专题06 双曲线与方程（5大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

专题06 双曲线与方程 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 双曲线的定义 考点02 双曲线的方程 考点03 双曲线的离心率 考点04 直线与双曲线的位置关系 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线问题 双曲线的定义 地 城 考点01 1．(24-25高二上·山西运城·期中)若双曲线的离心率为2，则双曲线上任意一点Q到两焦点，的距离之差的绝对值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程和离心率可求得，由双曲线的定义得解. 【详解】由双曲线的离心率为2，可得， 解得，所以， 又由双曲线的定义，可得双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为. 故选：B. 2．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知是双曲线的两个焦点，点在上，且轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算，，计算得到答案. 【详解】由题，当时，，故半通径. ，，，. 故选：A 3．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)已知双曲线（，）的右焦点为（），M是双曲线的左支上的一点，线段与圆相切于点D，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义得到，再利用线线平行、直线圆相切以及勾股定理得到关于、、的方程组即可求解. 【详解】设双曲线的左焦点为（如图所示）， 由，，可知， 又由，可知， 有，，， 在中，，得， 故双曲线的渐近线方程为. 故选:D． 4．(22-23高二上·江西重点校·调研)双曲线上的点到左焦点的距离为，则到右焦点的距离为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义直接得解. 【详解】设双曲线的左右焦点分别为，， 由双曲线，可得， 又，则， 故选：B. 5．(21-22高二上·山西运城·期中)已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D．14 【答案】D 【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值. 【详解】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而可知， 由双曲线定义可知，即， 所以周长， 要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，且最小值是， 因此，周长为. 故选:D 6．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)设是双曲线右支上任意一点，分别是双曲线的左、右焦点，则等于（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义直接求解. 【详解】是双曲线右支上任意一点，，分别是双曲线的左、右焦点，所以，又，所以. 故选：C． 7．(21-22高二上·山西怀仁·期中)已知，是双曲线的左右焦点，过的直线与曲线的右支交于两点，则的周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义和性质，当弦垂直于轴时，即可求出三角形的周长的最小值. 【详解】 由双曲线可知： 的周长为. 当轴时,的周长最小值为 故选：C 地 城 考点02 双曲线的方程 8．(22-23高二上·山西高中教育发展联盟·期中)若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论焦点的位置，设出方程，由渐近线、虚轴的性质求出方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 故选：C 9．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)下列说法中正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为16 B．曲线是焦点在x轴上的双曲线，则 C．动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 D．圆上点E，圆上点F，则的最大值为 【答案】D 【分析】对于A结合长轴长的定义即可判断；对于B将方程化成标准形式即可判断；对于C根据抛物线的定义即可判断；对于D结合定点与圆上点的距离的最大值等于定点与圆心的距离加半径即可判断． 【详解】对于A，椭圆，，所以长轴长，故A错误； 对于B．焦点在x轴上的双曲线，可化为，可知，故B错误． 对于C，设动圆的圆心坐标为，则圆心到点的距离与直线的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为，故C错误； 对于D：圆，圆心，圆，即，圆心，，所以圆O上E点到圆M上F点的最大距离为，，D正确． 故选：D． 10．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)过点的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设出双曲线的方程为（），代点进行求解即可. 【详解】设双曲线的方程为（）， 代入点，得， 故所求双曲线的方程为， 其标准方程为． 故选：A． 11．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据椭圆的标准方程，求得焦点坐标，进而设双曲线的方程，根据点在双曲线上，代入解方程最终求出双曲线的方程． 【详解】椭圆的焦点坐标是． 设双曲线的标准方程为， 因为双曲线过点， 所以，又， 解得， 所以所求双曲线的标准方程是． 故选：B. 12．(21-22高二上·山西怀仁·期中)设双曲线的实轴长为8，一条渐近线为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】双曲线的实轴长为，渐近线方程为，代入解析式即可得到结果. 【详解】双曲线的实轴长为8，即，， 渐近线方程为，进而得到双曲线方程为. 故选：D. 13．(24-25高二上·山西现代双语学校南校·月考)M是一个动点，MA与直线垂直，垂足A位于第一象限，MB与直线垂直，垂足B位于第四象限.若四边形OAMB（为原点）的面积为3，动点M的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，首先求到直线、的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程. 【详解】设，由题意在、相交的右侧部分，如下图， 则有，，， 所以到直线、的距离分别为、， 由题设，整理得，即为动点M的轨迹方程. 故答案为： 14．(19-20高二下·山西大同·)已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，进而可得出，再结合可求得、的值，由此可得出双曲线的方程. 【详解】由于是边长为的等边三角形，则， 由题意可得，解得， 因此，双曲线的方程为. 故答案为：. 15．设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆得焦点，然后设出双曲线的标准方程，进而得到，解方程组即可求出结果. 【详解】因为椭圆＋＝1的焦点为或，所以设双曲线的方程为，由题意得，解得，所以， 故答案为：. 双曲线的离心率 地 城 考点03 16．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点在上，且，的面积为（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的焦点三角形，结合垂直关系以及双曲线定义，即可列方程求解. 【详解】不妨设点在双曲线的右支上，设，，则， 由①．将②③代入即可得， 故，所以，所以离心率． 故选：A． 17．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点．设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为是椭圆与双曲线的一个公共点，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，不妨设， ，因此是以为斜边的直角三角形，于是． 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此，在双曲线中， 等于双曲线的实轴长，因此， 则． 故选：C 18．(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校·期中)已知双曲线，则下列选项中不正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．的顶点坐标为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】A 【分析】根据双曲线的性质逐一判断即可 【详解】因为，所以， 因为焦点在轴上， 所以的焦点坐标为，顶点为，离心率为，虚轴长为． 故选：A. 19．(21-22高二上·山西临汾侯马第一中学校·期中)已知双曲线的右焦点为，以为圆心，以为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若 (为坐标原点)，则双曲线的离心率为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得，由，可知为的三等分点，用两种方式表示，可得关于的方程组，结合即可得到双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的一条渐近线方程为，为的中点，可得， 由到渐近线的距离为， 所以，又，所以， 因为， 所以，整理可得：， 即，所以，可得，所以， 所以双曲线的离心率为， 故选：A. 20．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的顶点坐标为 B．双曲线的离心率为 C．曲线经过双曲线的一个焦点 D．双曲线与双曲线有相同的渐近线 【答案】C 【分析】先求出双曲线的方程为.直接求出顶点坐标、离心率、右焦点、渐近线方程， 验证四个选项. 【详解】由题意可知，双出线的渐近线为，所以双曲线的方程可设为，代入点，解得，所以双曲线的方程为. 对于A：，顶点坐标为.故A错误； 对于B：此时，所以，故B错误； 对于C：，过双曲线的右焦点，故C正确； 对于D：双曲线的渐近线方程为，与双曲线的渐近线方程不同，故D错误. 故选：C． 21．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知椭圆与双曲线有相同的焦点的离心率分别,P为曲线与的一个公共点，则下列各项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则无最小值 D．若，则最小值为2 【答案】AC 【分析】计算得到，，A正确，B错误；确定，，根据函数的单调性得到C正确，D错误.，得到答案. 【详解】记焦距为，则， 由椭圆定义可得，由双曲线定义可得， 结合选项，不妨设，，故. 若，则，故A正确，B错误. 若，则， 即 ， 记，则在上单调递增，取值范围为， 无最小值，故C正确，D错误. 故选：AC 22．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 23．(24-25高二上·山西大同·期中)已知为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于一条渐近线的直线交的右支于点，若，则的离心率 . 【答案】/ 【分析】利用条件计算、、，根据正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理得到的关系，即可计算离心率. 【详解】    由得，， 又∵， ∴. 由双曲线渐近线方程为得，，即， 又∵， ∴. 在中，由正弦定理得，， ∴，解得， 由双曲线定义可得，，故， 在中，由余弦定理得，， ∴，故双曲线离心率. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与双曲线综合问题，具体思路如下： （1）利用由求，利用且垂直于一条渐近线求直线的斜率，得到. （2）在中，由正弦定理表示，由双曲线定义表示，利用余弦定理表示得到的关系，即可计算离心率. 24．(21-22高二上·山西太原外国语学校·期中)已知为坐标原点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与的渐近线在第一象限的交点为，则点的横坐标为 ；点，若，则的离心率为 . 【答案】 2或 【分析】首先确定渐近线方程，再结合三角函数即可求解点的横坐标；利用所给的正切值，求出，再结合正切的二倍角公式，化简即可求解离心率. 【详解】由题，其中.双曲线过一､三象限的渐近线为，故， 所以，从而点横坐标. 又点纵坐标，故点的坐标为. ，，化简得或， 从而的离心率或. 故答案为：；2或 25．(21-22高二上·山西平遥中学校·期中)已知 为双曲线的右焦点，若圆上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】根据圆与渐近线的位置关系，可得圆心到直线的距离，即可得关系，在根据，即可得双曲线的离心率. 【详解】解：圆的圆心，半径，双曲线的渐近线方程为，即 若圆上恰有三个点到双曲线的一条渐近线的距离为， 则圆心到直线的距离，整理得，又，则双曲线的离心率为. 故答案为：. 地 城 考点04 直线与双曲线的位置关系 26．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 27．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知双曲线过点且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于，两点，分别过点，且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】BC 【分析】A选项，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点运算得解判断；B选项，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程可判断；C选项，设，将直线代入双曲线E方程，由，解得斜代回可得直线的方程；D选项，设出点，类比C选项，求出直线的方程，设出点代入直线，的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】因为双曲线与双曲线共渐近线， 所以可设双曲线的方程为，又双曲线过点， 所以，即，所以双曲线的标准方程是，故A错误； 设，，由，在双曲线上，得两式相减， 得，即， 又的中点为，所以，，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 设直线，代入曲线E的方程得，，令，得 ，解得，则切线方程为， 即直线的方程为，故C正确； 设，由选项C同理可得直线的方程为，由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以，因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误． 故选：BC． 28．(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校·期中)已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出即可求出双曲线的标准方程； （2）先设出的方程为，利用为双曲线的切线得到，再利用点在双曲线上，得到，进而可求出切线与轴的交点坐标，从而可求出，再求出，从而得到，即可证明出结果. 【详解】（1）由题意知， 因为一条渐近线的斜率为，所以，即， 所以双曲线的标准方程为． （2）设点，显然切线的斜率存在． 设的方程为， 由，消得， 由， 整理得， 又，得到， 所以，得到，解得． 设切线与轴交于点，则， 所以，即． 因为， 所以， 又， 所以， 则是的内角平分线，故切线平分．    【点睛】关键点晴，本题的关键在于通过证明，进而证明切线平分，先利用几何条件分别求出，即可证明结果. 29．(22-23高二上·山西部分名校·期中)已知是双曲线上的两点． (1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程，然后根据即可求解；（2）根据点差法求解中点弦问题即可. 【详解】（1）由题知：双曲线焦点在 轴上， ， 所以右焦点为 ， 当直线的斜率不存在时，直线为 ， 此时设 ， , ,不满足题意； 当直线的斜率存在时， 设直线为 ，， 联立方程，消去 得： ， 所以 ， 因为 ， 所以 解得 ， 所以直线的方程为； （2）设， 因为在双曲线上， 所以， 化简得：， 所以， 所以 因为是中点， 所以 所以，即 ， 所以直线的方程为， 即 30．(22-23高二上·江西名校联盟·期中)已知双曲线的离心率为，双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点的直线交双曲线于两点，且以为直径的圆过原点，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义得到，结合离心率得到，求出，得到双曲线的标准方程； （2）先分析得到直线的斜率不为0，设出直线的方程，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据为直径的圆过原点，得到，从而列出方程，代入两根之和，两根之积，得到，再由弦长公式求出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义可得，解得：. 因为双曲线的离心率为，所以，解得. 因为，所以. 故双曲线的标准方程为 （2）当直线的斜率为0时，此时两点为双曲线的顶点，故以为直径的圆不过原点，不合题意，舍去； 直线的斜率不为0，则设直线， 联立整理得， 则， 故. 因为以为直径的圆过原点，所以，所以 所以，即， 化简整理得，即， 则， 故. 【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题中以为直径的圆过原点，所以，从而由向量数量积为0列出方程，注意考虑直线的斜率存在和不存在两种情况. 31．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线C的标准方程; (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出焦点到渐近线的距离,再利用渐近线的斜率为,写出双曲线方程即可; （2）设出直线方程和两点坐标,联立方程组写出坐标,根据三点共线,得出和直线参数之间的关系,解出参数,将参数代入直线可看出直线过定点. 【详解】（1）解:由题知设右焦点F的坐标为, 双曲线C的渐近线方程为, 右焦点F到其中一条渐近线的距离为, 可得, 又由, 可得, 有, 故双曲线C的标准方程为; （2）证明:由（1）知,双曲线C的方程为,右焦点, 因直线l与x轴不垂直且斜率不为0, 设直线l与x轴交于点, 直线l的方程为, 设,则, 由 消去并整理得, 显然有且, 化简得且, 则, , 而三点共线,即, 则, 因此, 又,有, 整理得, 于是得 , 化简得, 即直线过定点, 所以直线l经过x轴上的一个定点． 【点睛】(1)焦点到渐近线的距离为; (2)设直线方程联立方程组,(注意斜率存在不存在,是否为0这些特殊情况,本题已说明,所以不需要考虑);设点坐标,判别式大于0;三点共线问题采用向量,得到关于直线参数的式子即可. 32．(24-25高二上·山西运城·期中)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，虚轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)直线与双曲线C的左支交于A，B两点，点D与点A关于x轴对称. (i)求m的取值范围； (ii)求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)(i)；(ii)证明见解析 【分析】(1)根据双曲线渐近线方程和虚轴长，列方程组解出，，可得双曲线方程； (2) (i)联立直线和双曲线方程，根据题意，，计算可得m的取值范围； (ii)假设定点的坐标为，所以，，因为，再利用向量坐标的乘法运算即可得到定点. 【详解】（1）由已知得解得，，所以双曲线的方程为； （2）(i)设，，则，联立， 消去得， 则，，， 可得. 所以的取值范围为：； (ii)由(i)得，， 由对称性可知BD过的定点在轴上，设定点的坐标为， 由，， 所以 ， 可得， 所以直线BD过定点. 地 城 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线问题 33．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知为坐标原点，双曲线的左､右顶点分别为，圆过点，与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与双曲线的左､右两支的交点分别为，，连接并延长，交双曲线于点，记直线与直线的交点为，证明：点在曲线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由圆过点得，由已知得是等边三角形，进而得渐近线的斜率，即可求出，即可得出的方程； （2）设直线，联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理得，将直线与直线的方程变形可得.由及计算可证得结论. 【详解】（1）因为圆过点，得，所以，. 在中，， 所以， 所以是等边三角形，. 双曲线的一条渐近线的斜率为，即，所以. 故的方程为. （2）证明点在曲线上，即证明点在曲线上. 设直线，则. 联立得， 则. 直线的方程为，直线的方程为 将直线与直线的方程变形可得, 即, 得， 即， 即， 化简可得. 得， ， ， ， 化简得. 将代入可得， 即点在曲线上. 34．(23-24高二上·山西吕梁孝义·月考)已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为k的直线l与曲线交于点为坐标原点，若,证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可； （2）设直线l的方程及点的坐标，联立方程利用韦达定理计算即可. 【详解】（1）设动点,则, 点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简，得，即曲线的方程为． （2）证明：设直线l的方程为, 联立方程，得消去y并整理，得， 则，且, 所以， 所以 ． 因为,所以，即, 所以，所以， ， ， 所以 ， 即为定值．    【点睛】本题第二问难在计算，设线设点、联立方程、韦达定理计算是解决解析几何问题的常用三部曲，关键在于消元转化，需要多加练习提高计算能力即可. 35．(22-23高二上·山西太原·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为，离心率为，是上一点. (1)求双曲线的方程； (2)直线过点，与双曲线的右支交于两点，点与点关于轴对称，求证：两点所在直线过点. 【答案】(1)； (2)证明负了解析. 【分析】（1）根据双曲线离心率可得，再将给定点代入计算作答. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合向量共线的坐标表示推理作答. 【详解】（1）双曲线的离心率，则，即， 又点在上，即，解得， 所以双曲线的方程为. （2）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：， 由（1）知，双曲线渐近线，而直线l与双曲线右支交于两点，则，即， 由消去x并整理得：， ，则，设，则， 于是，则， 而，有， 因此， 即，而有公共点，从而三点共线， 所以两点所在直线过点. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中动直线过已知定点问题，根据条件求出动直线与圆锥曲线的两个交点的坐标关系，再借助共线向量的坐标表示推理解决. 36．已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切． (1)求双曲线的方程； (2)已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于，两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，定值为1， 【分析】(1)利用点到直线的距离公式求得的只，再根据焦距，求得即可求解； (2)假设存在满足条件的点，先在直线垂直于轴时，求得定值，再结合根与系数的关系，分析验证直线不垂直于轴时，求得此定值的情况，从而得出结论. 【详解】（1）原点到直线的距离， ，， 双曲线的方程为； （2）假设存在点满足条件， ①当直线方程为时，则， ； ②当直线方程不是时，可设直线，代入 整理得， 由得， 设方程的两个根为，，满足， ， 当且仅当时，为定值1， 解得， 不满足对任意，，不合题意，舍去． 而且满足； 综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于，两点， 使为定值1． 37．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为. （1）求的方程； （2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程； (2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值. 【详解】(1) 因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立 如图所示，设, 设直线的方程为．    联立, 化简得，， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． [方法二] ：参数方程法 设．设直线的倾斜角为， 则其参数方程为， 联立直线方程与曲线C的方程， 可得， 整理得． 设， 由根与系数的关系得． 设直线的倾斜角为，， 同理可得 由，得． 因为，所以． 由题意分析知．所以， 故直线的斜率与直线的斜率之和为0． [方法三]：利用圆幂定理 因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆． 设,直线的方程为， 直线的方程为, 则二次曲线． 又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为： ， 整理可得： ， 其中． 由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即. 【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解； 方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中. 方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单. 38．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线：（，）的右焦点为，右顶点为，直线：与轴交于点，且． (1)求的方程； (2)点为上不同于点的动点，直线交轴于点，过作的两条切线，分别交轴于，两点，交轴于，两点． ①证明：是的中点； ②证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的几何性质，分别得出c的取值、的长度表达式，根据题意建立等量关系从而求出a，b，c的值，最终得到双曲线的标准方程. （2）根据题意设出点B坐标，以及过B点与双曲线相切的直线方程，可得P，Q纵坐标表达式，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得出两条切线斜率的关系，再表示出直线BF方程，可表示出R点坐标，进而结合中点坐标公式证得是的中点；同样可表示出坐标，进而得到各条线段长度表达式，代入后再结合前面的关系得证. 【详解】（1）如图所示， 由右焦点为得， 因为，所以， 若，则，即，无解； 若，则，即，所以， 故的方程为． （2）如图所示， 设，易知过点且与相切的直线斜率存在且不为， 设为，与联立消去整理得 ， 由， 整理得， 设两条切线，的斜率分别为，，则． ①因为，， 直线的方程为，则， 所以， 故是的中点． ②由题意，，，， 所以，， 由，得， 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于正确表示出题干所述各点的坐标，利用直线与双曲线相切的关系，结合得出两条切线斜率的关系，再表示出各条线段长度，通过化简最终证得题中结论. 39．(23-24高二下·山西运城三晋卓越联盟·期中)已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，是上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程; (2)已知过点的直线交于两点（异于A，B），直线与直线交于点.求证:点在定直线上. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由可求，利用两点斜率公式表示，由条件列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设的方程为， ，利用设而不求法可得， 求直线直线与直线的交点坐标，由此证明结论. 【详解】（1）由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线的方程为. （2）若直线的斜率为，则直线与双曲线交于点，与条件矛盾， 所以直线的斜率不能为0， 设的方程为. 联立，化简得 所以，所以， ， 直线AD的方程为， 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点的横坐标始终为1，故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：（1）解答直线与双曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． （2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题06 双曲线与方程(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01双曲线的定义 考点02双曲线的方程 考点03双曲线的离心率 考点04直线与双曲线的位置关系 考点05双曲线中的定点、定值、定直线问题 目目 考点01 双曲线的定义 1.(24-25高二上山西运城期中)若双曲线器-y2=1(m≠0)的离心率为2，则双曲线上 任意一点Q到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为() A. B.9 c. D.号 2.(21-22高二上：山西太原外国语学校期中)已知F1F2是双曲线C:x2-号=1的两个焦点， 点P在C上，且PF2⊥x轴，则∠PF1F2=() A.晋 B. C晋 D.罗 3.2,23商二上山西普中部分学校期中)已知双曲线r,等-斧=1(a>0,b>0)的 右焦点为F(cO)(c>0),M是双曲线的左支上的一点，线段MF与圆 B:(x-)2+y2=器相切于点D,且MFA=4DF,则双曲线r的渐近线方程为() A.2x±y=0B.2x±3y=0C.2x±7y=0D.4x±7y=0 4.(2-23高二上江西重点校调所0)双曲线C器写=1上的点P到左焦点的距离为10，则 P到右焦点的距离为() A.2 B.22 C.2或22 D.12 5.21-2高二上山西运城期中已知椭圆等+茶=1的一个焦点为F,双曲线等-写=1 的左、右焦点，分别为F1,F2,点P是双曲线左支上一点，则△PFF2周长的最小值为() A.5 B.5+3 C.10 D.14 6.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)设P是双曲线器-号=1右支上任意一点， 1/8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 FyF2分别是双曲线的左、右焦点，则PF1-PF,等于() A.25 B.4V3 C.8 D.16 7.(21-22高二上山西怀仁期中)已知P1,F2是双曲线C:号-y2=1的左右焦点，过F2的 直线！与曲线C的右支交于A,B两点，则△AF1B的周长的最小值为() A.4V2 B.52 c.62 D.7V2 目目 考点02 双曲线的方程 8.(22-23高二上山西高中教育发展联盟·期中)若双曲线的渐近线方程是y=±x,虚轴长 为8，则该双曲线的标准方程是() A.第-器=1 B.器-器=1 C.希-若=1或器-器=1 D.荒-若=1或站-器=1 9.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)下列说法中正确的是() A.椭圆E:号+若=1的长轴长为16 B.曲线C:mx2-ny2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m>n>0 C.动圆过点(1,0)，且与直线x=一1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为y2=一4x D.圆0：x2+y2=4上点E,圆M:x2+y2+4x-2y=0上点F,则EF|的最大值 为2W5+2 10.(22-23高二上山西晋中部分学校期中)过点(2,1)的等轴双曲线的标准方程为（) A.等-号=1B.晋-若=1C.号-号=1 D.若-警=1 11.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)与椭圆器+号=1共焦点且过点P(2,1)的双曲 线的标准方程是() A.￥-y2=1B.号-y2=1C.号-号=1 D.x2-号=1 12.21-2高二上山西怀仁期中设双曲线C:茶-等=1(a>0,b>0)的实轴长为8， 一条渐近线为y=等x,则双曲线的方程为() A.器-嚣=1B.第-器=1C.号-若=1D.若-等=1 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25高二上山西现代双语学校南校月考)M是一个动点，MA与直线y=x垂直，垂 足A位于第一象限，MB与直线y=一X垂直，垂足B位于第四象限若四边形OAMB(O为 原点)的面积为3，动点M的轨迹方程为」 14.Q9.20高二下山西大同)已知双曲线等-器=1(a>0,b>0)的左焦点为P,点A在 双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程 为 15.设双曲线与椭圆器+君=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为（√15， 4),则此双曲线的方程为 目 考点03 双曲线的离心率 16.(23.24高二上山西吕梁期中已知双曲线C:琴-器=1(a>0,b>0)的左、右焦 点分别为F1,F2,点M在C上，且MF1⊥MF2,△OMF1的面积为器 (0为坐标原点)， 则双曲线C的离心率为() A.零 B.与 C.vo D.甲 17.(23-24高二上~山西运城部分学校期中)已知椭圆C1和双曲线C2有共同的焦点F1F2.设 椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且 满足P+P厅=P丽1-PF引，则下列结论正确的是() A.e1e2=1 B.e1+e2=4 C房+清=2 D.e+=2 18.(22-23高二上山西长治上党区第一中学校等名校期中)已知双曲线C:号-等=1，则 下列选项中不正确的是() A.C的焦点坐标为（士4,0） B.C的顶点坐标为(0，士3) C.C的离心率为 D.C的虚轴长为2V万 19.21-22高二上山西临汾侯马第一中学校期中)已知双曲线C:等-三=1(a>0,b>0) 的右焦点为F,以F为圆心，以a为半径的圆与双曲线C的一条渐近线交于A,B两点，若 OA=20B(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为(). 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.7 B.年 c D. b A B 由F(C,0)到渐近线bx-ay=0的距离为 FH-d-lgi-b. 20.(Q1-2商二上山西怀第一中学期中已知双曲线C过点(21)且汽近线为y=士号x ,则下列结论正确的是()》 A.双曲线C的顶点坐标为（土2,0） B.双曲线C的离心率为V反 C.曲线y=ex3-1经过双曲线C的一个焦点 D.双曲线号一x2=1与双曲线C有相同的渐近线 21.21,22商二上山丙太原外国语学校期已知椭圆C:等+发=1(34>b1>0)与双 曲线C2:等-发=1(a2>0,b2>0)有相同的焦点RP2C,C2的离心率分别ee2P 为曲线C1与C的一个公共点，则下列各项正确的是(） A.若|PF1=2PF2,则e2=3e1 B.若|PB1=2PF2l,则e2=2e1 C.若LF1PF2=受，则e+e无最小值 D.若∠FPF2=号，则e+e最小值为2 2.2425高二上三智联盟山西名校期中)已知椭圆C1:等+斧=1(a>b>0)与双曲线 C2:器-F=1(m>0,n>0)有公共焦点FF2C与C2在第一象限的交点为p,且 PR11PF2,记CC2的离心率分别为e1e2,则房+青= 23.2425高二上山西大同期已知RF2为双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左、 4/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 右焦点，过点F1且垂直于一条渐近线的直线交C的右支于点B,若tan∠P1BF2=号，则C的 离心率e=」 24.(21-22高二上山西太原外国语学校期中已知0为坐标原点，FyF2分别为双曲线 C:等-斧=1(a>0,b>0)的左、右焦点，以PP2为直径的圆与C的渐近线在第一象限 的交点为P,则点P的横坐标为 点A(-a0),若tan∠AP0=号，则C的 离心率为 25.(21-22高二上·山西平遥中学校期中)己知F(c,0)为双曲线 C:等-器=1a>b>0)的右焦点，若圆F:(x-c)2+y2=2上恰有三个点到双曲线 C的一条渐近线的距离为号，则双曲线的离心率为 目目 考点04 直线与双曲线的位置关系 26.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知双曲线C,器-号=1的左、右焦点分别为F1, F2,斜率为k的直线经过F2且与C的右支交于A,B两点，O为坐标原点，则() A.kE(-,) B.若|OA=5,则AF1⊥AF2 C.1AR1-|AB|<要 D.若∠F1AF2=晋，则△AF1F2的面积为93 27.(23-24高二上山西吕梁期中)已知双曲线E过点（一2,32）且与双曲线等-号=1共 渐近线，直线！与双曲线E交于A,B两点，分别过点A,B且与双曲线E相切的两条直线交 于点P,则下列结论正确的是() A.双曲线B的标准方程是等-若=1 B.若AB的中点为(1,4)，则直线1的方程为9x-16y+55=0 C.若点A的坐标为(Xy1),则直线AP的方程为9xx-4yy+36=0 D.若点P在直线3x-4y+6=0上运动，则直线1恒过点(3,6) 28.(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校期中)已知左、右焦点分别为F,F,的 双曲线C:等-器=1(a>0,b>0),其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为。 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求双曲线C的标准方程； (2)若点P为双曲线C右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线C在点P处的切线PT平分 ∠FPF2 29.(2-23高二上山西部分名校期中)已知AB是双曲线C:号-若=1上的两点。 (I)若O是坐标原点，直线AB经过C的右焦点，且OA⊥OB,求直线AB的方程； (2)若线段AB的中点为M(6,2),求直线AB的方程. 30.(2-23高二上江西名校联盟期中)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的离心率为 V5,双曲线C的左、右焦点分别为F1F2,点P在双曲线C的右支上，且 PF-PF2=4 (1)求双曲线C的标准方程； (2)过点D(4,0)的直线1交双曲线C于AB两点，且以AB为直径的圆过原点0，求弦长 AB 31.(2-23高二上山西晋中部分学校期申已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的一条 渐近线的倾斜角为，右焦点F到其中一条渐近线的距离为1. (1)求双曲线C的标准方程， (2)已知直线1与x轴不垂直且斜率不为0，直线1与双曲线C交于M,N两点.点M关于x轴 的对称点为M,若M,F,N三点共线，证明：直线1经过x轴上的一个定点. 32.(2425高二上山西运城期中)已知双曲线C:琴-器=1(a>0,b>0)的一条渐近线的 倾斜角为，虚轴长为2 (1)求双曲线C的方程； (2)直线：x+1=my与双曲线C的左支交于A,B两点，点D与点A关于x轴对称 (①)求m的取值范围； ()求证：直线BD过定点 目目 考点05 双曲线中的定点、定值、定直线问题 33.(24-25高二上·三晋联盟山西名校期中)已知0为坐标原点，双曲线 C:等-器=1(a>0,b>0)的左右顶点分别为AA2圆x2+y2=1过点A2,与双曲 6/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线C的渐近线在第一象限的交点为D,且AD=V及 (I)求C的方程： (2)过点M(-t,0)(t>a)且斜率不为0的直线1与双曲线C的左、右两支的交点分别为Q, P,连接QO并延长，交双曲线C于点R,记直线A1R与直线AP的交点为B,证明：点B在 曲线十过 =1上 34.(23-24高二上山西吕梁孝义·月考)已知动点P到点F(2,0)的距离等于其到直线x=距 离的2倍，记点P的轨迹为曲线T. (1)求曲线Γ的方程； (②)已知斜率为k的直线1与曲线r交于点AB,O为坐标原点，若0A⊥OB,证明： 京+为定值。 35.(2-23高二上山西太原期未)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左右焦点分 别为F1F2,离心率为W2,P(2,-V2)是C上一点 (1)求双曲线C的方程； (2)直线过点(1,0)，与双曲线的右支交于AB两点，点D与点B关于x轴对称，求证： AD两点所在直线过点F2 36。已知双曲线E:器-器=1的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线 x-y+V6=0相切： (1)求双曲线E的方程； (②)已知点F为双曲线E的左焦点，试问在x轴上是否存在一定点M,过点M任意作一条直线 1交双曲线E于P,Q两点，使F予.F司为定值？若存在，求出此定值和所有的定点M的坐标： 若不存在，请说明理由 37.在平面直角坐标系x0y中，已知点F1(-V17,0)、 F2(V7,0),MB-MF2=2,点M的轨迹为C (1)求C的方程； (2)设点T在直线x=专上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P,Q两点，且 7/8 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 |TA·|TB|=|TP|·|TQ,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和 38.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知双曲线C: 器-器=1(a>0,b>0)的右 焦点为F(4,0),右顶点为A,直线：x=1与x轴交于点M,且AM|=AF|: (1)求C的方程： (2)点B为1上不同于点M的动点，直线BF交y轴于点R,过B作C的两条切线，分别交y轴于 P,Q两点，交x轴于S,T两点. ①证明：R是PQ的中点； ②证明： 器=儡 39.(23-24高二下·山西运城三晋卓越联盟期中)已知A,B分别是双曲线 C:器-器=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P是C上异于A,B的一点，直线PA,PB的 斜率分别为k1k2,且k1k2=AB=4 (I)求双曲线C的方程， (2)已知过点(4,0)的直线1交C于D,E两点（异于A,B),直线AD与直线BE交于点Q.求证 点Q在定直线上 8/8