专题05 椭圆与方程（5大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题05 椭圆与方程(5大题型) ☆5大高频考点概览 考点01 椭圆的定义 考点02椭圆的方程 考点03椭圆的离心率 考点04直线与椭圆位置关系 考点05椭圆中的定点、定值问题 目目 考点01 椭圆的定义 1.(23-24高二上·江西南昌南昌县莲塘第二中学月考)平面直角坐标系中点M(x,y)满足 x-1)+y2+Vx+1)+y2=2,则点M的轨迹为() A.线段 B.圆 C.椭圆 D.不存在 2.(23-24高二上山西昌梁期中)已知P1,F2分别是椭圆C:等+号=1的左，右焦点，M 是椭圆C上一点，且MF1⊥F1F2,则Cos∠F1MF2=() A.月 B.月 c. D.35 3.(23-24高二上山西太原期中)已知椭圆C:号+若=1的左、右焦点分别为FF2,点M 在C上，点N的坐标为(3，V5),则MN+MF1的取值范围为() A.[V30,4+6] B.[30,6+6]c.[4+V6,6+6] D.[6+6,9+6] 4.(22-23高二上山西长治上党区第一中学校等名校期中)已知左、右焦点分别是F1F2的 椭圆C:等+导=1(a>b>0)的离心率为e,过左焦点的直线与椭圆C交于AB两点，线 段AB的中点为P,现有下列说法： ①△ABF2的周长为4a; ②若直线0P的斜率为kAB的斜率为k2,则k1k2=-器： ⑧若A京·A京2=5c2,则e的最小值为号： 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④若A码·A京2=6c2,则e的最大值为 其中正确说法的序号为() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 5.已知椭圆等+若=1，FF2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点， cos∠F1PF2=,则P0=（) A.目 B.回 c. D.画 6.(多选)已知椭圆等+F=1(0<b<2)的左、右焦点分别为R1,F2,过点R1的直线 1交椭圆于A,B两点，若|AF2+|BF2的最大值为5，则() A.椭圆的短轴长为2√3 B.当AF2+|BF最大时， AF2=BF2 C.离心率为9 D.AB|的最小值为3 7.(23-24高二上江西部分学校月考)已知椭圆C:器+号=1的左焦点为F,点P是C上任 意一点，则PF的值可能是() A.克 B.3 C.6 D.8 8.(Q2-23高二上山西晋中平遥县第二中学校)P为椭圆品+器=1上的一点，F1和F2是 其左右焦点，若∠FPF2=60°，则△FPF2的面积为 9.(2425高二上山西太原期中已知点F是椭圆C:等+号=1的左焦点，P为C上一点， A(0,1),则PA+PF的最小值是 目目 考点02 椭圆的方程 10.(23-24高二上山西大同期中已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)经过点(0,2)，当k变 动时，C截得直线y=kx的最大弦长为4V2,则C的方程为() A.晋+=1 B.等+号=1 C.器+号=-1 D.器+=1 2/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25高二上·山西太原期中)过点(3,0)和(0,2)的椭圆的标准方程为（) A.号+号=1B.号+号=1 c.+号=1 D.￥+号=1 12.23-24高二上山西实验中学期中)已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A是圆上 任意一点，N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.线段 13.(23-24高二上江西大联考期中)已知方程器+器=1表示的曲线为C,则() A.当6<t<9时，曲线C表示椭圆 B.存在tER,使得C表示圆 C.当t>9或t<6时，曲线C表示双曲线 D.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则焦距为2√⑤ 14.(23-24高二上山西昌梁期中)已知关于x,y的方程器+器=1表示的曲线是E, 则曲线E可以是() A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 15.(23-24高二下山西长治部分学校期末若方程器+二=1表示椭圆，则m的取值 范围是」 目目 考点03 椭圆的离心率 16.(2425高二上山西太原期中)已知椭圆C:等+爷=1(a>b>0)的左、右焦点分别 是F1,F2,若椭圆C上存在点M使得∠FMF2=120°，则椭圆C离心率e的取值范围为() A.(o,号] B.[9, c.(0,] D.[1) 17.(23-24高二上山西大同期中)已知椭圆C:等+爷=1(a>b>0)的左，右焦点分别为 FyF2,点AB在C上，四边形AFF2B是等腰梯形，AF1=F1F,∠BAF1<号，则C 的离心率的e取值范围是() A.(0,青) B.(学) c.(号，)D.() 18.2425高二上山西智城多校期中)已知椭圆C:等+器=1(a>b>0)的左、右顶 3/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 点分别为A,B,左焦点为F,点P在过点B且斜率为-2的直线上，AP的中点Q在C上，且 QF⊥AB,则C的离心率为() A.吉 B.V2-1 c.5-1 D.3-2V2 19.设椭圆C1:+y2=1(a>1)C2:等+y2=1的离心率分别为ee2,若e2=V3e1, 则a=() A.2 B.V2 c. D.6 20.(24-25高二上山西大同期中椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受 到一些艺术制品设计者的青睐现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜 椭圆”组成（如图）.在平面直角坐标系xOy中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转 一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”C的方程为x2+y2一y=9,则该“斜椭圆C的 离心率为() A. B.号 C. D. 21.(23-24高二上山西运城部分学校期中)已知椭圆C1和双曲线C2有共同的焦点F1F2.设 椭圆C1的离心率为e1,双曲线C2的离心率为e2P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且 满足P+P厅引=P丽1-P严引，则下列结论正确的是() A.e1e2=1 B.e1+e2=4 c房+清=2 D.e+e3=2 2.23-24高二上山西太原期中)已知点FF2分别是椭圆C:等+号=1的两个焦点，点 P在C上，则下列说法正确的是() A.|PF的最小值为V5-1 B.椭圆C的离心率e= C.△PF1F2面积的最大值为v⑤ D.tan∠F1PF的最大值为号 4/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 23.(2425高二上山西运城期中)已知椭圆C:器+y2=1(a>1且a为常数)的左、右 两个焦点分别为F1和F2,动直线1经过椭圆的左焦点F1与椭圆交于A,B两点，且 |AF2十|BF2的最大值为7，O为坐标原点，则下列说法正确的是() A.a=3 B.精圆C的离心率e=写 C.AB|∈[1,4] D.若0A10B,则川0A2+10B12=号 24.23-24高二上山西大同期中)已知焦点在x轴上的椭圆等+爷=16>0)的离心率为 县，则b= 25.2425商二上三晋联盟山西名校期申已知椭圆C1:等+爷=1(a>b>0)与双曲线 C2:器-器=1(m>0,n>0)有公共焦点R,F3C与C2在第一象限的交点为P,且 PR11PP2,记CC2的离心率分别为e1e2,则房+青= 目目 考点04 直线与椭圆位置关系 26.(23-24高二上山西运城部分学校期中)已知椭圆C:等+号=1，点A为椭圆C的左顶 点，点P坐标是(1，)，点Q为椭圆C上任意一点，则△APQ面积的最大值是() A.号 B.6 C.9 D.12 27.(23-24高二上山西太原山西大学附属中学校期中)已知椭圆E: 等+导=1(a>b>0)的右焦点为P(3,0),过点F的直线交椭圆于4，B两点，若 M(1,-1)且OA+0B=2O成，则E的方程为() A.苦+号=1B.等+若=1C.器+号=1D.器+若=1 28.23-24高二上山西太原山西大学附属中学校期中)已知椭圆C:普+号=1，左、右顶 点分别为A1A2 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()设直线1：x=2V5与x轴交于点D,P点是椭圆C异于A1A2的动点，直线A1P,AP分 别交直线1于E,F两点，求证：|DEDF为定值 (2)如图，原点O到1：y=kx+m距离为1，直线1与椭圆C交于A,B两点，直线l2: y=kx+n(mn>0,n≠m)与l1平行且与椭圆C相切于点M(O,M位于直线1的两侧). 记△MAB,△OAB的面积分别为SS2,若入=，求实数入的取值范围。 29.(23-24高二上山西昌梁期中已知椭圆E:器+=1(a>b>0)的左顶点、上顶点分 别为A,日，离心率为发，△0AB(0为坐标原点)的面积为1. (1)求椭圆E的方程； (2)已知过点C(3,0)的直线1交椭圆E于P,Q两点（点P,Q不在y轴上），直线BP,BQ分 别交x轴于点M,N,若M元=mO元，N元=nO元，且m+n=号，求直线的方程. 30.(2324高二上山西大同期中)椭圆P:等+号=1(a>b>0)的左，右焦点分别为FP2 ,左，右顶点分别为AB,点P在上已知△APR面积的最大值为，且△APB与 △F1PF2的面积之比为2：1 (1)求Γ的方程： (2)不垂直于坐标轴的直线1交T于M,N两点，M,N与A不重合，直线AM与AN的斜率之积 为一最证明：过定点 31.(24-25高二上·山西太原·期中)椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽 上各有一个活动滑标M,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体，D为旋杆上的一点且在M, N两点之间(ND|≠|DM).当滑标M在滑槽EF内作往复运动时，滑标N在滑槽GH内随 之运动，放置于D处的笔尖便可画出椭圆，即动点D的轨迹C为椭圆如图2所示.设EF与GH 交于点O,以EF所在的直线为x轴，以GH所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，记 6/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 |ND|=a,DM|=b(a>0,b>0) 图1 图2 (I)若MN=4,ND=3DM|,求椭圆C的方程： (②)证明：动点D的轨迹C为椭圆； (3)若a>b,过0作两条互相垂直的射线分别交椭圆C于点P、Q,求证：点0到直线PQ距 离为定值 目目 考点05 椭圆中的定点、定值问题 32.(24-25高二上山西大同期中)已知点4，B是椭圆C:x2+号=1的上、下顶点，点P满 足PB=2PA (1)求点P的轨迹方程； (2)是否存在点P,使得过点P的动直线1交椭圆C于M,N两点，且BM与BN的斜率之和为 定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。 3.(2324高=上山西太原期中已知精圆C:等+答-1(a>b>0)的离心率是复，且 经过点A(0,1)· (①)求椭圆C的方程； (2)若过点P(2,1)的直线1与椭圆C相交于两个不同的点B,C,直线AB,AC分别与x轴相 交于点M,N,证明：线段MN的中点为定点. 34.(24-25高二上山西晋城多校期中)阅读材料：1.A(xy1),B(x2y2)是平面内两 点，把这两点纵坐标伸缩成原来的7倍，横坐标不变，即A→A(&y), y,即 B→B(xy2),若直线AB的斜率存在，则k4B=彩，k= k4=k4B;2.把圆x2+y2=a2上所有点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的 7/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (a>b>0),或者把圆x2+y2=b2上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 (a>b>0>,可以得到椭圆器+器=1，即圆通过拉伸或压缩”得到椭圆。阅读上述材 料，并应用材料提供方法解决下面问题： ()A(xy),B(x2y2),C(x3y3)是平面内不共线三点，把这些点纵坐标伸缩成原 来的倍，横坐标不变，得到点A,B,C,△ABC,△AB'C的面积分别记为S1,S2, 求证式=入， (2)若直线：y=kx+m与椭圆C:等+号=1交于M,N两点，且kow·koN=-, 问△OMN的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由： (3)已知椭圆C:等+号=1的右焦点为F,椭圆的左，右顶点分别为A1,A2,过F的直线划 交椭圆C于P,Q,直线A1P,A2Q的斜率分别为k1,k2,求证安为定值 35.21-22高=上山西平遥中学校期中)已知椭圆C等+爷=1(a>b>0,四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,9),P4（1,)中恰有三点在椭圆c上. (I)求椭圆C的标准方程； (2)点P是椭圆C的上顶点，点Q,R在椭圆C上，若直线PQ,PR的斜率分别为k1k2,满 足k1·k2=,求△PQR面积的最大值. 36.(22-23高二上山西太原期中)已知平面上动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和M到定 直线x=2的距离的比是常数号，动点N的轨迹为曲线C直线！与曲线C交于 P(xy)Q(x2y2)两个不同的点 (1)若直线的方程为y=2x+2,求△OPQ的面积； ②若△0PQ的面积为号，证明：x12+x,2和y2+y:2均为定值 37.(22-23高二上山西太原期中)已知平面上动点M(x,y)与定点(1,0)的距离和M到定 直线x=2的距离的比是常数 动点M的轨迹为曲线C.直线的斜率存在，且与曲线C交 于P(xy)Q(x2y2)两个不同的点 (1)求曲线C的方程； ②若△0PQ的面积为号，证明：好+为定值 8/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 38.(②1-22高二上山西运城康杰中学期中)在平面直角坐标系x0y中，点M(-3,0),点 N(3,0),点P是平面内一动点，且直线PM的斜率与直线PN的斜率之积为一号，记点P 的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线： (2)过点(1,0)的直线1与C交于A,B两点，则在x轴上是否存在定点D,使得DA·DB的值 为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由 39.(21-22高二上山西长治第二中学校期中)己知点M(x,y)是平面直角坐标系上的一个 动点，点M到直线x=4的距离等于点M到点D(1,0)的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲 线C. (1)求曲线C的方程； (2)设点E为曲线C的上顶点，点P,Q是椭圆C上异于点E的任意两点，若直线EP与EQ的斜 率的乘积为常数入（入<0），试判断直线PQ是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标； 若不经过定点，请说明理由 40.21-22高二上山西怀仁期中)已知定圆A:(x+5)2+y2=16,动圆M过点 B(V5,0),且和圆A相切. (1)求动圆圆心M的轨迹E的方程； (2)设不垂直于x轴的直线1与轨迹E交于不同的两点P、Q,点N(4,0),若P、Q、N三点 不共线，且∠ONP=∠ONQ.证明：动直线PQ经过定点. 41.(19-20高二下·山西忻州第一中学期中)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上， 该椭圆经过点P(1,),离心率为号 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线：y=kx十m与椭圆C相交AB两点(AB不是左右顶点)，且以AB为直径 的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标 9/9 专题05 椭圆与方程 （5大题型） 5大高频考点概览 考点01 椭圆的定义 考点02 椭圆的方程 考点03 椭圆的离心率 考点04 直线与椭圆位置关系 考点05 椭圆中的定点、定值问题 椭圆的定义 地 城 考点01 1．(23-24高二上·江西南昌南昌县莲塘第二中学·月考)平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（    ） A．线段 B．圆 C．椭圆 D．不存在 【答案】A 【分析】根据两点距离之和的几何意义分析即可 【详解】因为，表示点到两点的距离之和为2， 又，则点的轨迹就是线段. 故选：A 2．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的几何性质即可求解. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆上，所以，解得， 即，， 所以 ． 故选：A． 3．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围. 【详解】依题意，，，， ，， 所以，当位于线段与椭圆交点处时等号成立. 根据椭圆的定义可知， 如图所示，设的延长线与椭圆相交于， 则当位于时，取得最大值为， 综上所述，的取值范围为. 故选：B 【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解. 4．(22-23高二上·山西长治上党区第一中学校等名校·期中)已知左、右焦点分别是的椭圆的离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，现有下列说法： ①的周长为； ②若直线的斜率为的斜率为，则； ③若，则的最小值为； ④若，则的最大值为． 其中正确说法的序号为（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】对于①，利用椭圆的定义，即可求出结果；对于②，设，，利用点差法即可判断出②的正误；对于③④，利用数量积的坐标运算及，得，再根据条件即可判断出③④的正误，从而求出结果. 【详解】对于①，根据椭圆的定义，的周长为，故①正确； 设，，则，所以， 由，作差得，整理得， 即，故②不正确； 因为， 又， 所以，又，所以， 对于③，由，得，故③正确； 对于④，由，得，故④正确． 故选：D. 5．已知椭圆，为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出的值，利用，根据向量模的计算即可求得答案. 【详解】由题意椭圆，为两个焦点，可得，    则①，即， 由余弦定理得， ，故，② 联立①②，解得：， 而，所以， 即， 故选：B 【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为的中点，从而可以利用向量知识求解. 6．（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（    ） A．椭圆的短轴长为 B．当最大时， C．离心率为 D．的最小值为3 【答案】ABD 【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值并确定此时的位置，即可判断D、B的正误，此时设，结合椭圆方程求短轴长，即可判断A、C的正误. 【详解】由题意知，所以． 因为的最大值为5，所以的最小值为3，故D正确． 当且仅当轴时，取得最小值，此时，故B正确． 由B的分析，不妨令，代入椭圆方程，得．又，所以，得， 所以椭圆的短轴长为，故A正确． 易得，所以，故C错误． 故选：ABD. 7．(23-24高二上·江西部分学校·月考)已知椭圆的左焦点为，点是上任意一点，则的值可能是（    ） A． B．3 C．6 D．8 【答案】BC 【分析】根据到焦点距离的范围求解即可. 【详解】由题意可知，所以，即. 故选：BC. 8．(22-23高二上·山西晋中平遥县第二中学校·)为椭圆上的一点，和是其左右焦点，若，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理和三角形的面积公式可求焦点三角形的面积. 【详解】    由椭圆的标准方程可得其长半轴，半焦距为， 故. 设，则， 由余弦定理可得 而，故，故， 故， 故答案为：. 9．(24-25高二上·山西太原·期中)已知点是椭圆的左焦点，为上一点，，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】结合图形，利用椭圆的定义将所求式转化，判断当，三点共线，且点在之间时，取得最小值即可. 【详解】 如图，设椭圆的右焦点为,连接, 因，则， 由图知，当，三点共线，且点在之间时，取得最小值, 因，，故此时取得最小值为. 故答案为：. 地 城 考点02 椭圆的方程 10．(23-24高二上·山西大同·期中)已知椭圆经过点，当变动时，截得直线的最大弦长为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出和，代入椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，，所以，所以椭圆方程为. 故选：A 11．(24-25高二上·山西太原·期中)过点和的椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得椭圆焦点在轴，且，，即可得到结果. 【详解】由题意可知，点和分别是椭圆长轴和短轴的一个端点， 且椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为， 且，，则椭圆的标准方程为. 故选：B 12．(23-24高二上·山西实验中学·期中)已知圆的圆心为M，设A是圆上任意一点，，线段的垂直平分线交于点P，则动点P的轨迹是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．线段 【答案】B 【分析】根据椭圆定义判断． 【详解】点P在线段的垂直平分线上，故.又是圆的半径， 所以.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆. 故选：B． 13．(23-24高二上·江西大联考·期中)已知方程表示的曲线为，则（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．存在，使得表示圆 C．当或时，曲线表示双曲线 D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为 【答案】BC 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程分别判断各选项. 【详解】A、B选项：当时，，，当时，， 此时曲线表示圆，A选项错误，B选项正确； C选项：当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 当时，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，C选项正确； D选项：若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则，则， 则椭圆的焦距，D选项错误； 故选：BC. 14．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可以是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】ABC 【分析】根据圆以及双曲线，以及椭圆的性质即可分类讨论求解. 【详解】当时，，方程可以化简为，曲线是圆； 当，且时，或，曲线是椭圆； 当时，或，曲线是双曲线． 故选:ABC． 15．(23-24高二下·山西长治部分学校·期末)若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等. 【详解】由题意可知且. 故答案为： 椭圆的离心率 地 城 考点03 16．(24-25高二上·山西太原·期中)已知椭圆的左、右焦点分别是，，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由余弦定理结合椭圆的定义可得出，求出的取值范围，可得出关于、所满足的不等式，求出的取值范围，再由可求得的取值范围. 【详解】设，，由椭圆的定义可得， 由余弦定理可得， 可得，则， 设点，则，则， 所以 ， 则， 因为，则，则， 所以，所以， 故. 故选：B. 17．(23-24高二上·山西大同·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，四边形是等腰梯形，，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，可得，利用椭圆的性质得，再结合椭圆的定义求出等腰三角形底角的余弦值并列式求解即得. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，，如图，    由椭圆性质知，椭圆上一点到焦点的距离的最小值为长轴端点到相邻焦点的距离， 于是，解得，， 在中，， 显然，解得， 所以的离心率的取值范围是. 故选：B 18．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知椭圆：（）的左、右顶点分别为，，左焦点为，点在过点且斜率为的直线上，的中点在上，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，可由几何关系得，从而得出直线OQ方程，再由表示出Q点坐标，再由Q在椭圆上代入Q点坐标，可得到关于离心率e的关系式，从而求得离心率. 【详解】如图所示，    由的中点为坐标原点，的中点为点，可知， 所以的斜率为，直线， 又，所以Q横坐标，故， 代入可得，联立， 得， 化简得，两边同除以， 得，解得，所以． 故选：B. 19．设椭圆的离心率分别为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答. 【详解】由，得，因此，而，所以. 故选：A 20．(24-25高二上·山西大同·期中)椭圆是轴对称图形，亦是中心对称图形，因其对称性，受到一些艺术制品设计者的青睐.现有一工艺品，其图案的基本图形由正方形和内嵌其中的“斜椭圆”组成（如图）．在平面直角坐标系中，将标准方程表示的椭圆绕着对称中心旋转一定角度，可得“斜椭圆”.已知一“斜椭圆”的方程为，则该“斜椭圆”的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值，短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值，然后根据已知方程结合基本不等式可求出的最大值和最小值，从而可求出长半轴长和短半轴长，进而可求出离心率. 【详解】设“斜椭圆”的中心为坐标原点， 由椭圆的对称性可得长半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最大值， 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离的最小值， 由基本不等式，可得， 所以，解得， 当且仅当时成立， 当且仅当时，成立， 所以椭圆的长半轴长为，短半轴长为， 所以椭圆离心率为. 故选：A 21．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆和双曲线有共同的焦点．设椭圆的离心率为，双曲线的离心率为是椭圆与双曲线的一个公共点，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义，再由离心率的公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】设，不妨设， ，因此是以为斜边的直角三角形，于是． 在椭圆中，等于椭圆的长轴长，因此，在双曲线中， 等于双曲线的实轴长，因此， 则． 故选：C 22．(23-24高二上·山西太原·期中)已知点分别是椭圆的两个焦点，点在上，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．椭圆的离心率 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义和标准方程、离心率、三角形面积、余弦定理、三角恒等变换等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】椭圆，，， 设,，，则， 则 ， 函数在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 所以A选项正确. 椭圆的离心率，所以B选项错误. 由于为定值，所以当位于椭圆的左右顶点时， 三角形的面积取得最大值为，所以C选项错误. 设， ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为， 当取得最小值时，取得最大值，此时为锐角，， 所以此时也取得最大值，且的最大值为，所以D选项正确. 故选：AD 23．(24-25高二上·山西运城·期中)已知椭圆（ 且a为常数）的左、右两个焦点分别为和，动直线l经过椭圆的左焦点与椭圆交于A，B两点，且的最大值为7，O为坐标原点，则下列说法正确的是（   ） A． B．椭圆C的离心率 C． D．若，则 【答案】BC 【分析】对A，根据椭圆的定义，利用通径长可求得；对B，根据方程求出，求出离心率；对C，由椭圆性质可得，对D，联立直线和椭圆方程得到韦达定理，结合，求解判断. 【详解】如图所示：易知，由椭圆的定义可知， 因为的最大值为7，所以的最小值为， 当轴，即为通径时，最小，所以，有， 解得，故A错误； 可得椭圆方程为，易知，所以离心率， 故B正确； 当为长轴时，最大，此时，所以，故C正确； 因为，可设直线的方程为， 联立，整理可得， 因此； 若，可得，即， 所以；有 ， 整理得，解得． 由 ，故D错误. 故选：BC. 24．(23-24高二上·山西大同·期中)已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则 . 【答案】1 【分析】根据离心率求出，进而得到. 【详解】由题意得，，解得， 故. 故答案为：1 25．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 地 城 考点04 直线与椭圆位置关系 26．(23-24高二上·山西运城部分学校·期中)已知椭圆，点为椭圆的左顶点，点坐标是，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是（    ） A． B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】首先求出直线的方程，设与直线平行的直线方程为，当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值，联立直线与椭圆方程，消元由，求出的值，找到与距离比较远的直线方程，利用平行线间的距离公式求出高，再求出，即可得解． 【详解】由题意可知，直线的方程为， 设与直线平行的直线方程为， 当此直线与椭圆相切时，与距离比较远的直线与椭圆的切点为，此时的面积取得最大值． 将代入椭圆方程，消去整理得， ，解得或4． 所以直线方程为或 与距离比较远的直线方程是， 两平行线之间的距离， 又， 的面积的最大值是． 故选：A 27．(23-24高二上·山西太原山西大学附属中学校·期中)已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“点差法”以及中点弦即可求解． 【详解】如图所示：    因为椭圆E的右焦点为，所以， 不妨设，由题意等价于是的中点， 所以， 又点在椭圆E上面， 所以， 进一步有，即， 所以直线的斜率可以表示为， 又、在直线上， 所以直线的斜率为， 从而， 所以解得，即E的方程为. 故选：D. 28．(23-24高二上·山西太原山西大学附属中学校·期中)已知椭圆C：，左、右顶点分别为．    (1)设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值． (2)如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)12； (2) 【分析】（1）先设点坐标，分别求出两条直线方程，接着求得点坐标， 利用点在椭圆上，对表达式化简即得. （2）先利用题设两个条件得出关于的两个关系式，再根据直线与椭圆 相切求得点坐标，得到点到直线的距离，化简表达式，通过换元求得的范围. 【详解】（1）     如图，不妨设点在第一象限， 则直线令得：点的纵坐标 直线令得：点的纵坐标 依题意有， 因点在椭圆上，则有： 即：为定值12. （2）   如图，由点到直线：距离为1可得：两边平方整理得：① 又由消去，整理得： 因直线：与椭圆C相切于点M, 故有：化简得：② 此时点M的横坐标为纵坐标为 故有设点到直线：距离为： 因且， 故将①②两式代入，可得： 设，则于是， 故得，解得： 即实数的取值范围是 29．(23-24高二上·山西吕梁·期中)已知椭圆的左顶点、上顶点分别为，，离心率为，（为坐标原点）的面积为1． (1)求椭圆的方程； (2)已知过点的直线交椭圆于，两点（点，不在轴上），直线，分别交轴于点，，若，，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过（为坐标原点）的面积构建方程，结合离心率，可求得，继而可求的椭圆的方程； （2）设直线的方程，并设，，将直线的方程与椭圆联立，可得在求出直线的方程，并求出其与轴的交点的坐标，同理可得的坐标, 结合，，且,可得关于的等式，继而构建关于的方程,继而可得直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 所以即，可得， 因为椭圆的左顶点、上顶点分别为，，得，，所以的面积，所以， 又，， 所以椭圆的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，则直线：， 联立，无解 当直线的斜率存在，可设直线， 设，， 因为点，不在轴上，所以，且． 联立消去得， 所以， 化简可得解得， 且，    直线的方程是， 令，解得，所以，同理可得． 所以，， 又，，， 所以，， 所以 ， 解得， 经检验，满足， 所以直线的方程为，即． 30．(23-24高二上·山西大同·期中)椭圆的左､右焦点分别为，左､右顶点分别为，点在上.已知面积的最大值为，且与的面积之比为. (1)求的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线交于两点，与不重合，直线与的斜率之积为.证明：过定点. 【答案】(1) (2)过定点. 【分析】（1）根据几何关系得到点为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，结合与面积之比，得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）方法一：设的方程，代入，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，检验后得到符合要求，并求出所过定点； 方法二：设直线的方程为，椭圆方程变形得到，联立得到，若是上的点，则斜率为，得到，故，求出，求出定点坐标. 【详解】（1）当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大， 此时， 又， 故，解得， 曲线的方程为. （2）方法一：设直线的方程为，代入得 ， 设， 得，    则， ， 即，解得或. 当时，此时，直线过定点， 而与不重合，不合题意. 当时，此时， 此时直线过定点，满足要求. 方法二：由题意，直线不经过点， 设直线的方程为①. 由方程得. ②. 由①②得， . 若是上的点，则斜率为， ， 的斜率，即，解得. 的方程为，即，故过定点. 【点睛】处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 31．(24-25高二上·山西太原·期中)椭圆规是画椭圆的一种工具，如图所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标连成一体，为旋杆上的一点且在，两点之间.当滑标在滑槽内作往复运动时，滑标在滑槽内随之运动，放置于处的笔尖便可画出椭圆，即动点的轨迹为椭圆.如图所示.设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，记， . (1)若，，求椭圆的方程； (2)证明：动点的轨迹为椭圆； (3)若，过作两条互相垂直的射线分别交椭圆于点、，求证：点到直线距离为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据的值即可求解， （2）根据线段成比例可得，，即可结合勾股定理求解得解，或者利用锐角三角函数求解， （3）分类讨论直线是否有斜率，无斜率直接点到直线的距离求解，直线有斜率时，联立直线与曲线方程，根据垂直关系可得向量的数量积的坐标运算得，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】（1）由题意可设椭圆的方程， 则，， 椭圆的方程为； （2）解法一：设，，， 由题意得，， ，， ， 整理得， 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆； 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆.… 解法二：设，，由题意得，， 则，即， 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆； 当时，动点的轨迹是以为半长轴长、为半短轴长的椭圆. （3）由题意可得椭圆的方程， 当直线的斜率不存在时，设其方程为，则， 点到直线距离为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由得， ，， ，即， 点到直线距离为， 综上所述，点到直线距离为定值 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 地 城 考点05 椭圆中的定点、定值问题 32．(24-25高二上·山西大同·期中)已知点A，B是椭圆的上、下顶点，点满足. (1)求点的轨迹方程； (2)是否存在点，使得过点的动直线交椭圆于M，N两点，且BM与BN的斜率之和为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或. 【分析】（1）表示顶点坐标，设，利用条件建立方程，即可得到结果. （2）设动直线方程以及直线斜率，表示直线方程，和椭圆联立表示点坐标，代入直线方程可构造出都满足的一元二次方程，利用斜率之和为定值解决问题. 【详解】（1）由题意得，. 设，由得，， 整理得，点的轨迹方程为. （2）    存在，理由如下： 设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为， 则，. 由得，，∴， 由点在动直线上得，， 整理得，同理得， ∴是方程的两个根， ∴，则为定值. 令，则，代入动直线方程得， ， 令，得，代入动直线方程得，，即， 点代入（1）中轨迹方程得，，解得， ∴点的坐标为或. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合问题，具体思路如下： （1）设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，表示直线方程，和椭圆联立表示点坐标. （2）利用点在动直线上可得到是方程的两个根，结合韦达定理表示，利用为定值得到和的关系，从而求出点. 33．(23-24高二上·山西太原·期中)已知椭圆的离心率是，且经过点． (1)求椭圆的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于两个不同的点，直线分别与轴相交于点，证明：线段的中点为定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，根据直线求得两点的横坐标，进而计算出线段的中点为定点． 【详解】（1）依题意，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，过点的直线与椭圆C相交于两个不同的点， 画出图象如下图所示，由图可知直线的斜率存在，且， 设直线的方程为， 由消去并化简得， ， 设，则， 而，所以直线的方程为，令，解得， 同理可求得， 则 ， 所以线段的中点为定点.    34．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)阅读材料：1．，是平面内两点，把这两点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，即，，若直线的斜率存在，则，，即；2．把圆上所有点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的（），或者把圆上所有点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的（），可以得到椭圆．即圆通过“拉伸”或“压缩”得到椭圆．阅读上述材料，并应用材料提供方法解决下面问题： (1)，，是平面内不共线三点，把这些点纵坐标伸缩成原来的倍，横坐标不变，得到点，，，，的面积分别记为，，求证； (2)若直线：与椭圆：交于，两点，且，问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是说明理由； (3)已知椭圆：的右焦点为，椭圆的左，右顶点分别为，，过的直线交椭圆于，，直线，的斜率分别为，，求证为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)是， (3)证明见解析 【分析】（1）通过和不平行于轴，两类情况求解即可； （2）由伸缩得到，，再结合，进而可求解； （3）通过伸缩得到圆，，，得到，，再设，，通过，可求解. 【详解】（1）当轴时，， ，，， ，． 当不平行于轴时，过作轴的平行线交直线于点， 则． 把平面内所有点横坐标不变，纵坐标伸缩成原来的倍， 则，，，， 则， 所以． （2）把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆． 其中，，所以，， 所以，又，所以， 即，所以， 又，所以． （3）把椭圆上所有点横坐标不变，纵坐标伸长为原来的，得到圆． ，，直线，的斜率分别为，， ，，所以． 设，，则，． 又，，，四点共圆，所以． 如图弦，的中点为，连接，则，过作， 则，所以， 所以，即． ． 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 35．(21-22高二上·山西平遥中学校·期中)已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)点是椭圆的上顶点，点，在椭圆上，若直线，的斜率分别为，满足，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对称性可知经过两点，再把代入，得到，从而确定不经过点，确定点在上，待定系数法求出曲线的方程； （2）设直线，与椭圆的方程联立，得到两根之和，两根之积，表达出，列出方程，求出，直线过定点，故，且由得到，表达出，换元后利用基本不等式求出面积的最大值. 【详解】（1）由于两点关于轴对称， 故曲线经过两点， 又由知，不经过点， 所以点在上． 因此，解得， 故的方程为； （2）由于是椭圆的上顶点，故直线的斜率一定存在， 设，直线， 联立方程组 ，得 ，得， ， , 由题意知，由， 代入化简得， 整理得：， ∴ 故直线过定点， 由得，解得， 且， ， 令，则， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以面积的最大值为. 【点睛】直线与圆锥曲线结合问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再根据题目条件列出方程，或得到弦长或面积，本题难点在利用求出直线过定点后，利用表达出，再根据基本不等式求出面积的最大值. 36．(22-23高二上·山西太原·期中)已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点. (1)若直线的方程为，求的面积； (2)若的面积为，证明：和均为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由题知曲线的方程为，进而直线的方程与椭圆方程联立结合弦长公式得，原点到直线的距离为，再计算面积即可； （2）先考虑直线斜率存在时的情况，设其方程为，进而与椭圆方程联立，结合弦长公式得，再计算，即可证明. 【详解】（1）解：动点与定点的距离为， 到定直线的距离为， 所以，化简得， 所以，曲线的方程为； 所以，联立方程得， 所以，， 所以，原点到直线的距离为， ， 所以，的面积 所以，的面积为 （2）解：由（1）曲线的方程为， 因为直线的斜率存在时，设其方程为， 与椭圆方程联立得， ， ， 原点到直线的距离为， ， 所以的面积为， 化简得，即， ， ， 所以为定值. 所以， 所以，为定值. 当斜率不存在时，设其方程为， 与椭圆方程联立得， 所以， 所以，， 所以，的面积为，解得， 所以，， 综上，为定值，为定值. 37．(22-23高二上·山西太原·期中)已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线的斜率存在，且与曲线交于两个不同的点. (1)求曲线的方程； (2)若的面积为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出，到定直线的距离，相除化简可得答案； （2）设其直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，求出原点到直线的距离d、，可得的面积为，化简可得，代入化简可得答案. 【详解】（1）动点与定点的距离为， 到定直线的距离为，所以，化简得， 曲线的方程为； （2）由（1）曲线的方程为， 因为直线的斜率存在，设其方程为，与椭圆方程联立 得， ， ， 原点到直线的距离为， ， 所以的面积为， 化简得，即， ， ， 所以为定值. 【点睛】思路点睛：通过联立直线和椭圆方程得到一个一元二次方程，然后根据根与系数的关系，求出，然后用点到直线的距离求出三角形的高，进而用三角形面积公式得到的方程，代入，考查了学生分析问题、解决问题和计算能力. 38．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)在平面直角坐标系中，点，点，点P是平面内一动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点的直线l与C交于A，B两点，则在x轴上是否存在定点D，使得的值为定值？若存在，求出点D的坐标和该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)曲线C表示中心为坐标原点，以为焦点的椭圆（不含左、右顶点） (2)存在点，使得为定值 【分析】（1）由直接化简即可求解； （2）当直线斜率为0时，与曲线无交点，当斜率不为0时，设直线l的方程为，联立直线与曲线方程，结合韦达定理表示出，将整体代换为关于的表达式，利用比例关系化简可求. 【详解】（1）设点，由题意得，整理得， 所以曲线C表示中心为坐标原点，以为焦点的椭圆（不含左、右顶点）； （2）由（1）可知，曲线C与x轴无公共点，所以当直线l斜率为0时，与曲线C无交点． 所以设直线l的方程为， 由得， 由于点在曲线C内部，所以恒成立， 则． 假设在x轴上存在定点，使得的值为定值，则有 ． 要使上式为定值，则，解得， 此时， 所以，存在点，使得为定值． 39．(21-22高二上·山西长治第二中学校·期中)已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)经过定点，定点坐标 【分析】（1）根据题意，设点坐标，根据题意，列方程化简，即可求得曲线的方程； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式表示出，化简可得直线恒过定点． 【详解】（1）（1）因为点是平面直角坐标系上的一个动点， 点到直线的距离等于点到点的距离的2倍， 所以， 化简得曲线C的方程为：； （2）由（1）得，由题意，直线的斜率存在， 设直线PQ的方程为， 联立方程组，得， 设，所以， 则 ， 所以， 所以直线经过定点，定点坐标． 40．(21-22高二上·山西怀仁·期中)已知定圆，动圆M过点，且和圆A相切． (1)求动圆圆心M的轨迹E的方程； (2)设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点．若P、Q、N三点不共线，且．证明：动直线PQ经过定点． 【答案】(1). (2)证明见解析. 【分析】（1）求出圆A的圆心为，半径为4，设动圆的半径为，通过，，用，根据定义可得到轨迹，进而求解方程即可； （2）设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，，，，，利用韦达定理，表示出，化简得到，直线系方程为，求出定点． 【详解】（1）圆A的圆心为，半径．设动圆M的半径为， 依题意有．由，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A， 故，即． 所以动点M的轨迹E是以A、B为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为. （2）设直线l的方程为，联立消去y得， ， 设，， 则， 于是， 由知． 即 ， 得，． 故动直线l的方程为，过定点. 41．(19-20高二下·山西忻州第一中学·期中)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点，离心率为． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析；定点为. 【分析】（1）采用待定系数法，结合离心率、椭圆所过点和关系构造方程组即可求得结果； （2）将直线方程与椭圆方程联立，可得韦达定理的形式；根据，利用平面向量数量积的坐标运算和韦达定理可化简整理得到或，代入直线方程可得所过定点. 【详解】（1）设椭圆方程为：，焦距为， 由得：，椭圆的标准方程为：； （2）由得：， 则，整理可得：； 设，，则， ； 以为直径的圆过椭圆的右顶点，设其右顶点为，则，， 即 ， 或，解得：或，满足； 当时，，恒过定点，与不是左右顶点矛盾，不合题意； 当时，，恒过定点，满足题意； 综上所述：直线恒过定点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $