2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时 教学设计 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2.3用公式法求解一元二次方程第1课时 教学设计 一、内容与内容解析 （一）教学内容 本节课是北师大版初中数学九年级（上册）第六章“反比例函数”的第1节。内容包括巩固一元二次方程求根公式的推导过程，熟练运用公式法解一元二次方程。结合判别式，判断一元二次方程根的情况，并解决简单实际问题。 （二）教学内容解析 求根公式的灵活运用与判别式的实际意义，是一元二次方程解法的核心，也是后续学习二次函数与方程关系的基础。 内容价值：公式法是解一元二次方程的通用方法，判别式能快速判断方程根的个数，为解决实际问题（如几何图形面积、增长率问题）提供便捷工具，体现“代数计算”与“实际应用”的衔接。基于以上分析，确定本节课的教学重点为： 【教学重点】列方程建模（尤其不规则图形转化为规则图形的过程，如“4个扇形面积=1个圆面积”“小路平移后新矩形的边长表示”），以及解的合理性检验（易忽略实际场景中长度、宽度的取值范围）； 二、目标与目标解析 （一）教学目标 1、能熟练代入求根公式解一元二次方程，会根据判别式判断方程根的情况；能运用公式法解决简单实际问题。 2、通过分层练习，提升公式运用的熟练度；通过实际问题分析，培养将文字信息转化为代数方程的能力。 3、在解题过程中感受数学的逻辑性，在实际应用中体会数学的实用价值，增强学习信心。 （二）教学目标解析 1、达成“知识与技能”目标的标志：能准确代入a、b、c的值（注意符号）计算，且能根据\Delta的正负直接判断根的情况，无需完整计算求根公式。 2、达成“过程与方法”目标的标志：能独立分析实际问题中的等量关系，列出一元二次方程并通过公式法求解，同时能检验解的合理性（如长度、人数等需为正数）。 三、学生学情分析 已有基础：学生已学习一元二次方程的定义、配方法，且在上一课时推导了求根公式，能初步运用公式解简单方程（a、b、c为整数）。 存在难点：代入公式时易忽略b的符号（如方程x2 - 3x + 2 = 0中，b = -3而非3）。面对实际问题时，难以从文字中提取等量关系，无法快速列出方程。 学习差异：少数学生能熟练计算复杂系数的方程，多数学生需逐步核对步骤，个别学生对“判别式判断根的情况”理解模糊。确定本节课的教学难点为： 【教学难点】能运用一元二次方程解决实际问题，根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 四、教学策略分析 1. 错误辨析策略：收集学生常见错误（如符号错误），通过“错题展示”让学生自主辨析、修正，强化易错点记忆。 2. 问题引导策略：分析实际问题时，通过“提问链”引导学生拆解信息，如“题目中的未知量是什么？”“哪句话体现了等量关系？”“如何用代数式表示等量关系？”，帮助学生建立“文字—等量关系—方程”的转化思路。 3. 小组合作策略：针对拓展题，开展小组讨论，让学生互相分享解题思路，解决个体难以突破的等量关系提取问题，培养合作能力。 五、教学过程分析 （一）复习引入 你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？ 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半.你能给出设计方案吗？设计意图：通过复习旧知，激活学生已有的知识储备，降低新知识的学习难度。 （二）主动参与、感悟新知 小明的设计方案如图，其中花园四周小路的宽度都相等.通过解方程，他得到小路的宽为2m或12m.你认为小明的结果对吗？为什么？ 解：小明的结果不对.理由如下： 设小路宽xm，根据题意，得方程（16－2x）（12－2x）＝×16×12. 解得x1＝2，x2＝12. ∵荒地的宽为12m，若小路宽为12m，则不符合实际情况，故x2＝12m不合题意，舍去.∴x＝2.∴小明的结果不对. 小亮的设计方案如图，其中花园每个角上的扇形都相同.你能帮小亮求出图中的x吗？ 解：根据题意，得πx2＝×16×12. 解得x≈±5.5. ∵x≈－5.5不合题意，舍去. ∴x≈5.5，即图中的x为5.5. 例　对花园设计问题，小颖的设计方案如图所示，你能帮她求出图中x吗？ 解：根据题意，得（16－x）（12－x）＝×16×12. 解得x1＝24（不合题意，舍去），x2＝4. ∴x＝4，即图中的x为4. 设计意图：本课时问题具有较大的开放性，教学时应尽可能给予学生较大的思维空间.在学生弄懂题意的基础上，可以以小组为单位设计具体方案，然后交流各组的设计思路. 练一练 1. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是( B ) A. B. C. D. 例：在一幅长90 cm、宽60 cm的风景画（如图3）的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？ 图3 图4 图5 出示图4和图5进行比较，你认为哪一幅图是按要求镶上的金色纸边，你将如何设未知数从而列出方程？ 解：根据题意可知图4是符合要求的. 设金色纸边的宽为x cm. 由题意得. 整理，得，解得，（不符合题意，舍去）. （三）课堂总结 1、本节课研究了什么问题？ 2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？ 3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？ 【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。 （四）布置作业、巩固提高 1．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）． A． B． C． D． 2．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图阴影部分），原空地一边减少了，另一边减少了2，剩余空地的面积为18，求原正方形空地的边长，设原正方形的空地的边长为，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 3. 一个直角三角形的两条直角边相差5cm，面积是 ，则它的两条直角边长分别为 4. 在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示。如果要使整个矩形挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为x cm，那么x满足的方程为 5. 五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是 ，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是 . 6. 如图1，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪。要使草坪的面积为540平方米，求道路的宽. 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $