04专题 一元二次不等式 （8大题型）（期中真题分类汇编 河南专用）高一数学上学期

专题04 一元二次不等式 7大高频考点概览 考点01 解不含参的一元二次不等式 考点02 解含参数的一元二次不等式 考点03 解分式不等式，高次不等式 考点04 根据一元二次不等式的解）（集）求参数 考点05 一元二次不等式恒成立、能成立问题 考点06 一元二次不等式应用问题 考点07 一元二次不等式与其他知识综合问题 地 城 考点01 解不含参的一元二次不等式 1．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一上·河南洛阳·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数若，则的取值范围为 . 地 城 考点02 解含参数的一元二次不等式 6．(22-23高一上·河南信阳·期中)若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 7．(24-25高一上·河南南阳·期中)关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 8．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 9．(24-25高一上·河南名校·模拟)（1）若关于的不等式的解集为且非空，求的值； （2）解关于的不等式. 10．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 地 城 考点03 解分式不等式，高次不等式 11．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 12．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)设集合，若，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．(21-22高二上·河南信阳·期中)当时，关于的分式不等式的解区间为 ． 15．(24-25高一上·河南南阳·期中)若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 地 城 考点04 根据一元二次不等式的解）（集）求参数 16．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 17．(22-23高一上·河南信阳·期中)若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D．若，则关于的不等式的解集为或 19．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高一上·河南部分名校·期中)已知关于的不等式. (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有7个质数元素，求的取值范围. 地 城 考点05 一元二次不等式恒成立、能成立问题 21．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 22．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 23．(24-25高一上·河南名校·模拟)若关于的不等式在上只有3个整数解，则的取值范围为 . 24．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 25．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围. 26．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 27．(22-23高一上·河南信阳·期中)已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 地 城 考点06 一元二次不等式应用问题 28．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）：元；②生产所需材料成本：（单位：元），为每月生产服装的件数. (1)用该设备生产服装，每月产量为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？ (2)若每月生产件服装，每件售价为：（单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？ 29．(24-25高一上·河南豫北名校·)湖水中溶解性有机物可分为内源类有机物和外源类有机物．某人工调控水量的天然湖泊中，经总时长为150天的持续观测，发现外源类有机物含量随时间t（单位：天）可用函数表示，内源类有机物含量可用函数表示．在一日内，若内源类有机物和外源类有机物含量之差的绝对值不大于10，则认为当日该湖中溶解性有机物相对平衡． (1)求这150天内该湖中溶解性有机物相对平衡的天数； (2)求这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值． 30．(24-25高一上·河南南阳六校·期中)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 地 城 考点07 一元二次不等式与其他知识综合问题 31．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数． (1)证明：在上是减函数. (2)求不等式的解集． 32．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 33．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 34．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 35．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知二次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 36．(24-25高一上·河南开封·期中)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； (2)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围． 试卷第2页，共6页 试卷第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次不等式 7大高频考点概览 考点01 解不含参的一元二次不等式 考点02 解含参数的一元二次不等式 考点03 解分式不等式，高次不等式 考点04 根据一元二次不等式的解）（集）求参数 考点05 一元二次不等式恒成立、能成立问题 考点06 一元二次不等式应用问题 考点07 一元二次不等式与其他知识综合问题 地 城 考点01 解不含参的一元二次不等式 1．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶次根式的被开方数大于或等于零，分母不为零求解即可. 【详解】根据题意得，解得或. 故选：D. 2．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式得集合A和B，然后利用交集运算的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 3．(24-25高一上·河南驻马店·期中)已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可求出集合，进而可求出. 【详解】因为 ， 所以. 故选：D. 4．(24-25高一上·河南洛阳·期中)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基人之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如：.则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一元二次不等式的解法求出的范围，再根据高斯函数的定义即可得解. 【详解】由，得， 解得， 根据高斯函数的定义可得， 所以不等式 的解集为. 故选：D. 5．(24-25高一上·河南开封·期中)已知函数若，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】分类讨论，按分类解不等式． 【详解】对于函数 （i）当，则，解得，故此时不存在； （ii）当，则， 解得或，故此时的取值范围为； （iii）当，则，即，其中，不等式恒成立，故此时的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故答案为：． 地 城 考点02 解含参数的一元二次不等式 6．(22-23高一上·河南信阳·期中)若，则不等式的解集是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可. 【详解】由 可得或 则不等式的解集是 故选：D 7．(24-25高一上·河南南阳·期中)关于x的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分类讨论的大小，利用二次不等式的解法即可得解. 【详解】由，得. 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 故选：ACD. 8．(22-23高一上·河南洛阳·期中)已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由不等式的解集为，可求得的两根，即可表示出不等式的解集. 【详解】因为关于x的不等式的解集为，则，是一元二次方程的两根，且，则，，，则不等式即为，因为，所以，即，因为，所以的两根分别为，，所以不等式的解集为 故答案为： 9．(24-25高一上·河南名校·模拟)（1）若关于的不等式的解集为且非空，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1）或0；（2）答案见解析 【分析】（1）有一元二次方程根与系数的关系再讨论和求解即可； （2）因式分解后将不等式变为，再讨论与的大小求解即可； 【详解】（1）由题意得是关于的方程的两个不相等的实数根, 则 当时，，得，则， 当时，，得，则， 故或0. （2）由题意得, 得 当，即时，由，得， 当，即时，无解， 当，即时，由，得， 综上， 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为; 当时，该不等式的解集为. 10．(24-25高一上·河南郑州十所级示范性高中·期中)已知函数. (1)若关于的不等式的解集为，求的值； (2)当时， （i）若函数在上为单调递增函数，求实数的取值范围； （ii）解关于的不等式. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）答案见解析 【分析】(1)根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系，借助韦达定理列式计算即得. (2)把代入，利用二次函数的单调性列出不等式即可得解；分类讨论解一元二次不等式即可作答. 【详解】（1）依题意，关于的方程的两个根为1和2，于是得，解得， 所以. （2）当时，， （i）函数的对称轴为，因函数在上为单调递增函数，则，解得， 所以实数的取值范围是； （ii）不等式为，即， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或， 综上可知，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 地 城 考点03 解分式不等式，高次不等式 11．(24-25高一上·河南郑州中牟县·期中)不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解. 【详解】即为，故或， 故不等式的解集为或， 故选：A. 12．(22-23高一上·河南名校联盟·期中)设集合，若，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件列不等式可求a的取值范围. 【详解】因为，，所以，所以或， 因为，所以或，所以，所以， 所以. 故选：B. 13．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知函数，若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式和一元二次方程的关系结合韦达定理即可求出，再分类得到不等式组，解出即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以的两实数根分别为和， 所以解得所以． 令，解得或；令，解得． 由，可得或即或 则所求解集为． 故选:D． 14．(21-22高二上·河南信阳·期中)当时，关于的分式不等式的解区间为 ． 【答案】 【分析】由题设可得，根据已知条件判断的大小关系，即可求解区间. 【详解】由， 当时，有， ∴解区间为． 故答案为：. 15．(24-25高一上·河南南阳·期中)若，对，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论t的范围，结合因式解高次不等式计算即可. 【详解】若，则恒成立，此时不等式的解集为， 与矛盾，舍去； 若，则不等式， ①当，即时， 此时原不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正），即； ②当，即，此时原不等式的解集为， 要满足题意需，即， ； ③当，即时， 此时不等式的解集为， 要满足题意需（区间恒正）， 即时，， 易知单调递减，可知，即， ； ④当，即，此时不等式的解集为， 而要满足题意需，显然不符合题意，舍去， ； ⑤，即，此时不等式的解集为， 同上需满足，仍不符合题意，舍去， ； 综上：实数m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：根据高次不等式的解法，分类讨论三个根的大小关系，结合题意分析即可，要注意讨论不重不漏. 地 城 考点04 根据一元二次不等式的解）（集）求参数 16．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知不等式的解集为，则（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解结合韦达定理求得的值，进而利用对数的运算求解即可. 【详解】由题意可得，且，为方程的两根， 由韦达定理可得，解得， 故． 故选：D． 17．(22-23高一上·河南信阳·期中)若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得； ②当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或. 故选：B. 18．(24-25高一上·河南商丘开封名校联考·期中)已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D．若，则关于的不等式的解集为或 【答案】AC 【分析】利用二次不等式的解集与系数的关系可判断A选项；利用根与系数的关系可判断B选项；利用一元二次不等式的解法可判断C选项；设，利用一元二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为或，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，，则，B错； 对于C选项，由B选项可知，由可得， 可得，即，解得或， 所以，关于的不等式的解集为或，C对； 对于D选项，不妨设，其中，则，，， 由可得，可得， 即，即，解得， 此时，关于的不等式的解集为，D错. 故选：AC. 19．(23-24高一上·河南信阳·期中)已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论． 【详解】关于的不等式的解集是， 所以，且是一元二次方程即的两根， 所以，选项A正确； ，选项B正确； ，选项D正确； 由，可得：是错误的，即选项C错误． 故选：ABD． 20．(23-24高一上·河南部分名校·期中)已知关于的不等式. (1)若原不等式的解集为或，求的值； (2)若，且原不等式的解集中恰有7个质数元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集确定对应方程的根，由根与系数关系求解； （2）根据一元二次不等式解的左端点确定，解集内含有7个质数确定右端点范围即可得解. 【详解】（1）由题意得，1是关于的方程， 即0的两根， 则，且， 解得. （2）不等式可化为， 因为，所以关于的方程的两根为1，， 因为关于的不等式的解集中恰有7个质数元素， 且， 所以， 解得，即的取值范围为. 地 城 考点05 一元二次不等式恒成立、能成立问题 21．(24-25高一上·河南周口鹿邑县·期中)若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，结合题意可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】由于不等式对一切实数都成立. 当时，可得，解得，不合乎题意； 当时，则，解得. 因此，实数的取值范围为. 故选：C． 【点睛】本题考查利用一元二次不等式在实数集上恒成立求参数，考查计算能力，属于中等题. 22．(24-25高一上·河南顶级名校·期中)已知命题，若命题p是假命题，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由命题p是假命题，可知其否定为真命题，由此结合判别式列不等式，解得答案. 【详解】因为命题p是假命题，所以命题是真命题． 因为， 所以， 只需，即， 所以的取值范围为. 故答案为：. 23．(24-25高一上·河南名校·模拟)若关于的不等式在上只有3个整数解，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】先解绝对值不等式，然后根据不等式在上只有3个整数解确定正整数解，从而求得的范围. 【详解】由，得， 将两边平方得. 因为在上只有3个整数解， 所以，解得. 解得 所以不等式的解集为. 由，得，则该不等式的3个整数解为， 所以，得. 故答案为：. 24．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知． (1)若为真命题，求的取值范围； (2)若一个是真命题，一个是假命题，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）问题等价于一元二次不等式在实数集上恒成立，当且仅当，由此即可求解. （2）先求出命题为真命题时的取值范围，然后再分类讨论即可求解. 【详解】（1）由，若为真命题， 则，解得， 所以的取值范围为. （2）若为真命题， 则， 只需，所以，分以下两种情形来讨论： 情形一：若一个是真命题，一个是假命题，当是真命题，是假命题时， 则，解得， 情形二：当是假命题，是真命题时， 则，解得， 综上所述. 25．(24-25高一上·河南南阳·期中)已知关于x的一元二次不等式的解集为. (1)求a，b的值； (2)若关于x的不等式的解集为，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用一元二次不等式与一元二次方程的关系直接待定系数计算即可； （2）利用一元二次不等式与二次函数的关系含参分类讨论计算即可. 【详解】（1）由题可知的两根是和，且， 则由根与系数关系得： 解得； （2）由（1）知不等式的解集为， 根据题意： ①时，即或， 若，则得，解集为，不合题意，舍去. 若，则得，解集为，符合题意. ②当时，要使不等式的解集为， 只需，即, 解得， 综上：实数m的取值范围是. 26．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知函数的图象与轴相交于点和，与轴相交于点. (1)求的解析式； (2)若当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把方程的根和已知点代入方程，解出各个系数； （2）参变分离，得到，根据恒成立问题，得到的最小值，利用基本不等式求出的最小值，即可得所求范围. 【详解】（1）由题意得， 解得， 所以； （2）由，整理可得 由条件知当时，恒成立. 因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 即实数的取值范围是. 27．(22-23高一上·河南信阳·期中)已知集合，． (1)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)设命题，若命题为假命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求解一元二次不等式化简、，再由已知可得集合真包含于集合即可得到不等式组，解得即可； （2）写出特称命题的否定，再由一元二次方程根的分布列关于m的不等式组求解． 【详解】（1）解：（1）由，即， 所以， 由，即，解得 所以， ∵是的充分不必要条件，所以集合真包含于集合， ∴，解得，即； （2）解：因为命题为假命题， 所以为真命题， 设，则即，解得，所以，即． 地 城 考点06 一元二次不等式应用问题 28．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)某服装厂为扩大生产增加收益，新引进了一套某种服装的生产设备，用该设备生产制作服装每月的成本（单位：元）由两部分构成：①固定成本（与生产服装的数量无关）：元；②生产所需材料成本：（单位：元），为每月生产服装的件数. (1)用该设备生产服装，每月产量为何值时，平均每件服装的成本最低，每件的最低成本为多少？ (2)若每月生产件服装，每件售价为：（单位：元），假设每件服装都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该设备每月的利润不低于4万元？ 【答案】(1)该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元 (2)该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元 【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为，再利用基本不等式即可求出结果； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式即可求出结果. 【详解】（1）解：设平均每套所需的成本费用为元，则有 . 当且仅当，即时，等号成立，此时. 所以该用该设备每月生产2000件服装时，可使得平均每件所需的成本最少，每件最少成本为300元； （2）解：设月利润为（元），则有： ， 整理得：，解得（舍）或， 所以该设备每月至少生产800件产品，才能确保该设备每月的利润不低于4万元. 29．(24-25高一上·河南豫北名校·)湖水中溶解性有机物可分为内源类有机物和外源类有机物．某人工调控水量的天然湖泊中，经总时长为150天的持续观测，发现外源类有机物含量随时间t（单位：天）可用函数表示，内源类有机物含量可用函数表示．在一日内，若内源类有机物和外源类有机物含量之差的绝对值不大于10，则认为当日该湖中溶解性有机物相对平衡． (1)求这150天内该湖中溶解性有机物相对平衡的天数； (2)求这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值． 【答案】(1)71天 (2) 【分析】（1）分和，转化为一元二次不等式求解即可； （2）分和，转化为函数在给定区间的最值求解即可. 【详解】（1）当，，若湖中溶解性有机物相对平衡，则， 即，则，整理得， 对于，由于，故不等式无解， 所以上述不等式组无解，即时不能使该湖中溶解性有机物相对平衡； 当，，若湖中溶解性有机物相对平衡， 则，当时，最大，此时， 故只需要求的解集， 即，整理得，解得， 又，所以， 综上，当时该湖中溶解性有机物相对平衡，共71天； （2）记该湖中溶解性有机物含量为， 当，， 令，则， 由对勾函数的单调性知，在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增； 当时，， 当时，， 因为，所以的最大值为， 即当时，该湖中溶解性有机物含量的最大值为； 当，， 当时，取最大值，最大值为106， 即当时，该湖中溶解性有机物含量的最大值为106， 由，所以这150天内该湖中溶解性有机物含量的最大值为. 30．(24-25高一上·河南南阳六校·期中)数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 地 城 考点07 一元二次不等式与其他知识综合问题 31．(23-24高一上·河南商丘名校·期中)已知函数． (1)证明：在上是减函数. (2)求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）直接由函数单调性、减函数的定义来证明即可. （2）注意到是奇函数，所以原不等式可以等价转换为， 又，且在上为减函数，从而，解不等式即可. 【详解】（1）设，且， 则， ， ，即， 在上是减函数. （2）由，得 又因为， 所以是奇函数， ． 又，且在上为减函数， ，即，解得或， 不等式的解集是或. 32．(24-25高一上·河南部分学校·期中)已知集合，. (1)若且，求的取值范围； (2)设：，：，若是的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由且，可得不等式组，求解即可； （2）根据命题关系转化为集合，的关系，得到不等式组，求解即可. 【详解】（1）因为且， 所以，即， 解得或， 因为，所以， 即的取值范围是； （2）由已知，得， ， 因为是的必要不充分条件，所以，而， 所以，且等号不能同时成立，解得， 故的取值范围是. 33．(24-25高一上·河南豫北名校·)已知集合，． (1)当时，求； (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，得到集合，解分式不等式，得到集合，然后由交集补集运算求解即可； （2）若，即，分类讨论求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 当时，， 即故，故， 所以． （2）若，即， ①当时，， 故，只需要即可，解得； ②当时，，不符合； ③当时，， 故，只需要即可，解得； 综上，的取值范围为． 34．(23-24高一上·河南开封五县联考·期中)已知函数（，）的图象经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将点的坐标代入解析式计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）结合的单调性及对称性将不等式化简，再讨论的区间位置得到结果. 【详解】（1）由题意可知，， 解得，或，， 因为，，所以，， 所以. （2）因为，， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得.     综上可知， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 35．(24-25高一上·河南信阳罗山县·期中)已知二次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，当时，不等式有解，求实数的取值范围； (3)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法根据函数值以及关系式即可得出其解析式； （2）利用换元法由基本不等式计算可得实数的取值范围； （3）将问题转化成不等式在上恒成立，利用换元法并由二次函数性质计算可求得的取值范围. 【详解】（1）由题可设． 由，得． 因为， 所以．所以． （2）． 由，令，则， 所以可化为 ． 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 所以． 因为不等式有解，所以． 所以实数的取值范围为． （3）由题意，可得在上恒成立， 即在上恒成立． 令，设，， 则函数的图象开口向上，对称轴为． 所以当时，函数单调递减；当时，函数单调递增． 因为， 所以，即，的最大值为3， 即在上的最大值为3．所以． 所以实数的取值范围为． 36．(24-25高一上·河南开封·期中)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数． (1)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围； (2)若的两个不动点为，且，当时，求实数n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据恒有两个不动点，转化为恒有两个不等实根，利用判别式求解即可； （2）由题意得，则，设，，，利用单调性求解即可． 【详解】（1）因为恒有两个不动点，即恒有两个不等实根， 整理为， 所以且恒成立． 即对于任意恒成立． 令， 则，解得． （2）因为， 所以， 设，因为，所以， 则，， 设， 则， 因为，所以， 则，即， 所以得在上单调递增， 所以， 所以 所以． 试卷第2页，共25页 试卷第1页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $