13.1 三角形的概念&13.2 与三角形有关的线段-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 云南专版）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 ②基础过关。逐点击破 能力提升○整合运用 知识点1三角形的有关概念 6.(2024·曲靖富源县期中)如图，以点A为顶 1.观察下列图形，其中是三角形的是( 点的三角形有 A.4个 ∠士八X B.3个 C.2个 2.(教材P4习题T,T2变式)如图. D.1个 7.下列说法中，正确的是 A.所有的等腰三角形都是锐角三角形 B.等边三角形属于等腰三角形 (1)图中共有个三角形，分别是 C,不存在既是钝角三角形又是等腰三角形 的三角形 (2)△CDE和△BCD的公共角是 D.一个三角形里有两个锐角，则它一定是锐 公共边是 角三角形 (3)在△ABC中，∠A的对边是 ； 8.（原创题)如图，数一数，写一写： (4)在△ABC和△BEC中，∠ACB是边 (1)图中共有多少个三角形？ 和 的对角 (2)写出其中以EC为边的三角形； 知识点2三角形的分类 (3)若有一个公共角的两个三角形称为一对 3.如果一个三角形的三个内角的度数分别为 “共角三角形”，则以∠B为公共角的“共 40°，60°，80°，那么这个三角形是( 角三角形”有哪些？ A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.图中直角三角形共有个 B D E (第4题图) (第5题图) 5.(教材P:习题T4变式)如图，已知AB=AC, AD=BD=DE=CE=AE,则图中共有 个等腰三角形，有个等边三角形. 1 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 ②基础过关。逐点击破 能力提升。整合运用 知识点1三角形的三边关系 6.已知△ABC中，其中有两边长是2和5，且 △ABC的第三边长是偶数，则此三角形的周 1.(2024·昆明期末)下列各组线段中，能构成 长为 ( 三角形的是 A.11 B.12 A.2,5,7 B.4,4,8 C.13 D.11或13 C.4,5,6 D.4,5,10 7.用一条长为35cm的细绳围成一个等腰三 2.新视角结论开放题)一个三角形的两边长分别 角形 是2和4，则第三边长可以是 (1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的 长分别是多少？ (只填一个即可) (2)能围成有一边的长为1cm的等腰三角 3.一个三角形的三边长分别为5,1十2x,8,则 形吗？ x的取值范围为 4.如图，将五边形ABCDE沿虚 线裁去一个角得到六边形 ABCDGF,则该六边形的周长 一定比原五边形的周长 (选填“大”或 “小”)，理由： 知识点2三角形的稳定性 5.本士文化北盘江大桥如图，北盘江大桥跨越云 南和贵州交界的北盘江大峡谷，全长 1341.4m,桥面到谷底垂直高度565m,差 8.(2024·玉溪期中)已知△ABC的三边长是 不多相当于200层楼的高度.主桥采用双塔 a,b,c. 双索面钢桁梁斜拉设计，结构稳固，其蕴含 (1)若a=6,b=8,且三角形的周长是小于22 的数学道理是 的偶数，求c的值； (2)化简：a+b-c+|c-a-b. A.三角形的稳定性 B.四边形的不稳定性 C.三角形两边之和大于第三边 D.三角形内角和等于180° 2 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 冒名师导学。预习先知 ②基础过关⊙逐点击破 新知梳理 知识点1 三角形的中线 ①三角形的中线：如图①，连接△ABC 1.三角形一边上的中线一定把原三角形分成两个( 的顶点A和它所对的边BC的中点 D,所得线段AD叫作△ABC的边 A.形状相同的三角形 B.面积相等的三角形 BC上的中线，一个三角形有 C.直角三角形 D.周长相等的三角形 条中线，这三条中线相交于一点，三 2.(教材P,练习T2变式)如图，AD是△ABC的中线，则点 角形三条中线的交点叫作 D是线段 的中点，BD=CD=司 ,S△ABD= ②三角形的角平分线：如图②，画 △ABC的∠A的平分线AD,交∠A所 若S△ABD=3,则S△ABC=」 对的边BC于点D,所得线段AD叫作 △ABC的 ,三角形的三 条角平分线相交于一点， ③三角形的高：如图③，从△ABC的顶 D 点A向它所对的边BC所在直线画 (第2题图) (第3题图) 垂线，垂足为D,所得线段AD叫作 知识点2三角形的角平分线 △ABC的边BC上的高线.三角形 的高线简称 ,锐角3.如图，BD是△ABC的角平分线.已知∠ABC=62°，则 三角形的三条高都在三角形的 ∠DBC的度数为 ;直角三角形有两条高 4.如图，CD是△ABC的角平分线，E是BC边上的一点，且 恰好是它的 ；钝角三 角形有两条高在三角形的 ∠1=∠2.试判断DE与AC的位置关系，并说明理由. 两个垂足落在边的 图① 图② 知识点3三角形的高 (2) (3) 图③ 5.如图，在△ABC中，边AB上的高是 例题引路 A.AF B.BE C.CE D.BD 【例】如图，在△ABC中，AE是中线， AD是角平分线，AF是高，∠BAC= 70°，∠CAF=10°，BE=2,AF=3,填空： (1)∠BAD= (2)∠DAF= (第5题图) (第6题图)》 (3)S△ABc= 6.如图，AD是△ABC的边BC上的高，则AD与BC的位置关 【名师点拨】注意三角形的中线平分三 角形的面积。 系是： ,∠ADB=∠ ,S△ABC= 【学生解答】 3 可能力提升。整合运用 父思维拓展⊙学科素养 7.(教材P,习题T4变式)(2024·玉溪期中)如 10.【通性通法·面积法】已知在△ABC中， 图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线， AB=AC,D是BC边上任意一点，过点D AF是中线，则下列说法中错误的是() 分别向AB,AC引垂线，垂足分别为E,F. A.BF=CF B.∠C+∠CAD=909 (1)如图①，当点D在BC的什么位置时， C.∠BAF=∠CAF D.S△ABC=2S△ABF DE=DF?并证明； (2)如图②，过点C作AB边上的高CG,试 猜想DE,DF,CG的长之间存在怎样的 B F ED 数量关系，并说明理由。 (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC, CF⊥AB,垂足分别是D,E,F.若AC=4, AD=3,BE=2,则BC= 图① 图② 9.(2024·普洱期末)如图，在△ABC中，AE 是边BC上的中线，AD⊥BC交BC于点D, 点F为AB的中点，连接EF.已知AD=6, △ABC的面积为24. (1)求CE的长； (2)若AE-7,求△AEF与△BEF的周长差， 【延伸设问】如图，已知等边三 角形ABC的高为7cm,P为 △ABC内一点，PD⊥AB于 点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,则 PD+PE+PF=cm. 【规律总结】①等腰三角形底边上任意一点 到两腰的距离之和 腰上的高； ②等边三角形内一点到各边上的距离之和 任意一边上的高 4参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 基础过关 1.B2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC (4)ABBE3.B4.35.41 能力提升 6.A7.B8.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 弥基础过关 帐 1.C2.3(答案不唯-)3.1<x<64.小EF+EG>FG5.A 能力提升 6.D7,解：(1)设底边长为xcm,则腰长为3xcm,∴.x十3x十3x=35,解得x=5,.3x =15,.三边长分别为5cm,15cm,15cm:(2)①当1cm的边为腰时，底边长为35-1 -1=33(cm).1+1<33,∴.不能构成三角形：②当1cm的边为底边时，腰长为(35 1)÷2=17(cm).:1十17>17，∴.符合三角形三边关系，∴.能围成底边为1cm的等腰 她 三角形.综上所述，能围成有一边的长为1cm的等腰三角形.8.解：(1)：三角形的 周长是小于22的偶数，.6十8十c<22,解得c<8.:a,b,c是△ABC的三边长，a=6,b =8,.8-6<c<6十8，即2<c<14,2<c<8.易得c是偶数，∴c=4或c=6:(2)|a十 b-c|+|c-a-b|=a+b-c-(c-a-b)=2a+2b-2c. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 报 新知梳理 ①三三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角边外部 延长线上 例题引路 【例】(1)35 (2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC S△DS△ABc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：CD是 线△ABC的角平分线，∠ACD=∠1.：∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，DE∥AC.5.C 6.AD1 BC ADC90°2BC·AD 能力提升 7.C8.号9.解：1)ADLBC,AD=6,△ABC的面积为24，Sax=号BC·AD =号BCX6=24,BC=8,:AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4,(2)?点 F为AB的中点，∴.AF=BF,.C△AEF-CAEF=(AE十AF+EF)-(BE+BF十EF)= AE-BE=7-4=3,即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 10.解：(1)当点D为BC的中点时，DE=DF.证明如下：连接AD.点D为BC的中 点，.SAABD=SAD,即AB·DE=2AC·DF.AB=AC,.DE=DF:(2)CG= 第1页（共60页）》 DE+DF.理由如下，连接AD.:SABc=SAm十Sac,.号ABCG=号AB·DE+ 合AC,DF.:AB=AC,CG=DE+DR,【延伸设问】7【规律总结】O等于 ②等于 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x= 20,则3x=60,5x=100,∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：AD平分 ∠BAC,∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°， .2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54°. 基础过关 1.C2.80°3.D4.40°5.C6.160 能力提升 7.D8.280°9.解：在△ABC中，：∠ABC=40°，∠C=60°，.∠BAC=180°- ∠ABC-∠C=180°-40°-60°=80°.，AE是△ABC的角平分线，∠EAC= 合∠BAC=号×80=40.：AD是△ABC的商，∠ADC=90,在△ADC中， ∠DAC=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-60°=30°，∴.∠DAE=∠EAC-∠DAC= 40-30=10.:BF是∠ABC的平分线，∠ABC=40,∠FBC=∠ABC=号× 40°=20°.又∠C=60°，∠CAE=40°，.∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-60° 40°=80°，.∠AEB=180°-∠AEC=180°-80°=100°，.∴.∠BOE=180°-∠FBC ∠AEB=180°-20°-100°=60°. 思维拓展 10.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)+∠A=180°， .90°+（∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交 PC于点O.:'∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB= 180°，.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,.∴.∠ACP- ∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 基础过关 1.C2.60°3.C4.解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB,∠ADE= 90°，.∠1+∠A=90°，又：∠1=∠B,∴∠B+∠A=90°，∴∠C=90°，∴.△ABC是直 角三角形. 能力提升 5.A6.解：：AB∥CD,.∠BEF+∠DFE=180°.：EP为∠BEF的平分线，FP为 ∠EFD的平分线，∠PEF=号∠BEF,∠PFE=号∠DFE,∠PEF+∠PFE= ∠BEF+∠DFE)=90°，∴∠P=90,·.△EPF为直角三角形.7.解：(1)∠1= ∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,.∠CEB=∠ADB=90°，∴.∠2十∠B=90°，∠1 十∠B=90°，∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：：AD⊥BC,CE⊥AB, .∠D=∠E=90°，.∠2+∠ABD=90°，∠1十∠CBE=90°.又：∠ABD=∠CBE, ∴∠1=∠2. 第2页（共60页） 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①延长线②与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：：∠B=40°，∠ACB=60°，.∠BAC=180°-∠B-∠ACB=80°. CE是∠ACD的平分线，∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180°-∠ACB=120, .∠DCE=60°，∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20°. 基础过关 1.D2.∠ACD3.C【变式】B4.C5.15°6.607.解：AE∥BD,.∠ADB= ∠1=95°.又：∠ADB=∠C+∠2，∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 8.C9.70°10.235°11.垂线的定义三角形外角的性质30°DAE60°三角 形内角和定理80° 思维拓展 12.C解：(1)C(2)∠1十∠2=∠A十180°，理由如下：，∠1=∠A十∠AEF,∠2= ∠A+∠AFE,∴.∠1十∠2=∠A+∠AEF+∠A+∠AFE.又：∠A+∠AEF+ ∠AFE=180°，∠1+∠2=∠A十180°：(3)∠1+∠2=2∠A.理由如下：：△EFP是 由△EFA折叠得到的，.∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∠1=180°-2∠AFE, ∠2=180°-2∠AEF,·∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF).又：∠AFE+∠AEF =180°-∠A,.∠1十∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A. 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)120°(2)115°(3)：BF平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠CBG= ∠ABC,∠BCG=合∠ACB,∠BGC=-180-(∠CBG+∠CG)=180°- 合（∠ABC+∠ACB.:∠ABC+∠ACB=180-∠A,∠BcC=180-(180 ∠A)=90+号∠A.2.30°3.解：BP平分∠ABC,∠PBC=7∠ABC.CP 平分∠ACD,∴∠PCD=2∠ACD.'∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+ ∠P,∴∠P=∠PCD-∠PBC=号∠ACD-号∠ABC=号（∠ACD-∠ABC)= ∠A4解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∠EBC+∠FCB =∠ACB+∠A+∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分 线.∠PBC=号∠EBC,∠PCB=∠FCB.∴∠PBC+∠PCB=(∠EBC+ ∠CB)=2180+∠A)=90+7∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180- (90+2∠A)=90°-2∠A. 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)110°(2)：∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE=90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE +∠BDC=90°-∠A十90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A=180°.2.解：(1)：∠B= 38,∠C=62,∠BAC=80.:AD是∠BAC的平分线，∠CAD=合∠BAC= 1 X80°=40°.·AE是△ABC的高，∴.∠AEC=90°.·∠C=62,∴.∠CAE=90°-62°= 28°.·∠DAE=∠CAD-∠CAE=40°-28°=12°；(2)：∠CAE和∠BCF的平分线交 于点G,.∠CAE=2∠CAG,∠FCB=2∠FCG.'∠CAE=∠FCB-∠AEC,∠CAG =∠FCG-∠G,∴.2∠FCG-∠AEC=2(∠FCG-∠G)=2∠FCG-2∠G,即∠AEC 第3页（共60页）