专题01 高一知识回顾（6大题型）（期中真题分类汇编 山西专用）高二数学上学期

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题01高一知识回顾 (6大题型) ☆6大高频考点概览 考点01集合与简易逻辑 考点02函数的概念及其性质 考点03基本初等函数 考点04三角函数与解三角形 考点05 平面向量与复数 考点06空间几何体 目目 考点01 集合与简易逻辑 1.(24-25高二上三晋联盟山西名校期中已知集合 U={1,2,3,4},M={1,2},N={2,3},则(CM)∩N=() A.{3} B.{1,2} C.{2,3} D.{3,4} 2.(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)若集合 A={-2,0,2,3,5,6,B={xx-1<2,则集合AnB=（) A.(-2,2} B.0,2,3} c.{0,2} D.{2} 3.(20-21高二下山西大同灵丘一中、广灵一中期中)设集合A={水<1}， B={x-2<x<2,则AUB=() A.(x-2<x<1} B.(xk<2} C.x-2<x<2} D.(xk<1} 4.(20-21高二上山西长治第二中学校期中)命题“已知a,b∈R,若a2+b2=0,则 a=b=0”的逆否命题是() A.已知a,b∈R,若a≠b≠0，则a2+b2=0 B.已知a,b∈R,若a=b≠0，则a2+b2≠0 C.已知a,b∈R,若a≠0且b≠0，则a2+b2≠0 D.已知a,b∈R,若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0 5.(23-24高一上陕西西安第八十五中学)已知集合 A={x+1=0,a∈R},B={xx2-x-56=0},若AsB,则实数a的值可以是 (). 1/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.司 B.月 C.0 D.- 6.(21-22高二下山西现代双语学校南校期中)已知“(x+a)2-16>0的必要不充分条 件是“x≤-2或x≥3”，则实数a的最大值为. 7.(20-21高二上山西长治第二中学校期中)设a∈R,命题p:a≤1，命题q:a2≤1，则 一p是一q的条件.（填“充要”“充分不必要“必要不充分”“既不充分又不必要”) 8.(16-17高二下山西晋城陵川第一中学期中)命题p:存在实数m,使方程 x2+mx十1=0有实数根，则“p”形式的命题是」 目目 考点02 函数的概念及其性质 9.(24-25高二上·三晋联盟山西名校期中)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0 时，f(x)=2,则f(-1)=() A.1 B.2 C. D.0 10.(20-21高二上·山西晋城期中)设平面向量x的一个法向量方=(1,2，一2，点A(0,0,1)在 平面x内，点B(a,2,3)(a≠0)在平面a外，设直线AB与平面c所成角为6，则sin6的取值 范围是() A. B.(0,) C.(信) D. 11.(20-21高二下山西运城期中)已知函数f(x)=要，则下列正确的是() A.f(e)>f(6)>f(4) B.f(6)>f(4)>f(e) c.f(e)>f(4)>f(6) D.f(4)>f(e)>f(6) 12.(20-21高一上山西期末)已知函数fx)=lnx·sinx,则此函数的图象可能是（) 13.(18-19高二下·山西晋中平遥中学期中)设函数f(x)=x4+(a一1)x3+a.若f(x) 2/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 为偶函数，则f(x)在x=1处的切线方程为() A.y=5x-4B.y=5x-3 C.y=4x-2 D.y=4x-3 14.Q8-19商二下山西山两大学附属中学)已知f(x)=严，f儿)是f(x)的导函数， 则f(2019)+f(2019)+f(-2019)-f(-2019)= A.8056 B.4028 C.1 D.2 |1og24,x>0 15.(2.23高二上山西晋中部分学校期中)已知函数f(x)= 2x≤0 函数 gx)=[f(x形-(m+3)f(x)+3m,则() A.函数fx)的值域为0，+o∞) B.存在实数m,使得f(m)=f(-m C.若g(x)≥-1恒成立，则实数m的取值范围为2<m≤5 D.若函数g(x)恰好有5个零点，则函数g(x)的5个零点之积的取值范围是(-∞，0] 16.22-23高二下·山西朔州怀仁第一中学期中)已知函数f(x)的导函数f(x)满足 f(x)+2x>0在R上恒成立，则不等式f(2x-1)+3x2>f(1-x)+2x的解集是 x-4x2,x>0, 17.(20-21高二下·山西大同灵丘一中、广灵一中期中函数 28-1+1,x≤0 的值 域为 目目 考点03 基本初等函数 18.Q425高二上山西运城期中)记水的质量为品， 则当S=6,n=eVe时，水的质量 为() A.吉 B.ve C.1 D.2 19.若fx)=m(x2-2ac+1+a)在区间（一oo,1)上递减，则实数a的取值范围为(） A.[1,2 B.[1,2 C.[1,+∞ D.[2,+∞ 20.24-25高二上山西名校)已知函数f(x)=学x-1+1og3(V9+x2+x),若不等式 f(f(-4+m·2))+f(-32)<0对任意x∈R恒成立，则m的取值范围是一 21.(24-25高二上山西青铜鸣联考)已知四盛 mnfx分别表示函数f(x)在区 3/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 间[ab]上的最大能与鼓小值，则，得{{x+()'+2}= |x+1x≤0 2.(23-24高二上山西金科大联考开学考)已知函数f(x)= |1ogx,0<x<4 x2-12x+35x≥4，若 互不相等的实数x1,X2,X3,X4,X5,X6满足 f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=f(x5)=f(x6),则 X1+X2十X3十X4十X5十X6的取值范围是 23.(22-23高二上山西晋城第二中学校·月考)在各项均为正数的等比数列{an}中， a1219=16,则10g22g+1082223= 24.(18-19高二上山西朔州怀仁县第一中学月考)若函数y=a-1a>0且a≠1)的图象 恒过定点A,若点A在直线mx+y=1(mn>0)上，则品+吉的最小值为 考点04 三角函数与解三角形 25.(25-26高二上山西山西大学附属中学校开学考)若，B为锐角，cos(罩+心)=青， os(+号)=，则cos(a-号)=() A.县 B.-县 c. D.5 26.(25-26高二上山西山西大学附属中学校·开学考)已知函数f(x)=3snωx在区间 [-罗，罩]上的最小值为-3，则ω的取值范围是() A.(-∞-号]U(6,+∞) B.(-∞，-号]U[,+∞) C.(-∞，-2]U[6,+∞) D.(-,-2]U[3,+∞) 27.(24-25高二上山西运城期中)已知cos(x-号)=2cos(&+元)，则m2-1= cosa () A.-5 B.-3 c.- D.2 28.(24-25高二上山西运城期中)已知⊙M:x2+y2-4x-4y+4=0,直线 1:2x+y+4=0,P为1上的一动点，A,B为⊙M上任意不重合的两点，则cos∠APB的 最小值为() B. C. D. 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 29.24-25高二上山西晋城多校期中)已知双曲线C,器-号=1的左、右焦点分别为R1, F2,斜率为k的直线经过F2且与C的右支交于A,B两点，O为坐标原点，则() A.kE(-,) B.若|0A=5,则AF1⊥AF2 C.AF -ABI< D.若∠F1AF2=号，则△AF1F2的面积为93 30.(24-25高二上三晋联盟山西名校期中)己知函数f(x)=2sinx(cosx-sinx)+1, 则() A.f(x)的最小正周期为T B.f(x)的图象关于直线x=哥对称 C.f(x)的图象关于点（一，1）中心对称 D.f(x)在(-，)上单调递增 31.(2425高二上山西运城期中)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 若A=背，a=V万，b=2,则△ABC的面积为 32.(21-22高二上山西怀仁第一中学期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4,二面 角B-AA1-C的大小为60°，点B到平面ACC1A1的距离为V3，点C到平面ABB1A1的距 离为2√3，则异面直线B1C与AC1所成角的余弦值为 33.(21-22高二上山西运城康杰中学期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为α， b,c,a=1,(b-c)2=1-bc,则△ABC外接圆的面积是 34.(21-22高二上山西运城康杰中学期中)已知△ABC的面积是3V3,AB·AC=6,则 角A= 35.(20-21高二上·山西晋城期中)三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上，若PB⊥ 平面ABC,AB=BC=1,∠ABC=120°，PB-2W5,则球0的表面积为 36.(22-23高二上山西晋中部分学校期中)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a, b,c,已知6it9=cosB+bcosC. bc 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求A: ②)若△ABC的面积为35 2 BC边上的高为3空 ,求b,c. 37.(20-21高二上山西晋城期中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 c-b(v3 sinA+CosA)=0 (1)求B: (2)若△ABC为锐角三角形，且c=1,求△ABC面积的取值范围 38.(19-20高二上山西长治第二中学期中)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c 向量品=(cosA a-2b),i=(2c1),且品⊥i (1)求角C; (2)若c=2,△ABC的面积为V3,求△ABC的周长 39,(20-21高三上九师联盟)在①sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,② sin(B+君)=cosB+克，③c·cosA+a·cosC=2b·cosB这三个条件中任选一个，补 充在下面问题中，并给出解答 问题：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA=2sinC,b=2,且· 求△ABC的面积. 40.(19-20高二上山西期中)a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边.已知 abcos(A-B)=a2+b2-c2. (l)求tanAtan B; (2)若tanA=2,a=25,求b 目目 考点05 平面向量与复数 41.21,2高二上山西怀仁第一中学期中梯图品+行-〔m>0)的左、右焦点分别为 FF2P为椭圆上一点，若∠F1PF2=哥，PF1·P驴2=号，则b2等于() A.1 B.2 c.5 D.2 42.(25-26高二上山西太原师范学院附属)在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为 CE的中点，若A=mA花+nAD,则m十n=(） A. B. C. D. 6/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 43.(24-25高二上山西吕梁期末)若AB.C=0,则直线AB与CD的位置关系是() A.平行 B.相交 C.异面 D.相交或异面 44.(24-25高二上山西三晋卓越联盟)已知实数a,b,c,d满足a2+b2=1,c2+d2=1 ,ad-bc=0,且a≠c,则a+2c+2b+d的取值范围为() A.[-1,1] B.[-2,2] c.[1,2] D.[-2,2] 45.(24-25高二上山西运城期中)已知=2i-1,则川z=（) A.1 B.2 c.5 D.3 46.24-25高二上三晋联盟山西名校期中)已知复数z满足1一z=号， 则z的共轭复数 2=() A.-1-i B.-1+i c.2+i D.2-i 47.(20-21高二下山西临汾古县第一中学期中)在复平面内，复数z=共(1是虚数单位) 对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 48.2-23高二上山西晋中部分学校期中)已知复数z=器，则() A.复数z的实部为 B.复数z的虚部为1 C.复数z的模为四 D.复数z的共轭复数为号-i 49.(24-25高二上三晋联盟山西名校期中)已知单位向量a,6满足a-=引，则与6 的夹角为 50.(18-19高二上山西太原期中)已知点A(3,一3)，B(0,2),则线段AB的中点坐标 是」 目目 考点06 空间几何体 51.(24-25高二上山西名校)在四面体ABCD中，E为△ABC的外心，DE⊥底面ABC, AC=1,DE=V6,sin∠ABC=寺，则四面体ABCD外接球的表面积为() 7/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A.弩 B.18 C.9 D.20元 52.(23-24高二下·山西长治期末)如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是边长为 3的正方形，EFAB,E到平面ABCD的距离为3，EF=V6,EA=ED=FB=FC若 A,B,C,D,E,F在同一球面上，则该球的表面积为() A.19m B.20元 C.21π D.22T 53.(22-23高二上山西部分名校期中)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 48V2,∠A1AB=∠A1AD,AA1=6,底面边长均为4，且∠DAB=号，M,N,P分别 为AB,CC1,C1D:的中点，则() D A B D M B A.MN//AP B.A1C⊥平面BDN C.AP⊥A1C D.AP/平面MNC 54.(22-23高二上·山西部分名校期中)己知正四面体ABCD的棱长为6，P是四面体ABCD 外接球的球面上任意一点，则PA·PB的取值范围为(） A.[6-66,6+6V6] B.[9-93,9+95] C.[3V3-3V6,35+3V6] D.[32-36,3V2+3V6] 55.(25-26高二上山西山西大学附属中学校·开学考)如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，底面正方形ABCD边长为1，AA1=V3,M为线段B1C上的一个 动点，则下列说法中正确的有() 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A M D-- A.己知直线1为平面A1C1D和平面ABCD的交线，则平面ABB1A1内存在直线与1平 行 B.三棱锥M-AC1D的体积为定值 C.A:M+MB的最小值为W4+V3 D.直线MC1与平面A1C1D所成角最大时，CM=CB1 56.(23-24高二上山西运城期中)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA⊥底面ABCD,底 面ABCD为菱形，E为CD的中点.若∠ABC=60°，AB=BC=2,PA=3,则下列说法 正确的是() D B--------- A.平面PAB⊥平面PAE B.PE=V13 C.PC与AE所成角的余弦值为39 13 D.四棱锥P-ABCD的体积为6N3 57.(22-23高二上·山西介休第一中学校·开学考)在世界环保意识日益强化，石油资源日渐枯 竭的今天，以氢气做动力源的研究己成为一大课题.当年马自达坚持下来的转子发动机（如 图1)从结构上讲是最适合燃烧氢气，而且最“干净”，因为氢燃烧完后排出的是水蒸气，对 环境没有任何污染，马自达公司改制了RX-7型跑车的转子发动机，使它可以用氢做燃料.以 正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体 (如图2)被称为“勒洛四面体”，它表面上任意两点间的距离最大值与正四面体棱长相等， 能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动， 转子发动机的设计正是利用了这一原理.转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优 点.另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运 转转速.若正四面体ABCD的棱长为2，将对应的勒洛四面体ABCD放进一个正方体纸盒中， 若该勒洛四面体可以在纸盒内任意转动，则该纸盒棱长的最小值为 ；若在勒洛四 面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零 件棱长的最大值为 图1 图2 58.(23-24高二上山西大同期中)在长方体ABCD-A1B1C1D1中， DD1=2DA=2DC=2,E,F分别是棱AB,CC1上的动点（不含端点），且AE=CF,则 三棱锥A1一DEF体积的取值范围是 59.(23-24高二上~山西运城教育发展联盟·调研)四面体ABCD各顶点坐标为 (2,2,1),(2,1,0),(0,1,1),(0,2,0),则它的外接球的表面积为 60.(20-21高二上·山西太原第五中学月考)如图，在上、下底面对应边的比为1：2的三棱台 中，过上底面一边作一个平行于棱CC1的平面AB:EF,这个平面分三棱台成两部分，则 VFEC-A B C:VBEB-AFA- B E B 10/10 专题01 高一知识回顾 （6大题型） 6大高频考点概览 考点01 集合与简易逻辑 考点02 函数的概念及其性质 考点03 基本初等函数 考点04 三角函数与解三角形 考点05 平面向量与复数 考点06 空间几何体 集合与简易逻辑 地 城 考点01 1．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集和交集的概念与运算直接得出结果. 【详解】由题意得，所以. 故选：A 2．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)若集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合，然后根据交集的定义运算即得. 【详解】由，解得， 所以集合， 所以． 故选：C． 3．(20-21高二下·山西大同灵丘一中、广灵一中·期中)设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由并集的运算可得答案. 【详解】集合，， 所以. 故选：B. 4．(20-21高二上·山西长治第二中学校·期中)命题“已知，，若，则”的逆否命题是（    ） A．已知，，若，则 B．已知，，若，则 C．已知，，若且，则 D．已知，，若或，则 【答案】D 【解析】由“若，则”的逆否命题为 “若，则”，可得答案. 【详解】是且的意思. 命题“已知，，若，则”的逆否命题： 已知，，若或，则 故选：D 5．(23-24高一上·陕西西安第八十五中学·)已知集合，若，则实数a的值可以是（    ）． A． B． C．0 D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，求得，再分和，求得集合，结合，即可求解. 【详解】由方程，解得或，即， 当时，则方程无实数解，此时，满足，符合题意； 当时，由，可得 此时， 要使得，可得或，解得或. 综上可得，实数的值为或或. 故选：BCD. 6．(21-22高二下·山西现代双语学校南校·期中)已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为 ． 【答案】1 【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解； 【详解】解：由，得或， 因为的必要不充分条件是“或”， 所以，解得，所以实数a的最大值为1； 故答案为： 7．(20-21高二上·山西长治第二中学校·期中)设，命题，命题，则是的 条件．（填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”） 【答案】充分不必要 【解析】解不等式，根据集合的包含关系，求出q是p的充分不必有条件，从而求出是的充分不必要条件即可. 【详解】命题，命题，即， 则q是p的充分不必有条件， 则是的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要． 8．(16-17高二下·山西晋城陵川第一中学·期中)命题存在实数，使方程有实数根，则“”形式的命题是 【答案】对任意实数，方程没有实数根 【分析】存在性命题的否定是全称量词命题，将，否定原结论即可. 【详解】原命题为：，使方程有实数根，其对应的否命题为：，方程没有实数根， 故答案为：对任意实数，方程没有实数根 【点睛】本题考查了特称命题的否定，所得命题为并否定原结论，属于简单题. 地 城 考点02 函数的概念及其性质 9．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】由函数的奇偶性可得，代入函数解析式直接得出结果. 【详解】由偶函数性质得，. 故选：B 10．(20-21高二上·山西晋城·期中)设平面向量的一个法向量，点在平面内，点 在平面外，设直线与平面所成角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先表示出，再根据与所成角的正弦值为，再根据函数的性质，由此能求出结果． 【详解】解：因为点在平面内，点 在平面外，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以，所以，则，所以，则 故选：B 11．(20-21高二下·山西运城·期中)已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数研究函数的单调性，即可做出判断. 【详解】，，∴当时，，函数为减函数；当时，，函数为增函数，又，∴. 故选：C. 12．(20-21高一上·山西·期末)已知函数，则此函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定函数的奇偶性排除选项AC，接着根据函数值的正负得出答案即可. 【详解】由函数， 则， 所以函数为奇函数，故排除AC， 又因为且， 故选：D 13．(18-19高二下·山西晋中平遥中学·期中)设函数．若为偶函数，则在处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇偶性求得，可得函数的解析式，求出的值可得切点坐标，求出的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线在点处的切线方程. 【详解】因为函数为偶函数， 所以，可得， 可得，所以函数，可得，； 曲线在点处的切线的斜率为， 则曲线在点处的切线方程为：．即． 故选C． 【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于中档题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 14．(18-19高二下·山西山西大学附属中学·)已知,是的导函数，则 A．8056 B．4028 C．1 D．2 【答案】D 【解析】先令，判断出函数与的奇偶性，即可求出结果. 【详解】因为，令， 所以，故函数为奇函数； 所以，即； 又， 所以，即函数为偶函数， 所以，即； 故. 故选D 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性即可，属于常考题型. 15．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)已知函数函数，则（    ） A．函数的值域为 B．存在实数，使得 C．若恒成立，则实数的取值范围为 D．若函数恰好有5个零点，则函数的5个零点之积的取值范围是 【答案】BD 【分析】根据分段函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】解：对于A选项，画出函数的大致图象，如图所示， 可知函数的值域为，其中，故选项A错误； 对于B选项，若时，若，有，函数和的图象有交点，如图： 故选项B正确； 对于C选项，令，由，设， ①当时，，舍去； ②当时，，，可得，故选项C错误； 对于D选项，∵函数恰好有5个不同的零点，∴方程有5个根，可得，有或，不妨设，如图： 可知，可得，故，故选项D正确. 故选：BD． 16．(22-23高二下·山西朔州怀仁第一中学·期中)已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】根据已知关系式可构造函数，可知在上单调递增，将所求不等式转化为，利用单调性可解不等式求得结果. 【详解】，令，则在上单调递增， 由得：， 即，，解得：， 的解集为. 故答案为：. 17．(20-21高二下·山西大同灵丘一中、广灵一中·期中)函数的值域为 . 【答案】 【分析】分别讨论和的值域，然后取并集即可求出结果. 【详解】当时，. 当时，. 故答案为：. 基本初等函数 地 城 考点03 18．(24-25高二上·山西运城·期中)记水的质量为，则当，时，水的质量为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】将代入式子运算得解. 【详解】当时，水的质量为. 故选：D. 19．若f(x)=ln(x2-2ax+1+a)在区间上递减,则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由外函数对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，需内函数二次函数的对称轴大于等于1，且内函数在上的最小值大于0，由此联立不等式组求解． 【详解】解：令，其对称轴方程为， 外函数对数函数是增函数， 要使函数在上递减， 则，即：． 实数的取值范围是． 故选：． 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题． 20．(24-25高二上·山西名校·)已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先分析函数的奇偶性和单调性，再将不等式转化为，再将不等式，转化为，利用基本不等式求最值，即可求解. 【详解】因为的定义域为， ， 所以为奇函数.因为函数在上单调递增， 函数在上单调递增， 所以在上单调递增. 因为为R上的奇函数，所以在上单调递增， 因为，所以不等式即为，则. 因为，所以，即. 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是判断函数奇偶性和单调性，利用函数的单调性，解抽象不等式. 21．(24-25高二上·山西青铜鸣联考·)已知分别表示函数在区间上的最大值与最小值，则 . 【答案】30 【分析】根据幂函数性质可得，再结合对数函数性质分析求解. 【详解】因为，则， 可得，即， 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内的最小值为， 所以； 若，则，当且仅当时，等号成立， 即在内的最大值为， 所以. 故答案为：30. 22．(23-24高二上·山西金科大联考·开学考)已知函数，若互不相等的实数，，，，，满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式画出函数草图，利用绝对值函数、对数函数、二次函数的性质得，，，结合对勾函数性质求零点之和的范围. 【详解】根据解析式可得草图如下：    要使互不相等的实数 满足， 由图知：，，，且， 令，则或；令，则或；令，则； 令，则；令，则；令，则或； 所以， 所以 ，在上递增， 所以. 故答案为： 23．(22-23高二上·山西晋城第二中学校·月考)在各项均为正数的等比数列中，，则 . 【答案】4 【分析】由条件，结合等比数列性质可得，再对数运算性质求即可. 【详解】因为数列为等比数列，所以， 又，所以， 所以， 故答案为：4. 24．(18-19高二上·山西朔州怀仁县第一中学·月考)若函数且）的图象恒过定点A，若点A在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据条件得到的坐标，代入直线方程中得到关于的等式，再利用常数代换法并结合基本不等式求解出的最小值. 【详解】因为过定点，所以，所以， 所以， 取等号时，即， 所以最小值为， 故答案为：. 【点睛】本题考查利用基本不等式求解最小值，其中涉及到指数型函数过定点问题，主要考查学生的综合运用能力，难度一般. 地 城 考点04 三角函数与解三角形 25．(25-26高二上·山西山西大学附属中学校·开学考)若，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用“平方关系”可得，，注意符号看象限，再根据变形结合两角和差公式即可得出． 【详解】因为，则，且， 可得，且； 又因为，则， 且，可得； 所以 ． 故选：D. 26．(25-26高二上·山西山西大学附属中学校·开学考)已知函数在区间上的最小值为-3，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，当时，有；当时，有，求解即可. 【详解】函数在区间上的最小值为， 当时，，则有，解得； 当时，，则有，解得， 的取值范围是. 故选：D 27．(24-25高二上·山西运城·期中)已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】化简条件式求出，再将求解式子弦化切，代入运算. 【详解】由，得，则， 所以 . 故选：A. 28．(24-25高二上·山西运城·期中)已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【详解】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D 29．(24-25高二上·山西晋城多校·期中)已知双曲线，的左、右焦点分别为，，斜率为的直线经过且与的右支交于，两点，为坐标原点，则（   ） A． B．若，则 C． D．若，则的面积为 【答案】BCD 【分析】A选项，求出双曲线的两渐近线，数形结合得到的取值范围；B选项，根据，推出；C选项，由双曲线定义得到，求出，从而得到；D选项，由双曲线定义得到，结合余弦定理得到方程组，求出，求出三角形面积. 【详解】对于A，根据的渐近线方程为， 直线经过且与的右支交于，两点， 结合图象可得，所以A错误． 对于B，由题意得，解得，故， 在中，为的中点，且， 故， 因为， 所以，所以，所以B正确． 对于C，， 下面说明双曲线上右支上的点横坐标越小，越小， 设右支上的点为，， 则， 故随着的增大，增大， 由于与双曲线的右支交于两点，所以当与双曲线的渐近线平行时， 最小（不能达到）， 不妨设此时：，代入双曲线的方程得，解得， 所以， 则，所以C正确． 对于D，由，两边平方得①， 在中由余弦定理得， 即②，所以②－①得， 所以的面积为，所以D正确． 故选：BCD 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 30．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的图象关于点中心对称 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】根据三角恒等变换的化简计算可得，结合正弦函数的图象与性质依次判断选项即可. 【详解】. A：，所以的最小正周期为，故A正确； B：令，得， 当时，， 所以为函数的一条对称轴，故B正确； C：令，得， 当时，， 所以为函数的一个对称中心，故C错误； D：令，得， 当时，，即的单调递增区间为， 而为的真子集，故D正确. 故选：ABD 31．(24-25高二上·山西运城·期中)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理求出，代入三角形面积公式求解. 【详解】由余弦定理可得，即，解得或（舍去）， 所以 . 故答案为：. 32．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)在直三棱柱中，，二面角的大小为，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】根据二面角的定义可得，再由点到面的距离可得，，，，建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用空间向量夹角公式即可求解. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，所以面， 因为面， 面，所以，， 所以即为二面角的平面角，所以， 点到平面的距离为，点到平面的距离为， 由面面垂直的性质可得: 点到平面的距离为，点到平面的距离为， 因为，所以，， 由余弦定理可得：， 可得， 因为，所以， 如图：以为原点，分别以，，所在的直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以， ，． ． 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为：. 33．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则外接圆的面积是 ． 【答案】/ 【分析】结合化简可得，写出关于的余弦变形式，求出，进而求出，再由正弦定理得，求出，即可求解. 【详解】因为，所以，因为，所以，由余弦定理得，，所以．设外接圆的半径为R，由正弦定理得，，所以，所以外接圆的面积是． 故答案为： 34．(21-22高二上·山西运城康杰中学·期中)已知的面积是，，则角 ． 【答案】 【分析】分别表示出正弦面积公式和向量数量积公式，作比化简即可求解 【详解】由题意得，①，又②．得，，所以，因为，所以． 故答案为： 35．(20-21高二上·山西晋城·期中)三棱锥P -ABC的每个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB=BC=1，∠ABC=120°，PB=，则球O的表面积为 . 【答案】16π 【分析】过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为，球心为，在中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可． 【详解】解：在中，， 由余弦定理可得， 由正弦定理，可得外接圆半径， 设此圆圆心为，球心为，取PB的中点M，PB⊥平面ABC,OB=OP,可知,在中， 得球半径， 故此球的表面积为, 故答案为：16π． 36．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的面积为，边上的高为，求b，c． 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由余弦定理可得：，将其代入条件化简，再利用正弦定理化简即可求解； (2)两次利用三角形面积求出边和的值，结合（1）结论，解方程组即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可知：， ∴， 由正弦定理得， 又因为，所以， 所以； （2）由，可得， 又由，可得， 又由余弦定理有，可得， 有， 联立方程解得或 故或. 37．(20-21高二上·山西晋城·期中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据正弦定理将已知化边为角，再根据三角形的内角关系结合两角和的正弦公式，即可得出答案； （2）由锐角三角形ABC为求得角C的范围，再根据正弦定理求出边a的范围，利用三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得解. 【详解】解：（1）因为， 由正弦定理得， ，所以， 又，所以； （3）由（1）知， 由正弦定理得， 由于△ABC 为锐角三角形，故60°＜C＜90°， 所以，则， 故 ， . 38．(19-20高二上·山西长治第二中学·期中)已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量，且. （1）求角C； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1）；（2）6. 【分析】（1）由得出，利用正弦定理边角互化的思想，以及内角和定理将转化为，并利用两角和的正弦公式求出的值，于此得出角的值. （2）由三角形的面积公式求出，结合余弦定理得出的值，可求出的值，即可求解周长. 【详解】（1）由得， 由正弦定理，， ∴ 在中，，， ∴， ∵， ∴. （2）由三角形面积公式得：，解得. 由余弦定理，， ∴，从而 ，周长为6 【点睛】本题考查（1）正弦定理将边化成角（2）余弦定理的应用，考查转化与化归思想，属于基础题. 39．(20-21高三上·九师联盟·)在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 问题：在中，角，，的对边分别为，，，，，且______．求的面积． 【答案】． 【分析】若选择条件①，利用正弦定理得，结合余弦定理可知，由已知得，结合余弦定理可得，，利用三角形面积公式即可得解. 若选择条件②，利用三角恒等变换公式化简得到，由已知得，结合余弦定理可得，，利用三角形面积公式即可得解. 若选择条件③，利用正弦定理得：，利用三角恒等变换公式及诱导公式可得，由已知得，结合余弦定理可得，，利用三角形面积公式即可得解. 【详解】若选择条件①， 利用正弦定理，得． 由余弦定理知． 由，得， 由及正弦定理，得， 将和代入，解得，，， 所以． 若选择条件②， 变形得，即． 由，得， 由余弦定理，得． 由及正弦定理，得， 将和代入，解得，，， 所以． 若选择条件③， 利用正弦定理得：，，即， 由，解得． 由，得， 由余弦定理，得． 由及正弦定理，得， 将和代入，解得，，， 所以． 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”； （4）代数变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 40．(19-20高二上·山西·期中)，，分别为内角，，的对边.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）由已知等式可结合余弦定理得到，利用和两角和差的余弦公式可整理得到，根据同角三角函数的商数关系可求得结果； （2）利用同角三角函数关系可求得，根据正弦定理可求得结果. 【详解】（1）由得：          整理可得：     （2）     ，    ， 由正弦定理得： 【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差余弦公式的应用、同角三角函数的求解问题，属于常考题型. 地 城 考点05 平面向量与复数 41．(21-22高二上·山西怀仁第一中学·期中)椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一点，若，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由椭圆方程求得，中，应用余弦定理，结合向量的数量积可求得，即得，从而可得． 【详解】由题意可设， 所以， 在中，， 即，                ① 又， 即， 所以，代入①中， 得， 所以，所以， 又，所以， 故选：A． 42．(25-26高二上·山西太原师范学院附属·)在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用向量的线性运算得，再由平面向量基本定理，即可求解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 则， 得到，又，所以， 故选：A. 43．(24-25高二上·山西吕梁·期末)若，则直线AB与CD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】根据垂直直线的向量表示可知直线AB与CD垂直，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB与CD垂直， 所以AB与CD相交或异面． 故选：D 44．(24-25高二上·山西三晋卓越联盟·)已知实数，，，满足，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由，确定，关于原点对称，从而得到，再由直线与圆的位置关系求解即可. 【详解】设，，由题意知点，为圆上的不同两点， 设坐标原点为，则 ，，由，得， 又，为圆上两个不同的动点，所以点，关于原点对称， 故，所以. 设，故在直线上，又在圆上， 所以直线与圆有公共点， 所以，所以， 故 的取值范围为. 故选：B. 45．(24-25高二上·山西运城·期中)已知，则（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】由复数的乘法运算化简复数，进而可得复数的模. 【详解】依题意，，则． 故选：C. 46．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知复数满足，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的运算及共轭复数的概念求解. 【详解】因为，所以，则. 故选：D. 47．(20-21高二下·山西临汾古县第一中学·期中)在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的除法化简复数，然后求出在复平面内对应的点的坐标，从而判断所在象限. 【详解】解：复数，在复平面内对应的点的坐标为，所以对应的点在第四象限. 故选：D 48．(22-23高二上·山西晋中部分学校·期中)已知复数，则（    ） A．复数的实部为 B．复数的虚部为 C．复数的模为 D．复数的共轭复数为 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再逐项判断作答. 【详解】复数，因此z的实部为，虚部为，A正确，B不正确； ，，C正确，D正确. 故选：ACD 49．(24-25高二上·三晋联盟山西名校·期中)已知单位向量满足，则与的夹角为 . 【答案】/ 【分析】根据平面向量数量积的运算律求得，结合数量积的定义计算即可求解. 【详解】由，可得，解得， 则，又， 所以与的夹角为. 故答案为： 50．(18-19高二上·山西太原·期中)已知点，则线段AB的中点坐标是 ． 【答案】 【分析】直接利用中点坐标公式求解． 【详解】设A、B的中点为P（x0，y0）， 由A（3，﹣3）、B（0，2）， 再由中点坐标公式得： ，. ∴线段AB的中点坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了中点坐标公式，是基础题． 地 城 考点06 空间几何体 51．(24-25高二上·山西名校·)在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理，求的外接圆的半径，得到，再由底面，证得，再直角中，由球的截面圆的性质，列出方程，求得球的 半径，结合球的表面积公式，即可求解. 【详解】设四面体的外接球为球，其半径为，外接圆的半径为. 在中，由正弦定理得，所以， 因为为的外心，所以， 又因为底面，且底面，所以，即， 又由，在直角中，可得，解得， 所以球的表面积为. 故选：C. 52．(23-24高二下·山西长治·期末)如图，在多面体中，四边形ABCD是边长为3的正方形，，E到平面ABCD的距离为3，，.若A，B，C，D，E，F在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】为中点，为矩形中心，可得平面，外接球球心在上，由外接球球心的特征，通过构造直角三角形利用勾股定理求出外接球半径，可求表面积. 【详解】连接，，相交于点， 因为四边形为矩形，所以为矩形外接圆的圆心. 分别取，，的中点M，P，Q， 连接， 则， 且为的中点， 因为，所以， 为矩形，，则有，，， ，，是平面内的两条相交直线， 平面，平面，平面平面， 平面平面， 等腰梯形中，分别为的中点，则有， 所以平面， 则多面体的外接球球心在上， ，平面，平面，则平面， E到平面ABCD的距离为3，则， 当在线段上时，设，则， 在和中，由外接球半径， 有，即，解得， 外接球半径， 该球的表面积. 当在线段的延长线上时，同理可得，此时无解. 故选：D. 53．(22-23高二上·山西部分名校·期中)如图，平行六面体的体积为，，，底面边长均为4，且，M，N，P分别为AB，，的中点，则（    ） A． B．平面BDN C． D．平面MNC 【答案】D 【分析】根据已知条件求得在底面的射影，由此建立空间直角坐标系，进而对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】先证明在底面上的射影在上： 过作平面，垂足为， 过作，垂足为；过作，垂足为. 连接. 由于平面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. 同理可证得. 由于，所以， 所以， 由于，所以， 所以，所以是的角平分线， 由于四边形是菱形，所以点在上， 也即在底面上的射影在上. 依题意， 由于，所以， 所以是的中点，也即，如下图所示， 则平面，由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直， 由此建立如图所示空间直角坐标系. ， ， 所以，， , A选项，由于不存在实数，使，所以不平行，A选项错误. B选项，，所以与不垂直，所以与平面不垂直. C选项，，所以与不垂直，C选项错误. D选项，设平面的法向量为， 则，故可设， 所以，， 因为平面，所以平面，D选项正确. 故选：D 54．(22-23高二上·山西部分名校·期中)已知正四面体的棱长为6，P是四面体外接球的球面上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，求得该正四面体的外接球的半径，进而得 ，再根据求解即可. 【详解】如图，设分别为正四面体棱中点， 作平面，垂足为， 所以，由正四面体的性质知三点共线，且，且其外接球的球心在上，记为， 因为正四面体的棱长为6， 所以，， 设四面体外接球的半径为，即， 所以，，即，解得， 所以，， 因为P是四面体外接球的球面上任意一点， 所以， 因为， ， 所以 ， 因为， 所以 故选：B 【点睛】方法点睛：对于立体几何的外接球问题，通常处理方法为，找到球心在某个特殊平面上的投影，进而找到球心的位置，设出未知数，根据半径相等列出方程，求出半径，从而求出表面积或体积. 55．(25-26高二上·山西山西大学附属中学校·开学考)如图，在正四棱柱中，底面正方形ABCD边长为1，，M为线段上的一个动点，则下列说法中正确的有（   ）    A．已知直线l为平面和平面ABCD的交线，则平面内存在直线与l平行 B．三棱锥的体积为定值 C．的最小值为 D．直线与平面所成角最大时， 【答案】BCD 【分析】选项A，由线面平行的判定定理和性质判断；选项B，确定三棱锥的底面积和高来计算体积；选项C，通过平面与平面的展开图求距离之和的最小值；选项D，由线面角的定义，得线面角最大时M点的位置，验证结论即可. 【详解】A选项，因为平面，且平面， 所以平面和平面的交线l与平行， 而与平面相交，则平面内不存在直线与平行， 即不存在直线与直线l平行，故A错误； B选项，正四棱柱中，， 平面，平面， 则有平面，所以点M到平面的距离为定值， 而三角形的面积为定值，故三棱锥的体积为定值，故B正确； 选项C，作平面与平面的展开图如图所示，    则的最小值即为展开图中线段的长， 中，，所以，从而， 中，由余弦定理可知，， 从而的最小值为，故C正确； D选项，记M到平面到距离为d，由选项B可知，d为定值， 记直线与平面所成角为， 则，又正弦函数在上单调递增， 则最大时，最大，从而即为最小时，此时， ，则，由，, 有，所以，故D正确. 故选：BCD 56．(23-24高二上·山西运城·期中)如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，E为的中点.若，，，则下列说法正确的是（    ）. A．平面平面 B． C．与所成角的余弦值为 D．四棱锥的体积为 【答案】AC 【分析】A由线面垂直的判定定理可证；B由勾股定理可求；C由异面直线所成角定义可求；D由锥体的体积公式可求. 【详解】对于A：因为底面是菱形，且为的中点，， 所以，又底面，平面， 所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面，A正确； 对于B：因为，所以， 所以，B错误； 对于C：取中点F，连接，则， 因为平面，所以平面，而平面， 故，所以即与所成角. 因为，， 所以，C正确； 对于D：，D错误. 故选：AC. 57．(22-23高二上·山西介休第一中学校·开学考)在世界环保意识日益强化，石油资源日渐枯竭的今天，以氢气做动力源的研究已成为一大课题．当年马自达坚持下来的转子发动机（如图1）从结构上讲是最适合燃烧氢气，而且最“干净”，因为氢燃烧完后排出的是水蒸气，对环境没有任何污染．马自达公司改制了RX-7型跑车的转子发动机，使它可以用氢做燃料．以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图2）被称为“勒洛四面体”，它表面上任意两点间的距离最大值与正四面体棱长相等，能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．转子发动机的设计正是利用了这一原理．转子引擎只需转一周，各转子便有一次进气、压缩、点火与排气过程，相当于往复式引擎运转两周，因此具有小排气量就能成就高动力输出的优点．另外，由于转子引擎的轴向运动特性，它不需要精密的曲轴平衡就可以达到非常高的运转转速．若正四面体ABCD的棱长为2，将对应的勒洛四面体ABCD放进一个正方体纸盒中，若该勒洛四面体可以在纸盒内任意转动，则该纸盒棱长的最小值为 ；若在勒洛四面体ABCD内放一个小正方体零件，该零件可以在勒洛四面体ABCD内任意转动，则该零件棱长的最大值为 ． 【答案】 2 【分析】由题意可得能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2，则可求出该纸盒棱长的最小值；当小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体，然后利用正四面体的性质可求得该零件棱长的最大值. 【详解】因为勒洛四面体表面上任意两点间的距离最大值为2， 因此能容纳勒洛四面体的最小正方体的内切球直径应为2， 故能容纳勒洛四面体的纸盒的棱长最小值为2； 因为小正方体可以在勒洛四面体内任意转动， 所以小正方体的棱长最大时，为勒洛四面体内切球的内接正方体． 记此时勒洛四面体的内切球半径为，则小正方体的外接球半径为， 设小正方体的棱长为，则，解得， 由对称性可知，勒洛四面体内切球球心为正四面体的外接球球心， 由正四面体的结论可知，正四面体的外接球半径为， 故勒洛四面体内切球半径为， 故小正方体棱长最大值为． 故答案为：2； 58．(23-24高二上·山西大同·期中)在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接建立空间直角坐标系或者应用等体积法做即可. 【详解】法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系. 如图所示，    设，而， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 点到平面的距离 因为 设中的边上的高为，则 ， 所以（）， 所以三棱锥的体积的取值范围是， 故答案为： 法二：设，延长到，使得， 则，，则，于是，    而长方体的对角面是矩形，则有， 又平面，平面，于是平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 由等体积法可知， 又 ， 故，所以， 故答案为： 59．(23-24高二上·山西运城教育发展联盟·调研)四面体各顶点坐标为，则它的外接球的表面积为 . 【答案】 【分析】画出满足题意的四面体，进而结合四面体的外接球的直径长度为长方体的体对角线长度进行求解即可. 【详解】由题意，在棱长为2的正方体中，四面体的各个顶点如图所示， 可见四面体的各个顶点恰好在长方体的其中四个顶点上， 所以四面体的外接球的直径长度为长方体的体对角线长度， 而长方体的体对角线长度为， 所以四面体的外接球的半径为， 则四面体的外接球的表面积为. 故答案为：.    60．(20-21高二上·山西太原第五中学·月考)如图，在上、下底面对应边的比为的三棱台中，过上底面一边作一个平行于棱的平面，这个平面分三棱台成两部分，则＝ . 【答案】/ 【分析】由题，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为，进而，，再求剩余的几何体体积即可得答案. 【详解】解：因为三棱台中，上、下底面对应边的比为， 所以，设三棱台的上底面面积为，则下底面面积为，高为， ，. 设剩余的几何体的体积为V，则V＝， 所以，. 故答案为： 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $