专题04 圆与方程（4大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

专题04圆与方程 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 圆的方程与定义 考点02 圆的几何性质 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 圆的方程与定义 地 城 考点01 1．(23-24高二上·山西大同·期中)已知圆的圆心在直线上，且圆与两坐标轴都相切，则圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可知圆方程可表示成的形式，逐一对比选项即可得出答案. 【详解】根据题意可设圆心坐标为，则半径， 所以圆的方程为， 显然A错误，C正确； 易知选项B可化为，可知B错误； 选项D可化为，可知D错误； 故选：C 2．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)圆心为点，半径的平方为5的圆的一般方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的标准方程化到一般方程，再作选择即可. 【详解】圆心为点，半径的平方为5的圆的标准方程为， 展开化为一般方程为． 故选：B． 3．(20-21高一·4.1.1圆的标准方程-《·)已知圆的圆心是直线与直线的交点，直线与圆相交于，两点，且，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可. 【详解】直线与直线的交点为，所以圆心为， 设半径为，由题意得，即解得， 故圆为. 故选：A. 4．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知，则外接圆的半径为（    ） A． B．2 C． D．5 【答案】A 【分析】求和的垂直平分线方程，然后解方程组可得圆心，然后可解. 【详解】依题意可得，线段的垂直平分线方程为， 又的中点为，直线的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率为，得方程为，即， 解方程组得，即圆心坐标为， 所以半径． 故选：A    5．(24-25高二上·山西太原·期中)圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的一般式化为标准式，即可得到结果. 【详解】将圆化为标准式可得， 所以圆心为. 故选：A 6．(23-24高二上·山西吕梁·期中)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台 的北偏东 方向 处设立观测点 ，在平台 的正西方向处设立观测点，已知经过 三点的圆为圆，规定圆 及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系. 经观测发现，在平台 的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ） A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BCD 【分析】对于A，由题意可得点的坐标，结合两点间的距离公式计算即可验证；对于B，结合三点坐标，利用待定系数法求解圆的方程即可验证；对于C，由题意可知小汽车行驶路线所在直线的斜率以及它经过点，由点斜式写出直线方程验证即可；对于D，将圆的方程化为标准方程得圆心坐标，半径，只需比较圆心到小汽车行驶路线所在直线的距离和半径即可. 【详解】由题意, 得, 所以, 即观测点之间的距离是 , 故错误； 设圆的方程为 , 因为圆 经过 三点, 所以 ，解得， 所以圆 的方程为 , 故 B 正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为, 又点的坐标是, 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为, 故C正确； 圆化成标准方程为 , 圆心为, 半径 , 圆心到直线的距离, 所以直线与圆相交, 即小汽车会进入安全预警区, 故D正确. 故选：BCD. 7．(24-25高二上·山西运城·期中)已知圆与圆内切，则的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据两圆内切得，运算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为圆与圆内切，所以，即，解得或. 故选：BD. 8．(24-25高二上·山西朔州怀仁大地学校高中部·期中)已知直线，，则以，的交点为圆心，且经过点的圆的方程是 . 【答案】 【分析】求得两直线交点坐标可得圆心，计算得出半径可求出圆的方程. 【详解】由题意联立，的方程，解得， 即交点为，所以所求圆的圆心是， 半径为， 故所求圆的方程为. 故答案为： 9．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意确定圆心位置，求出其坐标，继而求得圆的半径，即可得答案. 【详解】由圆经过点和，可知圆心在直线上， 又圆心在直线上，联立，得， 所以的坐标为，半径， 所以圆的方程为， 故答案为： 10．(23-24高二上·山西朔州怀仁第一中学校·期中)已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理，结合直角三角形面积用表示，再借助点到直线的距离求出最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 由过作圆的两条切线，切点分别为，，得，垂直平分， 因此，即有 设，则，显然当最小时，的值最大， 此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，， 所以的最小值为． 故答案为： 地 城 考点02 圆的几何性质 11．(23-24高二上·山西大同·期中)已知满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意由圆中几何意义求解表达式范围即可. 【详解】由题知， 设为圆上一动点， 设， 因为，所以在圆外， 则，其中表示圆上点P与点Q距离的平方， 因为，圆半径， 所以，即 所以. 故选：D 12．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分析得到点，的“对称距离”，相当于点关于直线：的对称点与点的距离，设圆关于的对称圆为圆，转化为两圆上的点，的距离的最小值，由于两圆外离，点到的距离的最小值的两倍即为所求，得到答案. 【详解】点，的“对称距离”， 相当于点关于直线：的对称点与点的距离， 所以当点，在圆上时，点在圆关于的对称圆上， 又圆心到直的距离，所以圆与相离，从而圆与圆外离． 所以，的“对称距离”的最小值，即为两圆上的点，的距离的最小值， 也即点到的距离的最小值的两倍， 其中点到的距离最小值为圆心到直的距离减去半径，即， 所以所求最小值为． 故选：D 13．(23-24高二上·山西太原·期中)已知点在圆上，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为 D．过P作直线，使得直线与直线的夹角为，设直线与直线的交点为，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆与圆的位置关系、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，直线和圆相离， 所以的最小值为，A选项正确. 由于是直线上任意一点，所以没有最大值， B选项错误. 对于D选项，由于直线与直线的夹角为， 所以等于到直线的距离的倍， 所以的最大值为，D选项正确. 对于C选项，设，的中点为， ， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 整理得， 由、两式相减并化简得， 即直线的方程为， 到直线的距离为， 所以， 对于函数， 所以恒成立，当时， 取得最小值为， 所以，所以， 所以，所以C选项正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：求解直线和圆的位置关系有关题目，主要的方法是数形结合的数学思想方法，根据图象以及圆的几何性质来对问题进行研究.求解圆与圆相交所得弦长，可利用两个圆的方程相减来求得相交弦所在直线方程. 14．(24-25高二上·山西太原·期中)已知点是圆上的动点，则下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据斜率，两点间的距离，以及直线的纵截距的集合意义即可求解. 【详解】由圆可知，圆心为，半径为， A选项，设，则， 当直线与圆相切时，有最值，则 ，解得，则的最小值为，故A选项正确； B选项，因为，表示圆上的点到距离的平方和， 故，则，故B选项正确； C选项，当时，此时，故C选项错误； D选项，令，则当直线与圆相切时有最值， 即，解得，所以的最大值为，故D选项正确； 故选：ABD 15．(24-25高二上·山西大同平城区恒德学校·期中)已知圆，为圆上一点，点，，则（    ） A．当最小时， B．当最大时， C．的取值范围为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据圆切线的性质，数形结合判断A、B；问题化为直线与圆有公共点，求参数范围判断C；问题化为点与点距离的平方判断D. 【详解】由，知且半径为，如下图示， 当取得最大值或最小值时，直线AP与圆相切， 利用切线的性质，两种情况的切线长均为，A，B正确； 设，则点在直线上， 又在圆上，故直线与圆有公共点， 所以，即，解得，故C错误； 表示点与点距离的平方， 点与点的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 故选：ABD 16．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知平面内的动点到两定点的距离分别为，且，则点到直线的最大距离为 ． 【答案】 【分析】由题意，结合两点距离公式求得动点的轨迹为圆，再利用圆上的点到直线的距离的最值求法即可得解. 【详解】依题意，设动点为， 则由，得， 整理得，即， 故动点的轨迹是半径为，圆心为的圆， 因为圆心到直线的距离， 所以点到此直线的最大距离为． 故答案为：. 直线与圆的位置关系 地 城 考点03 17．(23-24高二上·山西太原·期中)已知直线，圆，则直线l与圆C的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】A 【分析】求出直线所过定点，再根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】已知直线，变形为， 由，即直线恒过定点， 代入圆的方程的左端有，即点在圆内， 所以直线与圆相交， 故选：A 18．(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)下列关于直线与圆的说法不正确的是（    ） A．若直线与圆相切，则为定值 B．若，则直线被圆截得的弦长为定值 C．若，则圆上仅有两个点到直线的距离相等 D．当时，直线与圆相交 【答案】C 【分析】计算圆心到直线的距离，利用几何法可判断ACD选项的正误，求出弦长可判断B选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为1. 对于A选项，若与圆相切， 则，可得，A正确； 对于B选项，若，圆心到直线的距离为，此时直线被圆截得的弦长为，B正确； 对于C选项，因为，圆心到直线的距离为，此时圆上有3个点到直线的距离相等， C错误； 对于D选项，当时，直线的方程为，即直线过定点，又因为，可得点在圆内，故直线与圆相交，D正确. 故选：C 19．(24-25高二上·山西太原·期中)已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，且当直线与直线垂直时，弦最短，代入计算，即可得到结果. 【详解】由直线可得， 令，解得，所以直线恒过定点， 且圆的圆心，半径为， 易知当直线与直线垂直时，弦最短，且， 所以. 故选：D 20．(23-24高二上·山西·期中)直线与圆交于A，B两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式，以及弦长公式即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为4， 由题意得圆心M到直线的距离， 则， 所以的面积为． 故选：A    21．(24-25高二上·山西运城·期中)已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【详解】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D 22．(23-24高二上·山西·期中)若曲线与圆恰有4个公共点，则m的值可能是（    ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】因为曲线表示两条直线，然后根据两直线与圆都相交，且两直线的交点不在圆上列不等式组求解即可. 【详解】曲线表示直线和， 解得. 因为曲线与圆恰有4个公共点， 所以直线，均与圆相交， 且两直线的交点不在该圆上， 又圆的圆心为，半径为， 所以，解得． 故选：AC 23．(24-25高二上·山西太原·期中)已知圆经过直线与圆的公共点和点，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】先联立直线与圆的方程求出公共点，再用待定系数法结合圆所过的点即可求解圆的一般方程. 【详解】联立或， 所以直线与圆的公共点为和， 所以圆经过点、和点， 设圆的一般方程为， 则， 所以圆的一般方程为. 故答案为：. 24．(24-25高二上·山西大同·期中)若圆与曲线有两个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆、曲线的对称性，只需分析与圆只有一个交点即可，分相切与相交两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为坐标原点，关于轴对称， 因为为偶函数，函数图象关于轴对称，所以曲线的图象也关于轴对称， 所以只需研究与圆只有一个交点即可， 当与圆相切时，则， 当与圆相交时（只有一个交点），则， 综上可得的取值范围为. 故答案为： 25．(23-24高二上·山西大同·期中)已知过点的直线交于两点，，直线交直线于点，且.记点的轨迹为.    (1)求的方程； (2)设与交于点，若，求. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据平行关系和半径相等得到，故，求出，由椭圆定义得到点的轨迹，求出轨迹方程； （2）直线的斜率不存在时，不符合要求，故设直线的方程，由垂径定理和点到直线距离公式得到方程，求出，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案. 【详解】（1），圆心为，由于，故半径为， 因为，所以， 又， 所以. 所以，故，解得， 故，由于， 故点的轨迹是以为焦点，长轴长为6的椭圆且除去长轴的两个端点， 则， 点的轨迹的方程为：. （2）当直线的斜率不存在时，此时四点共线， 故不满足平行关系，舍去； 设直线的方程为，点到直线的距离， 由垂径定理得，即，解得，    联立，可得， 设，则， . 根据椭圆的对称性知当时，仍有. 所以. 26．(24-25高二上·山西太原·期中)已知圆与圆. (1)若圆与圆相内切，求的值； (2)在（1）的条件下，直线被圆截得的弦长为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别得到两圆的圆心与半径，再由两圆内切列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由点到直线的距离公式结合弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1），，， ，， ，，， 圆与圆相内切，，， . （2）由（1）得，圆的方程为，，， 故圆心到直线的距离， . 27．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知在中，，，，记的外接圆为圆. (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【详解】（1）（方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 （2）圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 28．(24-25高二上·山西部分学校·期中)（1）求两焦点分别为，，且过点的椭圆的标准方程； （2）求与x轴相切，圆心在直线上，且截直线所得弦长为的圆的方程. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）根据给定条件，利用椭圆的定义求出方程. （2）根据给定条件，设圆心，利用切线性质及弦长公式列式求出圆心及半径即可得解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 则，解得， 而椭圆的半焦距，则， 所以所求椭圆的标准方程为. （2）依题意，由圆心在直线上，设所求圆的圆心为， 由圆与x轴相切，得所求圆的半径，圆心到直线的距离， 由截直线所得弦长为，得，解得， 因此所求圆的圆心为或，半径为， 所以所求圆的方程为或. 29．(24-25高二上·山西运城·期中)在平面直角坐标系中，直线与的交点是圆C的圆心，直线与圆C相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若过点的直线l与圆C有且只有一个公共点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）联立方程组求出圆的圆心的坐标，利用点到直线的距离公式求出圆的半径，得解； （2）由题可得直线与圆相切，分直线斜率不存在和存在讨论求解. 【详解】（1）联立方程，解得 所以圆的圆心的坐标为， 又由圆与直线相切，可得圆的半径为， 可得圆的标准方程为； （2）由直线与圆有且只有一个公共点，可得直线与圆相切， ①若直线斜率不存在，此时直线方程为：，与圆相切，合题意； ②当直线斜率存在时，设，即， 根据圆心到切线距离等于半径可得，得， 所以此时直线的方程为， 综上，直线的方程为或． 30．(24-25高二上·山西大同·期中)已知圆和点. (1)过点作一条直线与圆交于、两点，且，求直线的方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为、，求所在的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接检验即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数值，综合可得出直线的方程； （2）求出以点为圆心，半径为的圆的方程，将该圆方程与圆的方程作差，即可得出直线的方程. 【详解】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时圆心到直线的距离为，合乎题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. （2）因为，则， 所以以点为圆心，为半径为圆的方程为， 则线段可视为圆与圆的相交弦， 将上述两圆的方程作差可得. . 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 31．(22-23高二上·山西山西大学附属中学校·期中)以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．两圆与的公共弦所在的直线方程为 C．已知圆：，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中A为切点，则的最小值为 D．圆：与圆：恰有三条公切线 【答案】D 【分析】代入检验法判断A，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程（如果有公共弦），由此判断B，求出圆心到直线的距离得的最小值，从而得切线最小值判断C，确定两圆位置关系后得公切线的条数判断D． 【详解】选项A，不可能恒成立，因此直线不恒过点，A错； 选项B，两圆方程相减并整理得，因此它们的公共弦所在直线方程不可能是，B错； 选项C，，圆半径为，， 而，所以，C错； 选项D，两圆标准方程分别为，， ，，，， ，而，两圆外切，它们有三条公切线，D正确． 故选：D． 32．(24-25高二上·山西晋中榆社中学·期中)已知圆和点，若点在圆上，且 ，则实数的最小值是（    ） A． B．6 C．-6 D． 【答案】D 【分析】设，根据得到方程，分，，三种情况，结合两圆有公共点，从而由圆心距和半径之间的关系得到不等式，求出答案. 【详解】设，由，得， 化简得， 若，此时不存在，舍去， 若，此时点坐标为，但不满足， 故不合要求，舍去， 若，即点在圆 上， 圆心为，半径. 圆的圆心为，半径，又点在圆上，故圆与圆有公共点， 所以，解得596， 所以或，即的最小值为. 故选：D. 33．(21-22高二上·山西长治上党区第一中学校·月考)已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则m的最大值为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】由题意得点轨迹，转化为有交点问题 【详解】，记中点为，则，故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆， 又P在圆C上，所以两圆有交点，则，而， 得． 故选：B 34．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知，直线与的交点在圆 上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线过定点以及垂直关系确定点在以为直径的圆上，进而根据两圆的位置关系即可求解. 【详解】由直线，的方程知直线过定点，直线过定点， 又，所以，即，所以点在以为直径的圆上， 的中点,, 故在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点， 即，又，所以，即的取值范围是． 故选:D． 35．(23-24高二上·山西太原山西大学附属中学校·期中)圆：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．两圆公共弦所在的直线方程为 B．两圆的位置关系为外切 C．公共弦长为 D．两圆有四条公切线 【答案】AC 【分析】先用两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程；求出两圆圆心和半径，求出圆心距，与半径之差、半径之和比较可判断位置关系，根据位置关系可得出公切线条数，求出圆心到直线距离，可求出公共弦的长度. 【详解】将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程为，故A正确； 圆的圆心为，半径为， 由可得， 即圆的圆心为，半径为，则两圆的圆心距为， 因为，所以两圆相交，公切线有两条，故BD错误； 点到直线的距离为，则公共弦的长度为，故C正确； 故选：AC. 36．(23-24高二上·山西太原·期中)已知圆与圆关于直线l对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．圆与圆相交 C．直线的方程为 D．直线l的方程为 【答案】BD 【分析】根据对称性求得，然后根据两个圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆即， 根据对称性可知，解得，所以A选项错误. 此时，圆心为，半径. ， 由于，所以两圆相交，B选项正确. 直线的方程，所以C选项错误. 线段中点坐标为，直线斜率为， 所以直线l的方程为，所以D选项正确. 故选：BD 37．(23-24高二上·山西实验中学·期中)已知点P是直线：和：（m，，）的交点，点Q是圆C：上的动点，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析直线分别过定点，点P的轨迹是以为直径的圆，结合圆的性质运算求解. 【详解】因为直线：，即， 令，解得，可知直线过定点， 同理可知：直线过定点， 又因为，可知， 所以直线与直线的交点P的轨迹是以的中点，半径的圆， 因为圆C的圆心，半径， 所以的最大值是. 故答案为：． 38．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 39．(23-24高二上·山西大同·期中)已知. (1)当时，与相交于两点，求直线的方程； (2)若与相切，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）两圆相交，两个方程作差即为交点弦所在直线方程. （2）两圆相切，分内切与外切分别讨论求参数a的值. 【详解】（1）当时，， 则用与作差得： ， 化简得：， 即直线的方程为 （2）， ,， 半径，半径， 当两圆外切时，，解得， 当两圆内切时，，解得. 40．(23-24高二上·山西太原·期中)已知圆的圆心在x轴上，且经过和两点． (1)求圆的一般方程； (2)求圆与圆的公共弦的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）先求得公共弦所在直线方程，再结合点到直线的距离公式以及勾股定理求得公共弦长. 【详解】（1）设，由得，解得，则， ，所以圆的标准方程为，半径为， 所以圆的一般方程为. （2）圆即，圆心为，半径为， 两点的距离为，而，所以两圆相交， 由、， 两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 41．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知圆的圆心在直线：上，且圆与两坐标轴都相切，圆：． (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆相切，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）根据题意先根据圆心在直线l上并且与坐标轴相切求出圆心坐标和半径，再根据圆心和半径写出圆的标准方程. （2）讨论两圆内切和外切的情况，利用两圆相切圆心距与两圆半径的关系可得到关于a的关系式，进而求出a的值. 【详解】（1）由圆与两坐标轴都相切可知，圆的圆心在直线或上， 又直线与直线平行，所以圆心在直线上． 联立，可得圆心，半径， 所以圆的标准方程为． （2）由题意：， 可得圆心，半径， 所以． 当两圆外切时，，解得， 当两圆内切时，，解得． 综上，的值为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04圆与方程（4大题型) ☆4大高颜考点概览 考点01圆的方程与定义 考点02圆的几何性质 考点03直线与园的位置关系 考点04园与圆的位置关系 目目 考点01 圆的方程与定义 1.(23-24高二上山西大同·期中)已知圆C的圆心在直线y=X上，且圆C与两坐标轴都相切， 则圆C的方程可以为() A.（x-1)2+(y-12=2 B.x2+y2+2x-2y+1=0 C.(x+12+(y+12=1 D.x2+y2+2x+2y-1=0 2.(24-25高二上山西晋城多校期中)圆心为点3,4，半径的平方为5的圆的一般方程为 () A.x-32+y-42=25 B.x2+y2-6x-8y+20=0 C.x-32+y-42=5 D.x2+y2-3x-4y+5=0 3.(20-21高一·4.1.1圆的标准方程-《)已知圆C的圆心是直线x+y+1=0与直线 x-y-1=0的交点，直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点，且AB=6,则圆C 的方程为() A.x2+y+12=18 B.x2+y-1}2=3V2 C.x-12+y2=18 D.x-12+y2=32 4.(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知A0,5,B0,1,C3,4,则△ABC外接圆 的半径为() A.5 B.2 c.V10 D.5 5.(24-25高二上山西太原，期中)圆x2+y2+6x-2y=0的圆心坐标为() 1/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-3,1 B.3,-1 C.-6,2 D.(6,-2 6.(23-24高二上山西吕梁期中)某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外 围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向402m 处设立观测点A,在平台O的正西方向240m处设立观测点B,已知经过O,A,B 三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向 为X轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台O的正南方向 200m的P处，有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶，则() VA A.观测点A,B之间的距离是280m B.圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0 C.小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x-200 D.小汽车会进入安全预警区 7.(4-25高=上山西运城期中已知圆C,:(x-mP+y=1与圆C,:(x-2}+y-mP=9 内切，则m的值可以为() A.-1 B.0 C.1 D.2 8.(24-25高二上·山西朔州怀仁大地学校高中部期中)已知直线l1:3x-y+4=0, 12:x+2y-1=0,则以l1,12的交点为圆心，且经过点A3,4的圆的方程是 9.(23-24高二上山西吕梁期中)已知圆M经过点0,2，(0,4，且圆心M在直线 2x-y-1=0上，则圆M的方程为 10.(23-24高二上山西朔州怀仁第一中学校期中)已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0,点 M是直线x=3上的动点，过M作圆C的两条切线，切点分别为E,F,则EF的最小值为 目目 考点02 圆的几何性质 2/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.2324商二上山西大同期中)已知x,y满足(x-2+y-3=2则X+2x+y的取 值范围是() A.2V2,42B.8,32 C.2V2-1,4V2-1D.7,31 12.(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知点Ax1,y1,BX2,y2,定义 X+y,+x2+y,为A,B的“对称距离”.若点A,B在圆C:(x-4+y=4上，则 A,B的“对称距离”的最小值为() A.2 B.2V2 C.V2+1 D.4V2-4 13.(23-24高二上山西太原·期中)已知点P在圆C:x2+y2=1上，点Q在1：V3x-y+3=0 上，则下列说法正确的是（) A.PQ的最小值为2 5 B.PQ的最大值为 C.过Q作圆O的切线，切点分别为M,N,测则MN的最小值为2 3 D.过P作直线'，使得直线1'与直线1的夹角为30°，设直线与直线的交点为T,则 PT的最大值为5 14.(24-25高二上山西太原期中)已知点P(x,y是圆M:x-22+y2=1上的动点，则下列 说法正确的是() A.的最小值为-西 X 3 B.x2+y2+2x-6y的最小值为9-62 C.x-y的最大值为2+1 D.2x+y的最大值为4+5 15.(24-25高二上山西大同平城区恒德学校：期中)已知圆C:(x-4)2+(y-3)2=1, P(m,n)为圆C上一点，点A(6,0),B(0,3),则() A.当∠PAB最小时，乙PAVi23 3/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.当∠PAB最大时，乙PAV元2V3 C.m-2n的取值范围为2-V5,2+5] D.(m+1)2+(n+2)2的最小值为51-102 16.(23-24高二上山西运城部分学校·期中)已知平面内的动点P到两定点A2,0,B6,0的 距离分别为d1,d2,且d1:d2=1:3,则点P到直线3x-4y+3=0的最大距离为一. 目目 考点03 直线与圆的位置关系 17.(23-24高二上山西太原·期中)已知直线1：(1+入)x+y-=0(2∈R),圆C:x2+y2=4, 则直线1与圆C的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 18.(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)下列关于直线：y=kx+b与圆 C:x2+y=1的说法不正确的是（) A.若直线1与圆C相切，则b2-k2为定值 B.若4b2-k2=1,则直线l被圆C截得的弦长为定值 C.若4b2-k2=1,则圆上仅有两个点到直线1的距离相等 D.当b=时，直线与圆相交 19.(24-25高二上山西太原·期中)已知直线：x+1-my+m=0m∈R与圆C:x2+y2=4 相交于A,B两点，则AB的最小值是() A.1 B.2 C.2 D.22 20.(23-24高二上山西期中)直线3x+4y=0与圆M:x-22+y-12=16交于A,B两 点，则△MAB的面积为() A.43 B.4V2 C.23 D.22 21.(24-25高二上山西运城期中)已知⊙M:x2+y2-4x-4y+4=0,直线 :2x+y+4=0,P为1上的一动点，A,B为⊙M上任意不重合的两点，则Cos∠APB的 最小值为() A.、 10 B.5 c 22.(23-24高二上山西期中)若曲线x+33x-y-2=0与圆x2+y-m2=m2恰有4 4/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个公共点，则m的值可能是() 。哈 C.-2 D.2 23.(24-25高二上·山西太原期中)己知圆C经过直线y=x-1与圆x2+y2=1的公共点和点 1,1,则圆C的一般方程为一 24.(24-25高二上山西大同期中)若圆C:x2+y2=r2(r>0)与曲线y=(xV-2有两个公共 点，则r的取值范围为 25.(23-24高二上山西大同期中已知过点P0,n的直线交 ⊙C:x2+y+2ny-8n=0(n>0)于M,N两点，PQ/iCM,直线PQ交直线CN于点Q, 且PQ+CQ=6.记点Q的轨迹为Γ. (1)求T的方程； (2)设MN与T交于点A,B,若MN=82,求AB. 26.(24-25高二上·山西太原期中)已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-4y+F=0, (1)若圆C1与圆C2相内切，求F的值； (2)在(1)的条件下，直线y=kx被圆C2截得的弦长为42，求实数k的值 27.(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知在△ABC中，A2,1,B2,3,C6,1, 记△ABC的外接圆为圆M. (I)求圆M的标准方程： (2)求过点A且与圆M相切的直线的方程. 28.(24-25高二上山西部分学校·期中)(1)求两焦点分别为F（-2,0),F,（2,0),且过点 )的椭圆的标准方程： 5/8 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且截直线y=x所得弦长为27的圆的方程. 29.(24-25高二上山西运城期中)在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与y=2x-3的交 点是圆C的圆心，直线y三x与圆C相切。 (1)求圆C的标准方程： (2)若过点Q1,3的直线1与圆C有且只有一个公共点，求直线1的方程. 30.(24-25高二上山西大同·期中)已知圆C:x2+y2-4x+2y-5=0和点M1,-5. (I)过点M作一条直线与圆C交于A、B两点，且AB=6,求直线AB的方程： (2)过点M作圆C的两条切线，切点分别为E、F,求EF所在的直线方程. 目目 考点04 圆与圆的位置关系 31.(22-23高二上山西山西大学附属中学校期中)以下四个命题表述正确的是() A.直线mx+4y-12=0(m∈R)恒过定点3,0 B.两圆x2+y2+4x-4y=0与x2+y2+2x-12=0的公共弦所在的直线方程为 x+2y+6=0 C.已知圆C:x2+y=2,P为直线x+y+23=0上一动点，过点P向圆C引条切线 PA,其中A为切点，则PA的最小值为2 D.圆C1:x2+y2+2x=0与圆C2:x2+y2-4x-8y+4=0恰有三条公切线 32.(24-25高二上山西晋中榆社中学·期中)已知圆C:(x+6)2+(y-7)}=49和点 A(0,-4),B(0,2),若点M在圆C上，且dAMi2+乙元BM=m2,则实数m的最小值是 () A.2/149 B.6 C.-6 D.-2149 33.(21-22高二上山西长治上党区第一中学校·月考)已知圆C:(x-62+y-82=1和两点 A-m,0,Bm,0m>0,若圆C上存在点P,使得∠APB=90°，则m的最大值为 () A.12 B.11 C.10 D.9 34.(23-24高二上·山西吕梁期中)已知m∈R,直线l1:x+y+2m=0与 12:x-my+2m=0的交点P在圆C:(x-2)2+(y-4)2飞r2(r>0)上，则r的取值范围是 6/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 () A.(2,2V2B.|2,2V2 C.22,4V2 D.22,42 35.(23-24高二上山西太原山西大学附属中学校：期中)圆C1:x2+y2=4与圆C2: x2+y2-4x+4y-12=0,则下列说法正确的是(） A.两圆公共弦所在的直线方程为X-y+2=0B.两圆的位置关系为外切 C.公共弦长为2V2 D.两圆有四条公切线 36.(23-24高二上山西太原·期中)已知圆C1:x2+y2=4与圆C2:x2+y2+4x-4y+F=0关 于直线1对称，则下列说法正确的是() A.F=8 B.圆C1与圆C2相交 C.直线C1C,的方程为x-y=0 D.直线1的方程为x-y+2=0 37.(23-24高二上山西实验中学·期中)已知点P是直线L1:mx-y-5m+n=0和l2: nx+my-5m-n=0(m,n∈R,m2+n≠0)的交点，点Q是圆C:x+12+y2=1上的 动点，则PQ的最大值是一 38.写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 39.(23-24高二上山西大同期中)已知 ⊙C1:x2+(y+2}2=9,⊙C2:x2+y2-2ax+22-ay+(a-22=0(a>0). (1)当a=2时，⊙C1与⊙C2相交于A,B两点，求直线AB的方程： (2)若⊙C1与⊙C2相切，求a的值. 40.(23-24高二上·山西太原·期中)已知圆M的圆心在x轴上，且经过A0,1和B3,2两点. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆x2+y2-4y+3=0的公共弦的长. 41.(24-25高二上山西晋城多校期中)已知圆C1的圆心在直线：x-y+4=0上，且圆C1 与两坐标轴都相切，圆C2:x2+y2+24-ax-2ay-2a2-8a+16=0(a>0): 7/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求圆C的标准方程： (2)若圆C1与圆C2相切，求a的值. 8/8