专题04期中填选压轴题（四大题型）（期中真题汇编 北京专用）高一数学上学期

专题04 期中填选压轴题（四大题型） 4大高频考点概览 考点01 集合 考点02 不等式综合 考点03 函数的基本性质 考点04 分段函数 地 城 考点01 集合 1．已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【来源】北京市第一零一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 2．设集合，在上定义运算，其中为被3除的余数，，，则使关系式成立的有序数对共有（   ） A．0对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【来源】北京市第十二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0，然后分9种情况讨论即可. 【详解】由定义可知满足成立的有序数对应保证除以3的余数加后除以3等于0， 除以3的余数是0，除以3的余数是0； 除以3的余数是1，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是2； 除以3的余数是2，除以3的余数是0； 除以3的余数是0，除以3的余数是1； 除以3的余数是2，除以3的余数是1； 除以3的余数是0，除以3的余数是2； 除以3的余数是1，除以3的余数是0； 所以满足条件的数对有，共3对， 故选：C. 3．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【来源】北京市通州区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 4．由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ） A．没有最大元素，有一个最小元素 B．没有最大元素，也没有最小元素 C．有一个最大元素，有一个最小元素 D．有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【来源】北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误 【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 5．函数.其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，.下列四个判断其中正确的是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则. A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】C 【来源】北京交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中练习数学试题 【分析】通过取特殊集合分析①③；先分析的结果，根据结果判断②；先考虑的情况，然后分析的唯一性，由此判断④. 【详解】对于①：若，满足， 此时，故错误； 对于②：若，则由函数定义可知，即，所以， 则，所以，故正确； 对于③：若，满足， 此时，故错误； 对于④：若，则，； 若，假设， 则，所以， 所以，所以， 这显然与矛盾，所以假设不成立， 所以若，则，故正确； 故选：C. 6．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 【答案】D 【来源】北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】判断集合中元素的最小值与最大值的可能情况，然后按照特征数定义求解即可. 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 7．设集合是集合的子集，对于，定义，给出下列三个结论：①存在的两个不同子集，使得任意都满足且；②任取的两个不同子集，对任意都有；③任取的两个不同子集，对任意都有；其中，所有正确结论的序号是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【来源】北京市北京汇文中学教育集团2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据题目中给的新定义，对于或，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于，定义， ∴对于①，例如集合是正奇数集合，是正偶数集合，，，故①正确； 对于②，若，则，则且，或且，或且；； 若，则，则且； ； ∴任取的两个不同子集，对任意都有；正确，故②正确； 对于③，例如：，当时，；；； 故③错误； ∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A． 8．设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【来源】北京交通大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中练习数学试题 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以，而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 地 城 考点02 不等式综合 1．若关于m的方程的两个实数根是x，y，则：的最小值是 ． 【答案】8 【来源】北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】由方程的根与系数的关系得与值，将欲求的的式子用含与的式子来表示，即化为含的函数，最后求此函数的最小值即可． 【详解】解：因为关于m的方程的两个实数根是x，y， 所以， 且，得或． 则有 ． 由此可知，当时，取得最小值8． 故答案为：8. 2．已知集合，若存在，使得中恰有2个元素，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】由题意方程在区间恰好有两个根，由此即可依次列出关于的不等式，并求解即可. 【详解】由题意存在，使得方程即方程在区间恰好有两个根， 一方面，若，则方程在区间最多有一根，矛盾， 所以只能，由基本不等式可得，等号成立当且仅当， 所以首先， 另一方面：方程即方程在区间的两个根的差的绝对值不超过2， 从而，解得， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 3．已知定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市房山区2024-2025学年高一上学期期中学业水平调研数学试题 【分析】作出函数的图象，分析函数的单调性，将所求不等式变形为，再由函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则， 又当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数在上为增函数， 由可得， 所以，，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 4．已知是上的奇函数，记不等式的解集为.给出下列四个结论： ①一定有； ②可能存在且； ③若当时，，则一定有； ④若当时，，且，则的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据条件，利用奇函数的性质，将问题转化成不等式的解为，对①，利用奇函数的性质，即可求解；对②，根据条件有，利用奇函数的性质得，即可求解；对③，根据题设得是的解，显然有，即可求解；对于④，利用奇函数的性质得时，，再利用一元二次不等式的解法，直接求出，再结合条件，即可求解. 【详解】因为是上的奇函数，由，得到， 对于①，因为，则，满足，即，所以①正确； 对于②，若，则成立， 又，即，所以②错误； 对于③，当时，，则，得到，即， 解得或，又易知，所以或或， 又，所以，故③正确； 对于④，当时，，由， 得到，即，得到 又时，，，得到， 由，得到，即，得到， 由①知，，又因为，则且，解得. 故答案为：①③④. 地 城 考点03 函数基本性质 1．对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（    ） A．对于函数，有成立 B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集 C．对于函数，有成立 D．对于函数，存在，使得成立 【答案】D 【来源】北京市陈经纶中学2024-2025学年高一上学期期中诊断数学试卷 【分析】根据所给定义结合函数的性质一一判断即可； 【详解】解：对于A：函数，，故A正确. 对于B：若A是空集，则恒成立或恒成立.若恒成立，用代替x可得，同理可得，所以无解，即B为空集，故B正确. 对于C：函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且.又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确. 对于D：函数，，，，故D错误. 故选：D 2．已知函数，若存在区间，使得函数在上的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数，显然该函数在上单调递增， 由函数在上的值域为，则， 等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在上恒成立，则， 解得. 故选：D. 3．，设取，，三个函数值中的最小值，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】作出函数的图象，利用图象求出其最大值. 【详解】在同一坐标系内作出直线，，， 由取，，三个函数值中的最小值， 得的图象为下图中实线构成的折线图， 则的最大值即为的图象最高点对应的纵坐标值， 观察图象知，的图象最高点是直线与的交点， 由，得，因此的图象最高点是， 所以的最大值为2. 故选：B 4．已知函数，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据已知判断二次函数的开口方向和的范围，利用韦达定理求的根，然后可得的解集，利用二次函数单调性即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 因为，所以，所以的一个根为1， 由韦达定理可得，的另一个根为， 所以的解集为，所以， 由单调性可知恒成立. 故选：A 5．已知定义域为的函数满足为偶函数．当时，，且当时，．对，都有，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市丰台区2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题 【分析】由条件可求得当，，，时的函数解析式，并且计算当时，的解，结合图象求的最小值. 【详解】因为定义域为的函数满足为偶函数， 所以函数关于对称， 因为当时，，当时，， 所以当时，，则， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 如图，画出函数图象 当时，令，解得或， 对，都有， 结合图象，得，的最小值为 故选：D. 6．当时,若函数的图像与的图像有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市第一七一中学2024-2025学年高一上学期期中调研数学试题 【分析】由两函数解析式分析可得，，，以两函数在出的交点情况进行分类讨论，结合图像，即可求解 【详解】函数为二次函数, 在区间 为减函数,在区间为增函数，； 函数，是斜率为1的增函数. 当时,又因为为正实数, ，； 要使的图像与的图像有且只有一个交点,结合图像 当时，即时，满足，，解得， 故； 当时，即时，满足，，解得，故； 综上所述：正实数的取值范围为 故选：B 7．设函数，若互不相等的实数满足：.则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】北京市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】根据解析式画出函数草图，结合零点的情况及一次、二次函数性质得、，即可得答案. 【详解】由解析式，可得如下图象， 令，要满足题设，则， 若，则，令，则，故， 综上，范围是. 故选：B 8．已知函数满足，若函数与图象的m个交点为，则的值是 . 【答案】 【来源】北京市第八十中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】首先判断两个函数的对称性，再根据对称性，确定交点的对称性，即可求解. 【详解】由条件得，，所以关于点对称， 关于点对称，所以函数与图象的m个交点有对关于点对称， 所以，， 所以. 故答案为： 9．已知函数的定义域为，若满足：对任意的，当时，总有成立，则称为单函数．给出下列四个结论： （1）不是单函数； （2）是单函数； （3）若为单函数，则在定义域上一定是单调函数； （4）若为单函数，则对任意的，当时，总有成立．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】（1）（2）（4） 【来源】北京市大兴区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】取特殊值，根据新定义判断（1），根据新定义推理可判断（2），举反例判断（3），反证法判断（4）. 【详解】对（1），因为，，不满足单函数定义，所以不是单函数，故（1）正确； 对（2），，当时，可得，即，所以是单函数，故（2）正确； 对（3），为单函数，可取，但是在定义域上不单调，故（3）错误； 对（4），当时，假设，则由单函数定义，可得，矛盾，故，故（4）正确. 故答案为：（1）（2）（4） 10．已知的定义域为，对，，若同时满足以下两个条件：（i）；（ii），则称具有“丰彩”性质．现给出以下定义域均为的四个函数： ①； ②； ③； ④． 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是 ． 【答案】①③ 【来源】北京市丰台区2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题 【分析】根据的单调性结合作差法判断的正负，然后逐项分析可得结果. 【详解】①：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以，所以，故（ii）满足； 所以具有“丰彩”性质； ②：在上单调递增，故（i）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； ③：在上单调递减，故（i）满足； 因为，且，， 所以， 所以， 所以具有“丰彩”性质； ④：的对称轴且开口向下， 所以在上单调递减，故（i）满足； 因为， 又因为，，所以，所以，故（ii）不满足； 所以不具有“丰彩”性质； 故答案为：①③. 11．已知定义在R上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论： ①在上单调递减； ②存在使 ③不等式的解集为 ④关于x的方程的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】③④ 【来源】北京市中关村中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据偶函数和单调函数的性质，逐项判断即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以. 又，所以，且在上单调，所以在上单调递增，故①错误； 当时，，又函数为偶函数，图象关于轴对称，所以当时，必有，故②错误； 当时，因为在上单调递增，且，，所以由；又为偶函数，所以当时，由，所以的解集为：，故③正确； 由或， 由或，即或； 由或，即或. 又，故④正确. 故答案为：③④ 地 城 考点04 分段函数 1．设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【来源】北京市第一零一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断①③④的真假；结合函数单调性的概念，求参数的取值范围，可判断②的真假. 【详解】对①，当时，函数， 可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有. 综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确； 对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有.故②正确； 对③，当时，在上，，方程无解； 在上，恒成立，方程无解； 在上，函数，单调递增，方程至多有1解. 故当时，方程至多有1解. ③错误； 对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立. 因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确. 故答案为：①②④ 2．已知函数，其中，下列结论正确的是 ． ①存在实数a，使得函数为奇函数 ②存在实数a，使得函数为偶函数 ③当时，的单调增区间为 ④当时，若方程有三个不等实根，则 【答案】 【来源】北京市海淀区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】A、B利用奇偶性定义及解析式判断是否存在实数使或；C、D写出的分段函数性质，结合参数的范围，应用二次函数的性质判断单调区间，进而确定时方程根的情况求参数范围. 【详解】由，显然当a＝0时有， 但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数， 不存在实数，使得函数为偶函数.所以①正确，②错误； 且在处连续，当时， 易知：在上递增，递减，上递增，③正确； 由解析式，当时在上递增，递减，上递增， 又，，要使有三个不等实根，即与有三个交点， 所以，又，可得，④正确. 故答案为：. 3．定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”． （i）是否为“型函数”？ ；（填“是”或“否”） （ii）若函数是“型函数”，则实数的取值范围是 ． 【答案】 否 【来源】北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断；对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】是偶函数，且在递减，递增. 当时，；当时，. 若取，则不存在，使得. 所以不是“型函数”. 由于是“型函数”. 当时，在上单调递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 当时，在递减，递增，. 而，要使存在且唯一，则有，解得. 所以. 综上可知：. 故答案为：否； 4．已知函数，当时，的最小值是 ；若存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】北京市房山区2024-2025学年高一上学期期中学业水平调研数学试题 【分析】当时，写出函数的解析式，结合分段函数的性质可求得函数的最小值； 分、、三种情况讨论，分析函数的单调性由条件列不等式，可求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，则；当时，， 故当时，函数的最小值为； （2）由上可知，当时，函数存在最小值； 当时，函数在上单调递增， 此时， 则函数不存在最小值； 当时，函数在上单调递减，此时， 若且时，则，由题意可得，解得， 此时，； 若且时，函数在上单调递增，则， 由题意可得，即，该不等式无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 5．函数, ①当时，的单调递增区间为 . ②若恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】北京市北京师范大学附属实验中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】①根据条件，得到，再利用基本函数的单调性，即可求解； ②先作出，利用的零点为和，再对进行分类讨论，分，，三种情况，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】①当时，，又， 所以， 当时，，此时的单调递增区间为， 当时，，对称轴为，且图象开口向下， 由二次函数的性质知，单调递增区间， 又，所以当时，的单调递增区间为. ②的图象如图， 由图知，当时，在上有个零点， 则在有且仅有一个零点， 对称轴，又，，则满足题意， 当时，在上有个零点， 则在有个零点， 又对称轴为，图象开口向下，且，， 当，即时，，所以满足题意， 当，即时，在区间上单调递增， 又，则，得到， 当时，要使有三个零点，则，且在有个零点， 此时对称，又，则， 即， 令，对称轴，在区间上单调递减， 且，所以， 综上，实数的取值范围是. 6．设函数若,则的单调递增区间是 ;若的值域为,则的取值范围是 ． 【答案】 【来源】北京市西城区2023届高三上学期数学期末试题 【分析】(1)将代入解析式,分析各段单调性,即可得出结果; (2)先求出上的值域,由的值域为,只需在上的值域包含,分析该二次函数的开口方向,对称轴及值域即可求出的取值范围. 【详解】解:由题知当时, , 故在上单调递减, 在上单调递增, 在上单调递减, 故的单调递增区间是; 由于在上的值域为, 若的值域为, 只需在上的值域包含即可, 故需,即, 此时在上的值域为, 故需,即, 综上: . 故答案为:; 7．已知函数 （1）的值为 ； （2）当时，方程有且仅有一个实根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【来源】北京市陈经纶中学2024-2025学年高一上学期期中诊断数学试卷 【分析】（1）计算出，可得出，再利用指数幂的运算法则和对数恒等式可求出的值； （2）作出函数在区间上的图象，利用数形结合思想求出当直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点时实数的取值范围. 【详解】（1），即，. ，； （2）作出函数在区间上的图象如下图所示： 当直线过点时，；当直线过点时，. 由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有且只有一个交点； 当时，直线与函数在区间上的图象至少有两个交点. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：；. 8．几位同学在研究函数时给出了下面几个结论： ①函数的值域为； ②存在，使得； ③在是增函数； ④若规定，且对任意正整数都有：，则对任意恒成立. 上述结论中正确结论的序号为 . 【答案】①③④ 【来源】北京市第十二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试题 【分析】按分类，进而求出函数的值域、单调性判断①②③；利用归纳推理的求解判断④. 【详解】函数， 当时，，且在上单调递增，③正确； 当时，，且在上单调递增， 因此函数的值域为，①正确； 函数在上单调递增，则，恒有，②错误； 由，得， ，，归纳推理得，④正确. 故答案为：①③④ 9．已知函数，给出下列四个结论： ①函数是偶函数； ②函数的增区间为； ③不等式的解集是； ④当时，令，则的最小值为. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【来源】北京市延庆区2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】利用偶函数的定义判断①；求出函数的单调递增区间判断②；分段求出不等式的解集判断③；利用基本不等式分段求出最小值判断④. 【详解】函数的定义域为R， 对于①，，函数是偶函数，①正确； 对于②，，函数的增区间为，②错误； 对于③，不等式，则或， 解得或，所以不等式的解集是，③错误； 对于④，依题意，， 当时，， 当且仅当，即时取等号； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 而， 即，所以的最小值为，④正确. 故所有正确结论的序号是①④. 故答案为：①④ 10．已知函数若互不相等的三个实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【来源】北京市通州区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【分析】画出的图象，根据对称性求得的取值范围. 【详解】画出的图象如下图所示， 当时，令，解得， 依题意，互不相等的三个实数满足， 不妨设，由图可知， 而，所以. 故答案为： 11．函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②且，使得； ③任意且，都有； ④规定，其中，则． 其中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【来源】北京市第一七一中学2024-2025学年高一上学期期中调研数学试题 【分析】根据绝对值的性质，结合分式型函数的性质、代入法逐一判断即可； 【详解】对于①：因为的定义域为，关于原点对称， 且，可知为奇函数， 当时， ，可知函数在内单调递增， 且，可得，则， 结合为奇函数，可知：当时， 函数在内单调递增，且, 所以的值域是，故①正确； 对于②：由①可知： 可知函数是上的增函数， 所以对任意且，均有，故②错误； 对于③：当任意且时， 令，， ，显然， 因此不成立，故③不正确； 对于④：当时， ， 可得，， ，， 以此类推可得，因此，故④正确； 故答案为：①④. 12．设函数 ①若，则； ②若，则的最小值为； ③存在实数，使得为R上的增函数； ④若恰有2个零点，则实数的取值范围是. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】②③④ 【来源】北京市第十四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【分析】①当时，代入中求值即可； ②当时，得到.分情况讨论求出各段最小值，最后得到的最小值. ③保证两端都要增，端点考虑即可； ④分类讨论，结合二次函数性质可解. 【详解】①当时，代入中，得到，所以①错误. ②当时，. 当时，则，，所以，. 当时，. 对于二次函数，对称轴为，在时取得最小值. 综上，可得的最小值为，所以②正确. ③当时，是增函数. 当时，，其对称轴为. 要使在上是增函数，则. 解，即，解得. 解得.显然交集有元素.故存在能同时满足这两个条件使得函数在上单调递增，所以③正确. ④当时，令，则，，. 若，即时，函数在时有一个零点. 当时，，令，则或. 若且，即时，在时有一个零点，结合时的情况，此时恰有个零点. 若，要使恰有个零点，则且（无解）或者且（无解）或者且且（即）. 综上，实数的取值范围是，所以④正确. 故答案为：②③④. 13．函数的定义域为，最小值为，给出以下四个结论：①最小值为1；②最大值为3；③在上单调递减；④只有唯一的值使得的图象有一条垂直于轴的对称轴．其中所有正确结论是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①③ 【答案】B 【来源】北京市北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】分类讨论后可得，故可求，故可判断①②的正误，结合的形式可判断③的正误，对于④，结合解析式的形式可得若对称则，可证明此时图象对称. 【详解】由题设可得， 当时，，此时， 当时，，此时， 故，则的值域为，则最大值为，当且仅当时取得最大值， 无最小值，故①错误，②正确； 当时，，因， 故在上单调递减， 当且时，则在上单调递增， 此时在上不具有单调性，故③错误； 因为互不相等，若的图象有一条垂直于x轴的对称轴， 则，即， 此时， ， 故为的图象的对称轴，故④正确；综上可正确结论是②④. 故选：B 14．设函数，给出下列四个命题： ①当时，为奇函数； ②函数的图像关于点对称； ③当时，存在，使得有两个不同的零点； ④存在，使得函数有三个不同的零点． 其中，真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【来源】北京市第十五中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【分析】对于①：根据奇函数定义分析判断即可；对于②：根据中心对称的定义分析判断；对于③：整理可得，构建，结合函数图像分析判断；对于④：取，代入解方程即可得零点个数. 【详解】由题意可知：的定义域为， 对于①：当时，， 则，所以为奇函数，故①正确； 对于②：因为， 所以函数的图像关于点对称，故②正确； 对于③：若，令，可得， 构建，可得其图像如图所示， 可知在上单调递增，且的值域为， 则与恒有一个交点，即有且仅有1个零点，故③错误； 对于④：例如，则， 令，解得或， 所以存在，使得函数有三个不同的零点，故④正确； 综上所述：真命题的个数为3. 故选：C. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04期中填选压轴题（四大题型） ☆4大高频考点概览 考点01集合 考点2不等式综合 考点03函数的基本性质 考点04分段函数 目目 考点01 集合 1.己知集合A=《s,ts+t≤2，s∈Z,t∈Z,若B∈A,且对任意的a,b)∈B,(c,d)eB,均有 ab+cd≤ad+bc,则B中元素个数的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 2.设集合S={A,A,A2},在S上定义运算田：A,田A,=A,其中k为i+j被3除的余数，i,j∈{0,1,2}， 则使关系式A,田A)田A=A成立的有序数对（位，）共有() A.0对 B.2对 C.3对 D.4对 3.设集合M为非空集合，且Mcx∈Nr,若m∈M,则2∈M,满足上述条件的集合M的个数为 m () A.12 B.15 C.31 D.32 4.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结 束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集 M与N,且满足MUN=Q,MnN=O,M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为 戴德金分割试判断，对于任一戴金德分割M,N),下列选项中一定不成立的是() A.M没有最大元素，N有一个最小元素 B.M没有最大元素，N也没有最小元素 C.M有一个最大元素，N有一个最小元素 D.M有一个最大元素，N没有最小元素 5.函数f(x)= -xxM其中P,M为实数集R的两个非空子集，又规定P)={=,x∈P叫， x,x∈P 1/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(M)={yy=f(x),x∈M}.下列四个判断其中正确的是() ①若PnM=0,则f(P)nf(M)=0; ②若PnM≠0，则f(P)nf(M）≠0； ③若PUM=R,则f(P)Uf(M)=R; ④若PUM≠R,则f(P)U∫(M≠R. A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 6.已知集合M={x∈N|1≤x≤18}，集合A,B,C满足：①每个集合恰有6个元素②AUBUC=M,集合 P中元素最大值与最小值之和称为P的特征数，记作X(P).则X(A)+X(B)+X(C)的最大值与最小值之和 (). A.116 B.132 C.126 D.114 l,i∈A 7.设集合A是集合N*的子集，对于iEN*,定义p,(A)= 0,1EA'给出下列三个结论：①存在N*的两个 不同子集A,B,使得任意i∈N*都满足p,(A∩B)=0且p,(AUB)=1;②任取N*的两个不同子集A,B,对任 意ieN*都有p,(A∩B)=p,(A)p,(B)；③任取N*的两个不同子集A,B,对任意ieN*都有p,(AUB)= ,(A)+P,(B)；其中，所有正确结论的序号是() A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 8.设A是非空数集，若对任意x,y∈A,都有x+y∈A、y∈A,则称A具有性质P,给出以下命题： ①若A具有性质P,则A可以是有限集； ②若A具有性质P,且A≠R,则RA具有性质P; ③若A、A具有性质P,且A∩A,≠0，则A∩A具有性质P; ④若A、A具有性质P,则AUA2具有性质P 其中所有真命题的序号是」 目目 考点02 不等式综合 1.若关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实数根是x,y,则：(x-1)2+(y-1)2的最小值是 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.已知集合A={(x,y)x+y=a,B={(x,yxye4,b≤x≤b+2,若存在b>0,使得AnB中恰有2个元 素，则a的取值范围是() A.（4,25 B.(4,5] C.[25,+o】 D.5,+0 3.己知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时，fx=x2+2x,则不等式f(x-1+f(x<0的解集是() B 〔 D. 4.已知f(x)是R上的奇函数，记不等式[f(x)-x][f(-x)-x]≥0的解集为s给出下列四个结论： ①一定有0eS; ②可能存在x∈S且-xS: ③若当x≠0时，f(x)=(k≠0)，则一定有S≠R; ④若当x>0时，f(x=x2-ax,且-l,sS,则a的取值范围是[0， 其中所有正确结论的序号是 目目 考点03 函数基本性质 1.对于函数f(x,若f(x=x,则称x为f(x的不动点”，若ff(x)=x,则称x为f(x的“稳定点”， 记A={xf(x=x,B={xf(f(x)=x,则下列说法错误的是() A.对于函数f(x=x,有A=B成立 B.若f(x)是二次函数，且A是空集，则B为空集 C.对于函数f日 有A=B成立 D.对于函数fx=b,存在b∈(0，+∞)，使得A=B成立 2.己知函数f(x)=√x+1+m,若存在区间a,b(b>a2-1),使得函数f(x在a,b]上的值域为2a,2b, 则实数m的取值范围是() 3/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m>17 B.0<m≤2 1 8 C.m≤-2 D. 8<ms-2 3.xeR,设f(x)取y=4x+1,y=x+1,y=-2x+4三个函数值中的最小值，则f(x)的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 4.己知函数f(x)=ax2+bx+c,a>b>c,a+b+c=0,集合A={mf(m)<0,则() A.m∈A,f(m+3)>0 B.m∈A,f(m+3)<0 C.3m∈A,f(m+3)=0 D.3m∈A,f(m+3)<0 5.己知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)为偶函数.当x≤2时，f(x)=2f(x-1),且当x∈(-1,0]时， 四=(x+x,对xEm,+o,都有f)≥8，则m的最小值为（ A B C.3 D. 6.当x∈[0，]时，若函数f(x)=(mx-1)2的图像与g(x)=x+ 的图像有且只有一个交点则正实数m的取值 m 范围是() A.[2,+o) B.0. D.(0,U[2,+o) 7.设函数f(x)= x-6x+6,x20, 若互不相等的实数x,x2,x3满足：fx)=∫(x)=fx则x+x2+x3的 3x+4,x<0 取值范围是() A. B. c(9 8.已知函数f(x(∈R)满足f-x)=2-fx),若函数y=x+1与y=fx)图象的m个交点为 (x,乃)，x2,2),,xm,ym),则(x1+1)+(x2+y2+…+(xm+ym)的值是 9.己知函数f(x)的定义域为D,若f(x)满足：对任意的x,x2∈D,当f(x)=f(x)时，总有x=x2成立， 则称∫(x)为单函数.给出下列四个结论： (1)f(x)x不是单函数： (2)f)=x是单函数： x+1 (3)若f(x)为单函数，则f(x)在定义域上一定是单调函数： 4/8 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (4)若f(x)为单函数，则对任意的x,x2∈D,当x≠x2时，总有f(x)≠f(x,)成立.其中所有正确结论 的序号是一 10.己知f(x)的定义域为(0，+∞)，对x,x2∈(0，+∞)，x≠x2,若f(x)同时满足以下两个条件：() f)-<0;(i)点十5)<)十)，则称f)具有“丰彩性质.现给出以下定义域均为 X1-X2 2 2 (0,+o)的四个函数： ①f)-x 1 ②f(x)=x2: ③fx)=-VF; ④f(x)=-x2-3x. 其中所有具有“丰彩”性质的函数序号是一 11.已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，+o)上单调，且f1)=2,f-2)=3,给出下列四个结论： ①f(x)在[0，+o∞)上单调递减； ②存在x∈(-1,1)使f(x)≥2 ③不等式2<f(x)<3的解集为(-2，-1)UL,2) ④关于x的方程[f(x-1)]-5f(x-1)+6=0的解集所有元素之和为4 其中所有正确结论的序号是 目目 考点04 分段函数 x+2, x<-a 1.设a>0,函数f(x)={a2-x2,-a≤x≤a,给出下列四个结论： 1 -1,x>a ①当a=1时，函数f(x)的最大值点为0： ②若f(x)在区间(-0,0)上单调递增，则a的取值范围是[2，+o): ®当0<a<1时，方程f八x)=)有两个不等的实根： 5/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ④当a>1时，函数f(x)存在最大值. 其中所有正确结论的序号是」 2.己知函数f（x)=xx-a,其中a∈R,下列结论正确的是 ①存在实数a,使得函数fx)为奇函数 ②存在实数a,使得函数fx)为偶函数 ③当a>0时，f八到的单调增区间为引a+四 ④当a<0时，若方程∫(x+1=0有三个不等实根，则a<-2 3.定义在R上的函数∫x满足：对任意的x,∈[k,+0),都存在唯一的x2∈(-0，k),使得f(x2)=f(x), 则称函数∫(x是“V(k)型函数”. (i)∫x)=x2+1是否为“V(-1型函数”？ (填“是”或“否”) x+a-1,x≥1 (i)若函数g(x)= (a>0)是“V(1型函数”，则实数a的取值范围是 x-a,x<1 -ax+1,x<a 4.已知函数f(x)= l(x-2)2,x≥a1 当a=0时，f(x)的最小值是 ;若∫(x)存在最小值，则实 数a的取值范围是 x+3-2,x≤a 5.函数f(x)= -x2+ax+f(a),x>a ①当a=-2时，∫(x)的单调递增区间为 ②若f(x)恰有三个零点，则a的取值范围是 -x+a,x≤1 6.设函数f(x) -a(x-22+1,x>1 若a=2,则f(x的单调递增区间是 若f(x)的值域为 (-0,+0,则a的取值范围是 ,x≤3 7.己知函数f(x)= f(x-1),x>3 (1)f(2+1og23)的值为」 (2)当x>0时，方程f(x)+x=a有且仅有一个实根，则实数a的取值范围是 6/8 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 8.几位同学在研究函数f)=+1x (x∈R)时给出了下面几个结论： ①函数f(x)的值域为(-1,1)； ②存在x1≠x2,使得f(x)=f(x2): ③f(x)在(0，+o)是增函数； ④若规定(x)=f(x),且对任意正整数都有：/()=fU.x》,则f()=x 对任意neN恒成立 1+nx 上述结论中正确结论的序号为一 9.己知函数f(x)=x2-2|x-1,给出下列四个结论： ①函数f(x)是偶函数； ②函数f(x)的增区间为[1，+o)； ③不等式f(x)<x-1的解集是(-1,3)； ④当x>-3时，令g()=四，则g(x)的最小值为22-4 x+3 其中所有正确结论的序号是 x2+5x+4,x<0, 10.已知函数f(x)= 若互不相等的三个实数a,b,c满足f(ad)=f(b)-f(c),则a+b+c的取 Vx+2,x≥0， 值范围是 11.函数f(x)= 一(x∈R),给出下列四个结论： 1+| ①∫(x)的值域是(-1，)； ②3x,x2∈R且x<x2,使得f)>f(x2); @4,50+国且55：都有区>f告要 2 0规定)=fw,)=ff),其中neN,则大上7 其中，所有正确结论的序号是 2a, x<1, 12.设函数fx)= 2-x 4(x-a(x-2a,x≥1. ①若a=0,则f1)=2: ②若a=1,则f(x)的最小值为-1： ③存在实数a,使得f(x)为R上的增函数； 7/8 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ④若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 13.函数f(x)=x+1+ax-2a>0)的定义域为R,最小值为M(a,给出以下四个结论：①M(a最小值 :②M@)最大值为3：®在，号上单调递减：④只有唯的a值使得/八d的图象有一条 于x轴的对称轴.其中所有正确结论是() A.①② B.②④ C.②③ D.①③ 14.设函数f(x)=x|x+bx+c,给出下列四个命题： ①当c=0时，∫(x)为奇函数； ②函数f(x)的图像关于点(0，c)对称： ③当b=0时，存在c∈R,使得f(x)有两个不同的零点； ④存在b,c∈R,使得函数f(x)有三个不同的零点. 其中，真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 8/8