第六章 直线与圆的方程（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第六章直线与圆的方程的考点梳理卷，主要梳理和考查了两点间距离公式和线段的中点坐标公式、直线的方程、两条直线的位置关系、圆、直线与圆的位置关系。 第六章 直线与圆的方程 目录 考点一 两点间距离公式 1 考点二 线段的中点坐标公式 1 考点三 直线的倾斜角与斜率 2 考点四 直线的点斜式方程 2 考点五 直线的斜截式方程 3 考点六 直线的一般式方程 3 考点七 两条直线的位置关系 3 考点八 点到直线的距离和两平行线之间的距离 3 考点九 圆的标准方程 4 考点十 圆的一般方程 4 考点十一 点与圆的位置关系 4 考点十二 直线与圆的位置关系 5 考点十三 直线与圆的方程的应用 5 考点一 两点间距离公式 1．若两点，，则线段的长度等于（    ） A．5 B． C． D． 2．到点的距离等于5的坐标轴上的点有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 考点二 线段的中点坐标公式 3．点关于点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 4. 如图，已知三角形的三个顶点分别是． (1)求的中点D坐标； (2)求边上中线的长度． 考点三 直线的倾斜角与斜率 5. 直线的斜率和倾斜角是（   ） A．， B．， C．不存在， D．k不存在， 6. 经过两点的直线的倾斜角的取值范围是 ．（其中） 考点四 直线的点斜式方程 7. 已知直线经过两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8. 已知直线经过点，直线的倾斜角为，且，求直线的方程 考点五 直线的斜截式方程 9. 若直线的斜率为4，在轴上的截距为5，在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 10. 求直线 的斜率及直线在 轴上的截距. 考点六 直线的一般式方程 11. 已知直线的斜率为3，在轴上的截距为，则此直线的一般方程为 ． 12. 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且平行于轴； (3)在轴和轴上的截距分别是，； 考点七 两条直线的位置关系 13. 直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交而不垂直 14. 已知两条直线：互相垂直，则的值是（ ） A．1 B．或 C． D．或 考点八 点到直线的距离和两平行线之间的距离 15. 两条平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16. 已知直线的方程为. (1)求过点，且与直线垂直的直线方程； (2)求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程. 考点九 圆的标准方程 17. 已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 18. 与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为 . 考点十 圆的一般方程 19. 圆的圆心坐标和半径分别为（    ）. A．， B．， C．， D．， 20. 已知方程表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 考点十一 点与圆的位置关系 21. 点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 22. 已知点在圆的外部，则a的取值范围是 . 考点十二 直线与圆的位置关系 23. 直线被圆截得的弦长为 . 24.已知点，，圆以线段为直径． (1)求圆的标准方程； (2)过原点作圆的切线，求切线方程． 考点十三 直线与圆的方程的应用 25. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 26.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h. 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第六章直线与圆的方程的考点梳理卷，主要梳理和考查了两点间距离公式和线段的中点坐标公式、直线的方程、两条直线的位置关系、圆、直线与圆的位置关系。 第六章 直线与圆的方程 目录 考点一 两点间距离公式 1 考点二 线段的中点坐标公式 2 考点三 直线的倾斜角与斜率 3 考点四 直线的点斜式方程 3 考点五 直线的斜截式方程 4 考点六 直线的一般式方程 5 考点七 两条直线的位置关系 6 考点八 点到直线的距离和两平行线之间的距离 7 考点九 圆的标准方程 8 考点十 圆的一般方程 8 考点十一 点与圆的位置关系 9 考点十二 直线与圆的位置关系 10 考点十三 直线与圆的方程的应用 11 考点一 两点间距离公式 1．若两点，，则线段的长度等于（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式即可得解. 【详解】两点，， 则线段的长度等于， 故选：. 2. 到点的距离等于5的坐标轴上的点有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】可分点在x轴和y轴两种情况，利用两点间距离公式求解. 【详解】若点在x轴，设为，，解得，2个点； 若点在y轴，设为，，解得，2个点. 共4个点. 故选：A. 考点二 线段的中点坐标公式 3．点关于点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中点坐标公式求解即可； 【详解】设对称点的坐标为，则，解得， 故对称点坐标为， 故选：A 4. 如图，已知三角形的三个顶点分别是． (1)求的中点D坐标； (2)求边上中线的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由中点坐标公式求解即可； （2）由两点间距离坐标公式求解即可. 【详解】（1）三角形的三个顶点分别是， 则的中点D坐标为，即. （2）由（1）得，且， 故边上中线的长度. 考点三 直线的倾斜角与斜率 5. 直线的斜率和倾斜角是（   ） A．， B．， C．不存在， D．k不存在， 【答案】D 【分析】根据直线的倾斜角与斜率之间的关系即可求解. 【详解】直线可化为，垂直于轴， 故其斜率不存在，则倾斜角为． 故选：D． 6. 经过两点的直线的倾斜角的取值范围是 ．（其中） 【答案】 【分析】根据斜率公式，倾斜角的定义即可求解. 【详解】因为直线倾斜角的范围为， 则当时，斜率不存在，倾斜角， 当时，， 所以倾斜角的取值范围是． 故答案为：. 考点四 直线的点斜式方程 7. 已知直线经过两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为直线经过两点， 所以直线的斜率为， 故直线的方程为，即. 故选：A. 8. 已知直线经过点，直线的倾斜角为，且，求直线的方程 【答案】或 【分析】根据同角三角函数的平方关系和商数关系求出，再由直线的点斜式方程即可解答. 【详解】已知， 因为，则， 所以直线斜率， 因为直线经过点， 所以直线的方程为或. 考点五 直线的斜截式方程 9. 若直线的斜率为4，在轴上的截距为5，在轴上的截距为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到直线的斜截式方程，并检验即可得解. 【详解】因为直线的斜率为4，在轴上的截距为5， 此时直线的方程为， 经检验，当时，，满足题意， 所以直线的方程为. 故选：A. 10. 求直线 的斜率及直线在 轴上的截距. 【答案】斜率为 2 ，截距为 【分析】将直线的点斜式方程化为斜截式方程即可得解. 【详解】化简，得， 所以直线的斜率为2，截距为. 考点六 直线的一般式方程 11. 已知直线的斜率为3，在轴上的截距为，则此直线的一般方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式可得直线方程，然后转为一般方程形式即可. 【详解】由题可知：直线斜率为3，且过点， 所以直线方程为，即. 故答案为： 12. 根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． (1)斜率是，经过点； (2)经过点，且平行于轴； (3)在轴和轴上的截距分别是，； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点斜式方程的定义先写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程； （2）根据与轴平行的直线斜率为0，可直接写出直线的方程； （3）由直线在轴和轴上的截距分别是，，即直线过点，，即可求出直线的斜率，从而求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率是，且经过点， 所以直线的点斜式方程为， 故直线的一般式方程为． （2）因为直线与轴平行且斜率为0，且过过点， 所以直线的一般式方程为． （3）因为直线在轴和轴上的截距分别是，， 所以直线过点，， 故直线的斜率为， 所求直线的斜截式方程为， 故直线一般式方程为． 考点七 两条直线的位置关系 13. 直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交而不垂直 【答案】C 【分析】将两直线化为斜截式，再比较两者的斜率与截距即可得解. 【详解】因为直线可化为，其斜率为，截距为； 直线可化为，其斜率为，截距为； 所以两直线的斜率相同，截距不同，则两直线平行. 故选：C. 14. 已知两条直线：互相垂直，则的值是（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，结合两直线垂直有成立，代入即可求解. 【详解】因为两条直线互相垂直， 所以，即， 所以，解得或， 经检验，或均满足， 故选：D. 考点八 点到直线的距离和两平行线之间的距离 15. 两条平行直线与之间的距离是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由平行线间的距离公式直接求出距离即可. 【详解】由两条平行直线间的距离公式得． 故选:A. 16. 已知直线的方程为. (1)求过点，且与直线垂直的直线方程； (2)求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用直线垂直关系求出直线斜率，结合代入点斜式方程，然后转化成一般式即可； （2）利用直线平行关系设出直线方程，然后利用点到直线的距离求C即可求直线方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设直线的斜率为，则有，， 又因为直线过点，则有， 则直线的方程为. （2）直线的方程为， 可设直线的方程为， 因为直线到点的距离为， 则有，化简得，则，. 则直线方程为或. 考点九 圆的标准方程 17. 已知点与，则以线段为直径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，线段的中点即为圆心，两点间距离的一半即为圆的半径，由此可得圆的标准方程. 【详解】因为线段的中点坐标为，即， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为， 半径， 所以， 因此所求的圆的标准方程为：， 故选：. 18. 与圆同圆心，且过点的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】利用圆心相同假设所求圆的方程，再代入点求出半径即可得解. 【详解】因为圆的圆心为， 设所求圆的方程为， 由点在圆上可知，解得， 故所求圆的方程为. 故答案为：. 考点十 圆的一般方程 19. 圆的圆心坐标和半径分别为（    ）. A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】将圆的一般式方程通过配方转化为标准方程，即可找到圆心和半径. 【详解】将配方得， ∴圆心坐标为，圆的半径为5． 故选：. 20. 已知方程表示圆，求： (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径． 【答案】(1) (2)圆心坐标为，半径. 【分析】（1）由题意可知，列不等式求解即可. （2）将圆的一般方程转化为圆的标准方程即可确定圆心和半径. 【详解】（1）已知方程表示圆， 则得， 即，解得， 故m的取值范围为. （2）已知方程， 转化为标准方程为， 所以圆心坐标为，半径. 考点十一 点与圆的位置关系 21. 点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．点在圆的圆心上 【答案】A 【分析】根据圆的标准方程求解圆的圆心坐标和半径，然后比较点到圆心的距离和半径的大小即可判断. 【详解】根据题意知：圆心坐标为：，即， 圆的半径为：， 点P到圆心的距离为：， 因为，所以点P在圆外. 故选：A. 22. 已知点在圆的外部，则a的取值范围是 . 【答案】． 【分析】将点代入圆的一般方程使其大于零，结合圆的一般式方程半径大于零列不等式求解即可. 【详解】因为点A在圆的外部，所以有 解得，，即. 所以a的取值范围为． 故答案为：. 考点十二 直线与圆的位置关系 23. 直线被圆截得的弦长为 . 【答案】2 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由题意得，直线等价于. 由圆得，圆心为，半径. 则圆心到直线的距离为，即直线与圆相交且过圆心. 所以直线被圆截得的弦长为. 故答案为：2. 24.已知点，，圆以线段为直径． (1)求圆的标准方程； (2)过原点作圆的切线，求切线方程． 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）由中点坐标公式求出圆心，根据圆的标准方程进行求解； （2）分类讨论斜率存在和不存在两种情况，当斜率不存在时，根据几何图形判断直线是否与圆相切；当直线斜率存在时，设直线方程为，根据圆心到直线的距离等于半径计算出的值，从而求解直线方程. 【详解】（1）∵，，为圆的直径， ∴圆心， ∴半径， ∴圆的标准方程为：. （2）由（1）得圆心，半径， ∵直线过原点， 当斜率不存在时，可知圆的切线或， ∴情况不符合，舍去； 当斜率存在时，设直线的斜率为， ∴直线方程：，化为一般式， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离， 即两边同时平方， 得，即， 解得：. ∴切线方程为：和. 考点十三 直线与圆的方程的应用 25. 一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】建立合适的直角坐标系，利用待定系数法求出圆的方程，当水面下降1米后，设水面所在直线与圆的交点为，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得到答案． 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为， ∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点， ∴，∴， ∴圆的方程为， 当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，∴， ∴当水面下降1米后，水面宽度为． 故选：C． 26.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h. 问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法) 【答案】能，0.5 h 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，结合圆的标准方程，直线的截距式方程，点到直线的距离公式求得是否能被监测到，再根据勾股定理求得直线被圆所截得的弦长即可求解. 【详解】如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则. 监测范围是半径为25 km的圆形区域可用圆的方程表示. 直线AB的方程为：，即. 设O到AB距离为d，则，所以外籍轮船能被海监船监测到. 设监测时间为t，则(h) 答：外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5 h. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $