07专题 指对幂函数、函数与方程（12大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

07专题 指对幂函数、函数与方程 12大高频考点概览 考点01 指对幂函数定义域问题 考点02 指对幂函数解析式问题 考点03 指对幂函数值域问题 考点04 指对幂函数图象问题 考点05 指对幂函数比较大小问题 考点06 指对幂运算 考点07 指对幂函数应用问题 考点08 指对幂函数单调性求参数问题 考点09 指对幂函数解不等式 考点10 指对幂函数的单调区间与定点问题 考点11 判断零点所在区间问题 考点12 函数与方程综合问题 地 城 考点01 指对幂函数定义域问题 1．(24-25高一上·河南部分学校·期中)函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式，结合根号建立不等式，利用分式不等式以及指数函数单调性，可得答案. 【详解】要使有意义，则，，解得. 要使有意义，则，，由函数是增函数，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 2．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不等于0，以及根式有意义列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则 所以的定义域为 ． 故答案为： 3．(24-25高一上·河南南阳·期中)若幂函数的定义域为，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义，得到，再结合条件，即可求解. 【详解】由，得.当时，的定义域不为； 当时，的定义域为，所以， 故答案为：. 地 城 考点02 指对幂函数解析式问题 4．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数，且，若，则（   ） A． B． C．10 D．100 【答案】A 【分析】利用给定的函数解析式求出，再代入求得答案. 【详解】依题意，由，得， 所以. 故选：A 5．(24-25高一上·河南开封五校·期中)已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】利用幂函数的定义与性质求得，进而得到的解析式，从而得解. 【详解】因为是幂函数，则，解得， 因为的图象经过原点，则，得，则， 所以. 故选：D. 6．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知幂函数的图象关于y轴对称，则m的值为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据图象关于轴对称求得的值. 【详解】由于是幂函数，所以，解得或. 当时，，图象关于轴对称，符合题意. 当时，，图象关于原点对称，不符合题意. 所以的值为. 故答案为： 7．(22-23高一上·河南信阳·期中)函数是幂函数，且在上是减函数，则实数 . 【答案】2 【分析】根据函数为幂函数求参数m，讨论所求得的m判断函数是否在上是减函数，即可确定m值. 【详解】由题设，，即，解得或， 当时，，此时函数在上递增，不合题意； 当时，，此时函数在上递减，符合题设. 综上，. 故答案为：2 地 城 考点03 指对幂函数值域问题 8．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)若函数，当时，有最小值，则实数a的取值范围是 ， 【答案】 【分析】作出在的图象，通过分析的位置可确定何时有最小值，从而确定的范围. 【详解】由指数函数和二次函数图象可得在上的图象如下图所示， 显然当时，，此时有最小值； 当时，，没有最小值， 实数的取值范围为. 故答案为：. 9．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据高斯函数的定义及的值域即可求解． 【详解】， ， ， 当时，； 当时， 的可能取值，0． 故选：B. 10．(23-24高一上·河南新乡·期中)已知幂函数，且在上单调递增． (1)求m的值； (2)设函数，求在上的值域． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值. （2）根据函数的单调性求得在上的值域． 【详解】（1）因为是幂函数，所以，即， 所以，解得或． 因为在上单调递增，所以，则． （2）由（1）可得． 因为与在上都是增函数， 所以在上是增函数． 因为，， 所以在上的值域为． 11．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. (3)若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点.若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由换元法结合二次函数值域，即可得到结果； （2）根据题意，分，，讨论，结合条件，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由局部对称点的定义，结合函数的单调性，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以的值域为； （2）令，，则，， 因为在上单调递增， 所以要使在上单调递增， 只需在上单调递增， ①当时，在上单调递减，不符合题意； ②当时，的图象开口向下，不符合题意； ③当时，则需，解得， 所以实数的取值范围是； （3）由是的图象的局部对称点，可得，， 代入整理得，① 令，则，， 代入①式得，， 当时，函数和均单调递增， 所以在上单调递增， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：形如二次函数、指数函数结合的问题，无论是单调性还是值域（最值），都可以考虑利用换元法，再结合二次函数的性质来进行求解；研究含参数的二次函数的性质，关键点是对参数进行分类讨论，结合二次函数的开口方向、单调性、值域等知识可将问题解决. 12．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知函数在区间上有最大值4和最小值1．设． (1)求的值; (2)若不等式在上有解,求实数k的取值范围; (3)若有三个不同的实数解,求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据的函数性质,即可判断在上单调性,即有,解出即可; (2)根据(1)中结论,代入题中,先对式子全分离,再用换元求出其最值即可得出结果; (3)将(1)中结论,代入题中式子,令,根据图像变换画出函数图象,根据有三个不同的根及图象性质可知,只需有两个不同的实数解、,且有,,或,成立即可,根据二次函数根的分布问题,分别列出不等式解出即可. 【详解】（1）解:由题知, 因为,所以为开口向上的抛物线, 且有对称轴为, 所以在区间上是单调增函数, 则, 即, 解得; （2）由(1)得, 则, 因为在上有解, 即,使得成立, 因为, 所以有成立, 令,因为,所以, 即,使得成立, 只需即可, 记, 因为,得, 所以k的取值范围是; （3）因为有三个不同实数解, 即有三个不同的根, 令,则, 则图象是由图象先向下平移一个单位, 再将轴下方图像翻折到轴上方,画出函数图象如下: 根据图像可知,一个的函数值,最多对应两个值, 要使有三个不同的根, 则需有两个不同的实数解、, 且有,,或,, 记, 当,时, 只需, 解得, 当,, 只需, 解得不存在,故舍去, 综上:实数k的取值范围是. 【点睛】方法点睛:本题考查函数与方程的综合问题,属于中难题,关于方程根的个数问题的思路有: (1)对方程进行整体换元; (2)根据换元的对象,由图像变换,画出其图象; (3)根据方程根的个数,分析函数值的取值范围及二次方程根的个数; (4)利用二次函数根的分布问题进行解决即可. 地 城 考点04 指对幂函数图象问题 13．(24-25高一上·河南部分学校·期中)函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 14．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案． 【详解】解：由得：，即， 由解得：，由，排除BC． 由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D． 故选：A 15．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知两个指数函数，的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据函数单调性得到，，并当时，，得，所以. 【详解】由图可知函数，均单调递增，则，. 当时，，得，所以. 故选：D 16．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一次函数与幂函数的性质进行判断. 【详解】对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故A错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知且，相符，故B正确； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故C错误； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，故D错误. 故选：B. 17．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)在同一平面直角坐标系中，函数，（且）的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合两个函数过定点，以及单调性相异判断即可. 【详解】函数与的图象过定点， 所以C，D错误； 又因为与单调性相异. 故选：A 18．(24-25高一上·河南开封五校·期中)若函数且的图象经过第一、二、三象限，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】要使函数的图象经过第一、二、三象限，则且，解不等式即可得答案. 【详解】根据指数函数的图象可知，要使函数的图象经过第一、二、三象限， 则且，即且， 解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 地 城 考点05 指对幂函数比较大小问题 19．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性，再结合条件，即可求解. 【详解】令，易知在上单调递减，又，所以， 令，易知在区间上单调递增，又，所以，故， 故选：C. 20．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化为同底数以后，根据指数函数单调性进行比较，根据，利用指数运算，可比较和的大小. 【详解】因为，，是增函数，所以，因为，所以，所以，即.综上，. 故选：C 21．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)如果，那么，，的大小顺序为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助指数函数和对数函数的性质确定范围，即可解决. 【详解】设，由指数函数图像性质可知， 当时，函数值大于1，所以， 设，由指数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于1，所以， 设，由对数函数图像性质可知， 当时，时函数值小于0，所以， 所以. 故选：C 22．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数单调性，结合指数运算，即可比较大小. 【详解】因为是上的单调减函数，故，又，则，即. 故选：A. 23．(24-25高一上·河南洛阳·期中)下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用指数函数和幂函数单调性来比较各选项中数的大小. 【详解】对于A选项，对于指数函数，因为，指数函数单调递减. 又因为，，即. 所以，A选项正确. 对于B选项,对于，是单调递减函数，. 在单调递增，,所以，B选项错误. 对于C选项,，. 是单调递增函数，.所以，C选项正确. 对于D选项,，. 是单调递增函数，，则，其倒数关系为. 所以，D选项错误. 故选：AC. 24．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】构造函数，确定函数单调递增得到，取，可得A错误，根据单调性知BD正确，当，时C错误，得到答案. 【详解】由，得，令，则． 因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，故. 取，可得 ，故A错误； 因为在上单调递增，所以当时，，故B正确； 当，时，，无意义，故C错误； 因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确． 故选：BD 地 城 考点06 指对幂运算问题 25．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知，，则（   ） A．27 B．9 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用指数运算即可求出结果. 【详解】因为，故 . 故选：A. 26．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知，，定义，则 ． 【答案】 【分析】根据自定义运算及指数幂的运算法则计算可得； 【详解】解：． 故答案为： 27．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)已知，则 ． 【答案】 【分析】先把指数式化为对数式，再由换底公式化为同底数对数运算即可. 【详解】因为，所以， ． 故答案为：. 28．(24-25高一上·河南南阳·期中)设，，且，已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用完全平方公式结合对数的运算法则计算即可. 【详解】由可知，即 又， 所以，所以. 故答案为： 29．(24-25高一上·河南南阳·期中)（1）求值：； （2）已知，，请用a，b表示. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂的运算法则与性质求解； （2）根据换底公式及对数的运算法则化简即可得解. 【详解】（1）原式. （2）由题意得，， 所以 . 30．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)（1）求值：； （2）已知，求值：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，由指数幂的运算即可得到结果； （2）由平方可得的值，再对平方可得的值，代入即可得出答案. 【详解】（1） （2）， 31．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)化简求值： (1)； (2). 【答案】(1)1 (2)7 【分析】(1)根据分数指数幂的定义和根式的运算性质化简； (2)根据对数的运算法则和性质运算即可. 【详解】（1）因为，所以，， 所以原式； （2） . 32．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)（1）已知，求的值. （2）计算：. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）平方得到，利用立方和公式计算得到答案. （2）根据指数幂和对数的运算法则直接计算得到答案. 【详解】（1），则，故， . （2）原式 . 地 城 考点07 指对幂函数应用问题 33．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约经过N年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14原有初始质量为Q，该生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合半衰期的定义，建立指数函数模型，从而得到函数关系式. 【详解】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为，将刚死亡生物体内碳14含量看成1个单位， 根据经过N年衰减为原来的一半，则，即， 且生物体内碳14原有初始质量为Q 所以生物体内碳14所剩质量y与死亡年数x的函数关系为 即 故选:D. 34．(24-25高一上·河南开封五校·期中)经调查发现，一杯热茶的热量会随时间的增大而减少，它们之间的关系为，其中且.若一杯热茶经过时间，热量由减少到，再经过时间，热量由减少到，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】依次求时的值，由此可得，再求其比值. 【详解】当时，， 当时，， 当时，， 故；故， 所以. 故选：A. 35．(24-25高一上·河南部分学校·期中)锂是最轻的金属元素，被广泛应用于储能、化工、医药、冶金、电子工业等领域.某地有一处锂矿，探明的锂矿石储存量为吨，计划每年开采一些锂矿石，且每年的开采率（即当年开采量占该年年初储存量的比率）保持不变，到今年底为止，该锂矿已经开采了年，在此期间锂矿石开采的总量为吨. (1)求该锂矿每年的开采率； (2)为了避免破坏当地的生态环境，锂矿石至少要保留吨不进行开采，则该锂矿今后最多还能开采多少年? 【答案】(1) (2)开采年 【分析】（1）设该锂矿每年的开采率为，根据题意可得，求解即可； （2）根据已知题意列不等式，由指数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）设该锂矿每年的开采率为， 锂矿石开采的总量为吨，则剩余的锂矿石为吨， 所以，即， 解得， 故该锂矿每年的开采率为； （2）该锂矿今后继续开采年后，剩余的锂矿石为吨， 由题意知，， 得， 即， 因为是减函数，所以，得， 所以该锂矿今后最多还能开采年. 36．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)我们知道存储温度（单位：℃）会影响着鲜牛奶的保鲜时间（单位：），温度越高，保鲜时间越短.已知与之间的函数关系式为（为自然对数的底数），某款鲜牛奶在5℃的保鲜时间为，在25℃的保鲜时间为.（参考数据：） (1)求此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间约为几小时（结果保留到整数）； (2)若想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，那么对存储温度有怎样的要求？ 【答案】(1)254小时； (2)存储温度要不高于15℃. 【分析】（1）把给定的数对代入函数关系，求出，并确定，再求出即得. （2）利用（1）中信息，建立不等式，再借助指数函数单调性解不等式即得. 【详解】（1）依题意，把，分别代入，得， 于是，则，， 当时，， 此款鲜牛奶在0℃的保鲜时间为254小时. （2）依题意，，由（1）知， 显然，于是，则， 因此，而，则有， 所以想要保证此款鲜牛奶的保鲜时间不少于，存储温度要不高于15℃. 37．(22-23高一上·河南洛阳·期中)某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量与服药后的时间（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中是线段，曲线段是函数的图象，且. (1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量关于时间的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8 点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？ (3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少 （参考数据：）？ 【答案】(1) (2)13点 (3) 【分析】(1)根据函数图象分段求解函数解析式即可； (2)根据题意列出不等式，求解出答案即可； (3)分别求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服药后的剩余量，相加即为结果. 【详解】（1）当时，， 当时，把代入（是常数） 得 ： ，解得： ， ∴. （2）设第一次注射药物后最迟过小时注射第二次药物，其中.     则， 解得：， ∴第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物. （3）第二次注射药物后 每毫升血液中第一次注射药物的含量： 每毫升血液中第二次注射药物的含量：， 所以此时两次注射药物后的药物含量为： 地 城 考点08 指对幂函数单调性求参数问题 38．(24-25高一上·河南·)已知幂函数在上单调递增，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用幂函数定义及其单调性可得答案. 【详解】由幂函数定义可得， 解得或， 当时，此时，满足题意， 当时，此时，不满足题意， 综上，. 故选：A 39．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用幂函数的单调性判断ABC；利用作差法判断D. 【详解】幂函数的定义域为， ，， ∵函数在单调递增，， ∴，即，故A正确； ，， ∵函数在单调递减，，即， ∴，即，故B错误； ∵幂函数在上单调递增，， ∴，，即，∴，故C正确； ， ∵ ， ∴，即，故D正确. 故选：ACD. 40．(24-25高一上·河南洛阳·期中)设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数单调递增，需要满足在每一段上函数都是单调递增的，并且在分段点处左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.我们将分别分析两段函数的单调性，再根据分段点处的条件确定的取值范围. 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 41．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用指数函数与一次函数的单调性，分段讨论的单调性，从而得到，再由在上的单调性得处有，从而得到，由此得解. 【详解】因为在上单调递增， 当时，在上单调递增，所以； 当时，在上单调递增，所以，即； 同时，在处，，即，即， 因为，所以，即， 解得或（舍去）， 综上：，即. 故选：B. 42．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，由每一段都为增函数，且断点处左侧函数值不大于右侧函数值求解. 【详解】解：因为函数在上单调递增， 所以 ，解得， 故答案为： 43．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知，且对于，恒有，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】确定函数单调递增，得到不等式组，解得答案. 【详解】对于，恒有，故在上单调递增， 故，解得. 故答案为：. 地 城 考点09 指对幂函数解不等式问题 44．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知幂函数过点，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出幂函数的解析式，再解不等式即可得解. 【详解】设，则，则，， 由可得，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：C. 45．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知指数函数的图象过点，函数. (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若不等式对恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据指数函数的定义及函数图象所过点求解； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数单调性转化为恒成立，分离参数得解. 【详解】（1）设（，且），由，得， 所以. （2）在上单调递增. 证明如下： 由题意得. ，，且， 则 . 由，得，，则，. 所以，即， 故在上单调递增. （3）由题意得，所以是偶函数. 由，得， 易得，， 因为在上单调递增， 所以由，得. 当时，恒成立； 当时，. 因为，所以， 得，即t的取值范围为. 46．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知（，且）． (1)解关于x的不等式； (2)若，且对，，求实数n的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对不等式变形得到，结合恒成立，得到，分与两种情况，求出不等式的解集； （2）根据函数单调性解不等式，得到，分与两种情况，参变分离结合基本不等式求出实数n的取值范围. 【详解】（1）可化为，即， 因为恒成立，故． 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为． （2）当时，因为，是减函数， 所以是减函数，又因为， 得，即．当时，不等式恒成立，， 当时，不等式两边同除以得：， 因为，当且仅当时等号成立，所以． 综上，实数n的取值范围是． 47．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知幂函数，. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用幂函数定义计算即可；（2）运用幂函数单调性求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得 ，解得， 则，故. （2）易知在上单调递增， 又， 所以，即， 解得，故的取值范围为. 48．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知函数，其中且. (1)求函数的零点； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据零点的定义，通过解方程求函数的零点； （2）讨论，根据对数函数的单调性化简不等式求其解集. 【详解】（1）令，即， 则，所以， 所以函数的零点为l. （2）即，则，得. 当时，函数是增函数，所以，解得或，所以； 当时，函数是减函数，所以，解得，所以. 综上，实数的取值范围为. 地 城 考点10 指对幂函数的单调区间与定点问题 49．(24-25高一上·河南豫北名校·)函数（且）的图象恒过定点 ． 【答案】 【分析】指数函数过定点即当指数部分为时即可求得. 【详解】令，得，则，所以的图象恒过定点． 故答案为：． 50．(24-25高一上·河南开封五校·期中)函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数型复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 令，其在上单调递减，在单调递增， 而函数函数是增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 51．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)已知幂函数在上单调递增． (1)求实数m的值； (2)若对，，使得都成立，求实数t的取值范围. 【答案】(1)； (2)实数t的取值范围为. 【分析】（1）根据条件结合幂函数的定义及性质列关系式求m的值； （2）由条件可得，结合（1）可得，再由该不等式在时能成立，列不等式求t的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递增， 所以； （2）由（1）可得 因为对，使得都成立 所以，其中，由（1）可得函数在上的最大值为8，所以，又，使得都成立 所以， 因为，所以是关于a的单调递增函数， ∴，即，∴或， 所以实数t的取值范围为. 地 城 考点11 判断函数的零点所在区间问题 52．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)方程的根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定其零点所在区间，由此可得方程的根所在的区间. 【详解】令， 因为函数在上都为增函数， 所以函数在上单调递增， 又因为，， 由零点存在性定理可知的零点所在区间为， 所以方程的根所在区间为. 故选：B 53．(24-25高一上·河南开封五校·期中)函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据基本初等函数性质求得函数的单调性，在利用函数零点存在性定理即可求解. 【详解】因为在上单调递减，所以在上单调递减， 又 ， 所以， 根据函数零点存在定理可知，函数在区间上有零点. 故选：C. 54．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)若是方程的实数解，则属于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】令，则在定义域上单调递增， 又，， ，， 所以， 所以在上存在唯一零点，即存在使得. 故选：C 地 城 考点12 函数与方程综合问题 55．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知定义域为的函数单调，且等式恒成立，则方程根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先根据题意得到，将题意转化为的零点个数，再根据在上单调递增，，，求解即可. 【详解】设①，则， 由①令得，在上单调递增，，得， 所以， 对于方程，即， 两边除以x得， 令函数， 在上单调递增，，， 所以在区间有唯一零点， 所以方程有唯一根． 故选：A． 56．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，变换得到，令，确定函数为偶函数，故，计算得到答案. 【详解】由题意得，则， 令，则上式可化为， 令，则，故为偶函数， 关于的方程有唯一实数解， 即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故． 故选：C 57．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数，若函数有四个不同的零点，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的大致图象，确定四个零点所在区间，利用函数解析式代入所求算式化简，结合基本不等式求取值范围. 【详解】由指数函数和对数函数的图象，利用函数图象的平移和翻折， 作出函数的大致图象，如图所示，    可知，， 于是，所以， ，即，所以， 于是， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的取值范围为. 故选：C． 58．(24-25高一上·河南开封五校·期中)定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，则（    ） A．方程有且仅有3个解 B．方程有且仅有3个解 C．方程有且仅有5个解 D．方程有且仅有1个解 【答案】ABD 【分析】根据复合函数的零点求解方法，从外到内数形结合分析，即可判断和选择. 【详解】对于选项A：由数形结合可知：令, 或或; 令,, 因为，所以， 由数形结合可知：,都有一个根， 故方程有且仅有3个解，故选项A正确; 对于选项B：由数形结合可知：令, ;令， 因为，由数形结合可知：都有3个根， 方程有且仅有3个解，故选项B正确; 对于选项C: 由数形结合可知：令, 或或; 令,, 由题可知：，， 由数形结合可知，,各有三解， 故方程有且仅有9个解,故选项C错误； 对于选项D：由数形结合可知：令, ;令， 因为，所以只有1解， 故方程有且仅有1个解,故选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数和外层函数； （2）确定外层函数的零点； （3）确定直线与内层函数图象的交点个数，则可得到函数的零点个数. 59．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数．若存在，使得，则下列结论正确的有（    ） A． B．的最大值为9 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】作出函数图象，结合图形一一判定选项即可. 【详解】作出图象如图所示，易知，结合二次函数对称性可知，故A正确； 由，又，所以等号不成立，故B错误； 由图象及函数的值域可知，，且， 则，故C正确； 因为，由，故， 故．故D正确．      故选：ACD 60．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数. (1)当时，是否存在实数，使得是奇函数； (2)对于任意给定的非零实数与轴负半轴总有交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)存在， (2)答案见详解 【分析】（1）根据奇函数的定义和性质分析求解； （2）根据题意可知：，分和两种情况，运算求解. 【详解】（1）当时，则，可知的定义域为， 若是奇函数，则，解得， 且当时，， 即，是奇函数， 综上所述：当时，是奇函数. （2）令，可得， 因为，则，且， 当时，则； 当时，则； 综上所述：当时，实数的取值范围为； 当时，实数的取值范围为. 试卷第36页，共36页 试卷第35页，共36页 学科网（北京）股份有限公司 $null