中，棱长为4，为棱的中点，为棱的四等分点（靠近点），过点、、作该正方体的截面，则该截面的周长是 . [解]如图（27），延长交的延长线于点，则，延长交的延长线于点，则，连接与、交于点、，则，，点为的中点，由几何性质可得：，，，，，则截面的周长. 图（27） 图（28） 【例28】如图（28），正三棱柱，所有棱长均为2，点、分别为棱、的中点，若过点、、作一截面，则截面周长为 . [解]如图（28），延长与的延长线交于点，连接交于点，则截面为四边形，由∥，则∽，故，又∥，则∽，故，，在四边形中，，，，， 故截面周长. 【例29】如图（29），在正方体中，棱长为6，、分别为棱、的中点，过点、、作该正方体的截面，则该截面的周长是 . [解]如图（29），延长与的延长线交于点，延长与的延长线交于点，连接交于点，连接交于点，则截面为五边形， 由、分别为棱、的中点，则，，由∥， 则，，由∥，则，， 则在五边形中：，，，，，故截面周长. 图（29） 图（30） 【例30】如图（30），已知直三棱柱的侧棱长为2，，，过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为 . [解]如图（30），取的中点，由，又平面，平面， 则平面，要使平面平面，则需要过点作∥交于点，则点为的中点，再取的中点，连接，取的中点，连接， 则∥，连接与交于点，取的中点，则∥∥， 即截面即为五边形，，，，，， 故截面周长. 【例31】如图（31-1），四面体的各面都是锐角三角形，且，，，平面分别截棱、、、与点、、、，则四边形的周长的最小值为 . [解]如图（31-2），将四面体的侧面展开成平面图形.由于四面体各面均为锐角三角形，且，，，则在展开的平面图形中∥∥，其中与，与在四面体中是同一个点，故、、；、、分别三点共线，且，又四边形在展开图中变为折线（与在四面体中是同一个点），因此，当、、在上时，即、、、、五点共线时，最小，即四边形周长最小，又，则∥，故，即周长最小为. 图（31-1） 图（31-2） 题型六：截面面积问题 【例32】如图（32），已知正四棱柱中，点在棱上，，，则该四棱柱被过点、、的平面截得的截面面积为 . [解]如图（32），由,，根据两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质可知，过点作∥交于点，则≌， 故，即截面为四边形，又∥，则四边形为平行四边形，在中，，，，由余弦定理可得：，故， 则，即. 图（32） 图（33） 【例33】已知正方体中，棱长为2，为的中点，则平面截该正方体的截面的面积为 . [解]如图（33），延长与的延长线交于点，连接与的延长线交于点，连接与交于点，则截面为四边形，由∥，为的中点，则，又∥，，则，即为的中点，又∥，则点为的中点，即，又为的中点，则，，，故截面面积. 【注】由两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，可以快速找到点. 【例34】如图（34），在棱长为1的正方体中，点为棱中点，则过点、、的平面截得的截面面积为 . [解]如图（34），延长与的延长线交于点，连接与交于点，则截面为四边形，由∥，点为棱中点，则，又∥，则，即为棱的中点，由，，，则四边形为等腰梯形，可得高，则. 【注】根据两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，过点作∥，交交于点就可以了，就不用这么复杂了. 图（34） 图（35-1） 图（35-2） 【例35】如图（35-1），在棱长为2的正方体中，点在线段上，且，平面经过点、、的平面截得的截面为 （在图形中做出来，并指明），其截面面积为 . [解]如图（35-2），延长与交于点，连接并延长与的延长线交于点，连接并延长与的延长线交于点，连接与交于点，则截面为四边形,由∥，，则，即点为的中点，由∥，则，又∥，则，即点为的中点，又∥，则，即点为的中点，由，则四边形为菱形，而，，则. 题型七：球截面问题 【例36】如图（36），正三棱椎中，，，点在棱上，且，已知点、、、都在球上，过点作球的截面，则截球所得截面面积的最小值为 . [解]如图（36），由已知，，则， 故，同理，则可把正三棱椎中补全为正方体，如图，则外接球的球心即为此正方体的中心，故，取的中点，则，，，则，当球心到截面的距离最大时，即时，截面面积最小，此时截面为小圆，，则截面面积为. 图（36） 图（37） 【例37】如图（37）已知正三棱锥的所有棱长均相等，四个顶点在球的球面上，平面经过、、的中点，若平面截三棱锥和球所得的截面面积分别为、，则 . [解]如图（37），设棱长为2，、、的中点分别为、、，则截面为正三角形，故，平面截球所得的截面为小圆，设外心为，外心为，又此正三棱椎为正四面体，外接球半径，即，而，即，故，，则小圆的半径，故，则. 【注】设正四面体的棱长为，则，，. 【例38】某正四棱椎的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，该四棱椎所有顶点都在半径为3的球上，当该四棱锥的体积最大时，底面正方形所在平面截球的截面面积为 . [解]如图（38），正四棱椎，底面中点为，则平面， 设，则底面的外接圆半径,故，当正四棱椎的体积最大时，球心在之间，故， 则，令，， 令，则， 令，当，，当，， 故在上单增，在上单减，则当时，取得最大值，此时， 则，则截面面积. 图（38） 图（39） 【例39】如图（39），已知球是正三棱锥的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面面积最小值为 . [解]如图（39），由正弦定理可得底面外接圆半径，，， 又，，在中，有，则， 在中，，，则， 当截面时，所得截面面积最小，此时半径，故截面面积. 【例40】如图（40-1），在棱长为1的正方体内，有两球外切，并且又分别与正方体内切，当两球半径分别 时，两球的体积之和最小为 . [解]如图（40-2），设两球的球心分别为、，半径为、，则分别与切于，与切于，在中，，，则， 在中，，，则， 故，即，设两球的体积之和为 当，时，. 图（40-1） 图（40-2） 题型八：截面分割体积问题 【例41】如图（41），已知正四棱柱中，、的交点为，、的交点为，连接，点为的中点，过点且与直线平行的平面截这个正四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为和，则正四棱柱的体积为 . [解]如图（41-1,41-2），当截面平行于平面时，截面面积最小，当截面为平面时，截面面积最大，设底面边长为，高为，，则，，故. 图（41） 图（41-1） 图（41-2） 【例42】正方体中，、分别为、的中点，则正方体被截面分成两部分的体积比为 . [解]如图（42），设正方体的棱长为2，正方体被截面所截的一部分为棱台，由，，，则， 则另一部分，则两部分体积之比或. 图（42） 图（43） 【例43】在长方体中，用截面截下一个棱锥，则棱锥的体积与剩余的体积之比 . [解]如图（43），设，，，则，则剩余部分的体积，则棱锥的体积与剩余的体积之比. 题型九：不规则截面问题（圆锥曲线） 【例44】如图（44），一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角为（）的平面所截，当时，这个椭圆的离心率为 . [解]如图(44），设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，则，，故，则离心率. 图（44） 图（45-1） 图（45-2） 【例45】古希腊数学家阿波罗斯采用平面割圆锥的方法来研究曲线，如图（45-1），一个一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，他们分别是椭圆、抛物线和双曲线.如图（45-2），在底面半径和高均为1的圆锥中，、是底面圆的两条互相垂直的直径，为母线的中点，是线段的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的圆锥曲线的一部分，则该曲线为 ，、是该曲线上的两点且∥,若经过点，则= . [解]由已知底面半径和高均为1，则，又为的中点，故，且∥,又平面，则∥平面，根据圆锥曲线的定义可知截面与圆锥母线平行时，曲线为抛物线，是线段的中点，则，以为轴，过点作轴（轴∥），设抛物线方程：，点，则，即方程为：，又恰为抛物线的焦点，故. 【例46】如图（46-1），用一个平面取截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球的两个焦点、.过椭圆上的一点作椭圆的母线，分别与两个球相切于点、.由球和圆的几何性质可知，、.已知两球半径分别为1和3，椭圆的离心率为，则两球的球心距离为 . [解]如图（46-2），圆锥面与两球、相切于、，两点，则、， 过作于，连接、，设与交于点，两球心距离为.在中，，则，， 由∽，则，又，则， 得，则，故， 则，即由已知、可得：，即轴截面中，即， 则，得. 图（46-1） 图（46-2） 【例47】如图（47-1），用一个平面取截圆锥，得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行研究，其中比利时数学家 （1794-1847）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面相切.椭圆截面与两球的两个焦点、.过椭圆上的一点作椭圆的母线，分别与两个球相切于点、.由球和圆的几何性质可知，、.由、产生的方法可知，它们之间的距离四定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以、为焦点的椭圆.如图（47-2），一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆.已知、是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为 . [解]如图（47-2），与球相切于点，球与椭圆相切于点，，球半径为2，则，则，故，在中，，则，即，又，故，则. 图（47-1） 图（47-2） 题型十：截面最值问题 【例48】如图（48），已知长方体中，，点在线段上，，平面过线段的中点以及点、，若平面截长方体所得截面为平行四边形，则实数的取值范围为 . [解]设，则，在上取点，使得∥， 由，则，，而点的极限位置在点（如图（48-1）），点的极限位置在点（如图（48-2）），即，得. 图（48） 图（48-1） 图（48-2） 【注】截面有关的最值计算，多从这方面 1.极限法，可通过动点运动到两端（极限位置），计算截面最值（需要判断是否为单调性）； 2、坐标法，可通过建立坐标系设坐标，构造对应的函数求最值； 3.化规法，可通过图形转化，把立体图形转化为平面图形，寻找平面图形中最值计算. 【例49】如图（49），在棱长为1的正方体中，是线段上的点，过的平面与直线垂直，当在线段上运动时，平面截正方体所得的截面面积的最小值为 . [解]如图（49-1），当与重合时，则截面为矩形，故面积， 如图（45-2），当与重合时，则截面为矩形，故面积， 图（49） 图（49-1） 图（49-2） 图（49-3） 如图（45-3），当在线段（不含、）上运动时，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，，，，， 设（），，，则，故，则， 若截面与棱交于，则与棱交于，设，则， 由，则，得，不符合题意. 如图（49-4），设截面与棱交于，与棱交于，设，， ，则，即， 由题意可知截面与两平行平面、平面相交，则两交线∥， 故，又，，则，则四边形为平行四边形，，，则， 故，故截面面积， 即，即截面面积最小值为. 图（49-4） 图（50） 【例50】如图（50），直三棱柱中，，过点作平面分别交棱、于点、，且，，则截面面积的最小值为 . [解]如图（50），设，，，在中，，，则，，在中， 由，故，即， 又，，，故平面，又平面， 则平，故，由柯西不等式： ，则. 【例51】如图（51-1），在长方体中，，，，点是棱上的一个动点，若平面交棱于点，则四棱锥的体积为 ，截面的周长的最小值为 . [解]如图（51-1），根据两平行平面被第三个平面所截，两交线平行，则∥，∥，则截面四边形为平行四边形，由， 则，将长方体展开，如图（51-2）， 当点为与的交点，点为与的交点时，截面周长最小，此时截面周长为，在中，，则截面周长的最小值. 图（51-1） 图（51-2） 图（52） 【例52】如图（52），已知圆锥体积为，高为4，过顶点作截面，若平面与底面所成角的锐二面角的余弦值为，已知被平面截得的两个几何体的体积分别为、（），则 . [解]如图（52），设平面与底面的交线为，底面圆心为，由，则底面圆半径，即，故点作于点，则， 在中，，，则，， 则，故，则， 故，则. 【例53】如图（53-1），在正方体中，点为线段上的动点（点与、不重合），则下列说法不正确的是（ ） 三棱锥的体积为定值 过、、三点作为正方体的截面，截面图形为三角形或梯形 与平面所成角的正弦值最大为 [解]如图（53-1），由题意可知：平面，平面，则，对； 由等体积法得为定值，对； 如图（53-2），设的中点为，当，延长交与点，则截面为， 如图（53-3），当，延长交与点，过点作∥，与交于点，则截面为四边形，对； 如图（53-4），连接，由平面，则为在平面的射影，则为与平面所成角，设正方体的棱长为1，， 则，，， 当时，最大为，错. 答案：. 图（53-1） 图（53-2） 图（53-3） 图（53-4） 【例54】如图（54），正方体中，点、分别是、的中点，过点、、的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为、（），则 . [解]如图（54），延长与的延长线交于点，连接与交于点，延长与的延长线交于点，连接与交于点，则截面为五边形， 设正方体的棱长为2，由点、分别是、的中点，则，， 由∥，则，由∥，则， 则截面下方的体积， 故，，则. 图（54） 【例55】如图（55），已知四面体中，分别在棱、、上取（，）等分，形成点、、，过、、（）作四面体的截面，记该截面的面积为，则（ ） 数列为等差数列 数列为等比数列 数列为等差数列 数列为等比数列 图（55） [解]如图（55），设，，与所成角为，由题意∥， ∥，由平行线间线段成比例可知：，， 则， 由不恒为常数，则数列不为等差数列，错； 由不恒为0的常数，则数列不为等比数列，错； 由恒为常数， 则数列为等差数列，对； 由不恒为0 的常数，则数列不为等比数列，错.答案：. 总结 如何作出截面，先利用两平行平面被第三个平面所截，两交线平行的性质，在考虑交线法 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 学科网（北京）股份有限公司 $