专题05 期中解答压轴题（三大题型）（期中真题汇编 北京专用）高一数学上学期

专题05 期中解答压轴题（三大题型） 4大高频考点概览 考点01 集合新定义 考点02 函数新定义 考点03 函数综合 地 城 考点01 集合新定义 1．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． (1)判断是否为“可表集合”，并说明理由； (2)证明：若为“可表集合”，则； (3)若为“可表集合”，求的最小值． 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 3．(24-25高一上·北京房山区·期中)对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． (2)是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． (3)若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 4．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数. (1)若，用列举法直接写出； (2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）； (3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：. 5．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)如图，A是n行n列的数表（，），用（）表示位于第i行第j列的数，且满足， 给定，若数表A满足，则称A具有性质． (1)直接写出数表，是否具有性质； (2)判断是否存在具有性质的数表A，并加以证明； (3)若数表A具有性质，求n（用p表示）． 6．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 8．(24-25高一上·北京延庆区·期中)设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集. (1)集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由； (2)集合，若不是A的完美子集，求的值. 9．(24-25高一上·北京第八十中学·期中)设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 10．(24-25高一上·北京大兴区·期中)若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且，，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 11．(24-25高一上·北京丰台区·期中)给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 12．(24-25高一上·北京交通大学附属中学·期中)对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 13．(24-25高一上·北京大学附属中学行知学院·期中)已知集合，若集合A是U的含有k（）个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”.将U的所有“k元零子集”的个数记为. (1)写出U的一个“2元零子集”和一个不含数字0的“3元零子集”； (2)求证：当，且时，； (3)直接写出的值. 14．(24-25高一上·北京汇文中学教育集团·期中)若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 15．(24-25高一上·北京第一七一中学·期中)对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，证明：不能“任意双拆”； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值． 地 城 考点02 函数新定义 1．(24-25高一上·北京海淀区·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 2．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 3．(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 地 城 考点03 函数综合 1．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 2．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数. (1)当时，若对于恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对于任意恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 3．(24-25高一上·北京中关村中学·期中)定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. (1)求证是奇函数； (2)求证在上单调递减； (3)若且对所有恒成立，求实数t的范围. 4．(24-25高一上·北京第十四中学·期中)设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是． (1)求证：存在实数使得； (2)当时，求的取值范围； (3)判断函数的单调性，并予以证明． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 期中解答压轴题（三大题型） 4大高频考点概览 考点01 集合新定义 考点02 函数新定义 考点03 函数综合 地 城 考点01 集合新定义 1．(24-25高一上·北京第一零一中学·期中)给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． (1)判断是否为“可表集合”，并说明理由； (2)证明：若为“可表集合”，则； (3)若为“可表集合”，求的最小值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接根据定义判断； （2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论； （3）列出、、、的所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值. 【详解】（1）由于对，，有，，，，. 故是“可表集合”. （2）欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多， 则由运算后的所有情况为：， 共20个，故. （3）若，则中元素至多有，个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，不妨设，则由构成的数有 共20个， 因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素， 故其余19个数刚好构成集合， 这19个数之和为，且， 故， 因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数， 故无法构成集合； 若，经过运算可构成集合， 故若为“可表集合”时，的最小值为. 2．(24-25高一上·北京师范大学附属中学·期中)设集合，其中是正整数，记．对于，，若存在整数k，满足，则称整除，设是满足整除的数对的个数． （1）若，，写出，的值; （2）求的最大值; （3）设A中最小的元素为a，求使得取到最大值时的所有集合A． 【答案】（1），；（2）4；（3），或. 【解析】（1）根据定义得到，，即可得到，的值； （2）结合条件得到最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况， 排除(2, 4) , (3，4)即可得到的最大值； （3）假设，，根据定义可得或，进而得到A. 【详解】（1）根据条件所给定义，SA=15=5(1+2)=3(1+4)，故， SB=24=4(1+5) =2(5+7)=2(1+11)=3 (1+7)，故. （2）不妨设，因为，所以，不能整除，因为最多有(1, 2)，(1, 3)， (1, 4)， (2,3)， (2, 4)，(3, 4)六种情况，而(2, 4) , (3，4)不满足题意，所以，当时，，所以的最大值为4 ； （3）假设，由（2）可知，当取到最大值4时，均能整除，因， 故，所以， 设，则是的因数， 所以是的因数，且是的因数，因为， 所以，因为是的因数，所以， 因为是的因数，所以是的因数， 因为，所以，所以或， 故，或， 所以当取到最大值4时，故，或. 3．(24-25高一上·北京房山区·期中)对于任意的，记集合，，若集合满足下列条件：① ；② ，且，不存在，使，则称具有性质．如当时，，，，且，不存在，使，所以具有性质． (1)写出集合，中的元素个数，并判断是否具有性质． (2)是否存在、具有性质，且，使，若存在请求出、，若不存在请说明理由． (3)若存在、具有性质，且，使，求的最大值． 【答案】(1)，中的元素个数分别为9，14，不具有性质． (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由已知条件能求出集合，中的元素个数，并判断出不具有性质． （2）假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，，从而，由此推导出与具有性质矛盾．从而假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）当时，不存在，具有性质，且，使．，根据、、分类讨论，能求出的最大值为14． 【详解】（1）解： 对于任意的，记集合，2，3，，，．当时，； 当时，，集合，中的元素个数分别为9，， 集合满足下列条件：①；②，，且，不存在，使，则称具有性质， 因为，，，，不符合题意， 不具有性质． （2）证明：假设存在，具有性质，且，使．其中，2，3，，． 因为，所以， 不妨设．因为，所以，． 同理，，．因为，这与具有性质矛盾． 所以假设不成立，即不存在，具有性质，且，使． （3）解：因为当时，，由（2）知，不存在，具有性质，且，使． 若，当时，， 取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，， 则，具有性质，且，使． 当时，集合中除整数外，其余的数组成集合为， 令，， 则，具有性质，且，使． 当时，集中除整数外，其余的数组成集合， 令，． 则，具有性质，且，使． 集合中的数均为无理数， 它与中的任何其他数之和都不是整数， 因此，令，，则，且． 综上，所求的最大值为14． 4．(24-25高一上·北京师范大学附属实验中学·期中)对于非空有限数集，记或表示中所有元素的个数. (1)若，用列举法直接写出； (2)给定且，设，对于且，记，求的最小值（用表示）； (3)设非空有限数集满足以下条件：①；②；③.求证：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用定义可求解； （2）分，，结合的奇偶讨论可求解； （3）由已知有，，结合条件得，进而可得与间元素存在一一对应关系，可得结论. 【详解】（1）； （2）当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 当时：， 若为偶数，，当且仅当时取等号， 若为奇数，，当且仅当时取等号， 综上，当为奇数时，的最小值为， 当为偶数时，的最小值为； （3）对于，记且且， 则有：， ， 故：， ， 由于， 则均为非空集合， ， 进而有：， 任取，由于，则， 因为，所以， 而，则，故， 若，则，则， 与矛盾，故有， 同理，任取，有， 即：与间元素存在一一对应关系， 所以，故. 5．(24-25高一上·北京中国人民大学附属中学·期中)如图，A是n行n列的数表（，），用（）表示位于第i行第j列的数，且满足， 给定，若数表A满足，则称A具有性质． (1)直接写出数表，是否具有性质； (2)判断是否存在具有性质的数表A，并加以证明； (3)若数表A具有性质，求n（用p表示）． 【答案】(1)数表具有性质；数表不具有性质. (2)不存在，证明见解析. (3) 【分析】（1）由数表结合取值，分别求解验证即可； （2）用反证法证明，结合性质，按的取值分类讨论分别推出矛盾可证； （3）设各列中的最大个数为，结合性质从行列两个角度建立的不等关系，借助两边夹构造等量关系求解. 【详解】（1）对于数表， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 故可以看到，当时，； 且当时，. 所以数表具有性质. 对于数表， 当时，， 故数表不具有性质. （2）假设数表具有性质，则，数表有5行5列. 由条件得， 由，可知数表中任意两行不同. 根据定义由，且， 则对于任意，，. 则当时，，. 即数表中任意一行都恰有个，其余为； 当时，（）. 又由，且， 故任意不同两行中恰列同为，即，其余各列情况只能为或或. 由题意可知，则 ①当时，不妨设第一行是， 则其他行只能是以下6种情况：， 其中与至多出现1个； 与至多出现1个； 与至多出现1个； （假设同时出现，则当时，，不满足性质） 从而该数表最多4行，故与题意行列矛盾. ②当时，不妨设第一行是， 则其它行只能是， 故数表至多4行，产生矛盾； ③当时，数表中任意不同两行至少有3个位置都是， 则当时，，不满足性质； ④当时，数表中任何一行都是个1，这与任两行不同矛盾； 综上所述，不存在具有性质的数表. （3）因为数表有行列，具有性质， 由题意，数表A满足. 由，可知数表中任意两行不同. 根据定义由，且， 则对于任意，，. 则当时，. 即数表中任意一行都恰有个，其余为，行共个； 当时，，且， 故任意不同两行中恰列同为，即，其余情况只能为或或. 设各列中含的最大个数为，则的总个数，则. ①考虑数表的前列中的分布， 第一行有个，不妨设这个在前列，其后都为， 考虑前列中的总个数， 根据性质，， 则考虑前列中除第行外其余各行都恰有个，即除第行外行共个， 故前列中的总个数为，又列中的总个数不超过， 从而，则； ②考虑数表前行中的分布， 先考虑的个数最多即个的一列，不妨设为第一列， 不妨设这个在前行，根据性质， 由数表第行前列都为，则第行第列至第列必为， 不妨设第行的剩余个1在随后的第列至列上（即图中第2组个）， 同样的，第行的剩余个1不能在第列之前，不妨设在随后的第列至列上（即第3组个），， 依次类推，根据性质可作出如下图的数表：      结合性质，由数表可得到如下结论： （i）； （ii）由①知，每一行都恰列有，则这列在数表中含有的总个数为， 即数表中第组从第1列至第列有个， 考虑前行的分布，则有， 即， 又，则， 故，所以或. 若，则由知，，产生矛盾， 所以，则由①②推出的结论，， 此时，， 故. . 6．(24-25高一上·北京陈经纶中学·期中)已知集合A为数集，定义.若，定义：. (1)已知集合，直接写出，及的值； (2)已知集合，，，求，的值； (3)若.求证：. 【答案】(1),,; (2)，; (3)详见解析 【分析】（1）利用题给定义即可求得，及的值； （2）利用题给定义即可求得，的值； （3）先转化的含义，再利用文氏图即可证得成立. 【详解】（1）集合， 则，， （2）集合，，， （3）由， 可得的值即为两集合中相异元素个数， 定义为集合A中元素个数， 则 令， ， , 则 则 ， 故有. 7．(24-25高一上·北京第十二中学·期中)对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，判断是否能“任意双拆”，并证明； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)7. 【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论. （2）不妨设，利用反证法，通过讨论集合中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立； （3）分析可知集合中每个元素均为奇数，且集合中所有元素都为奇数，分析可知，当时，，根据“任意分拆”的定义可判断集合可“任意分拆”，即可得出结论. 【详解】（1）对于集合，，且，因此集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，则集合不可“任意分拆”； 对于集合，，， 因此集合可双拆， ，在集合中，任意一个数与其它3个数的和都不等， 任意两个数的和与另外两个数的和也都不等，因此集合不可“任意分拆”. （2）集合不能“任意双拆”， 不妨设，反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾；由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾；由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. （3）设集合，由，，， 得均为偶数，因此均为奇数或偶数, 若为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数， 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 因此集合中元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，则， 当时，取集合， ，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以集合中元素个数的最小值为. 8．(24-25高一上·北京延庆区·期中)设集合，对于集合A中的任意元素和及实数，定义：当且仅当时；.若A的子集满足：当且仅当时，，则称为A的完美子集. (1)集合，，分别判断这两个集合是否为A的完美子集，并说明理由； (2)集合，若不是A的完美子集，求的值. 【答案】(1)是A的完美子集，不是A的完美子集，理由见解析； (2). 【分析】（1）根据完美子集定义去计算验证是否当且仅当时，即可得解； （2）先计算，接着由得方程，解该方程得或，再结合元素互异性分类讨论和这两种情况即可得解. 【详解】（1）是A的完美子集，不是A的完美子集，理由如下： 对于，因为， 所以， 所以当且仅当时，， 所以是A的完美子集； 对于，因为， 所以 ， 令， 所以存在无数组解使得， 如当时，， 所以不是A的完美子集. （2）因为， 所以， 所以 ， 因为不是A的完美子集，所以存在，使得， 即存在使得， 解方程组得， 由集合互异性可得且，故且， 所以解得或，且由得， 若，则有， 所以存在无数组解使得， 如当时，， 所以不是A的完美子集，符合题意； 当且时，则由得， 所以由得，又得，故，不符合题意； 综上的值为. 9．(24-25高一上·北京第八十中学·期中)设集合为非空数集，定义，． (1)若，写出集合、； (2)若，，且，求证：； (3)若，且，求集合元素个数的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)1348 【分析】（1）根据定义，，直接求解即可， （2）由题意利用集合中的元素间的关系及可证明， （3）由题意建立集合间的关系，并列出不等式求的范围，即可求出最大值． 【详解】（1）由题意，得，， （2）证明：因为，，且， 所以集合也有四个元素，且都为非负数，因为， 又因为，所以且， 所以集合中其他元素为，，， 即，剩下的， 因为，所以， 即，即，所以 （3）设，满足题意，其中， 因为， 所以， 因为，所以， 因为，所以， 中最小的元素为0，最大的元素为， 所以， 实际当，时满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为（个． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是能够结合题意得到，进而证明符合题意. 10．(24-25高一上·北京大兴区·期中)若含有4个元素的数集能满足，则称数集具有性质．给定集合. (1)写出一个具有性质的集合，并说明理由； (2)若，证明：集合和不可能都具有性质； (3)若集合有4个元素，，且，，证明：这个集合不可能同时都具有性质． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）需要根据性质的定义，在给定集合中找出满足条件的四个元素组成集合，并验证. （2）需要假设它们都具有性质，然后推出矛盾.这里要用到性质的定义以及集合的相关性质. （3）可以采用反证法，假设这个集合都具有性质，然后根据集合的并集、交集性质以及性质的定义推出矛盾. 【详解】（1）取，满足， 所以是具有性质的集合. （2）因为， 所以和中一个为奇数，一个为偶数. 所以中至多有2个偶数. 若和都具有性质J，由中有4个奇数和4个偶数知，中必有两个偶数. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 若两个集合分别为和， 则或，不存在使得符合要求. 故若和不可能都具有性质J. （3）假设集合同时都具有性质J，则每个集合中至多有两个偶数. 因为中恰有2n个偶数，所以这n个集合中都只含2个偶数. 设,其中为偶数，为奇数. 所以, 且. 由题意知，，即. 因为. 所以矛盾，故假设不成立. 所以集合不可能同时都具有性质J. 11．(24-25高一上·北京丰台区·期中)给定正整数，设集合，对，，，两数中至少有一个数属于，则称集合具有性质. (1)设集合，，请直接写出，是否具有性质； (2)若集合具有性质，求的值； (3)若具有性质的集合恰有6个元素，且，求集合． 【答案】(1)集合具有性质，集合不具有性质 (2) (3)，，，， 【分析】（1）根据性质的定义，即可判断两个集合是否满足； （2）根据性质的定义，首先确定，再讨论是否属于集合，即可确定的取值，即可求解； （3）首先确定集合中有0，并且有正数和负数，然后根据性质讨论集合中元素的关系，即可求解. 【详解】（1）因为集合中的任何两个相同或不同的元素，相加或相减， 两数中至少有一个属于集合，所以集合具有性质， 集合中的，， 所以集合不具有性质， 所以集合具有性质，集合不具有性质； （2）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以，       不妨设，则，且， 令，， 则，且，且， ①当时，显然， 因为，所以， 所以，解得，         此时，具有性质； ②当时，则， 因为且， 所以，， 所以，解得， 此时，与题意不符（舍）， 综上，， 故； （3）记，易知， 令， 所以， 由集合具有性质， 所以， 不妨设，， 此时， 若，显然， 所以， 由集合具有性质， 所以，， 因为且与互为相反数， 所以，两个数中必然一正一负， 所以中有0，有正数也有负数， 下面对中元素的正负个数进行讨论： （1）当中有1个负数，4个正数时， 不妨设，， 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （2）当中有4个负数，1个正数时， 不妨设时，， 因为均小于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以不可能同时等于， 所以此时集合不具有性质，舍去； （3）当中有2个负数，3个正数时， 不妨设时，，， 因为， 所以， 由集合具有性质， 所以， 因为， 所以， 即，① 因为均大于， 所以均不属于， 由集合具有性质， 所以，， 因为，， 所以，，， 故，，，， 所以，，，② 由①②，得， 于是：. （4）当中有3个负数，2个正数时， 由（3），同理可得， 由此，当恰有6个元素，且时，可得符合条件的集合有5个， 分别是，，， ，. 12．(24-25高一上·北京交通大学附属中学·期中)对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A具有可分性． (1)分别判断集合，是否具有可分性，并说明理由； (2)判断是否存在五个元素的集合具有可分性，并说明理由． (3)若集合A具有可分性，求集合A中元素个数的最小值． 【答案】(1)集合{1，2，3，4}不具有可分性，集合{1，2，3，4，5}不具有可分性，理由见解析； (2)不存在，理由见解析； (3)7． 【分析】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数，由此可以快速判断（1）中两个集合不具有可分性； （2）存在性问题，可先假设存在满足要求的五元集合，再根据新定义进行检验； （3）根据新定义，设，则容易发现为偶数，若n为偶数，则可进一步得到为偶数，为4的倍数，为8的倍数，……，从而得出矛盾，n必为奇数，易知不符合，由（2）知不符合要求，构造出符合要求的7元集合即可说明n的最小值为7． 【详解】（1）若集合具有可分性，则去掉任意元素之后，剩余元素之和必为偶数， 对于集合{1，2，3，4}，去掉1时，剩下三个元素之和为9，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4}不具有可分性， 对于集合{1，2，3，4，5}，去掉2时，剩下四个元素之和为13，不是偶数，矛盾，故集合{1，2，3，4，5}不具有可分性； （2）不存在，理由如下： 假设存在满足要求的五元集，其中， 则去掉时，可能的情况为或， 若，则去掉时，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 若，则去掉时，，，不能分成两个集合，且两个集合的元素之和相等， 故假设不成立，即不存在五元集合具有可分性； （3）先证明若集合A具有可分性，则集合A的元素个数n为奇数， 否则n为偶数，记，则为偶数，所以为偶数，所以M为偶数，ai为偶数， 所以是一系列偶数的和，也为偶数，所以则为4的倍数，所以为4的倍数，所以M为4的倍数，ai为4的倍数， 所以是一系列4的倍数的和，也为4的倍数，所以则为8的倍数，所以为8的倍数，所以M为8的倍数，为8的倍数， ………， 依次类推下去，可得为的倍数，显然矛盾，故假设不成立，n为奇数，证毕． 时，去掉任意元素之后，另两个元素不可能相等，集合A不可分， 由（2）知时，集合A也不可分，所以， 当时，取， 划去1时，； 划去3时，； 划去5时，； 划去7时，； 划去9时，； 划去11时，； 划去13时，， 即A具有可分性， 综上可知，集合A中元素个数的最小值为7. 13．(24-25高一上·北京大学附属中学行知学院·期中)已知集合，若集合A是U的含有k（）个元素的子集，且A中的所有元素之和为0，则称A为U的“k元零子集”.将U的所有“k元零子集”的个数记为. (1)写出U的一个“2元零子集”和一个不含数字0的“3元零子集”； (2)求证：当，且时，； (3)直接写出的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)151 【分析】（1）根据“k元零子集”的定义列举； （2）根据“k元零子集”的定义结合的含义即可得证； （3）根据“k元零子集”的定义列举求出的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为， 所以U的“2元零子集”可以是（其中之一即可）； U的不含数字0的“3元零子集”可以是 （其中之一即可）. （2）当时，设是的任意一个“元零子集”，则中所有元素之和为0， 因为中所有元素之和为0，所以中所有元素之和也为0， 即是集合的“元零子集”； 反之，设是的任意一个“元零子集”， 同理得是的“元零子集”； 综上所述：. （3）的“1元零子集”只有，即； 的“2元零子集”有：，即； 的“3元零子集”有：， ， 即； 的“4元零子集”有：， ， ， ， ，， 所以； 的“5元零子集”有：， ， ，， ， ， ，， 所以； 由（2）知:， 显然， 所以. 14．(24-25高一上·北京汇文中学教育集团·期中)若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，.则称集合A是“好集”. (1)分别判断集合，有理数集是不是“好集”，并说明理由； (2)设集合是“好集”，求证:若，，则； (3)对任意的一个“好集”，分别判断下面命题的真假，并说明理由. 命题：若，，则必有； 命题：若，，且，则必有. 【答案】(1)集合不是“好集”， 有理数集是“好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)命题、均为真命题，理由见解析 【分析】（1）按照新定义，判断、是否符合条件即可； （2）根据条件进行推导，先判断，进而可证； （3）类似（2）根据“好集”的性质进行推导即可. 【详解】（1）（1）集合不是“好集”. 理由：假设集合是“好集”. 因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”. 有理数集是“好集”. 理由： 因为，， 对任意的，，有，且时，， 所以有理数集是“好集”. （2）证明:因为集合是“好集”， 所以， 若，，则，即. 所以，即. （3）命题、均为真命题，理由如下： 对任意一个“好集”，任取，， 若，中有0或1时，显然. 若，均不为0，1，由定义可知，，， 所以，即，所以. 由（2）可得，即. 同理可得. 若或，则. 若且，则. 所以，所以. 由（2）可得，所以. 综上可知，，即命题为真命题. 若，，且，则，所以，即命题q为真命题. 15．(24-25高一上·北京第一七一中学·期中)对于正整数集合，记，记集合所有元素之和为，．若，存在非空集合、，满足：①；②；③，则称存在“双拆”．若，均存在“双拆”，称可以“任意双拆”． (1)判断集合和是否存在“双拆”？如果是，继续判断可否“任意双拆”？（不必写过程，直接写出判断结果）； (2)，证明：不能“任意双拆”； (3)若可以“任意双拆”，求中元素个数的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题中定义判断可得出结论； （2）不妨设，利用反证法，通过讨论集合中去掉的元素，结合“任意双拆”的定义得出等式，推出矛盾，即可证得原结论成立； （3）分析可知集合中每个元素均为奇数，且集合中所有元素都为奇数，分析可知，当时，，根据“任意分拆”的定义可判断集合可“任意分拆”，即可得出结论. 【详解】（1）解：对于集合，，且， 所以，集合可双拆， 若在集合中去掉元素，因为，，，故集合不可“任意分拆”； 若集合可以“双拆”，则在集合去除任意一个元素形成新集合， 若存在集合、使得，，，则， 即集合中所有元素之和为偶数， 事实上，集合中的元素为个奇数，这个奇数的和为奇数，不合乎题意， 故集合不可“双拆”. （2）证明：不妨设. 反证法：如果集合可以“任意双拆”， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，①，或，②， 若去掉的元素为，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有，③，或，④， 由①③可得，矛盾； 由②③可得，矛盾； 由①④可得，矛盾； 由②④可得，矛盾. 因此，当时，集合一定不能“任意双拆”. （3）解：设集合. 由题意可知均为偶数，因此均为奇数或偶数. 如果为奇数，则也均为奇数，由于，则为奇数； 如果为偶数，则也均为偶数. 此时设，则也是可“任意分拆”的， 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“任意分拆”集，此时各项之和也为奇数， 则集合中元素个数为奇数， 综上所述，集合中的元素个数为奇数， 当时，显然集合不可“任意分拆”； 当时，由（2）可知，不可“任意分拆”，故. 当时，取集合， 因为，，， ，，， 则集合可“任意分拆”， 所以，集合中元素个数的最小值为. 地 城 考点02 函数新定义 1．(24-25高一上·北京海淀区·期中)对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件： ①在区间上是单调的； ②当定义域是时，的值域也是．则称是函数的一个“黄金区间”． （1）请证明：函数不存在“黄金区间”． （2）已知函数在上存在“黄金区间”，请求出它的“黄金区间”． （3）如果是函数的一个“黄金区间”，请求出的最大值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）由为上的增函数和方程的解的情况可得证； （2）由可得出，再由二次函数的对称轴和方程，可求出函数的“黄金区间”； （3）化简得函数的单调性，由已知是方程的两个同号的实数根，再由根的判别式和根与系数的关系可表示，由或，可得的最大值． 【详解】解：（1）证明：由为上的增函数，则有， ∴，无解，∴不存在“黄金区间”； （2）记是函数的一个“黄金区间”， 由及此时函数值域为，可知 而其对称轴为，∴在上必为增函数， 令，∴，∴ 故该函数有唯一一个“黄金区间”； （3）由在和上均为增函数， 已知在“黄金区间”上单调，所以或，且在上为单调递增， 则同理可得，，即是方程的两个同号的实数根，等价于方程有两个同号的实数根， 又，则只要，∴或， 而由韦达定理知，， 所以，其中或，所以当时，取得最大值． 2．(24-25高一上·北京第十五中学·期中)如果是定义在上的函数，且对任意的，都有，则称该函数是“函数”． (1)分别判断下列函数： ①；②；③是否为“函数”？ （直接写出结论） (2)若函数是“函数”，求实数的取值范围； (3)设“函数”在上单调递增，求所有可能的集合A与． 【答案】(1)①③为“函数”，②不为“函数” (2) (3)， 【分析】（1）根据“函数”的定义结合方程思想逐项分析求解即可； （2）分析可知原题意等价于无解，即可得结果； （3）根据单调性以及“函数”的定义可知，，并代入检验. 【详解】（1）对于①：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 对于②：令，即， 整理可得，解得， 即不恒成立，所以不为“函数”； 对于③：令，即，可得不成立， 即恒成立，所以为“函数”； 综上所述：①③为“函数”，②不为“函数”. （2）令， 则，整理可得， 原题意等价于无解， 若，则，即无解，符合题意； 若，解得，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. （3）因为的单调递增区间为，由题意可知：， 若且，则， 即，不合题意，可知， 且的定义域为，则，. 此时，其图像如图所示， 可知在上单调递增， 当时，则，不满足，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 当时，则，若， 则，即， 所以不成立，符合题意； 综上所述：恒成立，函数为“函数”， 所以，. 3．(24-25高一上·北京大学附属中学元培学院·期中)对定义域为的函数，若存在使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点；若存在使得，则称是函数的二阶不动点，简称稳定点． (1)判断函数在上是否有稳定点（直接写出结论）； ①______；②______． (2)概念举例：写出满足下列要求的一个函数（直接写出结论）； ①不是且有无穷多个不动点：______； ②有无穷多个稳定点，且这些稳定点不都是不动点：______． (3)已知在上有且仅有个一阶不动点． ①求实数的取值范围； ②在上有几个稳定点？并说明理由． 【答案】(1)①没有；②有. (2)①（答案不唯一）；②（答案不唯一）. (3)①；②个，理由见解析. 【分析】（1）根据“稳定点”的定义列方程，解对应方程判断即可得出结论； （2）对于①，取，其中为不超过的最大整数；对于②，取.集合稳定点和不动点的定义验证即可； （3）①由，令，可得出，设，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； ②分析函数在区间上的单调性，设函数在上的一个稳定点为，即，对与的大小进行分类讨论，可得出，即可得出结论. 【详解】（1）对于①，由可得该方程无解，即函数没有“稳定点”； 对于②，由可得，解得或，即函数有“稳定点”. （2）对于①，可取，其中为不超过的最大整数， 当时，，此时，函数有无穷多个不动点； 对于②，可取，则当时，因为，则函数有无穷多个稳定点， 由可得，解得， 所以，当时，为函数的稳定点，但不是不动点. （3）当时，由可得， 令，可得，可得， 则关于的方程在上有且只有一个实根， 设，则函数在上单调递增， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是； ②因为，则，必有， 令，， 则内层函数在上单调递增， 因为外层函数为增函数，故函数在上增函数， 不妨设函数在上的一个稳定点为，即. 若，则，矛盾； 若，则，矛盾. 故必有，即函数的稳定点必为该函数的不动点. 因为函数在区间上只有一个不动点， 因此，函数在上有且只有一个稳定点. 地 城 考点03 函数综合 1．(24-25高一上·北京师范大学第二附属中学·期中)已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得关于的方程恰有三个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把函数写成分段函数的形式，根据分段函数的单调性可得实数的取值范围； （2）根据方程恰有三个不相等的实数根，建立条件关系，分类讨论即可求得. 【详解】（1）， 由在上是增函数，则，解得， 则取值范围为. （2）当时，在上是增函数，则关于的方程不可能有三个不等的实数根. 当时，由， 得时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为； 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为； 由存在，方程有三个不相等的实根， 则，即存在，使得即可， 令，只要使即可，而在上是增函数， ，故实数的取值范围为. 综上所述，实数的取值范围为. 2．(24-25高一上·北京通州区·期中)已知函数. (1)当时，若对于恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，若对于任意恒成立，求的取值范围； (3)若存在，使得与同时成立，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3). 【分析】（1）先求得在区间上的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，将问题转化为求在区间的最小值、在区间的最大值，由此来求得的取值范围. （3）对，利用判别式进行判断.对，对进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以. 因为对于恒成立，等价于的最大值. 因为在区间上单调递减， 所以在区间上的最大值为. 所以，即，解得，或. 所以实数的取值范围是或. （2）因为对于任意恒成立， 等价于在区间的最小值在区间的最大值. 因为，所以在区间的最大值是0. 因为，所以对称轴. ①当时，在区间的最小值为. 所以，解得. 所以的取值范围是. ②当时，在区间的最小值为. 所以，解得. 所以的取值范围是. ③当时，在区间的最小值为. 所以，解得.不符合. 由①②③得，的取值范围是. （3）因为函数的图象开口向上，且存在，使得成立， 所以方程的判别式，解得，或. ①当时，因为存在，使得成立， 所以，即. 因为在区间上单调递增，且 所以当时，不存在，使得成立. ②当时，因为存在，使得成立， 所以，即. 因为存在，使得成立， 所以，即，解得. 由①②得，的取值范围是. 3．(24-25高一上·北京中关村中学·期中)定义在上的函数满足：①对任意，都有；②当时，都有. (1)求证是奇函数； (2)求证在上单调递减； (3)若且对所有恒成立，求实数t的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法及奇函数的定义证明； （2）由已知条件及函数单调性的定义证明； （3）由条件得在上最大值为1，从而对所有恒成立，令，，由题意得且，解不等式即可． 【详解】（1）令，则有，所以； 对任意，令，则. 所以是奇函数. （2）对任意，若，则 ， 由于，所以， 又因为，所以. 因此， 所以函数在上单调递减. （3）由于在上单调递减且为奇函数， 所以在上单调递减，最大值为. 由于对所有恒成立， 所以对所有恒成立， 即对所有恒成立， 令，， 由题意得且， 即且， 解得. 即实数t的范围是. 4．(24-25高一上·北京第十四中学·期中)设函数是定义在R上的函数，对任意的实数都有，且当时的取值范围是． (1)求证：存在实数使得； (2)当时，求的取值范围； (3)判断函数的单调性，并予以证明． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)单调递减，证明见解析. 【分析】（1）令结合题设可得，即可证； （2）令得到，若，结合已知即可求范围； （3）令，应用函数单调性定义求证即可. 【详解】（1）令，则， 当时的取值范围是，即，故， 显然存在，使，得证； （2）令，则，即， 若，则，故，即， 而，则，当时，取值范围是； （3）单调递减，证明如下： 令，则， 所以，则， 由题设及（2）知，，则，即， 所以单调递减，得证. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $