15.3 等腰三角形 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

该教案聚焦等腰三角形的性质、判定，等边三角形的性质与判定及含30°角直角三角形的性质，通过知识回顾搭建学习支架，如从等腰三角形定义过渡到性质再到判定，结合剪纸、折纸等动手操作和动画演示，衔接前后知识。 特色在于以数学眼光（几何直观）和数学思维（推理能力）为核心，通过对折等腰三角形发现重合元素抽象性质，多种证法（作中线、高、角平分线）培养推理能力，典例融入方程思想。动画辅助理解，动手操作提升参与度，既帮助教师高效教学，又促进学生从具体到抽象的思维发展。

15.3　等腰三角形（第1课时） 教学目标 　　1．探索并证明等腰三角形的两个性质． 　　2．能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等． 　　3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用． 教学重点 　　探索并证明等腰三角形的性质． 教学难点 　　探索并证明等腰三角形的性质． 教学过程 知识回顾 　　1．有两边相等的三角形叫作等腰三角形． 　　2．等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角． 　　【师生活动】教师提出问题，学生作答． 　　【设计意图】通过复习已学过的等腰三角形知识，为引出本节课的课题“等腰三角形的性质”作铺垫． 新知探究 一、探究学习 　　【问题】如图，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来．将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角． 【师生活动】学生动手操作，剪出等腰三角形，然后小组交流． 　　教师播放动画，学生独立思考后尝试概括自己剪出的等腰三角形纸片的特征，并汇报交流． 　　小组讨论并尝试总结：△ACD沿AD展开得到△ABC，即AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形． 　　教师提问：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角，并说明这些线段和角在等腰三角形中的名称． 　　学生填表并回答． 相等的线段 相等的角 AB＝AC ∠B＝∠C BD＝CD ∠BAD＝∠CAD AD＝AD ∠ADB＝∠ADC 　　教师追问：剪出的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否也会有类似的重合的线段和角？ 　　在一张白纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，请你试着折一折，你能发现等腰三角形的性质吗？ 　　学生动手操作，相互比较，互动交流，尝试总结发现的等腰三角形的性质． 　　教师展示动画，总结归纳等腰三角形的相关性质． 　　【归纳】等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形；（2）∠B＝∠C；（3）∠BAD＝∠CAD，AD为顶角平分线；（4）BD＝CD，AD为底边上的中线；（5）∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高． 【设计意图】通过丰富的感性材料，让学生在反复比较的过程中，发现等腰三角形共同的、本质的特征；体会认识事物的一般方法——由特殊到一般，进一步培养学生的抽象概括能力． 　　【问题】如何证明等腰三角形的这些性质？ 　　【师生活动】教师提问：你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？ 　　学生根据结论画出图形，写出已知、求证． 　　已知：△ABC中，AB＝AC． 　　求证：∠B＝∠C． 　　教师提示：从剪纸、折纸的过程你能获得什么启发？我们是否可以利用三角形的全等来证明这些性质？ 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试证明．一名学生板书，其他学生自己在本子上书写解题过程．学生交流，教师反馈，引导学生说出证明三角形全等是证明角相等的常用方法． 证明：如图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD． 在△ABD和△ACD中， 　　 　　∴△ABD≌△ACD（SSS）． 　　∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC． 　　教师追问：你还能用其他方法证明吗？ 　　学生思考，并回答，可以作底边的高线或顶角的平分线来证明． 　　证明：如图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC的高线AD． 　　在Rt△BAD和Rt△CAD中， 　　∴Rt△BAD≌Rt△CAD（HL）． 　　∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，BD＝CD． 或者证明：如图，△ABC中，AB＝AC，作顶角∠BAC的平分线AD，则∠BAD=∠CAD． 在△ABD和△ACD中， 　　 　　∴△ABD≌△ACD（SAS）． 　　∴∠B＝∠C，BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，即AD⊥BC． 　　教师播放动图，学生观看并总结等腰三角形的性质． 　　【新知】等腰三角形的性质： 　 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 　　数学语言： 　　在△ABC中，∵AB＝AC， 　　∴∠B＝∠C． 　　等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 　　数学语言： 　　在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD， 　　∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）． 　　在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD（三线合一）． 　　在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， 　　∴AD⊥BC，BD＝CD（三线合一）． 　　【设计意图】让学生在运用不同方法证明等腰三角形性质的过程中提高思维的深刻性和广阔性． 二、典例精讲 　　【例题】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD．求△ABC各角的度数． 　　【师生活动】教师分析题目中的已知条件，学生思考并独立解答． 　　解：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD， 　　∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD（等边对等角）． 　　设∠A＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x， 　　从而∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x， 　　在△ABC中，有∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°，解得x＝36°． 　　所以，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝∠C＝72°. 　　【设计意图】通过逻辑推理和方程思想求出等腰三角形中角的度数，让学生进一步巩固等腰三角形的性质1． 课堂小结 15.3　等腰三角形（第2课时） 教学目标 　　1．探索等腰三角形的判定定理． 　　2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明． 　　3．了解等腰三角形的尺规作图． 教学重点 　　理解和运用等腰三角形的判定定理． 教学难点 　　理解和运用等腰三角形的判定定理． 教学过程 知识回顾 　　等腰三角形的性质。 　　等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 　　数学语言： 　　在△ABC中，∵AB＝AC， 　　∴∠B＝∠C． 　　等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）． 　　数学语言： 　　在△ABC中，∵AB＝AC，BD＝CD， 　　∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（三线合一）． 　　在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC， 　　∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD（三线合一）． 　　在△ABC中，∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD， 　　∴AD⊥BC，BD＝CD（三线合一）． 　　【师生活动】教师提出问题，学生作答． 　　【设计意图】通过复习已学过的等腰三角形知识，为引出本节课的课题“等腰三角形的判定”作铺垫． 新知探究 一、探究学习 　　【思考】我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 　　【师生活动】教师提问：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系？ 　　学生测量并回答：AB＝AC． 　　教师追问：你能试着证明一下吗？ 　　学生根据问题，写出已知、求证．小组讨论并尝试作答． 　　教师提示：可以参照证明等腰三角形性质的方法来解答． 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试证明．一名学生板书，其他学生独立在练习本上书写解题过程．学生交流，教师反馈． 　　已知：在△ABC中，∠B＝∠C． 　　求证：AB＝AC． 　　证明：如图，作△ABC的角平分线AD，则∠1＝∠2， 　　在△ABD和△ACD中， 　　∴△ABD≌△ACD（AAS）． 　　∴AB＝AC． 　　教师追问：你还能用其他方法证明吗？ 　　学生思考，并回答，可以作底边的高或中线来证明． 　　证明：如图，作△ABC底边BC的高AD． 　　在△BAD和△CAD中， 　　∴△BAD≌△CAD（AAS）． 　　∴AB＝AC． 　　或者证明：如图，作△ABC底边BC的中线AD，则BD＝CD． 　　作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F． 　　在△DBE与△DCF中， 　　∴△DBE≌△DCF（AAS）． 　　∴DE＝DF． 　　又DE⊥AB，DF⊥AC， 　　∴∠1＝∠2． 　　在△BAD和△CAD中， 　　∴△BAD≌△CAD（AAS）． 　　∴AB＝AC． 　　【新知】等腰三角形的判定： 　　有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）． 　　数学语言： 　　在△ABC中，∵∠B＝∠C， 　　∴AB＝AC． 　　【设计意图】让学生在运用不同方法证明等腰三角形判定方法的过程中提高思维的深刻性和广阔性． 二、典例精讲 　　【例1】求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形． 　　【师生活动】教师提示：先根据问题，画图并写出已知、求证．　　 　　已知：∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠CAE，AD∥BC（如图）． 求证：AB＝AC． 教师分析：要证明AB＝AC，可先证明∠B＝∠C．因为∠1＝∠2，所以可以设法找出 ∠B，∠C与∠1，∠2的关系． 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试证明． 　　证明：∵AD∥BC， 　　∴∠1＝∠B，∠2＝∠C． 又AD平分∠CAE， ∴∠1=∠2． ∴∠B=∠C． 　　∴AB＝AC． 　　【例2】尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h，求作这个等腰三角形． 【师生活动】教师分析：根据等腰三角形“三线合一”的性质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位置，即可作出这个等腰三角形． 【答案】作法：如图． （1）作线段AB＝a． 　　（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． 　　（3）在MN上取一点C，使DC＝h． 　　（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 　　【设计意图】通过例1的讲解学习，让学生理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．通过例2的讲解学习，让学生了解等腰三角形的尺规作图，进一步巩固所学知识． 课堂小结 15.3　等腰三角形（第3课时） 教学目标 　　1．探索并掌握等边三角形的性质及判定方法． 　　2．能够运用等边三角形的知识解决相应的数学问题． 教学重点 　　等边三角形的性质与判定． 教学难点 　　等边三角形的性质与判定． 教学过程 知识回顾 　　1．等腰三角形的性质和判定： 名称 图形 性质 判定 等腰三角形 两腰相等 两边相等 等边对等角 三线合一 等角对等边 轴对称图形 　　2．三角形按边的相等关系分类： 　　等边三角形是特殊的等腰三角形． 　　【师生活动】教师提出问题，学生作答． 　　【设计意图】通过复习已学过的等腰三角形知识，为引出本节课的课题“等边三角形的性质和判定”作铺垫． 新知探究 一、探究学习 　　【思考】把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 　　【师生活动】教师展示表格，学生思考并回答． 等腰三角形的性质 等边三角形的性质 边 两边相等（定义） 三边相等（定义） 角 等边对等角 ？ “三线合一” 是 ？ 轴对称图形 1条或3条对称轴 ？ 　　教师追问：等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？ 　　学生动手画出一个等边三角形，测量并回答，∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　教师提问：你能试着证明一下吗？ 　　学生根据问题，写出已知、求证．小组讨论并尝试作答． 　　教师提示：可以参照证明等腰三角形性质的方法来解答． 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试证明．一名学生板书，其他学生独立在练习本上书写解题过程．学生交流，教师反馈． 　　证明：∵△ABC是等边三角形， 　　∴BC＝AC，BC＝AB． 　　∴∠A＝∠B，∠A＝∠C（等边对等角）． 　　∴∠A＝∠B＝∠C． 　　∵∠A＋∠B＋∠C＝180°， 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　教师追问：等边三角形是不是轴对称图形？如果是，它有几条对称轴？ 　　学生思考，教师播放PPT动画，讲解并总结：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴．等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一”）． 　　【新知】 等边三角形的性质 边 角 对称性 三条边都相等 三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 三线合一，轴对称图形，三条对称轴 　　【设计意图】让学生经历等边三角形性质的探索过程，加深对等边三角形性质的理解． 　　【思考】一个普通三角形满足什么条件是等边三角形？ 　　【师生活动】教师提问，学生思考并回答． 　　教师总结：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形． 　　（2）三个角都相等的三角形是等边三角形． 　　教师追问：你能证明“三个角都相等的三角形是等边三角形”吗？ 　　学生根据问题，写出已知、求证．小组讨论并尝试作答． 　　已知：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C． 　　求证：△ABC是等边三角形． 　　证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C， 　　∴BC＝AC，AC＝AB（等角对等边）． 　　∴AB＝BC＝AC． 　　∴△ABC是等边三角形． 　　【思考】等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？ 　　【师生活动】教师提问，学生思考并回答． 　　教师总结：（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 　　教师追问：你能试着证明一下吗？ 　　学生根据问题，写出已知、求证．小组讨论并尝试作答． 　　已知：在等腰三角形△ABC中，∠A＝60°． 　　求证：△ABC是等边三角形． 　　证明：（1）当顶角∠A＝60°时， 　　∴∠B＝∠C＝×(180°－60°)＝60°． 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　∴△ABC是等边三角形． 　　（2）当底角∠A＝60°时（如图），∠C＝60°， 　　∴∠B＝180°－(60°＋60°)＝60°． 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　∴△ABC是等边三角形． 　　【新知】等边三角形的判定 图形 判定 等边三角形 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是60°的等腰三角形 　　【设计意图】让学生经历等边三角形判定的探索过程，加深对等边三角形判定的理解． 二、典例精讲 　　【例题】如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 　　【师生活动】教师提问，学生思考并尝试证明． 　　证明（方法一）：∵△ABC是等边三角形， 　　∴∠A＝∠B＝∠C． 　　∵DE∥BC， 　　∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． 　　∴∠A＝∠ADE＝∠AED． 　　∴△ADE是等边三角形． 　　教师提问：证明过程应用的是等边三角形的哪个判定方法？ 　　学生回答：三个角都相等的三角形是等边三角形． 　　教师追问：还有其他证法吗？ 　　学生回答：还可以利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”或者“三条边都相等的三角形是等边三角形”来证明． 　　【答案】证明（方法二）：∵△ABC是等边三角形， 　　∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 　　∵DE∥BC， 　　∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． 　　∴∠ADE＝∠AED． 　　∴AD＝AE． 　　∴△ADE是等腰三角形． 　　∵∠A＝60°， 　　∴△ADE是等边三角形． 　　证明（方法三）：∵△ABC是等边三角形， 　　∴∠A＝∠B＝∠C． 　　∵DE∥BC， 　　∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED． 　　∴∠A＝∠ADE，∠ADE＝∠AED． 　　∴DE＝AE，AD＝AE． 　　即AD＝AE＝DE． 　　∴△ADE是等边三角形． 　　【设计意图】通过例题的讲解学习，加深学生对已学知识的理解，让学生能够掌握运用等边三角形的性质及判定进行简单的证明和计算． 课堂小结 15.3　等腰三角形（第4课时） 教学目标 　　1．通过探索、发现、证明，得到含30°角的直角三角形的性质． 　　2．能够利用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算． 教学重点 　　含30°角的直角三角形的性质． 教学难点 　　含30°角的直角三角形的性质． 教学过程 知识回顾 　　1．等边三角形的性质． 等边三角形的性质 边 角 对称性 三条边都相等 三个内角都相等，并且每一个角都等于60° 三线合一，轴对称图形，三条对称轴 　　2．等边三角形的判定． 图形 判定 等边三角形 三条边都相等的三角形 三个角都相等的三角形 有一个角是60°的等腰三角形 　　【师生活动】教师提出问题，学生作答． 　　【设计意图】复习已学过的等边三角形知识，检查学生对已学知识的掌握程度． 新知探究 一、探究学习 【问题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，测量∠A所对的直角边BC与斜边AB，你能得到什么结论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立吗？证明你的结论． 　　【师生活动】学生通过测量发现：在Rt△ABC中，如果∠A＝30°，那么直角边BC等于斜边AB的一半． 教师提问：如何证明这一结论？ 教师提示：要证明BC＝AB，只要证明2BC＝AB．为此可以构造长为2BC的线段，证明它和AB相等即可． 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试证明．一名学生板书，其他学生在练习本上书写解题过程．学生交流，教师反馈． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线， ∴AB＝AD． 又∵∠B＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB． 又BD＝2BC， ∴BC＝AB． 　　教师追问：你还有其他证明方法吗？ 　　学生思考并尝试证明． 证明：作∠BCE＝60°，交AB于E，连接CE， 　　则∠ACE＝90°－60°＝30°． 　　在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°． 在△BCE中，∵∠BCE＝60°，∠B＝60°， ∴△BCE是等边三角形． 　　∴BC＝BE＝CE． 在△ACE中，∵∠A＝30°，∠ACE＝30°， ∴△AEC是等腰三角形． ∴CE＝AE． ∴BC＝BE＝CE＝AE． ∴BC＝BE＝AE＝AB． 　　教师提问：观看动图，尝试总结含30°角的直角三角形的性质． 　　小组交流，一名学生代表发言，教师总结． 　　【新知】含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 　　符号语言： 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， 　　∴BC＝AB． 　　【设计意图】让学生经历含30°角的直角三角形的性质的探索过程，加深对知识的理解． 二、典例精讲 　　【例1】图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°．求立柱BC，DE的长． 　　【师生活动】教师提问，学生思考并尝试解答． 【答案】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD． 　　∴BC＝×7.4＝3.7． 又AD＝AB， ∴DE＝AD＝×3.7＝1.85． 　　答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m． 　　【例2】已知等腰三角形的底角为15°，腰长为2a．求腰上的高． 　　【师生活动】教师提示：可以先根据题意写出已知和所求． 　　学生在教师的提示下，独立思考并尝试解答． 已知：如图，在等腰△ABC中，∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a．过点C作腰BA延长线的垂线CD，垂足为点D． 求：CD的长． 　　解：在等腰△ABC中，∵∠B＝∠ACB＝15°，AB＝2a， 　　∴∠DAC＝∠B＋∠ACB＝15°＋15°＝30°，AC＝AB＝2a． 　　∴CD＝AC＝×2a＝a． 　　【设计意图】通过例题的讲解学习，加深学生对已学知识的理解，让学生能够运用含30°角的直角三角形的性质进行简单的证明和计算． 课堂小结 学科网（北京）股份有限公司 $