专题03 数据的集中趋势和离散程度 等可能条件下的概率（期中知识清单，7知识&8题型清单）九年级数学上学期苏科版

专题03 数据的集中趋势和离散程度 等可能条件下的概率（7知识&8题型清单） 【清单01】数据的集中趋势 1.平均数 （1）定义：反映一组数据的平均水平。 （2）特性：易受极端值影响，适用于数据差异较小的场景。 （3）加权平均数：考虑数据重要性的平均数。 2.中位数 （1）定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数（奇数个数据）或中间两个数的平均数（偶数个数据）。 （2）特性：不受极端值影响，适用于数据差异较大的场景。 3.众数 （1）定义：一组数据中出现次数最多的数。 （2）特性：可能不唯一，适用于存在重复数据的场景。 【清单02】数据的离散程度 1.极差 （1）定义：最大值与最小值的差，反映数据的变化范围。 （2）特性：计算简单，但受极端值影响较大。 2.方差 （1）定义：各数据与平均数的差的平方的平均数，反映数据的波动大小。 （2）特性：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。 3.标准差：方差的算术平方根，单位与原数据一致，便于比较。 【清单03】随机事件 1.必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为1。 2.不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为0。 3.随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率在0到1之间。 【清单04】等可能性 1.定义：试验中所有可能结果出现的机会均等。 2.特性：试验结果的有限性和等可能性。 【清单05】古典概型 1.定义：试验中所有可能结果有限且等可能。 2.概率公式：P(A)=m/n，其中m为事件A发生的结果数，n为所有可能结果数。 【清单06】概率计算方法 1.列举法：直接列出所有可能结果，适用于结果较少的情况。 2.列表法：用表格形式列出所有可能结果，适用于涉及两个因素的试验。 3.树状图法：用树状结构表示所有可能结果，适用于涉及多个因素的试验。 【清单07】几何概型 1.定义：试验中所有可能结果有无限多个，但每个结果出现的可能性相等。 2.概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。 【题型一】求平均数和加权平均数 【例1】在一次数学考试中，第一小组10名学生的成绩与全班平均成绩88分的差（单位：分）分别是2，，0，，，10，8，2，3，，这个小组的平均成绩是（    ） A．90分 B．89分 C．88分 D．86分 【变式1-1】阳光中学最终选定20名学生代表学校参加市级“汉字溯源”主题大赛，这20名学生的年龄统计如下表，则该校参加市级比赛的学生的平均年龄是（    ） 年龄/岁 13 14 15 16 人数/名 9 4 5 2 A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 【变式1-2】已知数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4，则这组数据a，b，c，d，e的平均数是 ． 【题型二】求中位数和众数 【例2】今年是中国共产党成立周年，为庆祝党的生日，某校举行了隆重的庆祝活动．在主题为“党的恩情永不忘”的演讲比赛中，参加决赛的名选手成绩（单位：分）如下：，这六名选手成绩的众数和中位数分别是（    ） A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 【变式2-1】某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（   ） 尺码（cm） 23 24 24.5 25 25.5 销售量（双） 1 2 2 5 1 A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5 【变式2-2】某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是 ． 【题型三】求方差 【例3】三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择(    ) A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．甲乙丙均可以 【变式3-1】想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（   ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 【变式3-2】小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则小明5次成绩的方差与小兵5次成绩的方差之间的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【题型四】已知概率求数量 【例4】在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 【变式4-1】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-2】一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 【题型五】几何概率 【例5】如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 【题型六】游戏公平性 【例6】由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【变式6-1】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【变式6-2】某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【题型七】列表法或树状图法——概率 【例7】2025年伊始，《哪吒之魔童闹海》迅速火爆，票房成功破百亿，成为中国电影史上首部，全亚洲首部过百亿的电影．并肩而行，不以山海为远；向新出发，定能再攀高峰．下面是《哪吒之魔童闹海》电子票的纪念款，分别为A，B，C，D（除正面图案不同外其余均相同）．现将四张纪念票打印出来，背面朝上，洗匀放好． (1)友利奈绪从中随机抽取一张纪念票是哪吒C的概率是 ． (2)神尾观铃计划从中随机抽取两张纪念票，请用列表法或画树状图法计算她抽取的两张纪念票恰好是申公豹A和敖丙D的概率． 【变式7-1】一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【变式7-2】一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“塔”，“山”，“石”，除文字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率 (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其文字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球记录其文字，求两次记录的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或画树状图说明） 【题型八】列表法或树状图法——统计 【例8】某学校随机选取部分八年级同学进行数学预测卷难度评估，对考试成绩进行统计（成绩均为正数，满分100分）依据数据绘制了如下的统计表和统计图，根据图表解答下列问题： 组别 分数段 频数 频率 1 2 3 4 5 (1)表中的________，________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法求出甲、乙两名同学都被选中频率． 【变式8-1】随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： (1)求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； (2)在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 【变式8-2】2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 学科网（北京）股份有限公2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 数据的集中趋势和离散程度 等可能条件下的概率（7知识&8题型清单） 【清单01】数据的集中趋势 1.平均数 （1）定义：反映一组数据的平均水平。 （2）特性：易受极端值影响，适用于数据差异较小的场景。 （3）加权平均数：考虑数据重要性的平均数。 2.中位数 （1）定义：将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数（奇数个数据）或中间两个数的平均数（偶数个数据）。 （2）特性：不受极端值影响，适用于数据差异较大的场景。 3.众数 （1）定义：一组数据中出现次数最多的数。 （2）特性：可能不唯一，适用于存在重复数据的场景。 【清单02】数据的离散程度 1.极差 （1）定义：最大值与最小值的差，反映数据的变化范围。 （2）特性：计算简单，但受极端值影响较大。 2.方差 （1）定义：各数据与平均数的差的平方的平均数，反映数据的波动大小。 （2）特性：方差越大，数据波动越大；方差越小，数据越稳定。 3.标准差：方差的算术平方根，单位与原数据一致，便于比较。 【清单03】随机事件 1.必然事件：在一定条件下必然会发生的事件，概率为1。 2.不可能事件：在一定条件下必然不会发生的事件，概率为0。 3.随机事件：可能发生也可能不发生的事件，概率在0到1之间。 【清单04】等可能性 1.定义：试验中所有可能结果出现的机会均等。 2.特性：试验结果的有限性和等可能性。 【清单05】古典概型 1.定义：试验中所有可能结果有限且等可能。 2.概率公式：P(A)=m/n，其中m为事件A发生的结果数，n为所有可能结果数。 【清单06】概率计算方法 1.列举法：直接列出所有可能结果，适用于结果较少的情况。 2.列表法：用表格形式列出所有可能结果，适用于涉及两个因素的试验。 3.树状图法：用树状结构表示所有可能结果，适用于涉及多个因素的试验。 【清单07】几何概型 1.定义：试验中所有可能结果有无限多个，但每个结果出现的可能性相等。 2.概率公式：P(A)=构成事件A的区域长度（面积或体积）/试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。 【题型一】求平均数和加权平均数 【例1】在一次数学考试中，第一小组10名学生的成绩与全班平均成绩88分的差（单位：分）分别是2，，0，，，10，8，2，3，，这个小组的平均成绩是（    ） A．90分 B．89分 C．88分 D．86分 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平均数的相关知识，解题的关键是理解算术平均数的定义，根据算术平均数定义计算即可． 【详解】解：这个小组的平均成绩（分）， 故选：B． 【变式1-1】阳光中学最终选定20名学生代表学校参加市级“汉字溯源”主题大赛，这20名学生的年龄统计如下表，则该校参加市级比赛的学生的平均年龄是（    ） 年龄/岁 13 14 15 16 人数/名 9 4 5 2 A．13岁 B．14岁 C．15岁 D．16岁 【答案】B 【分析】本题考查的是求解一组数据的平均数，根据平均数公式计算即可． 【详解】解：由题意可得：（岁）． 故选：B 【变式1-2】已知数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4，则这组数据a，b，c，d，e的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平均数的计算，根据数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4，可以得到和的和，然后即可计算出数据a，b，c，d，e的平均数． 【详解】解：∵数据a，b，c的平均数是2，数据d，e的平均数是4， ， ， 则这组数据a，b，c，d，e的平均数是， 故答案为：． 【题型二】求中位数和众数 【例2】今年是中国共产党成立周年，为庆祝党的生日，某校举行了隆重的庆祝活动．在主题为“党的恩情永不忘”的演讲比赛中，参加决赛的名选手成绩（单位：分）如下：，这六名选手成绩的众数和中位数分别是（    ） A．分，分 B．分，分 C．分，分 D．分，分 【答案】A 【分析】本题考查了众数和中位数，根据众数和中位数的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵数据中分出现的次数最多， ∴众数是分， 数据由小到大排列为 ∴中位数是（分）， 故选：． 【变式2-1】某鞋店一天中卖出运动鞋11双，其中各种尺码的鞋的销售量如下表：则这11双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别是（   ） 尺码（cm） 23 24 24.5 25 25.5 销售量（双） 1 2 2 5 1 A．25，25 B．24.5，25 C．25，24.5 D．24.5，24.5 【答案】A 【分析】本题考查了众数、中位数的计算，掌握其计算方法是关键． 众数：出现次数最多的数；中位数：将一组数据从小到大排序，中间的数即为中位，当这组数据的个数为偶数个时，中间两个数的平均数为中位数，当这组数据的个数为奇数时，中间的数为中位数，由此即可求解． 【详解】解：25出现了5次， ∴众数是25， 共有个数， ∴中位数是第6位，即25， 故选：A ． 【变式2-2】某车间甲班的名工人加工零件，每人完成的件数分别是，，，，，，，，，，则这班组工人日产量的中位数和众数是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了众数和中位数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键． 先将数据从小到大排列，再计算第5，6个数据的平均数即为中位数；根据数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数来求解众数即可． 【详解】解：将数据排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为：，众数为19， 故答案为：，． 【题型三】求方差 【例3】三个旅游团游客年龄的方差分别是：，，，导游小方喜欢带游客年龄相近的团队，则他应该选择(    ) A．甲团 B．乙团 C．丙团 D．甲乙丙均可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了方差的意义，根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵，，， ∴，导游小方应该选择甲团． 故选：A． 【变式3-1】想要获得高超的技术，不付出一番努力是绝对做不到的．在射击训练过程中，新手的表现一般不太稳定，会有较大的波动．下图是小逸和小亮在射击训练中进行10次射击之后的成绩统计图，根据图中信息推测，可能是新手的是（   ） A．小亮 B．小逸 C．都是新手 D．无法判定 【答案】A 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据图中的信息找出波动性大的即可． 【详解】解：根据图中的信息可知，小亮的成绩波动性大， 则这两人中的新手是小亮； 故选：A． 【变式3-2】小明和小兵两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示，则小明5次成绩的方差与小兵5次成绩的方差之间的大小关系为 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了方差的意义，熟知方差的意义是解答的关键． 方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．据此解答即可． 【详解】解：根据折线统计图，小明5次成绩的波动比小兵5次成绩的波动小， 则． 故答案为：． 【题型四】已知概率求数量 【例4】在一个不透明口袋中，装有若干个颜色不同其余相同的球，若口袋中装有4个黄球，且摸到黄球的概率为，那么口袋中球的总个数为（　　） A．4 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了已知概率求数量，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，口袋中球的总个数为， 故选：D． 【变式4-1】不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有3个，黄球有2个，现从中任意摸出一个是白球的概率为，则袋中蓝球的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据蓝球的概率公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中蓝球的个数是m，则袋中共有个小球， 由题意得：， 解得：， 即袋中蓝球的个数是1， 故选：D． 【变式4-2】一只不透明的袋子中装有红球和白球共30个，这些球除了颜色外都相同，校课外学习小组做摸球实验，将球搅匀后任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，通过多次重复试验，算得摸到红球的频率是0.2，则袋中有 个红球． 【答案】6 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：设袋中有x个红球，则， 解得． 故答案为：6． 【题型五】几何概率 【例5】如图是由4块完全相同的正方形瓷砖铺成的地面，若一只蚂蚁爬到该区域内，停留在区域内的任意位置（分隔线忽略不计），则蚂蚁停留在阴影区域内的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 由图可得该正方形由4块一模一样的直角三角形组成，其中阴影区域由2个一模一样的直角三角形组成，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：由题意得，蚂蚁停留在阴影区域内的概率是， 故选：D． 【变式5-1】如图，将一个飞镖随机投掷到方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率，用阴影方块个数除以方块总数即可得出答案，解题的关键是掌握几何概率的求法． 【详解】解：根据题意得：方格纸中一共有9个小正方形，其中阴影部分有4个， ∴飞镖落在阴影部分的概率为． 故选：B 【变式5-2】2024年6月2日清晨，嫦娥六号成功着陆在月球背面南极——艾特肯盆地预选着陆区，开启了人类探测器首次在月球背面的样品采集任务．小亮同学是航天知识爱好者，他利用边长为的正方形制作出七巧板如图1，并拼出火箭模型如图2．在对火箭模型进行创意宣讲时，激光笔射出的小红点落在该模型的任意位置，它停在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查几何概率．用阴影部分的面积除以正方形的总面积，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴图③的面积为， 图④的面积为， 正方形的面积为， ∴停在阴影部分的概率为， 故答案为： 【题型六】游戏公平性 【例6】由于只有1张市运动会开幕式的门票，小王和小张都想去，两人商量采取转转盘（如图，转盘被分成四等份，且每个扇形区域标上数字）的游戏方式决定谁胜谁去观看．游戏规则：两人各转动转盘一次，当转盘停止后，若两次指针所指数字都是奇数，则小王胜；若两次指针所指数字都是偶数，则小张胜；若两次指针所指数字是一奇一偶，视为平局，继续上述游戏，直至分出胜负．该游戏是否公平？请用列表或画树状图的方法说明理由． 【答案】游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，用列表法或树状图法求概率，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况之比．列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字都是偶数或都是奇数的概率即可得知该游戏是否公平． 【详解】解：游戏公平，理由如下： 列表如下： 所有等可能的情况有种，其中两次指针所指数字都是奇数的情况有4种，都是偶数的情况也有4种， ∴，， ∴游戏公平． 【变式6-1】小颖和小亮都想去观看“垃圾分类”宣传演出，但只有一张入场券．于是，老师就设计了这样的一个游戏：一口袋装有除颜色外均相同的2个白球1个红球和1个蓝球，通过摸球来决定谁去观看演出．方案如下：第一次随机从口袋中摸出一球（不放回）；第二次再任意摸出一球，两人胜负规则如下：摸到“一白一红”，则小颖去观看；摸到“一红一蓝”，则小亮去观看． (1)这个方案公平吗?请用列表或画树状图的方法说明理由； (2)你若认为这个方案不公平，那么请你改变两人胜负规则，设计一个公平的方案． 【答案】(1)这个游戏公平，详见解析 (2)拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．画出树状图，求出他们各自获胜的概率是解答本题的关键． （1）画出树状图，根据概率公式即可求出概率，比较概率即可得出结论； （2）让二者的概率相同即可． 【详解】（1）解：游戏方案不公平． 理由如下： 由树状图可以看出：共有12种可能，摸到“一白一红”有4种，摸到“一红一蓝”的情况有2种， 故小颖获胜的概率为= ，小亮获胜的概率为=，所以这个游戏不公平． （2）拿出一个白球或放进一个蓝球，其他不变．游戏就公平了． 【变式6-2】某校举办艺术节，其中A班和B班的节目总成绩并列第一，学校决定从A、B两班中选派一个班代表学校参加全省比赛，B班班长想法是：用八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给A班班长，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则A班去；如果和为奇数，则B班去． (1)请用树状图或列表的方法求A班去参赛的概率； (2)B班班长设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的游戏规则． 【答案】(1)； (2)游戏不公平，游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【分析】（1）利用列表法得出所有可能结果，即可求出A班去参赛的概率； （2）根据（1）中所求数据即可得出A班B班去参赛的概率，从而判断游戏是否公平，将规则修改为两班被选中的概率相等即可． 本题考查概率的求法，掌握利用列表法或树状图求概率是解题的关键． 【详解】（1）所有可能的结果如下表： BA 4 6 7 8 1 (1,4) (1,6) (1,7) (1,8) 2 (2,4) (2,6) (2,7) (2,8) 3 (3,4) (3,6) (3,7) (3,8) 5 (5,4) (5,6) (5,7) (5,8) 一共16种结果，每个结果出现的可能性相同， 和为偶数的概率； ∴A班去参赛的概率为：； （2）游戏不公平． 由（1）列表的结果可知：A班去的概率为，B班去的概率为， ∴游戏不公平，对B班有利． A班班长和B班班长从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，则和可能为，故游戏规则可改为：若和小于9则A班去参赛，若和大于9则B班去参赛，若和等于9，则重新抽取． 【题型七】列表法或树状图法——概率 【例7】2025年伊始，《哪吒之魔童闹海》迅速火爆，票房成功破百亿，成为中国电影史上首部，全亚洲首部过百亿的电影．并肩而行，不以山海为远；向新出发，定能再攀高峰．下面是《哪吒之魔童闹海》电子票的纪念款，分别为A，B，C，D（除正面图案不同外其余均相同）．现将四张纪念票打印出来，背面朝上，洗匀放好． (1)友利奈绪从中随机抽取一张纪念票是哪吒C的概率是 ． (2)神尾观铃计划从中随机抽取两张纪念票，请用列表法或画树状图法计算她抽取的两张纪念票恰好是申公豹A和敖丙D的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，掌握树状图或列表法是解题的关键． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）画出树状图，根据树状图解答即可求解． 【详解】（1）解：友利奈绪从中随机抽取一张纪念票是哪吒C的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能的结果，其中取出的2张纪念票为申公豹A和敖丙D的结果有2种， ∴取出的2张纪念票为申公豹A和敖丙D的概率为． 【变式7-1】一个不透明的盒子里装有四张卡片，分别写有“美”“好”“淮”“安”四个字，卡片除文字外都相同，并将四张卡片充分搅匀． (1)从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是 ； (2)一次从盒子中随机抽取2张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式即可解题； （2）运用树状图列出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】（1）解：盒子里装有四张卡片， 从盒子中随机抽取1张卡片，恰好抽到“淮”的概率是， 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽取的卡片恰好1张为“美”，1张为“好”的结果有2种， ∴抽取的卡片恰好1张为“美”、1张为“好”的概率为：． 【变式7-2】一个布袋里装有三个小球，上面分别写着“塔”，“山”，“石”，除文字外三个小球无其他差别． (1)从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率 (2)从布袋里任意摸出一个小球，记录其文字，放回并摇匀，再从中任意摸出一个小球记录其文字，求两次记录的文字有“塔”、“山”的概率．（要求列表或画树状图说明） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查概率公式和列表法求概率； （1）根据概率公式直接求解； （2）列表，找到所有情况及需要情况求解即可得到答案； 【详解】（1）解：从布袋里任意摸出一个小球，摸到文字恰好是“石”的概率为； （2）解：列表如下， 塔 山 石 塔 塔塔 山塔 石塔 山 塔山 山山 石山 石 塔石 山石 石石 共有9种等可能结果，其中两次记录的文字有“塔”、“山”的有2种， 两次记录的文字有“塔”、“山”的概率为：． 【题型八】列表法或树状图法——统计 【例8】某学校随机选取部分八年级同学进行数学预测卷难度评估，对考试成绩进行统计（成绩均为正数，满分100分）依据数据绘制了如下的统计表和统计图，根据图表解答下列问题： 组别 分数段 频数 频率 1 2 3 4 5 (1)表中的________，________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法求出甲、乙两名同学都被选中频率． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查求频数与频率，频数分布直方图，利用树状图法求概率： （1）根据频数等于总数乘以频率，频率等于频数除以总数进行求解即可． （2）根据（1）的结论补全频数分布直方图； （3）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：总人数为：， ，，， 故答案为：，，，． （2）解：补全频数分布直方图如图， （3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，画树形图得： ∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种， ∴甲、乙两名同学都被选中的概率为． 【变式8-1】随着选修课的全面开展，我校决定围绕“科技、阅读、书法、演讲和英语”活动项目中，你最喜欢哪一项（每人只限一项）活动的问题，采用随机抽样的方式进行问卷调查，根据调查情况绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．由图中所给出的信息解答下列问题： (1)求在此次调查活动中一共抽查了多少名学生，并将不完整的统计图补充完整； (2)在此次调查活动中，初三（1）班的两个学习小组内各有2人都最喜欢演讲活动，其中，只有1人是女同学，现从中任选2人去参加学校的演讲比赛．用列表或画树状图的方法求出所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率． 【答案】(1)400名，图见解析 (2) 【分析】本题考查了列表法与树状图、扇形统计图、条形统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图的互补性，求条形统计图与扇形统计图相关数据，画条形统计图，列表法或树状图法求概率，是解题的关键．概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）结合两图科技的数据求出抽查的总人数，再求出扇形图中演讲和英语的数据和条形图中书法的数据，补全条形图和扇形图的数据； （2）列出树状图，根据概率公式解答即可． 【详解】（1）解：一共抽查了名学生． 扇形统计图， 演讲：， 英语：； 条形统计图， 书法：人． 图形如图所示： （2）解：设第一小组中男为A，女为B，则第二小组中两男为a、b； 树状图： 共有12种等可能情况，其中有一名女生且来自同一小组的等可能情况有2种情况，概率为：． 答：所选2人来自同一个小组且恰有1人是女同学的概率为． 【变式8-2】2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 【答案】(1)16，19 (2)，八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 (3) 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； （2）由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； （3）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 学科网（北京）股份有限公2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $