6.1.3向量的数乘运算 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

平面向量的数乘（1） 掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算； 理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。 课时目标 阅读课本13-16页，思考并完成以下问题 1.向量数乘的定义及其几何意义是什么？ 2.向量数乘运算满足哪三条运算律？ 3.向量共线定理是怎样表述的？ 4.向量的线性运算是指的哪三种运算？ 1.向量的数乘 【问题1】已知向量，作出和它们的长度和方向分别是怎样的？ 向量的几何意义： 方向与相同， 长度是的长度的3倍，记为 . 向量的几何意义： 方向与相反， 长度是的长度的3倍，记为 . 1.向量的数乘 1.向量的数乘 一般地，规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作. 1.向量的数乘 2.向量数乘的运算律 结论:= 22 结论:22= 2.向量数乘的运算律 2.向量数乘的运算律： （1）结合律：=; （2）分配律：① (λ+μ)= λ+μ ，②λ(+)= λ+λ 向量的加法、减法和数乘运算统称为线性运算，一般地，对任意的向量，及任意的实数λ，μ1 ，μ2 ，恒有 λ(μ1 μ2)= λμ1 λμ2 类型1　向量的线性运算 类型1　向量的线性运算 类型2　用已知向量表示未知向量 D 类型2　用已知向量表示未知向量 类型2　用已知向量表示未知向量 类型2　用已知向量表示未知向量 (2)方程法． 当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程． 回顾本节知识，自主完成以下问题： (1)向量数乘的定义是什么？其几何意义又是什么？ (2)向量数乘的运算律有哪些？ 作业布置 1. 教材P23，习题 第8题（做在作业本上）； 2. 课时训练6.2.3. 课堂练习 课堂练习 平面向量的数乘（2） 第四课时 人教A版必修第一册第五章第六单元 1.向量的长度和方向规定如下： （1）长度：. （2）方向：当时，的方向与的方向相同； 当时，的方向与的方向相反； 当时，. 【问题1】一般地，向量与的模长和方向有什么关系？ （3）关系：实数与向量的积与原向量共线. 1.向量共线的判定定理 1.向量共线的判定定理 【问题2】若 是非零向量， 是任意向量： （1）若，那么向量 与向量是什么关系？ （2）若向量 与向量共线，是否存在∈R，使得，若存在，这样的有几个？ 2.向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 【追问1】向量共线定理中规定的原因是什么？ 若将去掉，则当时，显然向量与共线； 当，若，则不存在实数，使成立，此时向量 与不共线； 当，若，则对一切的实数 ，都有，与“唯一一个实数”矛盾。 1.向量共线的判定定理 【追问2】如图，已知任意两个非零向量，试作。猜想三点之间的位置关系，并证明你的猜想。 1.向量共线的判定定理 【追问3】已知是两个不共线的向量，向量与共线，求实数的值。 1.向量共线的判定定理 题型1　向量共线定理 题型1　向量共线定理 题型1　向量共线定理 题型2　三点共线的常用结论 3.向量共线定理推论1 若A，B，C互不重合，O是A，B，C三点所在平面上的任意一点，且满足= α ＋β ，则A，B，C三点共线⇔α＋β＝1. 题型2　三点共线的常用结论 ①② 【变式2】(小黄)已知O，A，B是平面内任意不共线的三点，点P在直线AB上，若＝3＋x，则x＝　　　　　.  －2 【变式3】在△ABC中，D是BC上的点，若|BD|:|DC|=m:n，则= ＋ . 4.向量共线定理推论2 在△ABC中，D是BC上的点，若|BD|:|DC|=m:n， 则= ＋ ，特别地，如果点D是BC的中点，则= ＋ . 题型2　三点共线的常用结论 【变式4】如图已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2+=，则=（ ） A．－+ B．－2+ C． + D．－+ A 题型2　三点共线的常用结论 题型2　三点共线的常用结论 【变式5】已知=, =，C为线段AB上距A较近的一个三分点，D为线段CB上距C较近的一个三分点，则用, 表示的表达式为（ ） A． (+) B．(+) C． (+) D．(+) A 题型2　三点共线的常用结论 作业布置 1. 教材P16，练习 第1，2，3题（做在书上）； 2. 课时训练6.2.3. 题型2　三点共线的常用结论 题型2　三点共线的常用结论 B B 【引例】(1)根据定义，求作向量 和，并比较； (2)已知向量 ,求作向量 和 ,并比较. 【例1】　化简下列各式： ①3(6a＋b)－9 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))； ② eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3a＋2b）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))； ③2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [解]　①原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. ②原式＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－ eq \f(3,4)b＝a＋ eq \f(3,4)b－a－ eq \f(3,4)b＝0. ③原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 【练习】 (1)化简 eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((4a－3b)＋\f(1,3)b－\f(1,4)(6a－7b)))； (2)已知向量为a，b，未知向量为x，y，向量a，b，x，y满足关系式3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，求向量x，y. [解]　原式＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4a－3b＋\f(1,3)b－\f(3,2)a＋\f(7,4)b))＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(3,2)))a＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,3)＋\f(7,4)))b)) ＝ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)a－\f(11,12)b))＝ eq \f(5,3)a－ eq \f(11,18)b. [解]　 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－2y＝a　①，,－4x＋3y＝b　②，))由①×3＋②×2得，x＝3a＋2b， 代入①得3×(3a＋2b)－2y＝a，所以y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b. 【例2】　(1)如图，▱ABCD中，E是BC的中点，若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(DE,\s\up16(→))＝(　　) A． eq \f(1,2)a－b　　　 B． eq \f(1,2)a＋b C．a＋ eq \f(1,2)b D．a－ eq \f(1,2)b 【例2】(2)如图所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点， M，N分别是DE，BC的中点，已知 eq \o(BC,\s\up16(→))＝a， eq \o(BD,\s\up16(→))＝b. 试用a，b分别表示 eq \o(DE,\s\up16(→))， eq \o(CE,\s\up16(→))， eq \o(MN,\s\up16(→)). [解] eq \o(DE,\s\up16(→))＝ eq \f(1,2)a， eq \o(CE,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)a＋b， eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \f(1,4)a－b. 【变式1】本例(1)中，设AC与BD相交于点O，F是线段OD的中点，AF的延长线交DC于点G，试用a，b表示 eq \o(AG,\s\up16(→)). [解]　因为DG∥AB，所以△DFG∽△BFA， 又因为DF＝ eq \f(1,2)OD＝ eq \f(1,2)× eq \f(1,2)BD＝ eq \f(1,4)BD，所以 eq \f(DG,AB)＝ eq \f(DF,BF)＝ eq \f(1,3)， 所以 eq \o(AG,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(DG,\s\up16(→))＝ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \f(1,3) eq \o(AB,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3)a＋b. 【变式2】本例(1)中，将“若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b，则 eq \o(DE,\s\up16(→))＝”改为“若点F为边AB的中点，设a＝ eq \o(DE,\s\up16(→))，b＝ eq \o(DF,\s\up16(→))，用a，b表示 eq \o(DB,\s\up16(→))”． [解]由题意 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\o(AB,\s\up16(→))－\f(1,2)\o(AD,\s\up16(→))，,b＝\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))－\o(AD,\s\up16(→))，))解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＝\f(4,3)a－\f(2,3)b，,\o(AD,\s\up16(→))＝\f(2,3)a－\f(4,3)b，)) 所以 eq \o(DB,\s\up16(→))＝ eq \o(AB,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＝ eq \f(2,3)a＋ eq \f(2,3)b. 用已知向量表示其他向量的方法 (1)直接法． 【练习1】如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点， eq \o(CA,\s\up15(→))＝3a，eq \o(CB,\s\up15(→))＝2b，求eq \o(CD,\s\up15(→))，eq \o(CE,\s\up15(→)). eq \o(CD,\s\up15(→))＝2a＋eq \f(2,3)b，eq \o(CE,\s\up15(→))＝a＋eq \f(4,3)b. 【练习2】如图所示，在四边形ABCD中，M，N分别是DC，AB的中点，已知 eq \o(AB,\s\up16(→))＝a， eq \o(AD,\s\up16(→))＝b， eq \o(DC,\s\up16(→))＝c，试用a，b，c表示 eq \o(BC,\s\up16(→))， eq \o(MN,\s\up16(→)). [解]　 eq \o(BC,\s\up16(→))＝ eq \o(BA,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝－ eq \o(AB,\s\up16(→))＋ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \o(DC,\s\up16(→))＝－a＋b＋c. eq \o(MN,\s\up16(→))＝ eq \o(MD,\s\up16(→))＋ eq \o(DA,\s\up16(→))＋ eq \o(AN,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2) eq \o(DC,\s\up16(→))－ eq \o(AD,\s\up16(→))＋ eq \f(1,2) eq \o(AB,\s\up16(→))＝－ eq \f(1,2)c－b＋ eq \f(1,2)a＝ eq \f(1,2)a－b－ eq \f(1,2)c. 【练习3】在四边形ABCD中，eq \o(AB,\s\up15(→))＝a＋2b，eq \o(BC,\s\up15(→))＝－4a－b， eq \o(CD,\s\up15(→))＝－5a－3b， 证明：直线AD∥BC. 【证明】∵eq \o(AD,\s\up15(→))＝eq \o(AC,\s\up15(→))＋eq \o(CD,\s\up15(→))＝eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(BC,\s\up15(→))＋eq \o(CD,\s\up15(→))＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2eq \o(BC,\s\up15(→))， ∴eq \o(AD,\s\up15(→))与eq \o(BC,\s\up15(→))共线． 又AD与BC不重合， ∴直线AD∥BC． 【思考】如图,在△OAB中,延长BA到C,使AC＝BA， 在OB上取点D，使DB＝eq \f(1,3)OB，DC与OA交点为E， 设eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，用a，b表示向量eq \o(OC,\s\up15(→))，eq \o(DC,\s\up15(→)). 【例1】已知e1，e2是两个不共线的向量，若 eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2， eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，求证：A，B，D三点共线。 [解]　(1)证明：∵ eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2，∴ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1－4e2. 又∵ eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴ eq \o(AB,\s\up16(→))＝2 eq \o(BD,\s\up16(→))，∴ eq \o(AB,\s\up16(→))∥ eq \o(BD,\s\up16(→)). ∵AB与BD有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)由于A，B，P三点共线，所以向量 eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(AP,\s\up16(→))在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数λ，使 eq \o(AP,\s\up16(→))＝λ eq \o(AB,\s\up16(→))，即 eq \o(OP,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→))＝λ( eq \o(OB,\s\up16(→))－ eq \o(OA,\s\up16(→)))， 所以 eq \o(OP,\s\up16(→))＝(1－λ) eq \o(OA,\s\up16(→))＋λ eq \o(OB,\s\up16(→))，故x＝1－λ，y＝λ，即x＋y＝1. 【变式1】本例中把条件改为“ eq \o(AB,\s\up16(→))＝e1＋2e2， eq \o(BC,\s\up16(→))＝－5e1＋6e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝7e1－2e2”，则A，B，C，D中哪三点共线？ [解]　∵ eq \o(AB,\s\up16(→))＝e1＋2e2， eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(BC,\s\up16(→))＋ eq \o(CD,\s\up16(→))＝－5e1＋6e2＋7e1－2e2＝2(e1＋2e2)＝2 eq \o(AB,\s\up16(→)). ∴ eq \o(AB,\s\up16(→))， eq \o(BD,\s\up16(→))共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线． [解] 因为A，B，D三点共线，则 eq \o(AB,\s\up16(→))与 eq \o(BD,\s\up16(→))共线．设 eq \o(AB,\s\up16(→))＝λ eq \o(BD,\s\up16(→))(λ∈R)， ∵ eq \o(BD,\s\up16(→))＝ eq \o(CD,\s\up16(→))－ eq \o(CB,\s\up16(→))＝2e1－e2－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∴2e1＋ke2＝λe1－4λe2.由e1与e2不共线可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2e1＝λe1，,ke2＝－4λe2，)) ∴λ＝2，k＝－8. 【变式2】本例中条件改为“ eq \o(AB,\s\up16(→))＝2e1＋ke2, eq \o(CB,\s\up16(→))＝e1＋3e2， eq \o(CD,\s\up16(→))＝2e1－e2” , 且A，B，D三点共线，如何求k的值？ 【例2】已知A，B，C是直线l上不同的三点，O为直线l外任意一点. (1)若eq \o(OC,\s\up15(→))＝xeq \o(OA,\s\up15(→))＋yeq \o(OB,\s\up15(→))，则x＋y＝______； (2)若eq \o(OA,\s\up15(→))＝xeq \o(OB,\s\up15(→))＋yeq \o(OC,\s\up15(→))，则x＋y＝_______； (3)若eq \o(OB,\s\up15(→))＝xeq \o(OA,\s\up15(→))＋yeq \o(OC,\s\up15(→))，则x＋y＝_______. 【变式1】下列条件中， P，A，B三点共线的是 ． ① eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \f(1,3) eq \o(OA,\s\up16(→))＋ eq \f(2,3) eq \o(OB,\s\up16(→))；② eq \o(OP,\s\up16(→))＝－2 eq \o(OA,\s\up16(→))＋3 eq \o(OB,\s\up16(→))；③ eq \o(OP,\s\up16(→))＝ eq \f(4,5) eq \o(OA,\s\up16(→))－ eq \f(1,5) eq \o(OB,\s\up16(→)). 1.证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判断A，B，C三点是否共线，只需看是否 存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可； （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔ 存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 【练习1】平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2， ，P是 平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若 ，则3x+2y的 最大值为 . 【练习2】(2020·杭州五校联盟一诊)在矩形ABCD中，AB＝eq \r(5)，BC＝eq \r(3)， P为矩形内一点，且AP＝eq \f(\r(5),2)，若eq \o(AP,\s\up6(→))＝λeq \o(AB,\s\up6(→))＋μeq \o(AD,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则eq \r(5)λ＋eq \r(3)μ 的最大值为______． 【变式】如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点. 过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N， 若＝m，＝n，则m＋n的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【思考2】过△ABC的重心G做直线l，已知直线l与AB，AC的交点分别为M，N，且 ，若 ，则实数 的值为( ) A. B. C. D. 【思考1】已知 的面积为1,P,Q两点满足 ， ，则四边形 的面积为____. $