21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&重点突破专题 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

*21.2.4 冒名师导学。预习先知 新知梳理 如果方程ax2十bx十c=0(a≠ 0)有两个实数根x1,x2,那么x1十 x2= L’x1x2= 注意：根与系数的关系是在a≠0 且b2-4ac≥0的前提条件下得出的. 例题引路 【例1】不解方程，求下列方程两个根 x1,x2的和与积. (1)x2+3.x+1=0;(2)3x2-2.x-1=0: (3)-2x2+3=0;(4)2x2+5x=0. 【名师点拨】将一元二次方程整理为一 般形式，再利用西十=一 a ,x1x2= C求出即可， 【学生解答】 【例2】已知x1,x2是方程2x2-5.x+1= 0的两个实数根，求下列各式的值 (1)x7+x号； (2)1+1 【名师点拨】(1)把x十x化成(x1十 )P-2的形式：(2)可道分把子十 工化成十2求解」 T1x2 【学生解答】 13九年级数学人教版全一册 一元二次方程的根与系数的关系 ②基础过关。逐点击破 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.若关于x的方程2x2+6x一7=0的两根分别为x1,x2,则 x1十x2的值为 ( ) A.3 B.-3 c号 D.Z 2.(2024·楚雄双柏县期中)一元二次方程2x2十x一6=0的 两根为x1,x2,则x1x2的值是 A.3 B.-3 C.-6 3.若x1,x2是方程x2一6x一7=0的两个根，则 ( A.x1十x2=6 B.x1十x2=-6 7 C.2-6 D.x1x2=7 知识点2利用根与系数的关系求相关代数式的值 4.(2024·昆明五华区校级三模)已知α和B是一元二次方程 x2一6x+5=0的两个实数根，则上十二的值为 ( A.-6 B号 C.6 5.(2024·昆明西山区校级期末)若一元二次方程2x2一4x 1=0的两根为m,n,则m十n-2mn的值为 知识点3利用根与系数的关系求方程的解或确定方 程中待定字母的值 6.若关于x的方程2x2十mx十n=0的两个根是一2和1，则 nm的值为 () A.-8 B.8 C.16 D.-16 7.已知一元二次方程x2-4x十m=0的一个根为x1=1,则另 一个根x2= !易错点利用根与系数的关系求待定字母的值时，忽 视△≥0而致错 8.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x十m2-2=0的 两个实数根分别是α，R.若a2十g=35,则m的值为· 可能力提升整合运用 9.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0的 两个根，则m2+mn+2m的值为 ( A.0 B.-10C.3 D.10 10.逆向思维法在解一元二次方程x2十px十 q=0时，小红看错了常数项q,得到方程的 两个根是一4,2，小明看错了一次项系数p, 得到方程的两个根是4，一3，则原来的方程 是 () A.x2+2x-8=0B.x2+2x-12=0 C.x2-2x-12=0D.x2-2x-8=0 11.构造方程模型法已知实数5，t满足22十3s 1=0,2+31-1=0且s≠，则5-2的值 为 12.(2024·四川内江)已知关于x的一元二次 方程x2一px十1=0(p为常数)有两个不相 等的实数根x1和x2, (1)填空：x1十x2= ,x1x2= 2求+1，+ (3)已知x+x2=2p+1,求p的值. ⊙ 思维拓展。学科素养 13.新视角新定义我们定义：如果关于x的一元 二次方程a.x2十bx+c=0有两个实数根，且 其中一个根为另一个根的2倍，则称这样 的方程为“倍根方程”. (1)请说明方程x2一3x+2=0是“倍根 方程”； (2)若(x-2)(mx十n)=0是“倍根方程”， 则m,n具有怎样的关系？ (3)若一元二次方程a.x2+bx+c=0(b一 4ac≥0)是“倍根方程”，请直接写出a, b,c的等量关系. 第二十一章一元二次方程14 重点突破专题 一元二次方程 类型1根的判别式的应用 1.(2024·昭通水富市校级期中)一元二次方 程4x2-6x十3=0的根的情况是( A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 2.已知关于x的一元二次方程(m一1)x2 x十1=0有实数根，则m的取值范围是 【变式1】若该一元二次方程没有实数根，则 m的取值范围是 【变式2】若该一元二次方程有两个不相等的实 数根，则n的取值范围是 【变式3】若方程(m-1)2-x+1=0有 解，则的取值范围是 类型2根与系数的关系的应用 3.构建方程模型法方程，如同一首精致的诗，以 简洁的线条勾勒出深沉的数学之美.已知a, b满足a2+2a-3=0,b+2b-3=0,且a≠ 6则后+ 4.(2024·玉溪峨山县期中)阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程a.x2十bx十c 0(a≠0)的两个实数根1，x2和系数a,b,c, 有如下关系：1十2=一b a 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 两个实数根分别为m,n,求mn十mn的值. 解：m,n是一元二次方程x2-x-1=0的 两个实数根， .m+n=1,mn=-1, 则m2n十mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下 列问题： 15九年级数学人教版全一册 根的判别式及根与系数的关系 (1)应用：一元二次方程x2+3x一2=0的两 个实数根为x1,x2,则x1十x2= x1x2= (2)类比：一元二次方程x2+3x一2=0的两 个实数根为x1,x2,求x十x吃的值. 类型3根的判别式和根与系数的关系 的综合应用 5.若关于x的一元二次方程x2+(a2-2a)x十 a一1=0的两个实数根互为相反数，则a的 值为 A.2 B.0 C.1 D.2或0 6.(2024·四川遂宁)已知关于x的一元二次 方程x2-(m十2)x十m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x号十 x2一x1x2=9,求m的值.∴.(x2+1)2-13(x2十1)十36=0.设x2十1=y,原方程可变为y2-13y十36=0，解得 y1=4,y2=9,当y=4时，x2十1=4，解得x=士√3.当y=9时，x2十1=9，解得x= 士2√2.∴.原方程有四个根x1=√3，x2=一√3，x=2√2，x4=一2√2；(3)设a十b=m, 原方程可转化为m(m-7)十10=0.整理，得m2-7m十10=0.解得1=2,2=5.：a, b,c是Rt△ABC的三边，且斜边c=4,∴.由三角形三边关系可知a十b>4,即m>4, m=5..a十b=5.由勾股定理，得a2十b2=42=16.(a十b)2=52=25,ab= a"0+的-2526-号8=6=号×号=是 2 2 计算强化专练一元二次方程的解法 1.解：(1)x-1=士2，x-1=2,或x-1=-2,x=3,2=-1:(2)4(x-2)2=121,(x 2)19x-2=士号-2=号或x一2=-号=号4=-子2解：移 4 项，得x2-4x=32.配方，得x2-4x十2=32十22，(x-2)2=36.由此可得x-2=士6， x1=8,x2=-4;(2)移项，得2x2十8x=10.二次项系数化为1，得x十4x=5.配方，得 x2十4x十22=5十22，(x十2)2=9.由此可得x十2=士3，x1=1,x2=-5.3.解：(1)a =3,b=一7，c=5.△=一4ac=(一7)2一4×3×5=一11<0.方程无实数根；(2)a=2, b=7,c=3.△=b-4ac=72一4×2×3=25>0.方程有两个不等的实数根x= 处么区-二装压-7，即=-8=一合4解：(1因式分解， 2a 2×2 得(x一7)(1一x)=0.于是得x-7=0,或1-x=0,=7,x2=1:(2)原方程可变形为 3(x一2)-x(x-2)=0.因式分解，得(x-2)(3一x)=0.于是得x-2=0,或3-x=0, x1=2,x2=3.5.解：(1)设x2=y,则原方程可化为y2-3y-4=0.解得y1=4,y2= 一1.当y=4时，x2=4,解得x=士2.当y=一1时，x2=一1，此方程无解..原方程的 解为x1=2,x2=-2;(2)设x2-2=y,则原方程可化为y2-11y十18=0.解得y=2, y2=9.当y=2时，x2-2=2,解得x=士2.当y=9时，x2-2=9,解得x=士√T. 原方程的解为x1=2,x2=一2，x=一√11，x4=√11.6.解：①当x一1≥0时，此 时x≥1，原方程化为x2-x=0,即x(x-1)=0,解得x1=1,x2=0(不符合题意，舍 去)；②当x一1<0时，此时x<1,原方程化为x十x-2=0,即(x十2)(x-1)=0,解得 x1=一2，x2=1(不符合题意，舍去)..原方程的根是x1=1,x2=一2. "21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 新知梳理 -6c aa 例题引路 【例】解：1十=-3=1：(2)十=号=一子：(8)十=0， 2 ：(4)十=一号，山=0.【例2】解：根据根与系数的关系，得十 5 x1x2=一 5 4=)原式=（国十-2=（受）广-2×号=：(2)原式= 2 5 十x==5. x1x21 2 基础过关 1.B2.B3.A4.D5.36.C7.38.3 能力提升 9.A10.B11.±712.解：1)p1(2):x+=p,=1,1+1= 十型=卫=p.:关于x的一元二次方程x一p虹十1=0(p为常数)有两个不相等的 1 实数根西和“-p十1=0x一p十=0，即西十=p:(3):十 p,x1x2=1,且x十x=2p十1，.(x1十x2)2-2x1x2=2p十1，.p2-2=2p十1，解得 p1=3,p2=-1.当p=3时，△=p2-4=9-4=5>0.当p=-1时，△=p2-4=-3< 0,不合题意，舍去.∴.p=3. 第4页（共72页） 思维拓展 13.解：(1)解方程x2-3x十2=0，得x1=2,x2=1.x1=2x2,方程x2-3x十2=0 是“倍根方程”；(2)(x一2)(1x十n)=0,.x-2=0,或mx十n=0,x=2,x2= -”.“方程(x一2)(mx十)=0是“倍根方程”，.有以下2种情况：当-”=2×2=4 m m 时，n=一4m,即m十=0.当-开=之×2=1时，n=一m,即m十n=0,综上所述，m 与n的关系为4m十n=0或m十n=0;(3),一元二次方程a.x2十bx十c=0(62-4ac≥ 0)是“倍根方程”，设方程的两根分别为t,2t,根据根与系数的关系，得t十2t=一么， …2==品2(0)·（）=台2=9ac 重点突破专题一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.D2.m≤5且m≠4【变式1】m>5【变式2】n<5且m≠4【变式3m≤53号 4解：(1)-3一2(2)由题意可知十=-3,1=-2，.十=（十x)2-2x1 =(-3)2-2X(-2)=9+4=13.5.B6.解：(1)a=1,b=-(m十2)，c=m-1,△=B-4ac =[-(m十2]2-4×1×(m-1)=+4n+4-4m十4=m2+8.:2≥0，∴.m2十8>0，即 △0，∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=十2，xx2 =1-1,十对-x1x=9,即（十x2)2-31=9,.(m十2）2-3(m-1)=9.整理，得m 十m-2=0..(m十2)(1-1)=0.解得m=-2,=1..m的值为-2或1. 21.3实际问题与一元二次方程 第1课时传播问题、循环问题与数字问题 例题引路 【例11-D合u-1）(2号xc-1)=4X7(3)=-7=84x=-7不 符合题意，舍去，只取x=8(⑤)8【例2】解：设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上 的数字为(5-x).根据题意，得(10x十5-x)[10(5-x)十x]=736.整理，得x2-5.x十6=0.解 得x=2,=3.当x=2时，5-x=5-2=3.当x=3时，5-x=5-3=2.答：原来的两位数 是23或32. 基础过关 1.B2.1十x十x(x十1)=1693.A【变式】x(x-1)=1104.解：设九(2)班有x个同学， 则每个同学交换出(x一1)件小礼物.根据题意，得x(x一1)=1560.整理，得x一x一1560= 0.解得=40，x=-39(不符合题意，舍去.答：九(2)班有40个同学.5.x2一7x十12=0 6.C 能力提升 7.B8.1449.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂成x个有益菌.根据题意，得 60x2=24000.解得=20，=一20（不符合题意，舍去）.答：每轮分裂中平均每个有益菌可 分裂成20个有益菌；(2)24000×20=480000（个）.答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 思维拓展 10.解：(1)根据题意，得2nn一3)=14，整理，得-3m一28=0.解得n=7,或n=一4.“n≥ 3,.n=一4不符合题意，舍去..=7，即这个多边形的边数是7；(2)A同学的说法不正确， 理由如下：当7m一3)=10时，整理，得r-3n-20=0,解得n=3生8.：符合方程心 2 3一20=0的正整数n不存在，∴.多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确， 第2课时平均变化率与销售问题 例题引路 【例1D【例2】解：设每件售价提高x元.根据题意，得10+x一8)(200一0×10)=640， 解得x=2,x2=6.又，要减少进货量，x=6,此时售价定为10十6=16（元）.答：将售价定 为16元时，能使每天所得利润为640元. 第5页（共72页） 基础过关 1.A2.20%3.解：(1)(100十200x)(2)根据题意，得(4-x-2)(100十200x)=300.整理， 得2r-3x+1=0,解得4=7=1.当x=号时，10+20×号=200<260（不符合题 意，舍去).当x=1时，100十200×1=300>260，此时售价为4一1=3（元）.答：老板需将每斤 的售价定为3元. 能力提升 4.D5.10%6.解：(1)设该生态果园阳光玫瑰葡萄产量的年平均增长率为x.根据题意，得 60(1十x)2=86.4.解得x=0.2=20%,2=一22（不符合题意，舍去）.答：该生态果园阳光 玫瑰葡萄产量的年平均增长率为20%；(2)86.4×(1十20%)=103.68(t).答：预估 2025年该生态果园阳光玫瑰葡萄的产量为103.68t, 思维拓展 7.解：任务1：设工作实验室7月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为x,根据题 意，得500(1十x)2=720.解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不符合题意，舍去）.答：工作 实验室？月份到9月份生产零件数量的月平均增长率为20%；任务2：设该零件的实际 售价定为y元，则月销售量为800+5022×20=1300-10y(个).当1300-10y< 900,即y>40时，每个零件的销售利润为(y-30)元.根据题意，得(y-30)(1300一 10y)=13500.整理，得y2-160y+5250=0.解得y1=80-5√46，y2=80+5√46. (均不符合题意，舍去)当1300-10y≥900，即y≤40时，每个零件的销售利润为(y 30+5)元.根据题意，得(y-30+5)(1300-10y)=13500.整理，得y2-155y+4600 =0.解得y=40,y2=115(不符合题意，舍去).∴y=40.答：该零件的实际售价应定为 40元 第3课时几何图形问题 基础过关 1.B2.2cm,4cm3.A4.解：设页边距为xcm.根据题意，得(16-2x)(10-2x)= 16×10×70%.整理，得x2-13x十12=0.解得x1=1,x2=12(不符合题意，舍去).答： 需设置页边距为1cm. 能力提升 5.解：(1)设BC=xm,则AB=(33-3x)m.根据题意，得x(33-3x)=72.整理，得x2 一11x十24=0.解得x1=3,x2=8.当x=3时，33-3x=24>20,不符合题意，舍去，当 x=8时，33一3x=9,符合题意.答：养猪场的边AB的长为9m,BC的长为8m;(2)不 能.理由如下：假设能实现，设BC=ym,则AB=(33-3y)m.根据题意，得y(33-3y) =120.整理，得y-11y十40=0.：△=(-11)2-4×40=-39<0，.该方程无实数 根，该农户想要建一个120m的矩形养猪场的想法不能实现. 第二十一章整合与提升 高频考点突破 1.C2.-23.D4.x1=0,x2=-15.解：(1)(x-2)=9,x-2=士3，x-2=3,或 x一2=一3，x1=5,x2=一1；(2)移项，得x2十2x=3.配方，得x2十2x十12=3十12，(x 十1)2=4.由此可得x十1=士2，x1=一3，x2=1.6.C7.B8.-39.解：(1)方程 (x十2)(x十3)-k2=0化成一般式，得x2+5x十6-2=0.，△=52-4(6-k)=1十 4k2≥1>0，.方程总有两个不相等的实数根；(2)由题意，得x1十x2=一5,1x2=6一 k2.:x1x2-x-x2=7,即x1x2-(十x2)=7,.6-b2-(-5)=7,解得k=士2.k 的值为2或-2.10.D11.解：(1)长AB为28+2-3x=30-3x(m);(2)根据题意， 得x(30-3x)=72.整理，得x2-10x十24=0.解得x1=4,x2=6.当x=4时，30一3x= 30-3×4=18>16,不符合题意，舍去.当x=6时，30-3x=30-3×6=12<16,符合 题意.答：该实验田的宽为6m. 易错易混专攻 1.-32.-1 常考题型演练 1.A2.k≥一13.20234.解：(1)设每件衬衫应降价x元.根据题意，得 (40-x)(20十2x)=1200.整理，得x2-30x十200=0.解得x1=10,x2=20.:要尽快 减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，∴x=20.答：若商场每天要获得 第6页（共72页）