1.1有理数的引入 讲义 2025--2026学年华东师大版七年级数学上册

本讲义聚焦“有理数的引入”核心知识点，从已学的整数、分数出发，系统梳理有理数的概念，明确整数可写成分数形式、有限小数和无限循环小数属分数，进而引入正数、负数的定义及相反意义的量，构建知识递进支架。 资料以知识点讲解+例题解析+题型专练为主线，典型例题与举一反三结合，覆盖有理数识别、分类及正负数实际应用。通过微信收付款、体温测量等情境题，培养学生抽象能力与应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生强化练习，查漏补缺。

1.1有理数的引入 讲解目录 【知识点1】有理数 1 【知识点2】正数和负数 2 【题型1】有理数的概念与识别 3 【题型2】有理数的分类 6 【题型3】正、负数的概念与识别 8 【题型4】具有相反意义的量 10 知识讲解 【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2025春•肇源县期中）有理数1.7，-17，0，，-0.001，-，2003和-1中，负整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负整数是小于0的整数解答即可． 【解答】解：有理数1.7，-17，0，，-0.001，-，2003和-1中，负整数有-17，-1，共2个． 故选：B． 2.（2025春•江津区校级期中）下列各数，-0.4，3.14，0.3，0，+8，0.1010010001…，其中正有理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【解答】解：，-0.4，3.14，0.3，0，+8为有理数；0.1010010001…为无理数； ∴，3.14，0.3，+8，为正有理数， 即正有理数的个数有4个， 故选：B． 【知识点2】正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 1.（2025春•南岗区期末）在-7，2.5，-0.5，0，中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【解答】解：-7＜0，是负数； 2.5＞0，是正数； -0.5＜0，是负数； 0既不是正数，也不是负数； ＞0，是正数； ∴负数有-7，-0.5，共2个． 故选：B． 题型专练 【题型1】有理数的概念与识别 【典型例题】将一列有理数-1，2，-3，4，-5，6，…，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数，-2019应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（　　） A.24，C B.24．A C.25，B D.-25，E 【答案】A 【解析】∵每个峰需要5个数， ∴4×5=20，20+1+3=24， ∴“峰5”中C位置的数的是24， ∵（2019-1）÷5=403余3， ∴-2019为“峰404”的第3个数，排在C的位置． 故选：A． 【举一反三1】在，，四个数中，有理数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】在，，四个数中，，，是有理数，共3个， 故选：C． 【举一反三2】下列不是有理数的是（　　） A. B.9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1） C.0.66666… D.0 【答案】B 【解析】A.是有理数，故A不符合题意； B.9.8181181118（每两个8之间1的个数逐项增加1）是无理数，故B符合题意； C.0.66666⋯可以化为小数，是有理数，故C不符合题意； D.0是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 【举一反三3】下列说法正确的个数为(　　) ①-1.6是负分数；②自然数一定是正数；③非负有理数不包括0；④负分数一定是负有理数． A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】①-1.6是负分数，故①正确；②自然数是正整数和0，故②错误；③非负有理数包括0和正有理数，故③错误；④负分数一定是负有理数，故④正确， 综上所述，其中说法正确的有①④，共2个， 故选B. 【举一反三4】下列各数：①﹣8；②3.14；③﹣3；④；⑤0.66666…；⑥0；⑦9.181181118；⑧0.112134，其中有理数为________． 【答案】①②③⑤⑥⑦⑧ 【解析】有理数有：﹣8；3.14；﹣3；0.66666...；0；9.181181118；0.112134， 故答案为：①②③⑤⑥⑦⑧． 【举一反三5】有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则______． 【答案】0 【解析】分数有，，，∴， 非负整数有0，5，∴， 有理数有5，0，，，，∴， ∴， 故答案为：0． 【举一反三6】若三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则的值________． 【答案】15 【解析】∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、、的形式，也可以表示为、、的形式 ∴， ∴＝， ∴， ∴b＝，＝， ∴＝＝． 故答案为15． 【举一反三7】下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有____个． 【答案】4 【解析】在﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14中， 有理数有﹣1、0、、3.14， 故答案为：4． 【题型2】有理数的分类 【典型例题】下列各数中，既是分数又是正数的是（　　） A.+2 B.﹣ C.0 D.2.3 【答案】D 【解析】A．+2是整数，故本选项不合题意； B．﹣是负数，故本选项不合题意； C．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； D．2.3既是分数又是正数，故本选项符合题意． 故选：D． 【举一反三1】﹣0.9不属于（　　） A.负数 B.分数 C.整数 D.有理数 【答案】C 【解析】﹣0.9是负数，也是分数，有理数，它不是整数， 故选：C． 【举一反三2】下列7个数：，1.01001001，，0，﹣π，﹣6.9，0.，其中分数有_______个． 【答案】5 【解析】﹣，1.01001001，，﹣6.9，0.是分数，共5个， 故答案为：5． 【举一反三3】将下列各数填入表示它所在的数集的圈里： +6，﹣18，2024，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，． 【答案】解：如图所示： 【举一反三4】（1）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ﹣3，﹣40%，﹣0.26，10，，19，8.5，3.9，﹣8，. （2）这四种数的集合合并在一起__________（选填“是”或“不是”）全体有理数集合． 【答案】解：（1）如图， （2）这四种数的集合合并在一起不是（选填“是”或“不是”）全体有理数集合． 故答案为：不是． 【题型3】正、负数的概念与识别 【典型例题】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） ①π不是正数也不是负数；②正数都不小于0；③负数都不大于0；④负数小于0；⑤正数大于0； ⑥大于0的数一定是正数；⑦小于0的数一定是负数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】①π大于0，π是正数，故错误； ②0不小于0，0既不是正数也不是负数，错误； ③0不大于0，0既不是正数也不是负数，错误； ④负数小于0，正确； ⑤正数大于0，正确； ⑥大于0的数一定是正数，正确； ⑦小于0的数一定是负数，正确． 故答案为：D． 【举一反三1】在-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【答案】B 【解析】根据正数和负数的定义可知，在这一组数中，非负数有： 71，，0，34%，0.67，，共6个． 故选：B． 【举一反三2】在﹣1.1，0，2，2019这四个数中，既不是正数也不是负数的是（　　） A.﹣1.1 B.0 C.2 D.2019 【答案】B 【解析】A.﹣1.1是负数，故此选项不符合题意； B.0既不是正数也不是负数，故此选项符合题意； C.2是正数，故此选项不符合题意； D.2019是正数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【举一反三3】下列说法中，正确的是（　　） A.﹣a一定是负数 B.+a一定是正数 C.8﹣m一定是正数 D.π﹣3一定是正数 【答案】D 【解析】A.﹣a不一定是负数有可能是正数或0，故该选项错误； B.+a不一定是正数，有可能是负数或0，故该选项错误； C.m≥0时，8﹣m可能是负数或0，故该选项错误； D.π﹣3一定是正数，此选项正确， 故选：D． 【举一反三4】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） ①π不是正数也不是负数；②正数都不小于0；③负数都不大于0；④负数小于0；⑤正数大于0； ⑥大于0的数一定是正数；⑦小于0的数一定是负数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】①π大于0，π是正数，故错误； ②0不小于0，0既不是正数也不是负数，错误； ③0不大于0，0既不是正数也不是负数，错误； ④负数小于0，正确； ⑤正数大于0，正确； ⑥大于0的数一定是正数，正确； ⑦小于0的数一定是负数，正确． 故答案为：D． 【举一反三5】在0.3，﹣6，+17%，12，0，﹣中，正数有　　　　，负数有　　　　，　　既不是正数，也不是负数． 【答案】0.3，+17%，12；﹣6，﹣；0 【解析】正数有：0.3，+17%，12；负数有：﹣6，﹣；0既不是正数，也不是负数； 故答案为：0.3，+17%，12；﹣6，﹣；0． 【举一反三6】在+7、﹣9、4.5、0、、﹣3.14、998这些数中，正数有　　个，负数有　　个，_______既不是正数也不是负数． 【答案】4；2；0 【解析】+7，4.5，，998是正数，共4个； ﹣9，﹣3.14是负数，共2个； 0既不是正数也不是负数； 故答案为：4；2；0． 【举一反三7】在+7、﹣9、4.5、0、、﹣3.14、998这些数中，正数有　　个，负数有　　个，_______既不是正数也不是负数． 【答案】4；2；0 【解析】+7，4.5，，998是正数，共4个； ﹣9，﹣3.14是负数，共2个； 0既不是正数也不是负数； 故答案为：4；2；0． 【举一反三8】在﹣6、3、0、﹣18、+7中，　　是正数，　　是负数，　  既不是正数，也不是负数． 【答案】3、+7；﹣6、﹣18；0 【解析】3、+7是正数，﹣6、﹣18是负数，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：3、+7；﹣6、﹣18；0． 【题型4】具有相反意义的量 【典型例题】微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款50元记作（　　） A.+50 B.﹣50 C.+50元 D.﹣50元 【答案】D 【解析】使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款50元记作﹣50元， 故选：D． 【举一反三1】据某次体检结果，某中学七年级（1）班的男生平均身高是160 cm，若以此身高为基准，将165 cm记为+5 cm，则157 cm记为（　　） A.﹣3 cm B.﹣7 cm C.+3 cm D.+157 cm 【答案】A 【解析】157﹣160＝﹣3， 即157 cm记为﹣3 cm． 故选：A． 【举一反三2】中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损20元记为_________元． 【答案】-20 【解析】盈利100元记作+100元，那么亏损20元可记作﹣20元． 故答案为：﹣20． 【举一反三3】在树上有一只蜗牛，若向上挪动5 cm，记为+5 cm，则向下掉了3 cm，记作___________cm． 【答案】﹣3 【解析】∵向上挪动5 cm，记为+5 cm， ∴向下掉了3 cm，可记作﹣3 cm． 故答案为：﹣3． 【举一反三4】在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高于37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作0．某人在星期一到星期日这一周内的体温测量结果分别为37.1℃，36.7℃，37.2℃，37℃，36.4℃，36.5℃，36.6℃．试着参照检查人员的方法在表格内用正、负数表示这个人在这周内每天的体温． 【答案】解：37.1﹣37＝+0.1，36.7﹣37＝﹣0.3，37.2﹣37＝+0.2，37﹣37＝0，36.4﹣37＝﹣0.6，36.5﹣37＝﹣0.5，36.6﹣37＝﹣0.4， 用表格表示为： 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1有理数的引入 讲解目录 【知识点1】有理数 1 【知识点2】正数和负数 2 【题型1】有理数的概念与识别 2 【题型2】有理数的分类 3 【题型3】正、负数的概念与识别 4 【题型4】具有相反意义的量 5 知识讲解 【知识点1】有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如-1，-2，-3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如-，-，-，-0.5，-150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=；负整数也可以写成负分数的形式，例如-3=-；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1=，-0.5=-，0.=，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 1.（2025春•肇源县期中）有理数1.7，-17，0，，-0.001，-，2003和-1中，负整数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2.（2025春•江津区校级期中）下列各数，-0.4，3.14，0.3，0，+8，0.1010010001…，其中正有理数的个数为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【知识点2】正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“-”，叫做负数，一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 1.（2025春•南岗区期末）在-7，2.5，-0.5，0，中负数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型专练 【题型1】有理数的概念与识别 【典型例题】将一列有理数-1，2，-3，4，-5，6，…，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰5”中C的位置是有理数，-2019应排在A、B、C、D、E中的位置．其中两个填空依次为（　　） A.24，C B.24．A C.25，B D.-25，E 【举一反三1】在，，四个数中，有理数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三2】下列不是有理数的是（　　） A. B.9.8181181118…（每两个8之间1的个数逐渐增加1） C.0.66666… D.0 【举一反三3】下列说法正确的个数为(　　) ①-1.6是负分数；②自然数一定是正数；③非负有理数不包括0；④负分数一定是负有理数． A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三4】下列各数：①﹣8；②3.14；③﹣3；④；⑤0.66666…；⑥0；⑦9.181181118；⑧0.112134，其中有理数为________． 【举一反三5】有六个数：5，0，，，，，其中分数有个，非负整数有个，有理数有个，则______． 【举一反三6】若三个互不相等的有理数，既可以表示为，，的形式，也可以表示为，，的形式，则的值________． 【举一反三7】下列各数：﹣1，，1.01001…（每两个1之间依次多一个0），0，，3.14，其中有理数有____个． 【题型2】有理数的分类 【典型例题】下列各数中，既是分数又是正数的是（　　） A.+2 B.﹣ C.0 D.2.3 【举一反三1】﹣0.9不属于（　　） A.负数 B.分数 C.整数 D.有理数 【举一反三2】下列7个数：，1.01001001，，0，﹣π，﹣6.9，0.，其中分数有_______个． 【举一反三3】将下列各数填入表示它所在的数集的圈里： +6，﹣18，2024，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，． 【举一反三4】（1）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里： ﹣3，﹣40%，﹣0.26，10，，19，8.5，3.9，﹣8，. （2）这四种数的集合合并在一起__________（选填“是”或“不是”）全体有理数集合． 【题型3】正、负数的概念与识别 【典型例题】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） ①π不是正数也不是负数；②正数都不小于0；③负数都不大于0；④负数小于0；⑤正数大于0； ⑥大于0的数一定是正数；⑦小于0的数一定是负数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】在-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（ ） A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 【举一反三2】在﹣1.1，0，2，2019这四个数中，既不是正数也不是负数的是（　　） A.﹣1.1 B.0 C.2 D.2019 【举一反三3】下列说法中，正确的是（　　） A.﹣a一定是负数 B.+a一定是正数 C.8﹣m一定是正数 D.π﹣3一定是正数 【举一反三4】下列叙述中，数学关系正确的有（　　） ①π不是正数也不是负数；②正数都不小于0；③负数都不大于0；④负数小于0；⑤正数大于0； ⑥大于0的数一定是正数；⑦小于0的数一定是负数． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三5】在0.3，﹣6，+17%，12，0，﹣中，正数有　　　　，负数有　　　　，　　既不是正数，也不是负数． 【举一反三6】在+7、﹣9、4.5、0、、﹣3.14、998这些数中，正数有　　个，负数有　　个，_______既不是正数也不是负数． 【举一反三7】在+7、﹣9、4.5、0、、﹣3.14、998这些数中，正数有　　个，负数有　　个，_______既不是正数也不是负数． 【举一反三8】在﹣6、3、0、﹣18、+7中，　　是正数，　　是负数，　  既不是正数，也不是负数． 【题型4】具有相反意义的量 【典型例题】微信收付款具有“二维码收款”和“向商家付款”两项功能，若使用二维码收款100元记作+100元，那么向商家付款50元记作（　　） A.+50 B.﹣50 C.+50元 D.﹣50元 【举一反三1】据某次体检结果，某中学七年级（1）班的男生平均身高是160 cm，若以此身高为基准，将165 cm记为+5 cm，则157 cm记为（　　） A.﹣3 cm B.﹣7 cm C.+3 cm D.+157 cm 【举一反三2】中国是世界上最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．如果盈利100元记为+100元，那么亏损20元记为_________元． 【举一反三3】在树上有一只蜗牛，若向上挪动5 cm，记为+5 cm，则向下掉了3 cm，记作___________cm． 【举一反三4】在防治新型冠状病毒的例行体温检查中，检查人员将高于37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作0．某人在星期一到星期日这一周内的体温测量结果分别为37.1℃，36.7℃，37.2℃，37℃，36.4℃，36.5℃，36.6℃．试着参照检查人员的方法在表格内用正、负数表示这个人在这周内每天的体温． 学科网（北京）股份有限公司 $