21.2.2 公式法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级全一册数学（人教版 云南专版）

参考答案 第二十一章 一元二次方程 21.1一元二次方程 新知梳理 02 例题引路 【例1】解：2y2-3=√2y的一般形式是2y2-√2y-3=0,其中二次项系数是2，一次项 系数是一√2，常数项是一3.【例2】解：(1)设参赛的足球队有x个.根据题意，得 x(x。D=55.整理化简，得x2一x-10=0:(2)设该直角三角形的一直角边长为 2 xcm,则另一直角边长为(17-x)cm根据题意，得x2十(17-x)2=13.整理化简，得 x2-17x+60=0. 基础过关 弥1.B2.D3.m≠24.C5.A【变式】16.C7.(50-2x)(30-2x)=8008.A 能力提升 9.D10.A11.解：(1)根据题意，得k-1=2,且k-3≠0，解得k=-1..当k=-1 时，方程是关于x的一元二次方程；(2)当k-3=0时，解得k=3,此时方程为一5x=2, 是一元一次方程；当|k-1|=1时，解得k=0,或k=2,方程分别为-3x-5.x=2和-x -5x=2,都是一元一次方程.综上所述，k的值为3或0或2.12.解：(1)设这两个连 续奇数分别为n,n十2.根据题意，得n2十(n十2)2=130.整理化简，得n十2n-63=0; (2)根据题意，得x(x-1)=756.整理化简，得x2-x-756=0. 她 思维拓展 13.解：根据题意，得(x十1)·2x-(x十2)(x-2)=22,∴2x2十2x-x2十4=22，即x 十2x一18=0，它符合一元二次方程的定义，是一元二次方程，其一般形式为x2十2x一 18=0. 21.2解一元二次方程 21.2.1配方法 物 第1课时 用直接开平方法解一元二次方程 新知梳理 ①两个不等 一√p两个相等0无®D-卫二D一n 1 例题引路 【11懈18r=92=3=士5=，=-：215x=12=号-号 哈 2 2 【例211(x-2)=25(x-2)-91-2=±号 9 1 2 -2 基础过关 1.D2C3B41解：0r=号=士号=是=号：25x=-5 =-1.:-1<0,.方程无实数根.5.D6.解：(x十1)2=5，x十1=士5，x=-1士 6,=-1+5m=-1-6,(21-xy=0=81-x=±寺x=1士台 1 9 5x=5 能力提升 7.C8.B9.5(答案不唯一，只要c≥0即可)10.4或-211.解：(1)4x2=1,x2= 子=±3=w=-合：(2)42x+10=25.2x+1)=空，2x+1=±号x 1 1 1 4 51 3 7 「42x= (3)x2-3=1,x2=4,x=士2x1=2,=-2:(4)(x 第1页（共72页） -2)2=(3-2x)2,x-2=士(3-2x),x-2=3-2x,或x-2=-(3-2x),x1= 3x-1. 思维拓展 12.解：(1)由题意，得4△3=4-32=7：(2)由题意，得(x十2)△5=(x十2)2-52=0， 即(x十2)2=25.两边直接开平方，得x十2=士5，解得x1=3,x2=一7：(3)由题意，得 3△(x-8)=32-(x-8)2=9-(x-8)2=0.解方程9-(x-8)2=0,得x1=11,x2=5. 当11是该直角三角形的斜边长时，第三边长为√1一5=4√6.当11是该直角三角 形的直角边长时，第三边长为√/11十5=√146，综上所述，该直角三角形的第三边长 为4√6或√146. 第2课时用配方法解一元二次方程 新知梳理 ①完全平方形式②1右边一次项系数一半的平方≥< 例题引路 【例1】解：移项，得2x十4红=一1.二次项系数化为1，得父十2红=一子配方，得x十 2x十=吉+1,6十1-由此可得十1=±号周-号-1喝=号-1 【例2】证明：2x2-4x十9=2(x2-2x)十9=2(x2-2x+12-1)+9=2(x-1)2+7. :无论x取何值，总有(x-1)≥0，∴.2(x-1)2十7>0,2x-4x十9恒大于零。 基础过关 1.C2.(①)42(2)号号3解：)移项，得r+4x=3.配方，得+r+2=3 十22，(x十2)=7.由此可得x十2=±√7，x1=-2十√7，x2=-2-√7；(2)移项，得 x十x=子.配方，得r+x+(合)=是+（合）：(+）=1.由此可得x+合 士1，==-号4D5解：1)二次项系数化为1，得2-2x=子配方，得 2-2x+1=+1,红-1-年由此可得x-1=±号x=1+号=1-号 2 (2)移项，得日-合=一子二次项系数化为1，得-3=-2.配方，得2-8x十 (径)=-2+(2)，(-名)=子由此可得x-多=±=2x=1. 能力提升 6.D【变式】C7.1或-38.解：(1)C(2)②(3)移项，得x2-8x=1.配方，得x2 -8x十42=1十42，(x-4)2=17.由此可得x-4=士√/17，x1=4+V√17，x2=4-√17. 9.解：A-B=(2x2-4x-1)-(x-6x-6)=2x2-4x-1-x2+6x+6=x2十2x+5= (x+1)2十4.(x十1)2≥0，.(x十1)2十4>0，.A-B>0,.A>B. 思维拓展 10.解：(1)：x2-4x十y十2y十5=0，.x2-4x十4+y2+2y+1=0,即(x-2)2+(y+ 1)2=0.(x-2)2≥0，(y+1)≥0，.(x-2)2=0,(y+1)2=0,.x-2=0,y+1=0, 即x=2,y=-1;(2)1(3):a2+6=12a+8b-52,∴.a2+b2-12a-8b+52=0,∴.a2 -12a+36+b2-8b+16=0,即(a-6)2+(b-4)2=0.:(a-6)2≥0，(b-4)2≥0，∴.(a -6)2=0,(b-4)2=0,∴a-6=0,b-4=0,即a=6,b=4.:△ABC是等腰三角形， .c的值为6或4. 21.2.2公式法 新知梳理 ①6-4ac两个不等的两个相等的无②b2-4ac≥0 例题引路 【例1】解：(1)a=2,b=3,c=-4.△=-4ac=32-4×2×(-4)=41>0.方程有两个 不等的实数根；(2)方程化为5x2-7x十5=0.a=5,b=-7,c=5.△=b-4ac=(-7) -4×5×5=-51<0.方程无实数根.【例2】解：a=1,b=1,c=-1.△=b-4ac=1 一4X1×(一1）=5>0.方程有两个不等的实数根工=二士4匹=5，即 2a 2×1 =15,=1E 2 2 第2页（共72页） 基础过关 1.C2.D3解：1)a=3,6=2c=子△=B-4ac=2-4X3×号-0.方程有两个 相等的实数根；(2)方程化为20x2+8x十1=0.a=20,b=8,c=1.△=b2-4ac=8-4× 20×1=-16<0.方程无实数根.4.(1)C(2)C(3)c>15.A6.解：a=2,b= -3,c=-1.△=62-4ac=(-3)2-4×2×(-1)=17>0.方程有两个不等的实数根 x=二b吐4ac-（-3》）亚-3±亚，即x=3+亚，，=3二亚 2a 2×2 4 4 4 能力提升 7.C8>-号9.8或910.解：使方程有两个不相等的实数根，且a=14= b2-4ac=b-4c>0,即6>4c,∴.②③均可.选②解方程，则这个方程为x2十3.x十1= 0,解得=二35=3选③解方程，则这个方程为r十3x一1=0，解得 2 =3+压，x,=二3， 2 2 .11.解：(1)根据题意，得△=(-2)2-4(4-m)=4m 12>0,解得m>3(2):m>3.5m-3>0,小÷”2·号 1-m2 m+1 1+m)1-m.2 -3 思维拓展 12.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下：把x=-1代入原方程，得2a十c-4b十2a 一c=0,.4a一4b=0,.a=b,.△ABC是等腰三角形：(2)当△ABC是等边三角形时， a=b=c,∴.原方程可化为(2a十a)x2十4ax十2a-a=0,∴.3ax2十4ax十a=0.又，a> 0∴32+4x+1=0,心4=44X3X1=4>0,.x二装}=一3里.即x1=1, x=一3· 21.2.3因式分解法 新知梳理 ①一次式 例题引路 【例1】解：移项，得2(x-1)+x-1=0.因式分解，得(x-1)[2(x-1)+1]=0.于是得 x-1=0,或2x-1=0,=1=号，【例2】解：1)移项，得r+2x=323,配方，得 x2十2x十12=323十12，(x十1)2=324.由此可得x十1=士18，x=-19,x=17:(2)移 项，得7x(3-x)十2(3-x)=0.因式分解，得(3-x)(7x十2)=0.于是得3-x=0,或 7z+2=0,=84=-号 基础过关 1.B2.C3.(1)x1=0,x2=-1(2)x1=0,x2=14.解：(1)移项，得x2+3x=0.因 式分解，得x(x十3)=0.于是得x=0,或x十3=0，x1=0,x2=-3;(2)因式分解，得(x -5)”=0.于是得x-5=0,x1=x2=5.5.D6.解：(1)原方程可变形为x(x十4)- (x十4)=0.因式分解，得(x十4)(x-1)=0.于是得x十4=0，或x-1=0,x1=-4,x2 =1;(2)移项，得x2-4x=-1.配方，得x2-4x十2=-1十22，(x-2)=3.由此可得 x-2=±√3，x1=2十√3，x2=2-√5.7.未考虑x-7=0x=7 能力提升 8.B9.-3或410.711.解：(1)移项，得3x2-6x=2.二次项系数化为1，得x2 2x=号配方，得-2x+1=-号+，即(-1)y=号由此可得x-1=士雪， 3m=1+ =1-,(2)移项，得5-2)+2(-2)=0.因式分解，得（怎-25一2） 3 十2]=0,2-2)5x-8)=0.于是得x-2=0,或5x-8=0,=2,4=号 思维拓展 12.解：(1)B(2)(x2+1)2-13.x2十23=0，.(x2十1)2-13x2-13+13十23=0， 第3页（共72页）冒名师导学。预习先知 新知梳理 ①一般地，式子 叫做一元 二次方程a,x2十bx十c=0根的判别 式.△>0台方程a.x2+bx十c=0(a≠ 0)有 实数根； △=0台方程a.x2+bx十c=0(a≠0) 有 实数根；△<0台 方程a.x2+bx+c=0(a≠0) 实数根. ②一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ 0),当 时， x=-b士VB-4ac 2a 例题团路 【例1】不解方程，判断下列方程的根的 情况. (1)2x2+3.x-4=0: (2)5(x2+1)-7x=0. 【名师点拨】根据△=b2一4ac的值与0 的大小关系判断每个方程根的情况. 【学生解答】 【例2】用公式法解方程：x2十x一1=0. 【学生解答】 7九年级数学人教版全一册 21.2.2公式法 ②基础过关○逐点击破 知识点1利用一元二次方程根的判别式判断方程根 的情况 1.一元二次方程x2一5.x十2=0根的判别式的值是() A.33 B.23 C.17 D.√17 2.(2024·玉溪期中)一元二次方程x2+2x一3=0的根的情 况是 ( A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根 3.(教材P,习题T4变式)不解方程，判断下列一元二次方程 的根的情况. 1)3r+2x+3=0: (2)20x2+8x=-1. 知识点2利用根的判别式确定字母的取值或范围 4.【变式题组】 (1)(2024·玉溪红塔区期中)若关于x的一元二次方程 (a十1)x2-4x十1=0有两个不相等的实数根，则a的 取值范围是 () A.a≤3且a≠-1 B.a≤3 C.a<3且a≠-1 D.a<3 (2)(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0 有两个相等的实数根，则实数c的值为 ( A.-16 B.-4 C.4 D.16 (3)(2024·昆明开学)若一元二次方程x2一2x十c=0无 实数根，则实数c的取值范围为 知识点3用公式法解一元二次方程 5.用公式法解方程-x2十3x=1时，需先求出a,b,c的值，则 a,b,c的值依次为 ( A.-1,3,-1 B.1,-3,-1 C.-1,-3,-1 D.-1,3,1 6.用公式法解方程：2x2-3x一1=0. 习能力提升。整合运用 7.一次函数y=kx十b的图象如图所示，则关 于x的一元二次方程x2十bx十k-1=0的 根的情况是 ) A.没有实数根 y=kx+b B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 8.新视角新定义(2024·昭通巧家县校级模拟) 定义新运算：a☆b=ab十ab.若关于x的方 程x☆2=k有两个实数根，则实数的取值 范围为 9.数学思想分类讨论若等腰三角形的一边长是 4,另两边的长是关于x的方程x2一6.x十n= 0的两个根，则n的值为 10.新视角条件开放题)设一元二次方程x2十 bx十c=0.在下面的四组条件中选择其中 一组b,c的值，使这个方程有两个不相等 的实数根，并解这个方程. ①b=2,c=1; ②b=3,c=1: ③b=3,c=-1; ④b=2,c=2. 11.(2024·广东广州)关于x的方程x2-2x+ 4一m=0有两个不等的实数根. (1)求m的取值范围： ,1-m2·m-1.m-3 (2)化简：m3÷2m+T 父思维拓展。学科素养 12.已知关于x的一元二次方程(2a+c)x2十 4bx+2a-c=0,其中a,b,c分别为△ABC 三边的长. (1)如果x=一1是方程的根，试判断 △ABC的形状，并说明理由； (2)如果△ABC是等边三角形，试用公式法 求这个一元二次方程的根， 第二十一章一元二次方程8