专题03 勾股定理（期中知识清单，5知识&11题型&4易错清单）八年级数学上学期新教材苏科版

专题03 勾股定理（5知识&11题型&4易错清单） 【清单01】基本定义与术语 勾股定理相关术语： 1.勾：直角三角形中较短的直角边。 2.股：直角三角形中较长的直角边。 3.弦：直角三角形的斜边。 【清单02】勾股定理核心内容 1.定理表述： 直角三角形中，两直角边（勾与股）的平方和等于斜边（弦）的平方。 符号表示：若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a² + b² = c²。 2.定理验证方法： （1）赵爽弦图法：通过四个全等直角三角形拼合正方形，利用面积关系推导。 （2）欧几里得证明法：基于几何图形分割与面积等式推导。 （3）毕达哥拉斯拼图法：通过正方形面积差验证定理。 【清单03】勾股定理的逆定理 1.定理内容： 若三角形三边满足a² + b² = c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对角为直角。 2.应用场景： 判断三角形形状（锐角/直角/钝角）。 构造直角三角形解决实际问题。 【清单04】勾股数与常见组合 1.勾股数定义： 满足a² + b² = c²的三个正整数称为勾股数。 2.常见勾股数组： （1）基础型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。 （2）扩展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。 （3）规律型： 勾为奇数时，弦与股相差1（如3,4,5）。 勾为偶数时，弦与股相差2（如6,8,10）。 【清单05】勾股定理的应用 1.边长计算： 已知两边求第三边（如直角边或斜边）。 2.几何证明： 证明线段平方关系（如垂直线段长度）。 验证图形性质（如矩形对角线长度）。 3.面积计算： 直角三角形面积：S=½ab。 组合图形面积（如通过勾股定理求斜边后计算外围图形面积）。 4.实际问题建模： 测量高度（如梯子靠墙问题）。 路径优化（如最短距离问题）。 工程应用（如建筑结构稳定性分析）。 【题型一】勾股数（树） 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．30，40，50 B．12，8，5 C．9，13，15 D． 【变式1-1】下列属于勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2， 【变式1-2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【题型二】组成直角三角形的是 【例2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6 【变式2-1】中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知在中，，则的长为 ． 【题型三】赵爽弦图 【例3】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【变式3-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【题型四】网格问题 【例4】如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为 ． 【题型五】最值问题 【例5】如图，在等腰直角中，，，点在上，点在上，若，连接、则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【变式5-2】如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【题型六】勾股定理的应用 【例6】《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 【变式6-2】如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米． (1)这个梯子顶端离地面有几米； (2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示） 【题型七】折叠问题 【例7】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 【变式7-1】如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 【变式7-2】【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【题型八】等腰三角形的动点求t 【例8】如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发1秒后，求的长； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角 形的运动时间． 【变式8-1】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 【变式8-2】如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发秒后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）． 【题型九】直角三角形的动点求t 【例9】如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【变式9-1】如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)若点 P运动到的中点时，t的值是 ； (2)4秒内，若， 求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 【变式9-2】如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 【题型十】勾股定理的新定义 【例10】（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 【变式10-1】我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【变式10-2】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形，例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点且，连接，若是常态三角形，求的面积． 【题型十一】无刻度尺作图 【例11】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 【变式11-1】图、图、图．均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫作格点．的顶点和点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图中的边上找到一格点，连接，使； (2)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形只有一组对角为； (3)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【变式11-2】如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【题型一】直角边与斜边未明确 【例1】若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（    ） A． B． C．或 D． 【变式1-1】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（    ） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【变式1-2】若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 【题型二】三角形形状不明 【例2】等腰三角形腰上的高与腰的比为，则顶角为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式2-1】已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式2-2】在等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，，点到直线的距离为 ． 【题型三】立体图形最短路径路线不全 【例3】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【变式3-2】综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【题型四】勾股定理与方程结合求解错误 【例4】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ． 【变式4-2】如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： (1)的周长； (2)折痕的长． 学科网（北京）股份有限公16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 勾股定理（5知识&11题型&4易错清单） 【清单01】基本定义与术语 勾股定理相关术语： 1.勾：直角三角形中较短的直角边。 2.股：直角三角形中较长的直角边。 3.弦：直角三角形的斜边。 【清单02】勾股定理核心内容 1.定理表述： 直角三角形中，两直角边（勾与股）的平方和等于斜边（弦）的平方。 符号表示：若直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，则a² + b² = c²。 2.定理验证方法： （1）赵爽弦图法：通过四个全等直角三角形拼合正方形，利用面积关系推导。 （2）欧几里得证明法：基于几何图形分割与面积等式推导。 （3）毕达哥拉斯拼图法：通过正方形面积差验证定理。 【清单03】勾股定理的逆定理 1.定理内容： 若三角形三边满足a² + b² = c²（c为最长边），则该三角形为直角三角形，且c所对角为直角。 2.应用场景： 判断三角形形状（锐角/直角/钝角）。 构造直角三角形解决实际问题。 【清单04】勾股数与常见组合 1.勾股数定义： 满足a² + b² = c²的三个正整数称为勾股数。 2.常见勾股数组： （1）基础型：3,4,5；6,8,10；9,12,15。 （2）扩展型：5,12,13；8,15,17；7,24,25。 （3）规律型： 勾为奇数时，弦与股相差1（如3,4,5）。 勾为偶数时，弦与股相差2（如6,8,10）。 【清单05】勾股定理的应用 1.边长计算： 已知两边求第三边（如直角边或斜边）。 2.几何证明： 证明线段平方关系（如垂直线段长度）。 验证图形性质（如矩形对角线长度）。 3.面积计算： 直角三角形面积：S=½ab。 组合图形面积（如通过勾股定理求斜边后计算外围图形面积）。 4.实际问题建模： 测量高度（如梯子靠墙问题）。 路径优化（如最短距离问题）。 工程应用（如建筑结构稳定性分析）。 【题型一】勾股数（树） 【例1】下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．30，40，50 B．12，8，5 C．9，13，15 D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，能构成直角三角形，故此选项符合题意； B、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D、，，，不是整数，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】下列属于勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．0.3，0.4，0.5 C．1，2，3 D．，2， 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，解题关键是掌握勾股数组的定义，如果a、b、c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A、，属于勾股数，符合题意； B、，但不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； C、，不属于勾股数，不符合题意； D、，且不是正整数，不属于勾股数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了勾股定理规律问题．根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：， 由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… “生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2026． 故答案为：2026． 【题型二】组成直角三角形的是 【例2】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．2，2，4 B．3，4，5 C．1，2，3 D．2，3，6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形三边关系等知识点，熟练掌握三角形三边关系以及运用勾股定理的逆定理判定直角三角形成为解题的关键． 根据三角形三边的关系：较小两边之和大于最大边，较大两边之差小于最小边，且满足，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．由，不符合构成三角形的条件，本选项不合题意； B．由，且，能构成一个直角三角形，符合题意； C．由，不符合构成三角形的条件，本选项不合题意； D．由，不符合构成三角形的条件，本选项不合题意． 故选：B． 【变式2-1】中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； B、最大角，则为直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； D、设，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式2-2】已知在中，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先根据勾股定理的逆定理，推导出是直角三角形，得到，继而推导出，则，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 故答案为：． 【题型三】赵爽弦图 【例3】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求得，进而可得，根据题意即可得出这个风车的外围周长． 【详解】解：如图， 由题意可知，． ， ． ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 【变式3-1】如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．若“弦图”中的大正方形的面积为81，小正方形的面积为9．则一个直角三角形的面积为（　　） A．18 B．24 C．36 D．72 【答案】A 【分析】先求出大正方形与小正方形的面积差，此差值为4个直角三角形的面积和，再除以4得到一个直角三角形的面积．本题主要考查了图形面积的计算，熟练掌握大正方形、小正方形与直角三角形面积之间的关系是解题的关键． 【详解】解：4个直角三角形的面积和为， ∴一个直角三角形的面积为． 故选：A． 【变式3-2】我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则的值是 ； 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，解决本题的关键是随着正方形的边长的变化表示出面积． 根据题意判断出，，分别表示出，，，然后相加化简计算即可． 【详解】解：图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，， ，， ， ， ， ， ， 的值是13． 故答案是13． 【题型四】网格问题 【例4】如图，在数轴上作一个的正方形网格，以原点为圆心，阴影正方形的边长为半径画弧，交数轴于点，则点在数轴上表示的数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、实数与数轴，由勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：， 由题意得，， 由图可得，点在原点的右侧， ∴点在数轴上表示的数为． 故选：B． 【变式4-1】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点都在格点上，于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，由勾股定理得，进而利用三角形的面积解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式4-2】如图，网格中每个小方格的边长均为1，以数轴上表示数1的点为圆心，阴影正方形边长为半径画圆，交数轴于点和点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴和勾股定理．先根据勾股定理求出圆弧的半径，再求出点到表示数1的点的距离，然后结合点在数轴上的位置即可得出答案． 【详解】解：∵正方形网格中每个小正方形的边长为1， ∴阴影正方形的边长即圆弧半径为， ∴点到表示数1的点的距离是， ∴点表示的数是， 故答案为：． 【题型五】最值问题 【例5】如图，在等腰直角中，，，点在上，点在上，若，连接、则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，过点作使得，连接，，可得，由此可知当 三点共线的时候最小，在中，可得，在，可得，最后在中，可得，即可求解. 【详解】解：如图，过点作使得，连接，， ∵，，， ∴， ∴， 当 三点共线的时候最小， ∴， 过点作的延长线交于点， 在中，，根据勾股定理得：， 在， ， ∴ ， ∴，根据勾股定理得， ∴在中， ， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及判定，利用辅助线构造全等及两点之间线段最短，在根据勾股定理求解等相关知识点，解题关键在于熟练掌握辅助线及最小值的方法． 【变式5-1】如图，在四边形中，，是对角线的中点，是对角线上的动点，连接．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，三线合一，勾股定理的计算，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 如图所示，连接，过点作于点，，是等腰三角形，，根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， 根据点到直线，垂线段最短得到，当时，，此时的值最小， ∴， 故选：C ． 【变式5-2】如图，正方形的边长为6，线段在边上左右滑动，若，则的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了利用轴对称求最短路径问题、勾股定理、平移的性质等，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作A关于的对称点，将线段沿射线平移的长度，得到，连接、、、，根据轴对称的性质和平移的性质可推出，再由两点之间线段最短可知当、、三点共线时，取得最小值，最小值为，最后利用勾股定理得到即可解答． 【详解】解：如图，作A关于的对称点，连接、，则，， ∵正方形的边长为6， ∴，，， ∴点、、三点共线，即， ∵，， ∴将线段沿射线平移的长度，得到，连接、， 此时，， ∴， ∵，， ∴当、、三点共线时，取得最小值， 此时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：14． 【题型六】勾股定理的应用 【例6】《九章算术》中有个“折竹抵地”的问题，其大意为：如图，一根竹子，原来高一丈，后来竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问原处还有多高的竹子（1丈尺）？设原处的竹子还有x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确画出图形，熟练掌握勾股定理的内容是解题的关键．可根据题意画出示意图，设原处的竹子还有x尺，则尺，尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 设原处的竹子还有x尺，则尺，尺， 在中，由得． 故选：B． 【变式6-1】学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1）．将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为 ． 【答案】12 米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米， 在中，，米， ∴， 解得：， 即旗杆的高度为12米． 故答案为：12米． 【变式6-2】如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米． (1)这个梯子顶端离地面有几米； (2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示） 【答案】(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出即可 【详解】（1）解：根据题意，得米，米，， ∴， 答：梯子顶端离地面有12米； （2）解：根据题意，得米，米， ∴米， ∴， ∴梯子的顶端下滑了米． 【题型七】折叠问题 【例7】如图，中，，，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（   ）    A．2 B． C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后由折叠得到，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵将沿翻折，使点A与点B重合， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选：A． 【变式7-1】如图所示，在中，，将沿着翻折，使点落在边上的点处．，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠问题以及勾股定理，运用折叠的性质以及勾股定理列方程求解是本题的关键．勾股定理求得，根据折叠的性质可得，，设，则，，进而在中，，根据勾股定理列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 折叠，点落在边上的点处， ，，， ， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为： 【变式7-2】【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若，，求的长． 【答案】（1）12；（2） 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 【题型八】等腰三角形的动点求t 【例8】如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发1秒后，求的长； (2)当点Q在边上运动时，出发几秒钟后，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边上运动时，求能使成为等腰三角 形的运动时间． 【答案】(1) (2)出发秒钟后，能形成等腰三角形 (3)当为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质，注意分类讨论思想的应用． （1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可； （2）设出发秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得即可； （3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当时，则，可证明，则，则，从而求得； ②当时，则，易求得； ③当时，过点作于点，则求出，，即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴出发1秒后由题意得，，， ， ； （2）解：设出发t秒后，能形成等腰三角形，则， ∵，， ∴， 解得：， 即出发秒钟后，能形成等腰三角形； （3）解：分以下三种情况讨论： ①当时，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当时，如图2所示， 则， 秒； ③当时，如图3所示， 过点作于点， 则由面积可得， ， ， ， 秒； 综上所述：当为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形． 【变式8-1】如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 (3)或或8 【分析】（1）直接运用角平分线的画法作图即可； （2）如图，过点P作于点M，先利用勾股定理求出，证明得到：，则，设则，由勾股定理得，然后解方程以及并计算时间即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，是的角平分线； （2）解：如图，过点P作于点M， ，，， ， ， ， 点P在的角平分线上，， ， 又， ， ， ， ，则， 在中，， ， 解得：， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； （3）解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得：， 当作为腰时，如图所示： ，此时， 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了基本作图——角平分线的画法、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 【变式8-2】如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1)出发秒后，求的长； (2)当点在边上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ (3)当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）． 【答案】(1)． (2)秒； (3)秒或秒或秒。 【分析】（1）先根据速度和时间分别算出与的长度，再利用勾股定理计算的长． （2）根据等腰三角形两腰相等（ ）列方程求解． （3）分三种情况讨论：、、，结合三角形的边长和运动速度计算运动时间，需要先利用勾股定理求出的长度，再根据不同等腰情况分析的位置和运动路程． 【详解】（1）解：出发秒后， ， ∵， ． 点速度为每秒， ． ， ∴在中， ． （2）解：设出发秒后为等腰三角形，此时，． ，为等腰三角形， ， ． 解得秒； 点Q在边BC上运动时，出发秒钟，△PQB能形成等腰三角形； （3）解：在中，，， ∴． 当时，则， ， ，， ， ，． 点运动的路程为， 速度为每秒， 运动时间秒． 当时，， ∴点运动的路程为，运动时间秒． 当时，过作于， ，即， ． 在中，， ． ∴点运动的路程为，运动时间秒． 综上，运动时间为秒或秒或秒时，△BCQ成为等腰三角形。 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及动点问题，熟练掌握勾股定理，灵活运用等腰三角形的分类讨论思想，结合动点的运动速度和路程关系进行计算是解题的关键． 【题型九】直角三角形的动点求t 【例9】如图，中，，，，若动点从点开始，按路径运动，且速度为每秒，设运动时间为秒． (1)动点运动秒后，求的周长； (2)当动点在上运动时，问为何值时，为直角三角形？ 【答案】(1) (2) 【分析】（）由勾股定理得，进而当动点运动秒后可得，，再利用勾股定理求出即可求解； （）利用三角形的面积求出，再利用勾股定理求出，进而用点运动的路程除以速度即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴， ∵动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴出发秒后，，， ， ， ∴的周长为； （2）解：当点在上，时，为直角三角形， ∴， 即， 解得， ， ， ； 时，为直角三角形． 【变式9-1】如图，在中，动点 P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)若点 P运动到的中点时，t的值是 ； (2)4秒内，若， 求的长； (3)当为直角三角形时，求t的值． 【答案】(1)2 (2) (3)或 【分析】（1）先根据勾股定理求出，再求出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解； （2）根据题意，得，故，根据勾股定理，得，解答即可； （3）根据题意进行分类讨论，解答即可． 本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． 【详解】（1）解：∵在中， ∴根据勾股定理可得：， 当点P运动到的中点时，， ∴， 故答案为：2． （2）解：连接， 根据题意，得， 故4秒内，点P在上运动， 根据题意，得， 故， 根据勾股定理，得， 解得， 故． （3）解：根据题意，得, ∵ 当时，此时点P与点C重合，根据题意，得； 当时，， 根据题意，得； 解得， 当时，此时不可能， 综上所述，当运动时间为或时，为直角三角形． 【变式9-2】如图，在中，，，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当点P到达点B时，点Q也随之停止运动．设动点的运动时间为t秒（），解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在的垂直平分线上？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)在运动过程中，请直接写出当t为何值时，． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题考查了动点问题的解决方法，线段垂直平分线性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解决本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，则可得出方程求出即可； （2）分两种情形：或分别求解即可． （3）过点作，交于点，求出和，再根据列出方程即可得出答案． 【详解】（1）解：若点在线段的垂直平分线上，则， ， ， 解得：， 答：当时，点在线段的垂直平分线上； （2）解：①若，则是直角三角形， ， ， ， ， ； ②若，则是直角三角形， ， ， ， ， 当或时，是直角三角形． （3）解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 则， 解得：． 【题型十】勾股定理的新定义 【例10】（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查的是长方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可求，，即可求解； （2）连接．设，则．证明四边形为垂美四边形，由垂美四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得，， ． （2）如图，连接． 设，则． 四边形是长方形， ，， ． 四边形为垂美四边形， ， ． ． 【变式10-1】我们定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图1，四边形中，，，则四边形叫做“等补四边形”． 【概念理解】（1）①在等补四边形中，若，则的度数为______； ②在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形    B．菱形    C．矩形    D．正方形 【性质探究】（2）如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由． 【拓展应用】（3）将斜边相等的两块三角板如图3放置，其中含角的三角板的斜边与含角的三角板的斜边重合，，位于的两侧，其中，若，连接，则的长为______． 【答案】（1）①；②D；（2）CA平分，见解析；（3） 【分析】（1）①由四边形是等补四边形及等补四边形的定义得，结合，即可求解； ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案； （2）作于点，交的延长线于点，由四边形是等补四边形得，而，所以，可根据全等三角形的判定和性质得出，再根据直角三角形全等的判定和性质得出，所以平分； （3）过点作于点，则，先证明四边形是等补四边形，结合（2）结论得出平分，根据等角对等边得出，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形等补四边形，， ∴， ∴， 故答案为：． ②在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，只有正方形的邻边相等且对角互补， ∴正方形是等补四边形， 故选：D． （2）解：平分， 理由：如图，作于点，交的延长线于点， ∵四边形是等补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：过点作于点，则， ∵，， ∴，， ∴四边形是等补四边形， 由（2）得，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， 故， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理等．正确作出辅助线是解题的关键． 【变式10-2】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形，例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)若三边长分别是2，和4，则此三角形________常态三角形（填“是”或“不是”）； (2)若是常态三角形，则此三角形的三边长之比为________（请按从小到大排列）； (3)如图，中，，，点D为的中点且，连接，若是常态三角形，求的面积． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】本题是新定义题，主要考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识． （1）由，符合定义； （2）设两直角边长为：a、b，斜边长为c，则，，可得，从而得出答案； （3）由是常态三角形，分或，可分别计算出的长，从而解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵是常态三角形， ∴设两直角边长为：a、b，斜边长为c， 则，， ∴， ∴， 设，， 则， ∴此三角形的三边比为：， 故答案为：； （3）解：在中，，，点D为的中点， ∴， ∵是常态三角形， 分以下两种情况讨论： 当时， 解得：， 则， ∴， ∴的面积为：； 当时， 解得：， 则， ∴， ∴的面积为：． 综上所述：的面积为或． 【题型十一】无刻度尺作图 【例11】如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺按要求作图．（注意先用铅笔画，再用水笔描，求作的图形用实线，辅助的线条用虚线） (1)在图1中，画出边上的高； (2)在图2中，画出边上的中线； (3)在图3中，画，使与全等（F不与C重合，画出一个即可）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了基本作图． （1）根据三角形高的定义作图即可． （2）根据三角形中线的定义作图即可． （3）根据全等三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图1，即为所求． ∵,,,, ∴是直角三角形，, 即. （2）解：如图2，取的中点E，连接，则即为所求． （3）解：如图3，即为所求(答案不唯一)． ∵,,. ∴. 【变式11-1】图、图、图．均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为．每个小正方形的顶点叫作格点．的顶点和点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图中的边上找到一格点，连接，使； (2)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形只有一组对角为； (3)在图中的外部找到一个格点，画四边形，使该四边形被对角线分得的两个三角形均是等腰三角形． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】本题考查了无刻度的直尺作图，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，网格与勾股定理等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题关键． （）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解； （）根据网格特征得出，从而求解； （）根据网格特征得出，，从而可判断，是等腰三角形． 【详解】（1）解：如图， 根据网格可知，，为中点， ∴， ∴点即为所求； （2）解：如图， 根据网格可知，， ∴四边形即为所求； （3）解：如图， 根据网格可知，，， ∴，是等腰三角形， ∴四边形即为所求． 【变式11-2】如图①、②、③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．请仅用无刻度的直尺按要求画出符合的图形．    (1)请在图①中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为有理数． (2)请在图②中，找一格点C，使是直角三角形，且为直角边． (3)请在图③中，找一格点C，使是直角三角形，且为斜边，两直角边、长度均为无理数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的分类，勾股定理与网格的计算，掌握三角形的分类，勾股定理的运用是解题的关键． （1）根据三角形的分类进行作图即可； （2）根据等腰三角形的定义，勾股定理逆定理的运用进行作图； （3）根据等腰三角形的定义，钝角三角形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图，点C为所求作的点；    （2）解：如图，点C为所求作的点；    （3）解：如图，点C为所求作的点； 【题型一】直角边与斜边未明确 【例1】若一直角三角形的两边长分别是，，则第三边长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用及直角三角形边长的分类讨论，解题的关键是分“8为直角边”和“8为斜边”两种情况，结合勾股定理计算第三边长，避免漏解． 已知直角三角形两边长为6和8，需分两种情况：当6和8均为直角边时，用勾股定理求斜边；当8为斜边、6为直角边时，用勾股定理求另一直角边；两种情况的结果均为第三边可能的长度，据此判断选项． 【详解】解：设直角三角形第三边长为x，分两种情况讨论： ①当6和8均为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)； ②当8为斜边、6为直角边时，由勾股定理得： ，解得(边长为正，舍去负根)． 故第三边长为或． 故选：C． 【变式1-1】若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（    ） A．13 B．13或 C．13或15 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可． 【详解】解∶当12为直角边时，第三边长为， 当12为斜边时，第三边长为， ∴第三边长为13或， 故选：B． 【变式1-2】若一直角三角形两边长分别为6和8，则这个三角形的第三边长为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意，运用勾股定理，分类讨论计算即可． 【详解】解：当这个直角三角形的两直角边长分别为6和8时，第三边为斜边， 斜边长； 当这个直角三角形的一直角边长6、斜边长为8时，第三边为直角边， 这条直角边的长； 故答案为：或 ． 【题型二】三角形形状不明 【例2】等腰三角形腰上的高与腰的比为，则顶角为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意得出高所对的角等于．根据等腰三角形腰上的高与腰的比为，可得高所对的角等于，然后分①高在三角形内部，②高在三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：在中，，是高线，， ①当高在三角形内部时， 如图，∵是高线， ， 又，令, ，即 ； ②在三角形外部时，如图 由①可知， 综上所述，顶角为或． 故选：． 【变式2-1】已知、、为的三边，且满足，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形的分类，勾股定理的逆定理，将等式化为是解题的关键． 将等式化为，根据等式成立的条件进而判定三角形的形状即可． 【详解】解： ①当时，上式成立，此时为等腰三角形； ②当时，上式为，此时为直角三角形； 故选：D． 【变式2-2】在等腰三角形中，，，以为腰作等腰直角三角形，，点到直线的距离为 ． 【答案】或 【分析】根据题目描述可以作出两个图形，由是等腰直角三角形，，利用等腰直角三角形的性质分别进行求解即可．本题考查了等腰直角三角形的性质，解题的关键是根据题目描述正确作出两个图形． 【详解】本题有两种情况： （1）如图， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点B到CD的距离等于点A到的距离， 过点A作于点E， ∴为等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得：，即， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； （2）如图： ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴点B到的距离即的长， ∴由勾股定理得，即， ∵， ∴， ∴，即点B到的距离为． 故答案为：或． 【题型三】立体图形最短路径路线不全 【例3】如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蜜蜂如果要从圆柱内部点飞到与之相对的点，那么它飞行的最短路程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与最短路径，根据题意，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，根据底面圆的周长得，然后运用勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开，则长即为蜜蜂从圆柱内部点飞到与之相对的点的最短路程，    ∵圆柱的底面周长是，圆柱高为， ∴，， 根据勾股定理， ∴蜜蜂飞行的最短路程为， 故选：． 【变式3-1】如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，此时的路程最短， 在中，， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 【变式3-2】综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图1，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为10cm的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如图2所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如图3，如果想要绳子缠绕笔筒2圈，正好从A点绕到正上方的B点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） (3)有一支用过的铅笔，剩余长度是，斜放在该空笔筒中（坡度最小时），铅笔能露出外面吗？ 【答案】(1) (2) (3)该铅笔不能露出在外面，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面积公式求解即可； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解； （3）根据勾股定理求出斜放铅管能露出外面的最短长度，然后比较即可． 【详解】（1）解：裁剪出的包装纸的面积为圆柱的侧面积：， 答：裁剪出的包装纸的面积为； （2）解：如图，点D，点E为圆柱高的中点，连接，， 为圆柱的底面周长， 为圆柱高的，即， 由勾股定理得，， 所需绳子的最短长度为． （3）解：笔筒的直径是，高是， 斜放铅笔能露出外面的最短长度是， 而，故该铅笔不能露出在外面． 【题型四】勾股定理与方程结合求解错误 【例4】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图折叠，使点A与点B重合，则折痕的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了勾股定理，综合运用这些知识点是解题关键． 由勾股定理求解，由对折可得，设 则， 利用勾股定理求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解： 由折叠可得： 设 则 故选：D． 【变式4-1】如图，在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理，数形结合、列出方程是解题的关键； 先根据勾股定理求出，再根据线段垂直平分线的性质得到，设，然后在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则, 则在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即， 解得：，即； 故答案为：． 【变式4-2】如图所示，在中，点在边上，点在边上，沿将折叠，使点与点重合，折痕为．若，，．求： (1)的周长； (2)折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）由折叠可得，根据勾股定理求出，进而得到，即可求解； （2）由折叠可得，，，设，则，在中，由勾股定理求出，即，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可得， ，，， ， ， 的周长为； （2）解：由折叠可得，，， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即， 解得， 即， ． 学科网（北京）股份有限公2 / 51 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $