第五章 指数函数与对数函数（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 基础模块下册》高教版2023修订版）

编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 ，则（    ） A．3 B． C． D． 5．函数的图像必经过点（   ） A． B． C． D． 6．设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．对数函数与的图像如图，则（   ） A． B． C． D． 8．（    ） A． B．0 C．1 D．5 9．若和是方程的两个根，则等于（      ） A． B． C． D． 10．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 11．已知a、b均为实数，且满足，则（   ） A． B． C．3 D．8 12．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．10 13．函数的定义域为（   ）． A． B．且 C．且 D． 14．某设备折旧后剩余的价值y（万元）与使用时间x（年）之间的关系可表示为，则该函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   15．设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围（  ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．，则= 17．函数（且）的图像恒过定点 ． 18．将，，按照从小到大的关系排列 19． 20．函数的单调递增区间为 ． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．化简或计算下列各式： (1) (2) 22．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集． 23．已知函数在上的最大值与最小值之和为. (1)求实数的值； (2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 24．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩. (1)列出y与x的函数详解式并写出函数的定义域； (2)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【四川专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 基础模块（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。本专辑共8套。 本卷是第五章指数函数与对数函数的单元测试卷，主要考查实数指数幂、指数函数、对数、对数函数、指数函数与对数函数的应用。 第五章 指数函数与对数函数 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】根据指数与对数的定义即可求解. 【详解】对于指数可化为对数式. 选项B中，化为指数式为，错误. 经检验，选项A，C，D均正确. 故选：B. 2．函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的单调性即可解答. 【详解】因为对数函数在定义域上单调递减， 所以函数的单调减区间是， 故选：B. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使对数函数与根式都有意义，即可. 【详解】由题意知函数， 所以， 即， 解得：. 故选：C. 4．已知函数 ，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数解析式和指数幂的运算即可解得. 【详解】由题，， 则， 故选：B. 5．函数的图像必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可得解. 【详解】因为函数图像必经过点， 所以函数图像必经过点. 故选：B. 6．设，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助和两个中间值进行比较即可. 【详解】∵单调递增，则； ∵单调递减，则； ∵单调递增，则， ∴， ∴. 故选：. 7．对数函数与的图像如图，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的单调性判断取值范围即可. 【详解】由图像可知，为增函数，故， 为减函数，故． 故选：C. 8．（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】A 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】 故选：A 9．若和是方程的两个根，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理以及对数函数的运算求解即可. 【详解】因为和是方程的两个根，. 则，解得. 故选：D. 10．函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域,确定内外函数的单调性,即可得到结论. 【详解】由,得或. 所以的定义域为. 令，此函数的对称轴为, 因此函数的图像是开口向上的抛物线, 所以上内层函数为减函数, 又外层函数是增函数, 所以复合函数的单调减区间为. 故选：. 11．已知a、b均为实数，且满足，则（   ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【分析】由非负数和为0求出a，b的值，然后再求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：A. 12．已知函数，若，则（    ） A． B． C．1 D．10 【答案】B 【分析】由，故将代入函数解析式即可得解. 【详解】根据分段函数，则，所以； 即. 故选：B. 13．函数的定义域为（   ）． A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】根据对数的真数为正，且零次幂的底数不能为，即可求解 【详解】要使有意义， 则且，解得且， 故函数的定义域为且， 故选：B. 14．某设备折旧后剩余的价值y（万元）与使用时间x（年）之间的关系可表示为，则该函数的大致图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据所给的分段函数分析图像即可. 【详解】当时，， 图像是过点的一条递减线段， 当时，是在直线右边的递减的指数函数图像， 这部分曲线在x轴上方，与x轴无限靠近不相交. 故选：B. 15．设定义在上的函数是奇函数，且，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的奇函数性质和解指数不等式易得答案. 【详解】因为定义在上的函数是奇函数， 所以，所以， 所以， 因为， 所以， 因为令是指数函数在定义域上是增函数， 所以， 所以实数的取值范围. 故选：D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．，则= 【答案】/ 【分析】根据指数函数的运算性质进行计算即可解得. 【详解】由题意， ， 故答案为：. 17．函数（且）的图像恒过定点 ． 【答案】 【分析】根据且，令即可求解. 【详解】因为函数（且）， 令，此时，则， 所以函数图像恒过定点， 故答案为： 18．将，，按照从小到大的关系排列 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】函数为增函数，所以；； 函数为减函数，所以， 所以， 故答案为：. 19． 【答案】// 【分析】由对数及指数幂的运算性质进行计算即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 20．函数的单调递增区间为 ． 【答案】 【分析】首先运用换元法将复合函数拆解，再根据指数函数的单调性，和二次函数的单调性求出两根单调性相同的区间即可. 【详解】函数是复合函数， 外层函数为是在R上单调递增， 是二次函数，对称轴为，且，开口向下， 则在上单调递增，在上单调递减， 根据同增异减原则，的单调递增区间为． 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．化简或计算下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质计算. （2）根据指数幂的运算性质计算. 【详解】（1）. （2）. 22．已知函数（且）的图象过点. (1)求a的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求解； （2）利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 代入得， 所以. （2）由题意，函数的定义域为，且在定义域上为增函数， 因为， 所以， 所以，即， 解得， 故不等式的解集为. 23．已知函数在上的最大值与最小值之和为. (1)求实数的值； (2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据指数函数和对数函数的单调性的性质进行求解即可； （2）根据指数函数和对数函数的单调性的性质，结合任意性的定义进行求解即可. 【详解】（1）因为函数在上的单调性相同， 所以函数在上是单调函数， 所以函数在上的最大值与最小值之和为， 所以，解得和（舍）， 所以实数的值为2. （2）由（1）得， 因为对于任意的，不等式恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，为单调递增函数， 所以，所以， 即，所以实数的取值范围. 24．某地为践习总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的理念，大力开展植树造林.假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，使森林面积的年平均增长率为20%，且x年后森林的面积为y亩. (1)列出y与x的函数详解式并写出函数的定义域； (2)为使森林面积至少达到6a亩至少需要植树造林多少年？参考数据： 【答案】(1)（且） (2)10 【详解】详解：（1）森林原来的面积为亩，森林面积的年平均增长率为，年后森林的面积为亩，则（且）； （2）设为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林年， 则， ，得， 即， ，即取10， 故为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林10年. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $