高教版《一课一练》第86练-椭圆的几何性质 课后作业（原卷版+解析版）

编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第86练，内容是第三章圆锥曲线3.1.2 椭圆的几何性质。 高教版《数学》拓展模块上册 第86练 第三章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的几何性质 一课一练 1、 选择题 1．椭圆+=1上任意一点的横坐标的取值范围是（　　） A.[−5,5] B.[−3,3] C.[−9,9] D.[−25,25] 2．椭圆+=1的对称轴为（　　） A.仅x轴 B.仅y轴 C.x和y轴 D.直线y=x 3．椭圆+=1的顶点坐标为（　　）​ A.(±6,0)、(0,±4)​ B.(±4,0)、(0,±6) C.(±36,0)、(0,±16) D.(±16,0)、(0,±36) 4．椭圆+=1的长轴长为（　　） A.3 B.6 C.5 D.10 5．若椭圆的短轴长等于长轴长的一半，且焦点在x轴上，则该椭圆的离心率e=（　　） A.1 B. C. D. 6．下列关于椭圆+=1的说法错误的是（　　） A.对称中心为原点 B.长轴在x轴上 C.离心率为 D.短轴长为6 2、 填空题 7．椭圆+=1的长轴顶点坐标为 。 8．椭圆+=1的离心率为 。 3、 解答题 9．已知椭圆的标准方程为+=1，请回答下列问题： （1）求椭圆的长轴长、短轴长； （2）写出椭圆的顶点坐标。 10．已知椭圆经过点A(0,2)和B(,1)，且焦点在y轴上，求该椭圆的范围、离心率，并判断点C(1,)是否在椭圆上。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：鉴于中职学生中多数属于数学学习困难群体这一现状，我们秉持以学生为中心的原则，依据支架式教学理念，为学生提供处于其最近发展区内的助力，推动他们从现有水平逐步向潜在发展水平迈进。在此基础上，我们精心编制了广东省版高教版数学《一课一练》专辑。专辑内的每一份作业，都基于一线教师丰富的教学经验和对广东省近年“3+证书”考试真题的精准分析制作，紧密围绕课堂上老师所讲授的知识点，以基础、容易的题目为主。旨在让学生能够踏踏实实地跟上老师的教学节奏，从最为简易的数学练习起步，逐步掌握学习数学的方法，进而学好数学。 本卷为高教版《数学》拓展模块第86练，内容是第三章圆锥曲线3.1.2 椭圆的几何性质。 高教版《数学》拓展模块上册 第86练 第三章 圆锥曲线 3.1.2 椭圆的几何性质 一课一练 一、选择题 1．椭圆+=1上任意一点的横坐标的取值范围是（　　） A.[−5,5] B.[−3,3] C.[−9,9] D.[−25,25] 【答案】A 【分析】椭圆的范围性质。 【详解】明确椭圆方程与横坐标的关联：椭圆方程为+=1，对于椭圆上任意一点(x,y)，因≥0（平方数非负），故：=1-≤1。同时，≥0（平方数非负），因此：0≤≤1。 2. 求解横坐标x的取值范围：对0≤≤1两边同乘25，得：0≤x2≤25，开平方（注意正负），得：−5≤x≤5。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 2．椭圆+=1的对称轴为（　　） A.仅x轴 B.仅y轴 C.x和y轴 D.直线y=x 【答案】C 【分析】椭圆的对称性。 【详解】明确椭圆标准方程与对称性的关系：椭圆方程为+=1，对于椭圆上任意一点(x,y)，判断其对称点是否满足方程： 判断是否关于x轴对称：点(x,y)关于x轴的对称点为(x,−y)，将其代入方程：+=+=1（因(−y)2=y2），满足方程，故椭圆关于x轴对称； 判断是否关于y轴对称：点(x,y)关于y轴的对称点为(−x,y)，将其代入方程：+=+=1（因(−x)2=x2），满足方程，故椭圆关于y轴对称。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 3．椭圆+=1的顶点坐标为（　　）​ A.(±6,0)、(0,±4)​ B.(±4,0)、(0,±6) C.(±36,0)、(0,±16) D.(±16,0)、(0,±36) 【答案】A 【分析】椭圆顶点的确定。 【详解】确定椭圆类型与a、b的值：椭圆方程为+=1，符合焦点在x轴上的椭圆标准方程+=1（a>b>0）：由a2=36，得a=6（a为半长轴长，取正值）；由b2=16，得b=4（b为半短轴长，取正值）。 求椭圆的顶点坐标：椭圆的顶点是它与对称轴（x轴、y轴）的交点：与x轴的交点（长轴顶点）：令y=0，代入方程得=1，解得x=±6，即顶点为(±6,0)；与y轴的交点（短轴顶点）：令x=0，代入方程得=1，解得y=±4，即顶点为(0,±4)。 对于A中，符合上述求解结果，故A正确； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：A. 4．椭圆+=1的长轴长为（　　） A.3 B.6 C.5 D.10 【答案】D 【分析】椭圆长短轴的判断与计算。 【详解】确定椭圆类型与a的值：椭圆方程为+=1，首先比较分母大小：25>9，符合焦点在y轴上的椭圆标准方程+=1（a>b>0）：a2=25（a为半长轴长，对应分母较大的项），因此a=5（长度取正值，舍去负根）；b2=9（b为半短轴长，对应分母较小的项），此处求长轴长无需用到b。 计算长轴长：椭圆的“长轴长”是长轴的实际长度，等于2a（半长轴长的2倍）： 长轴长=2a=2×5=10。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，不符合上述求解结果，故C错误； 对于D中，符合上述求解结果，故D正确. 故选：D. 5．若椭圆的短轴长等于长轴长的一半，且焦点在x轴上，则该椭圆的离心率e=（　　） A.1 B. C. D. 【答案】C 【分析】椭圆离心率的计算。 【详解】明确椭圆基本量的关系：设椭圆焦点在x轴上，标准方程为+=1（a>b>0）；长轴长=2a，短轴长=2b，题目中“短轴长=长轴长的一半”，即：2b=×2a，化简得b=，进一步得b2=。 推导a与c的关系：椭圆核心关系：a2=b2+c2（c为半焦距），将b2=代入：a2=+c2；移项整理：c2=a2−=；两边开平方（a>0，c>0）：c=。 计算离心率e：椭圆离心率定义：e=（0<e<1），将c=代入：e==。 对于A中，不符合上述求解结果，故A错误； 对于B中，不符合上述求解结果，故B错误； 对于C中，符合上述求解结果，故C正确； 对于D中，不符合上述求解结果，故D错误. 故选：C. 6．下列关于椭圆+=1的说法错误的是（　　） A.对称中心为原点 B.长轴在x轴上 C.离心率为 D.短轴长为6 【答案】C 【分析】椭圆几何性质的综合判断。 【详解】对于A中，椭圆标准方程+=1的对称中心是坐标原点(0,0)（将x换为−x、y换为−y，方程不变，满足中心对称），故A错误； 对于B中，判断长轴位置的关键：a2对应哪个变量的分母——若a2在x2下方，长轴在x轴上；若在y2下方，长轴在y轴上，故B错误； 对于C中，椭圆离心率定义为e=（0<e<1），代入c=4、a=5，得e=，故C正确； 对于D中，短轴长=2b（半短轴长的2倍），代入b=3，得短轴长=2×3=6，故D错误. 故选：C. 二、填空题 7．椭圆+=1的长轴顶点坐标为 。 【答案】(±3,0) 【分析】椭圆顶点的识别。 【详解】长轴在x轴上，长轴顶点是椭圆与x轴的交点（令y=0，代入方程求x）：将y=0代入+=1，得=1，解得x=±3。因此，长轴顶点坐标为(±3,0). 故答案：(±3,0). 8．椭圆+=1的离心率为 。 【答案】e= 【分析】离心率的直接计算。 【详解】椭圆核心关系：a2=b2+c2（c为半焦距），代入a2=25、b2=16：25=16+c2，解得c2=9，故c=3（c>0，取正值）。 计算离心率e：椭圆离心率定义为e=（0<e<1），代入c=3、a=5：e=. 故答案：e=. 三、解答题 9．已知椭圆的标准方程为+=1，请回答下列问题： （1）求椭圆的长轴长、短轴长； （2）写出椭圆的顶点坐标。 【答案】（1）长轴长为12，短轴长为8；（2）顶点坐标为(±6,0)、(0,±4)。 【分析】椭圆几何性质的核心参数（长轴、短轴、顶点）。 【详解】确定椭圆的a、b值：已知椭圆方程为+=1，对比标准方程：a2=36（a为半长轴长，对应分母较大的x2项），故a=6；b2=16（b为半短轴长，对应分母较小的y2项），故b=4。 （1）求椭圆的长轴长、短轴长 长轴长：长轴长是半长轴长的2倍，即2a，代入a=6，得长轴长=2×6=12； 短轴长：短轴长是半短轴长的2倍，即2b，代入b=4，得短轴长=2×4=8。 故答案：长轴长为12，短轴长为8. （2）写出椭圆的顶点坐标 椭圆的顶点是它与对称轴（x轴、y轴）的交点：与x轴的交点（长轴顶点）：令y=0，代入方程得=1，解得x=±6，故顶点为(±6,0)；与y轴的交点（短轴顶点）：令x=0，代入方程得=1，解得y=±4，故顶点为(0,±4)。 故答案：顶点坐标为(±6,0)、(0,±4). 10．已知椭圆经过点A(0,2)和B(,1)，且焦点在y轴上，求该椭圆的范围、离心率，并判断点C(1,)是否在椭圆上。 【答案】椭圆范围：横坐标[−2,2]，纵坐标[−2,2]；离心率：0；点C不在椭圆上。 【分析】椭圆标准方程求解、范围确定、离心率计算及点与椭圆的位置关系。 【详解】第一步：设椭圆标准方程并求a2、b2 焦点在y轴上的椭圆标准方程为+=1（a>b>0），已知椭圆过A(0,2)和B(,1)，代入方程列方程组：代入A(0,2)：+=1，即=1，解得a2=4；代入B(,1)：+=1，即b2=4，确定是圆（特殊椭圆），继续求解。 第二步：求椭圆的范围（横、纵坐标取值范围） 椭圆范围由a、b决定： 横坐标x：由≤1→x2≤b2=4→−2≤x≤2； 纵坐标y：由≤1→y2≤a2=4→−2≤y≤2； 故椭圆范围：x∈[−2,2]，y∈[−2,2]。 第三步：求离心率e 由a2=b2+c2（c为半焦距），代入a2=4、b2=4，得c2=4−4=0→c=0；离心率e===0（圆的离心率为0，符合特殊椭圆性质）。 第四步：判断点C(1,)是否在椭圆上 将C(1,)代入椭圆方程+=1：左边=+=≠1，故点C不在椭圆上。 故答案：椭圆范围：横坐标[−2,2]，纵坐标[−2,2]；离心率：0；点C不在椭圆上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $