06专题 函数的性质（13大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

06专题 函数的性质 13大高频考点概览 考点01 函数奇偶性的判断 考点02 函数单调性的判断 考点03 求已知函数单调区间问题 考点04 定义法证明函数单调性 考点05 根据函数奇偶性求函数值问题 考点06 根据函数奇偶性求函数解析式 考点07 根据函数奇偶性求参数值问题 考点08 根据函数单调性求参数或比较大小函数图象问题 考点09 函数图象问题 考点10 函数最值或值域问题 考点11 根据函数奇偶性与单调性解不等式问题 考点12 函数的周期性或类周期性问题 考点13 奇偶性、单调性综合问题 地 城 考点01 函数奇偶性的判断 1．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)函数的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 3．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则（    ） A． B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．是奇函数，且在区间上是增函数 D．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不确定 5．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C．方程有无数解 D．函数f（x）的值域为Z 地 城 考点02 函数单调性的判断 6．(24-25高一上·河南部分学校·期中)下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 7．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数为R上的偶函数，且在上单调递增，则 C．若定义在R上的奇函数在区间上是单调递减函数，则在R上是单调递减函数 D．函数的定义域为D，若对D中任取的两个不等的实数，，均有，则是D上的单调递减函数 8．(24-25高一上·河南南阳·期中)若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（   ） A．是上的增函数 B．是上的减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 9．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知函数，，且在定义域内恒成立，则的取值范围为 . 地 城 考点03 求已知函数的单调区间 10．(24-25高一上·河南驻马店·期中)函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 11．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)已知函数，则表达正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为， B．为函数的单调递增区间 C．函数有最小值，无最大值 D．函数满足 12．(23-24高一上·河南八地·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上，的最小值为4 B．在上，单调递减 C．为奇函数 D．在上，单调递增 13．(24-25高一上·河南部分学校·期中)如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 地 城 考点04 定义法证明函数的单调性 15．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)根据定义证明函数在区间上单调递增. 16．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 18．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数． (1)证明：在上是减函数. (2)求不等式的解集． 19．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法进行证明； (3)证明：. 20．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 21．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)设函数的定义域是，对于任意实数，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数，并说明举例的理由． 22．(23-24高一上·河南八地·期中)某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 地 城 考点05 根据函数的奇偶性求函数值 23．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．-11 B．-9 C．9 D．11 24．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 25．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 地 城 考点06 根据函数奇偶性求函数解析式 26．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 27．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，且． (1)求的解析式； (2)画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）． 28．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 29．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知定义在上的奇函数， 当时，    (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 地 城 考点07 点07 函数奇偶性求参数值问题 30．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)设是定义在上的奇函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 31．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知函数为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 32．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 33．(22-23高一上·河南洛阳·期中)若函数为奇函数，则实数a= ． 34．(24-25高一上·河南·)已知函数满足为奇函数，则 ， . 地 城 考点08 根据函数的单调性求参数或比较大小 35．(22-23高一上·河南洛阳洛阳复兴学校·期中)已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高一上·河南·)已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 37．(22-23高一上·河南洛阳·期中)若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．(-1，2） B． C．(-2，1) D． 38．(24-25高一上·河南洛阳·期中)设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 40．(23-24高一上·河南新乡·期中)已知是定义在上的增函数，则的取值范围是 ． 41．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 地 城 考点09 函数图象问题 42．(24-25高一上·河南洛阳·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一上·河南部分学校·期中)函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 44．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 45．(23-24高一上·河南新乡·期中)函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   46．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 47．(22-23高一上·河南洛阳·期中)给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为． (1)请用图象法和解析法表示函数； (2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值． 地 城 考点10 函数最值或值域问题 48．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)定义域为的奇函数满足，当时， (1)求的值域； (2)若时，有解，求实数t的取值范围． 49．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知函数，． (1)求函数的定义域和值域； (2)已知为非零实数，记函数的最大值为，求． 50．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知二次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 51．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)判断并证明函数在定义域上的单调性； (3)求函数的最小值． 52．(24-25高一上·河南·)已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 53．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“保值区间”． (1)判断函数和函数是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”（直接写出结论，不要求证明）； (2)如果是函数的一个“保值区间”，求的最大值． 地 城 考点11 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 54．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)定义在R上的偶函数，当时，单调递减，则的解集为 ． 55．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 56．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数，则满足的实数的取值范围为 . 57．(24-25高一上·河南开封五校·期中)已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 58．(24-25高一上·河南开封五校·期中)已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)求证在上是增函数； (3)若，解关于的不等式. 地 城 考点12 函数的周期性或类周期性问题 59．(22-23高一上·河南信阳·期中)已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2022 60．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知是定义域为的奇函数，且，若当时，，则下列说法正确的有（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 61．(23-24高一上·河南新乡·期中)已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的最小值． 62．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的最小值是 ． 地 城 考点13 函数奇偶性与单调性综合问题 63．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ） A． B． C． D． 64．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 65．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知函数的定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（   ） A． B．在上单调递减 C．若，则 D．若，则 66．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 67．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 68．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数 (1)判断函数 的单调性并证明； (2)求实数，使函数为奇函数; (3)在（2）条件下，设 若不等式 对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围. 试卷第2页，共13页 试卷第1页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $ 06专题 函数的性质 13大高频考点概览 考点01 函数奇偶性的判断 考点02 函数单调性的判断 考点03 求已知函数单调区间问题 考点04 定义法证明函数单调性 考点05 根据函数奇偶性求函数值问题 考点06 根据函数奇偶性求函数解析式 考点07 根据函数奇偶性求参数值问题 考点08 根据函数单调性求参数或比较大小函数图象问题 考点09 函数图象问题 考点10 函数最值或值域问题 考点11 根据函数奇偶性与单调性解不等式问题 考点12 函数的周期性或类周期性问题 考点13 奇偶性、单调性综合问题 地 城 考点01 函数奇偶性的判断 1．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)下列函数中，值域为的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的判断与值域的求法，逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，所以此函数不是偶函数，故A错误； 对于B，因为，即的值域为，故B错误； 对于C，当时，，显然值域不为，故C错误； 对于D，因为的定义域为，且， 又，所以是值域为的偶函数，故D正确. 故选：D. 2．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)函数的图象（    ） A．关于原点对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】判断函数的奇偶性，进而可得解. 【详解】易知的定义域为，关于原点对称， ， 是偶函数，其图象关于轴对称， 故选：D. 3．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定是偶函数的是 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：由题意得，因为函数是定义在上的奇函数，所以，设，则，所以函数为偶函数，故选B． 考点：函数奇偶性的判定． 4．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)奇函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数，则（    ） A． B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．是奇函数，且在区间上是增函数 D．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不确定 【答案】ABD 【分析】对于A，若，根据偶函数的图像性质推出矛盾即可；对于B，根据奇函数和偶函数图像的性质结合已知条件即可判断；对于C，举出反例即可；对于D，根据奇偶函数的定义和单调性的性质即可判断. 【详解】对于A，若， 因为为偶函数，则函数在和上的单调性相反， 与函数在区间上是增函数矛盾，所以，故A正确； 对于B，因为函数与偶函数的定义域均为，在区间上都是增函数， 根据奇函数和偶函数图像的性质，则在区间上是增函数，在区间上是减函数，故B正确； 对于C，令，则在上为减函数，故C错误； 对于D，设，其定义域为， 由题意得，则， 所以不具有奇偶性. 因为在上是增函数， 而在区间上都是增函数，则在区间上是减函数， 所以在区间上的单调性不确定，故D正确； 故选:ABD. 5．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知[x]表示不超过x的最大整数，定义函数，则下列结论中正确的是（    ） A． B．函数是奇函数 C．方程有无数解 D．函数f（x）的值域为Z 【答案】ACD 【分析】根据题目中函数的定义，可设函数，结合不等关系、奇函数定义，可得答案. 【详解】由题意，设，则， 对于A，显然，则，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，，故C正确； 对于D，由函数定义，可得D正确. 故选：ACD. 地 城 考点02 函数单调性的判断 6．(24-25高一上·河南部分学校·期中)下列函数既是奇函数又在定义域内单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用函数奇偶性定义及利用解析式直接判断单调性，逐项分析判断即可. 【详解】对于A，为上的奇函数，在定义域内不单调，A错误； 对于B，的定义域为，，该函数为奇函数， 当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递增， 函数在定义域上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为R，，是奇函数， 函数，均在上单调递增，则在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，该函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：BC 7．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．函数为R上的偶函数，且在上单调递增，则 C．若定义在R上的奇函数在区间上是单调递减函数，则在R上是单调递减函数 D．函数的定义域为D，若对D中任取的两个不等的实数，，均有，则是D上的单调递减函数 【答案】BCD 【分析】利用函数的定义域、单调性、奇函数的定义以及性质进行运算求解、判断． 【详解】若函数的定义域为，则，所以函数的定义域为．故A不正确； 函数为R上的偶函数，且在上单调递增，函数为上单调递减， 所以，则，B正确； 若定义在R上的奇函数在区间上是单调递增函数，则在区间上也是单调增函数， 那么在R上一定为单调递增函数，故C正确； 若，则， 由函数单调性的定义知D正确． 故选：BCD. 8．(24-25高一上·河南南阳·期中)若函数的定义域为，对，，都有成立，且当时，，则（   ） A．是上的增函数 B．是上的减函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】BC 【分析】根据题意，令可得，再令，利用奇偶性的定义可判断函数的奇偶性；令，利用单调性的定义，结合已知条件可判断函数的单调性. 【详解】由题意知，函数的定义域为，对，，都有成立； 令，则，即， 令，得，则，即，所以函数是奇函数，故C正确，D不正确； 设，则，得，即， 因为时，，所以，得，即，所以函数是上的减函数，故A不正确，B正确； 故选：BC. 9．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知函数，，且在定义域内恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先证明在上单调递增，进而可知在上的值域，由题意可列出两个不等式，利用整体的思想及结合不等式的性质求解即可. 【详解】且，， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递增, 所以,,所以, 由对恒成立,得,, 故, 故答案为：. 地 城 考点03 求已知函数的单调区间 10．(24-25高一上·河南驻马店·期中)函数的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】，即，解得或， 令，则的对称轴为， 在上单调递减，在上单调递增， 又是增函数， 在上单调递减，在上单调递增. 故选：B. 11．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)已知函数，则表达正确的是（    ） A．函数的单调递减区间为， B．为函数的单调递增区间 C．函数有最小值，无最大值 D．函数满足 【答案】BC 【分析】画出图形，利用函数图象进行判断． 【详解】作出的图象， 由图象可知，A错误，B、C正确， 因为，， 所以，故D错误. 故选：BC. 12．(23-24高一上·河南八地·期中)已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．在上，的最小值为4 B．在上，单调递减 C．为奇函数 D．在上，单调递增 【答案】ABC 【分析】先用定义法得出的单调区间，从而可判断出选项A、B和D的正误，对于选项C，利用奇偶函数的判断方法即可判断出选项的正误. 【详解】因为，易知，定义域为， 在定义域内任取，且， 则， 当时，，所以，， 又，所以，即在区间上单调递增； 当时，，所以，， 又，所以，即在区间上单调递减； 同理可证得，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 所以选项B正确，选项D错误； 对于选项A，当时，因为在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故，所以选项A正确； 对于选项C，因为的定义域关于原点对称，又， 故为奇函数，所以选项C正确， 故选：ABC. 13．(24-25高一上·河南部分学校·期中)如果函数在区间上单调递减，且函数在区间上单调递增，那么称是区间上的“可变函数”，区间叫做的“可变区间”.已知函数，则下列区间为的可变区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】结合可变函数的定义，先求的减区间，再求的增区间，然后求出交集就可以判断选项了. 【详解】因为图象的对称轴为直线，所以在区间上单调递减， 又在和上单调递增， 的单调递减区间和的单调递增区间的交集为， 故的可变区间应该是该集合的子集，A，C符合条件. 故选：AC. 14．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)已知函数是二次函数，且，． (1)求的解析式并且写出的单调递增和单调递减区间； (2)求出在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)，单调递增区间为：，单调减区间为； (2)最大值为13，最小值为． 【分析】（1）利用待定系数法，结合代入法、二次函数的单调性进行求解即可； （2）根据二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）设，由，得， 由可得：， 根据：，可得： 整理得：，可得：，解得， 可得为的解析式． 因为可得：对称轴为 且二次项系数为， 可知：函数的单调递增区间为：，单调减区间为； （2）由二次项系数为，和函数的单调性可得，函数在处最小值，即． 当时，，当时，． 因此函数的最大值为13，最小值为． 地 城 考点04 定义法证明函数的单调性 15．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)根据定义证明函数在区间上单调递增. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性的定义创建相关不等式证明即可. 【详解】，，且，有 . 由，，得，，所以，， 又由，得，于是，即. 所以，函数在区间上单调递增. 16．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)已知函数. (1)判断在区间上的单调性，并用定义证明； (2)判断的奇偶性，并求在区间上的值域. 【答案】(1)函数在区间上单调递增，证明见解析 (2)函数为奇函数，在区间上的值域为 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合得到函数为奇函数，利用第一问的单调性求出在区间上的值域. 【详解】（1）在区间上单调递增，证明如下： ，，且， 有. 因为，，且，所以，. 于是，即. 故在区间上单调递增. （2）的定义域为. 因为，所以为奇函数. 由（1）得在区间上单调递增， 结合奇偶性可得在区间上单调递增. 又因为，，所以在区间上的值域为. 17．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】(1)4 (2)在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）由幂函数的定义及图象关于y轴对称，求解参数，得到的解析式，计算即可； （2）由题意可得，其在上单调递增，利用函数的单调性的定义证明即可. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 又因为图象关于y轴对称，所以；所以，故． （2）由题意可得，其在上单调递增， 证明如下：，令， 则 ， 因为，所以，，，即， 故，即，故在上单调递增． 18．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数． (1)证明：在上是减函数. (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接由函数单调性、减函数的定义来证明即可. （2）注意到是奇函数，所以原不等式可以等价转换为， 又，且在上为减函数，从而，解不等式即可. 【详解】（1）设，且， 则， ， ，即， 在上是减函数. （2）由，得 又因为， 所以是奇函数， ． 又，且在上为减函数， ，即，解得或， 不等式的解集是或. 19．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知函数. (1)求的值； (2)判断的单调性，并用定义法进行证明； (3)证明：. 【答案】(1)3 (2)在上单调递减，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由解析式可得答案； （2）证明对，，且，即可； （3）由单调性可得，然后由恒等变形可证. 【详解】（1） （2）在上单调递减.证明如下：取，，且， 因为 故 ， 即， ， 则 ， 即 ， 故，即， 所以在上单调递减； （3）证明：由（2）可得， 又因为， 故，故. 20．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数在区间上的最小值为1，最大值为10. (1)求，的值； (2)设，利用定义证明：函数在上是增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)先求出函数的对称轴，结合开口方向，得到函数在区间的最大值和最小值，从而求出，的值； (2)由(1)得，再由函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为，二次函数对称轴为， 所以在上为减函数，在上为增函数， 从而得，解得； （2）由(1)得，则， 设任意的，且，则， ， 因为，，， 所以，， 所以， 所以在上的增函数. 21．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)设函数的定义域是，对于任意实数，恒有，且当时，． (1)求证：，且当时，有； (2)判断在上的单调性； (3)试举出一个满足条件的函数，并说明举例的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)在上单调递减 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据题设条件利用赋值法证明即可； （2）利用函数单调性的定义判断即可； （3）根据题设条件从所学的基本初等函数中，选择一个函数即可. 【详解】（1）对任意实数，恒有， 令，，则．     因为当时，，所以．        设，，则，其中， 所以． 即当时，有． （2）设，则，所以． 由（1）知，，所以 ，即，所以在上单调递减． （3）答案不唯一．如：．      因为， 且当时，．故指数函数满足题意. 22．(23-24高一上·河南八地·期中)某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米． (1)求y关于x的函数； (2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明； (3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？ 【答案】(1) (2)判断在其定义域单调递减;证明见解析 (3)设计展牌的长为6和宽为2 【分析】（1）注意函数的定义域即可； （2）利用定义法证明单调性即可； （3）利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：， ， 其中,, 故即. （2）判断在其定义域单调递减， 任取则， 因为所以， 所以在其定义域单调递减. （3）展牌的周长即. 当且仅当，时，等号成立. 此时. 所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16. 地 城 考点05 根据函数的奇偶性求函数值 23．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为（    ） A．-11 B．-9 C．9 D．11 【答案】B 【分析】根据奇函数得到，解得，根据计算得到答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数，故，解得， . 故选：B. 24．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知函数的定义域为，且．若为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的奇偶性得到，，取，，，代入计算得到答案. 【详解】为奇函数，故，即， 为偶函数，即. 取得到，故，A错误； 取得到，B正确； 取得到，即，C错误； 取得到，即，D正确. 故选：BD 25．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)若函数在区间上的最大值为M，最小值为m，则 . 【答案】4 【分析】将函数解析式化为，构造奇函数，由函数的性质可得，进而得函数的最值. 【详解】因为，令，，则 ， 又因为，所以函数为奇函数， 因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数区间上的最大值和最小值之和为0， 即，所以. 故答案为：4. 地 城 考点06 根据函数奇偶性求函数解析式 26．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)若为偶函数，为奇函数，且，则的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可得，即可求解解析式，通过排除可得答案． 【详解】解：由得：，即， 由解得：，由，排除BC． 由指数函数的性质（指数爆炸性）排除D． 故选：A 27．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知是定义在上的奇函数，当时，，且． (1)求的解析式； (2)画出的图象，并根据图象写出的单调区间（直接写出，无需证明）． 【答案】(1) (2)作图见解析，单调增区间为；单调减区间为． 【分析】（1）根据，得到，当时，，，代入计算得到解析式. （2）画出函数图像，根据图像得到函数单调区间. 【详解】（1）是定义在上的奇函数，所以，， 解得． 所以当时，， 当时，，． 所以 （2）的图象如下： 由图可知，的单调增区间为和，单调减区间为． 28．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接可求得函数解析式； （2）结合偶函数性质及二次函数单调性可得单调递增区间； （3）结合二次函数性质讨论二次函数对称轴，可得最值. 【详解】（1）由已知当时，， 则当时，，， 又函数是定义在上的偶函数，则， 综上所述； （2）由已知当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递增区间为； （3）由已知，，对称轴方程为， 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值； 当，即时，为最小值． 综上，. 29．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知定义在上的奇函数， 当时，    (1)求函数在上的解析式； (2)在坐标系中作出函数的图象； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据函数是奇函数，求函数的解析式； （2）根据函数的解析式，作出函数的图象； （3）根据函数的图象，结合函数的单调性，转化为子集问题，即可求解. 【详解】（1）当时，， 因为函数是奇函数，所以， 且，所以函数在在上的解析式为； （2）根据函数的解析式，作出函数的图象如图所示，    （3）函数在区间上是单调函数，根据图象可知， 或或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 地 城 考点07 点07 函数奇偶性求参数值问题 30．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)设是定义在上的奇函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，得到方程组，求出，，得到函数解析式，代入求值即可. 【详解】是定义在上的奇函数， ∴，即， 且， ∴，且，所以， ∴． 故选：C． 31．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知函数为奇函数，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】由于为奇函数，代入特殊值，即可求得，即可得到结果. 【详解】因为为奇函数，所以， 则，解得， 经检验，此时为奇函数，符合题意. 故选：B. 32．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知函数为定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】对A，根据偶函数定义域特征求解；对B，利用偶函数性质代入运算得解；对C，举反例说明判断；对D，换元令， 得，，求出在上的值域，再根据偶函数对称性可得的值域. 【详解】对于A，因为是定义在上的偶函数，所以，解得，故A正确； 对于B，由，， ，故B正确； 对于C，，，则， 所以函数在上不满足单调递减，故C错误； 对于D，由，，令，则，且， ，， ，即， 由偶函数对称性可知，的值域为.故D正确. 故选：ABD. 33．(22-23高一上·河南洛阳·期中)若函数为奇函数，则实数a= ． 【答案】 【分析】由奇函数的定义，函数满足，解出a的值. 【详解】因为是奇函数，所以， 即，所以， 所以. 故答案为：-1. 34．(24-25高一上·河南·)已知函数满足为奇函数，则 ， . 【答案】 【分析】设，由奇函数的定义可得出，化简可得出，即可得出关于实数、的方程组，解之即可. 【详解】设函数. 因为为奇函数，， 所以由，可得， 所以， 所以， 整理得， 所以，解得. 故答案为：；. 地 城 考点08 根据函数的单调性求参数或比较大小 35．(22-23高一上·河南洛阳洛阳复兴学校·期中)已知函数是上的奇函数，对任意的，，设，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定数在上单调递增，是上的偶数，变换得到，，，根据单调性得到答案. 【详解】，即， 故函数在上单调递增，是上的奇函数， 故是上的偶数， ，，. ，故. 故选：A 36．(24-25高一上·河南·)已知函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】对二次项系数是否为零进行分类讨论，并根据二次函数图象性质，利用单调性解不等式可得结果. 【详解】若，则在上单调递增，满足题意； 若，易知二次函数的图象关于对称，若在上单调递增， 当，则，解得； 当，则恒成立. 综上可知. 故答案为： 37．(22-23高一上·河南洛阳·期中)若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A．(-1，2） B． C．(-2，1) D． 【答案】A 【分析】将化为，再由单调区间可得答案. 【详解】，因其在上单调递减， 则，得. 故选：A 38．(24-25高一上·河南洛阳·期中)设 若函数是单调递增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分段函数单调递增，需要满足在每一段上函数都是单调递增的，并且在分段点处左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.我们将分别分析两段函数的单调性，再根据分段点处的条件确定的取值范围. 【详解】当时，. 对于反比例函数（），当时，在各自区间上单调递减. ，要使在上单调递增，则，解不等式得.    当时，，对于指数函数（且）， 当时函数单调递增.所以，解这个不等式得到.    在处，需要满足，即， 解得.   综合以上三个条件，取交集得到实数的取值范围是. 故选：C. 39．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)已知函数是上的增函数，则实数的值可以是（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】CD 【分析】利用分段函数单调性建立不等关系，从而求出参数的取值范围． 【详解】由函数是上的增函数， 所以 所以， 故选：CD． 40．(23-24高一上·河南新乡·期中)已知是定义在上的增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别利用二次函数及一次函数性质限定出两段函数中参数的取值范围，再由单调性比较出两函数端点处的取值大小即可求得结果. 【详解】根据题意可知函数在上单调递增， 且函数在上单调递增； 需满足，解得； 所以的取值范围是. 故答案为： 41．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得. (2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答. 【详解】（1）依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得， 所以. （2）当时，， （i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是； （ii）不等式为，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 地 城 考点09 函数图象问题 42．(24-25高一上·河南洛阳·期中)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分离常数，再根据反比例函数的图象即可得解. 【详解】， 则函数的图象是由函数的图象先向右平移个单位， 再向上平移个单位得到的， 故A选项符合题意. 故选：A. 43．(24-25高一上·河南部分学校·期中)函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再取特殊点的值进行验证即可得答案. 【详解】解：由题意知，函数的定义域为， 因为， 所以为奇函数，排除A； ，排除B；，排除C. 故选：D. 44．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知是上的奇函数，则函数的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合奇函数的性质，利用函数图象平移即可求得函数图象恒过的定点. 【详解】因为是上的奇函数，所以，即函数的图象恒过点. 又函数的图象是由函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象恒过点. 故选：A. 45．(23-24高一上·河南新乡·期中)函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C，再由函数在的单调性或值域可得出正确答案. 【详解】由已知，， 则， 故是奇函数，图象关于原点对称，故C项错误； 当时，，则， 故AD项错误，应选B. 又设，且， 则， 故，则有， 即，故在上单调递减. 综上，函数图象的性质与选项B中图象表示函数的性质基本一致. 故选：B. 46．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数 (1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的单调区间（指明增减）、值域. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)单调递增区间为，函数的值域. 【分析】（1）对绝对值里面进行分类讨论，去掉绝对值符号即可；（2）运用描点法画图；（3）根据图像，直接写单调区间. 【详解】（1）由题意知 当时，      当时，       所以 （2）函数图象如图：    （3）由（2）知，函数的单调递增区间为，函数的值域. 47．(22-23高一上·河南洛阳·期中)给定函数，，．，用表示，中的最小者，记为． (1)请用图象法和解析法表示函数； (2)根据图象说出函数的单调区间及在每个单调区间上的单调性，并求此时函数的最大值和最小值． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析. 【分析】（1）求得的交点坐标，根据的定义，将其写成分段函数即可，再根据常见函数的图象，画图即可； （2）数形结合，即可求得单调区间，结合函数单调性和区间端点处的函数值，即可求得最值. 【详解】（1）令，即，解得，或． 根据题意， 故其函数图象如下所示： . （2）数形结合可知，函数的单调区间是； 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 由，，，知， 当时，取得最大值，最大值为8， 当时，取得最小值，最小值为-1． 地 城 考点10 函数最值或值域问题 48．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)定义域为的奇函数满足，当时， (1)求的值域； (2)若时，有解，求实数t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数单调性得到时，，结合函数的奇偶性，得到当时，，从而得到函数的值域； （2）若时，有解，只需，由（1）得到，从而列出不等式，求出答案. 【详解】（1）为定义在上的奇函数，故， 当时，， 在时，单调递减，在时，单调递增， 又，， 当，单调递减，，又， 故时，， 由于为定义在上的奇函数，故当时，， 综上：； （2）由（1）知：时，， 若时，有解，只需 故， 即，解得， 实数t的取值范围是. 49．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知函数，． (1)求函数的定义域和值域； (2)已知为非零实数，记函数的最大值为，求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据根式的概念可得定义域，再计算，结合二次函数值域求解可得值域； （2）令，设函数，，再根据二次函数对称轴与区间的位置关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）定义域：， 当时，， ∴， ∴； （2），令， 则， 设，， 1°若， 此时二次函数对称轴，开口向上，则 . 2°若，此时对称轴：， ①当即时，开口向下，则 ； ②当即，对称轴，开口向下，则 ， ③即时，开口向下， ； 综上：. 50．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知二次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法根据函数值以及关系式即可得出其解析式； （2）利用换元法由基本不等式计算可得实数的取值范围； （3）将问题转化成不等式在上恒成立，利用换元法并由二次函数性质计算可求得的取值范围. 【详解】（1）由题可设． 由，得． 因为， 所以．所以． （2）． 由，令，则， 所以可化为 ． 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以． 因为不等式有解，所以． 所以实数的取值范围为． （3）由题意，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 令，设，， 则函数的图象开口向上，对称轴为． 所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增． 因为， 所以，即，的最大值为3， 即在上的最大值为3．所以． 所以实数的取值范围为． 51．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知定义在上的偶函数和奇函数满足． (1)求函数和的解析式； (2)判断并证明函数在定义域上的单调性； (3)求函数的最小值． 【答案】(1)， (2)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇偶性可得，与已知等式构成方程组求得； （2）设，由可得在上的单调性，根据奇偶性可得对称区间单调性； （3）由奇偶性定义可证得为偶函数；结合函数单调性可求得当时，，都在处取得最小值；根据偶函数性质可确定的最小值即为. 【详解】（1）为偶函数，为奇函数，， 又，，. （2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下： 设， ； ，，即，， 在上单调递增， 又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减. （3）由题意知：的定义域为， ，为定义在上的偶函数； 当时，为增函数，为减函数，为增函数，； 令，则，由（2）知：在上单调递增， ； 当时，， 令，则，， 当时，，都在处取得最小值，则此时； 为偶函数，当时，. 52．(24-25高一上·河南·)已知是二次函数，且满足，. (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式； (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出函数的解析式； （2）由（1）可得出函数的表达式，对参数的取值范围进行分类讨论，再由二次函数性质即可得出最小值的表达式； （3）将不等式恒成立问题转化为恒成立即可，利用单调性求得其最大值，再由题意可知满足，解不等式可得结果. 【详解】（1）设， 由，可得. 由，得， 所以解得 则. （2）由题意得， 则图象的对称轴为直线. 若，则在上单调递增，当时，的最小值为； 若，则当时，的最小值为； 若，则在上单调递减，当时，的最小值为. 故 （3）在（2）的条件下，对任意的，成立， 则. 因为，所以在上单调递减， 因为，，所以. 又存在，使得成立， 所以只要，即. 易知， 所以当时，， 则， 化简得，解得或， 即的取值范围为. 53．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数的值域是，则称区间是函数的一个“保值区间”． (1)判断函数和函数是否存在“保值区间”，如果存在，写出符合条件的一个“保值区间”（直接写出结论，不要求证明）； (2)如果是函数的一个“保值区间”，求的最大值． 【答案】(1)不存在，存在，； (2) 【分析】（1）根据定义及二次函数、反比例型函数的单调性计算即可； （2）根据定义及一元二次方程根与系数的关系计算两根之差，利用二次函数求最值即可. 【详解】（1）假设函数存在“保值区间”为， 易知在上单调递增， 则有，得或或， 又即，但，不符合题意，舍去， 故不存在保值区间； 而是增函数，假设其存在“保值区间”为， 则有，故存在保值区间； （2）易知在和上都是增函数， 因此保值区间或， 由题意，所以有两个同号的不等实根， 由， 所以， 解得或， 且同号，，满足题意， 所以 ， 因为或， 所以当，即时．． 故的最大值是 地 城 考点11 根据函数的奇偶性与单调性解不等式 54．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)定义在R上的偶函数，当时，单调递减，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据偶函数的单调性即可得自变量的关系，列不等式即可求解. 【详解】为R上的偶函数，且在上单调递减，则在上单调递增，由于，∴，平方得，解得 ，故不等式的解集为． 故答案为： 55．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到在单调递减，结合奇函数性质得到在单调递减，，结合奇函数性质将不等式转化为，再结合已知条件列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意的，都有，此时，则， 所以在单调递减， 因为函数是定义在上的奇函数，所以在单调递减，， 所以当和时，；当和时，. 由，即， 所以或或或， 所以或或或无解， 所以原不等式解集为 故选：D 56．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数，则满足的实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，则，研究出的单调性和奇偶性，得到不等式，求出答案. 【详解】令，则， ， 定义域为R， 且， 故为偶函数， 又时，，故单调递增， 故，两边平方，解得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：令，则，进而研究的单调性和奇偶性，从而得到不等式解集. 57．(24-25高一上·河南开封五校·期中)已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将点的坐标代入解析式计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）结合的单调性及对称性将不等式化简，再讨论的区间位置得到结果. 【详解】（1）由题意可知，， 解得，或，， 因为，，所以，， 所以. （2）因为，， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得.     综上可知， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 58．(24-25高一上·河南开封五校·期中)已知定义在上的函数满足，且当时，. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)求证在上是增函数； (3)若，解关于的不等式. 【答案】(1),证明见解析 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造即可；（3）运用题干的等式，求出，结合（2）的单调性即可. 【详解】（1）令，得. ，所以函数为奇函数； （2）证明：在R上任取，则，所以. 又， 所以函数在R上是增函数. （3）由，得，. 由得. 因为函数在R上是增函数， 所以，解得或. 故原不等式的解集为或. 地 城 考点12 函数的周期性或类周期性问题 59．(22-23高一上·河南信阳·期中)已知函数是定义域为的奇函数，满足，若，则（    ） A． B．2 C．0 D．2022 【答案】B 【分析】由奇偶性和对称性求出函数周期，求出一个周期内函数值，进而得解. 【详解】是奇函数，，故关于对称， ， ， 故，所以 ，， ，所以， 由于，所以． 故选：B． 60．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知是定义域为的奇函数，且，若当时，，则下列说法正确的有（    ） A． B．在区间上单调递减 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用函数的奇偶性可推出函数的对称性及周期性、结合函数单调性一一判定即可. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以， 又，所以的图象关于直线对称， 所以,故A正确； 根据题意可知：在区间上单调递增，且关于直线对称， 所以在区间上单调递减；故B正确； 所以 ，所以4是的一个周期， 即，故C正确； 由上可知：，且，所以， 即对于不成立，故D不正确． 故选：ABC. 61．(23-24高一上·河南新乡·期中)已知函数，且，． (1)求的解析式； (2)若函数，求在上的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）首先证明在上的单调性，从而求出在上的值域，令，则，问题转化为求函数，的最小值，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，且，， 所以，解得，所以. （2）因为， 设，且，有． 由，得． 则，即． 在区间上单调递增． 因为，所以， 又，， 则，， 令，则，， 令，， 当，即时， 当，即时， 当，即时， 所以当时， 当时， 当时， 综上可得. 62．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件得出区间的解析式，类似周期性得出函数的规律，结合二次函数的最小值计算即可. 【详解】当时，， 又，故当时，，令，则， 同理，当时，， 令，则， 整理得， 函数类似于周期函数，每向右移一个单位，函数最小值变为上一个最小值， 要使对任意，都有， 只需，令，解得（舍去）或， 故的最小值是.    故答案为： 地 城 考点13 函数奇偶性与单调性综合问题 63．(22-23高一上·河南学校联盟·期中)已知关于的方程有唯一实数解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，变换得到，令，确定函数为偶函数，故，计算得到答案. 【详解】由题意得，则， 令，则上式可化为， 令，则，故为偶函数， 关于的方程有唯一实数解， 即函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0， 故． 故选：C 64．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减；②函数的值域为；③函数的图象是中心对称图形；④方程有且只有一个实根. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】CD 【分析】对函数解析式进行变形，再根据解析式和函数的定义域分析函数单调性，根据单调性可求出值域；利用奇函数的定义判断函数的奇偶性，从而判断图象的对称性；最后通过构造函数的方式分析函数的零点，从而得出方程解的个数. 【详解】对于①，由题意得的定义域为， ，所以在上递增，①错误； 对于②，由于，则，，，， 所以的值域为，②错误； 对于③，由于， 所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确； 对于④，由得，， 构造函数，则在上单调递增， 又当，此时；当，此时， 所以的图象与x轴只有一个交点， 即方程有且只有一个实根，④正确. 综上所述，正确结论的序号是③④. 故答案选：CD. 65．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知函数的定义域为，且是奇函数，函数，且在上单调递增，则下列命题为真命题的是（   ） A． B．在上单调递减 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对A，根据是奇函数判断即可； 对B，先推导，再根据单调性判断即可； 对C，先根据单调性可得，再根据判断即可； 对D，数形结合判断与对称轴的大小关系即可. 【详解】对于A，因为是奇函数，所以，故A正确； 对于B，因为， 所以的图象关于直线对称， 因为在上单调递增， 所以在上单调递减，故B正确； 对于C，因为，所以， 因为的图象关于直线对称， 所以，所以，故C正确； 对于D，因为，且， 的图象关于直线对称， 所以，解得，故D错误. 故选：ABC 66．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解. 【详解】设且， 对任意，都有即， , ，， 又当时,，, 在上是增函数， 令,则, 令,，则， ， 结合的定义域为，且在上是增函数， 又恒成立， ， ，不等式的解集为， 故选：B. 67．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．是奇函数 C．若，则 D．若当时，，则在单调递减 【答案】ABD 【分析】令即可判断A；令，求出，再令，即可判断B；令即可判断C；由，得，再根据函数单调性定义即可判断D. 【详解】因为， 令，得，所以，故A正确； 令，得， 所以，令，得，又， 所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故B正确； 令，得， 又，所以，故C错误； 当时，由， 可得，又， ，在上任取，不妨设， ， ， 故在单调递减，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于对和准确的赋值以及对单调性定义计算的精简. 68．(24-25高一上·河南洛阳·期中)已知函数 (1)判断函数 的单调性并证明； (2)求实数，使函数为奇函数; (3)在（2）条件下，设 若不等式 对任意x∈R恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)是上的增函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）运用函数单调性定义证明即可；（2）根据奇函数定义计算即可；（3）根据函数得奇偶性，结合对称性和基本不等式解题即可. 【详解】（1）是上的增函数.                         证明如下：设 且                    则 ， 由可知 则 所以 即 ，所以是上的增函数. （2）由得  解得.经检验，满足题意. （3）由（2）知奇函数的图象关于原点对称， 又 所以图象关于点 对称，即 所以         又 所以， 由于当且仅当，即取等号， 则. 当时，不等式 对任意x∈R恒成立.        当时， 由 得           所以实数b的取值范围 试卷第2页，共48页 试卷第1页，共48页 学科网（北京）股份有限公司 $