第9讲解三角形重难点公式及其威尔逊（奥本海默）不等式应用讲义-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习资料聚焦解三角形核心考点，涵盖重要公式、正切余切系统及威尔逊不等式应用，按“基础公式—拓展结论—不等式应用”逻辑构建知识网络。通过公式推导梳理、解题方法归纳、高考真题演练环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 资料特色在于将抽象公式与典例结合，运用数学思维引导学生掌握三角代换、柯西不等式等方法，如典例2通过两种解法培养运算能力与推理意识。设置分层典例训练，保障复习效果，助力学生提升应考技巧，为教师把控复习节奏提供实用指导。

餐希写 冲刺清北数学 第、9讲解三角形重难点公式及其威尔逊（奥本海默）不等式应用 第一部分：重要公式 结论一：在任意△ABC中， ①sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC sin(B+C-A)+sin(C+A-B)+sin(A+B-C)=4sin A.sin B.sin C 【证明】sin2A+sin2B+sin2C=2sinA+B·cosA-B)+sin2π-A-B =2sin(4+B).cos(4-B)-sin 2(4+B) 2sin(A+B).cos(A-B)-2sin(A+B).cos(A+B) =2sinA+B·[cos(A-B）-cos(A+B】 =2sinC.2sinA·sinB=4sinA·sinB·sinC A sin +sin B+sin C=4cos.coscos B C 【证明】sinA+sinB+sinC=2sin A+B） sin(4+B), s/ 944时f1】 -212m19m1 B B =2c0S .2cos 4.cos=4cos 2 A B C ③ sin 24+sin 2B+sin 2C =8sin-sin。·sina sin A+sin B+sin C 2 2 2 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径在亏 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 【证明】由sin2A+sin2B+sim2C=4sinA·sinB·sinC, AB C sinA+sinB+sinC=4cos二·cos。·cos 2 2, sin 24+sin 2B+sin 2C 4sin A.sin B.sin C 则 sin 4+sin B+sin C A B C 4cos -·C0s·c0S 2 2 °2 A A B C 2sin.cos 2 sin.cos·2sin7cos 2 2 A. B C A B C 2=8sinsin 2:sin 2 4cos- 2 -·C0S ·c0S 2 2 4cos 2 4+cos 2B cos 2C =-4 cos A cos B cos C-1 【证明】由cos2A+cos2B+cos2C=2cosA+B)cosA-B)+cos2A+B =2 cos(4+B)cos(4-B)+2 cos2(4+B)-1 =2 cos(4+B)cos(4-B)+2 cos2(4+B)-1 =2cos(4+B)cos(4-B)+cos(4+B)]-1=2cos(+B).2cos A cos B-1 =4 cos Acos B cos(+B)-1=-4 cos 4 cos B cos C-1 (cos(4+B)=-cos C). 5sin2 4+sin2 B+sin2 C=2+2cos A cos B cos C 【i证明】sin2A+sin2B+sin2C=1-cos2A+1-cos2B1-cos2C 2 2 31 c0s24+cos2B+c0s2C) cos 2A+cos 2B+cos 2C =-4 cos A cos B cos C-1 4cos Acos B cos C+1)=2+2cos Acos B cos C 类似cos2A+cos2B+c0s2C=1-2 cos Acos Bcos C B ⑥sin +sin +sin =4sinπ-A.in元-B C 4in 4 in- 4+ 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 人翁写 冲刺清北数学 【1mg如号-2n1:m4:)m共 -2aw41-2a4 44,n42 儿--mf--4- =2sin π-C 2sinπ-B 4 4 4 +1=4sinπ-A. .sin π-B -sin 元-C+1 4 4 4 ⑦sin244 2 1-2sin 22 【证明】sim?4+s +sin:C1-cos 1-c0sB1-cos B 2 22 2 2 31 -cos 4+cosB+cosC). A .B C 由④可得：cosA+cosB+cosC=4sinA.sin5sinC+l, 2 2 2 C 2 2 B C @cos 4+cos B+cosC=4sin 4.sin sin C+1 【证明】cosA+cosB+cosC=2cos =2os 4m22f4生 -m4m4:m421 2 cos ⑨tanA+tanB+tanC=tanA·tanB.tanC(△ABC为斜三角形) 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径作 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 【i证明】由tanC=-tanA+B)=二anA+ianB 1-tan A.tan B tan C(1-tan A.tan B)=-tan 4+tan B), 故tanA+tanB+tanC=tanA·tanB.tanC. ⑩cot A.cot B+cotB·cotC+cotC·cotA=1 【证明】当△ABC为斜三角形时， 由cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA 1 1 1 tan A+tan B+tan C tan A.tan B tan B.tan C tan B.tan C tan A.tan B.tan C 由⑤可得，tanA+tanB+tanC=tanA.tanB·tanC, 则cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA=1; 些△BC为直角三角形时，不设C=),则A+B= 可得cotC=0,cotA·cotB=1,则cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA=1; 综上所述：cotA·cotB+cotB·cotC+cot C.cot A=1. B B C C A Dtan 4.tan+tan.tan+tan-.tan=D 【证明】 A B tan n an C+tan C tan 4 tn 2 tas C 2+tan 2 tan2 +tan 2】 A 2 2 C 2 tan 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为亏 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 A B C A B C 02cot-+cot+cot=cot.cotcot 2 2 2 2 C A sin 4+B A 4 cos A 2c2 cos cos cot- co 2 2 2 sin B C sin 2 B sin 2 2 2 sin A B ·sin 2 sin-.sin 2 2 B +sin 4 C B C B+C A sin sin …sin 2 =c 、ASi -+COS- 2 =coS 2 2 2 'sin A B C 2 A C sin .sin sin B .sin .sin 2 2 2 2 2 cos- A .cos 2 B C cos A …cos -·c0S 2 2=cot·cot A C .m2 A.sin -·cot 9v C sin A B sin sin .sin 21 2 2 结论二：在任意锐角△ABC中， ①tanA+tanB+tanC≥3V3或tan A tan B tan C≥3V5(△ABC为锐角三角形) f证明Itan A.tan B.tanC=tanA:tanB(-tanA+B)= tan A.tan B.(tan 4+tan B) tan A.tan B-1 2tan A.tan B.tan A.tan B ,当且仅当tanA=tanB时取等， tan A.tan B-1 面4m>小，川>1h=2 2-1 可得fd)在0，√3)上单调递减，在W5,+o上单调递增，故ft)n=fV3=3√3， 故nA:tnB:tanC≥3V5,当且仅当A=B=C=T时取等 3 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径 一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 ②cotA:cotB.eot Cs5 (△ABC为任意三角形) f证明由cot A.cot B·cotC= tan A.tan B.tan C 由①可得，当△ABC为锐角三角形时，tan A.tan B·tanC≥3V3, 故cot-cotCs 同理当△ABC为非锐角三角形时，不等式也成立， 9 故cotA:co-cotC 9 ,当且仅当A=B=C=无时取等。 ③tan2A+tan2B+tan2C≥9 证明7油tan2A+tan2B+tan2C≥3an2A:tan2B-tan2C=3 tan 4tan B tan C, 由①可得， tan 4.tan B.tanC≥3V3,则tan2A+tan2B+tan2C≥33√5j=9, 当且仅当A=B=C=-乃时取等 3 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 餐与 冲刺清北数学 A B C 结论三：在任意△ABC中，设x=tan二，y=tan二，z=tan二（正切系统）， (x=cotA,y=cotB,z=cotC(余切系统)则： ①y+yz+zx=1(结论一公式10或11可知) ②1+x2=(y+z)+(2x+x2)=(x+z(x+z, 同理1+y2=(y+xy+z,1+z2=(2+xz+y): ③V+x.V+y+2=(x+yy+z训z+x: sin (A B C 1 2+2 cos 证明法1油x+y=一 2 1+z2 V+x21+y2 A B A B 1 1 cos- 2 cos V1+z2 V1+x2√1+y 则+F-区+小+王，同+-+M+r,+F-++ V1+y2 V1+22 V1+x2 +x2.+y2.+22=(x+yy+2)(z+x). 证明法2油1+x2=(x+z(x+z,1+y2=(y+xy+z),1+z2=(z+xz+y), +x2.+y2.v1+22=(x+y)(y+z)(z+x). +1+11 cot AB C A B C -+cot+cot=cot·cot一·cot x y Z XyZ 2 2 2 222 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 人餐浴写 冲刺清北数学 5(x+yy+zz+x)=x+y+z-xyz; 证明油1+z2=(z+xz+y), (x+y)y+2)(z+x)=(x+y)1+22)=x+y+(x2+yz)2. =x+y+(1-xyz=x+y+z-xyz @工11 2(x+y+z) D1+x+1+少+1+2+yy+22+灯 证明庙，1+11 1 1 1 1++1+y+1+2x+y川x+2y+xy+ae+x2+ 2(x+y+2) (x+yy+zz+x) ⑦ 2 1+x++少++2(x+y+22+可 证明)、x、+y y +x+中y++2x+yx+习y+xy+a2+xz+可 x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)2(xy+yz+ax) 2 (x+y)y+z)(z+x) (x+y)(y+2)(z+x)(x+y)y+2)(z+x) 品品 ⑧ 2xyz '(x+y)y+2)(z+x) 高品〔】 证明、x =3- 2(x+y+z) 2(x+y+z-xyz) 2xyz x+0+2+对=3 (x+y)y+2)(z+x)(x+y)y+2)(z+x) 2xyz =1- (x+y)(y+z)(z+x) 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为亏 ,一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 结论四：在任意△ABC中， (D)tan2 4+tan?+tanC 2B ≥1 2 2 证明由a2+b2+c2≥ab+bc+ca,当且仅当a=b=c时取等， 则tan24 A BB C C 4=1. 二≥tan2tan二+tan2tan二+tan二tan」 2 2 2 2 2 “2 “2 当且仅当A=B=C=交时取等。 3 A B C (2)tanA+tang+tan告≥V3 2 2 2 A B C 证明设x=tan2,y=tan2,2=tan 2 由《结论三》公式1可得，则y+z+zx=1, 2 1- x+y 由an2+iam2+iam=x+y+z=x+y+二”之x+y A B C (2 2 2 x+y x+y -3x+》+1≥23-5，当且仅当A=B=C-g时取等。 4 x+y 3 (3)cot2 4+cot2B+cot2C1 证明抽a2+b2+c2≥ab+bc+ca, cot2 4+cot2B+cot2Cz cot 4.cot B+cot B.cot C+cot C.cot 4, 由《结论一》公式6可得， cotA·cotB+cotB·cotC+cotC·cotA=1,故cot2A+cot2B+cot2C≥1. 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟 书山有路勤为径亏 。一学海无涯苦作舟 冲刺清北数学 (4)cot A+cot B+cot C3 证明设x=cotA,y=cotB,z=cotC,由《结论三》公式1可得，则 y+z+2x=1, 1- x+y y+-之+y 、2 cot A+cot B+cot C=x+y+z=x+y+ x+y x+y 3x+》+L≥2,3-5，当且仅当A=B=C=行时取等 x+y V4 3 A B C (5)cot5+cot2+cot二≥3√3 2 2 A B 证明设x=tan号，y=tan ,2=anS,由《结论三》公式4可符，则 2 2 1.111 一十一十一三 x y Z Xyz 11,11 由二+二+二=≥33 工，解得1之35，即++≥35 XVZ x y Z 当且仅当x=y=z时取等， B +cot9=1+L+l≥3N5,当且仅当A=B=C=时取等 则cot2+cot二+cot 2 2 2 x y z A B C (6)tan m223g 2 B 证明法1油 C 2 2 A B A 而cot cot=·cot -≥3W3 2 则tan二，tan气tan 2 2 91 当且仅当A=B=C=交时取等， 3 A B C 证明法2设x=tan号，y=tan号，z=tan二，由《结论三》公式4可得， 2 2 则上+1+1-1， 1,1,1 ,由二+二+二≥33 1 ，则 -≥3 x y z xyz x y XVZ XVZ 解得zs 9 书山有路勤为径 苦海无涯苦作舟 书山有路勤为径，学海无涯苦作舟