专题2.3直线的交点坐标与距离公式重难点题型讲义（2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（人教A版2019选修第一册）

该高中数学讲义围绕直线交点与距离公式构建了系统化知识体系，通过框架图清晰呈现两条直线位置关系与方程组解的对应逻辑，用表格对比三种位置关系下的交点个数和参数特征，辅以思维导图梳理从基础概念到综合应用的脉络，突出“由交点求参数”“三线围三角形”等重难点题型的内在联系。 讲义的亮点在于融合核心素养理念设计练习，如例题12中“距离新定义”考查数学抽象与逻辑推理能力，引导学生理解不同距离模型的本质差异；经典例题7借助坐标法解决几何问题，体现数学建模与直观想象的结合。每类题型均配方法指导和易错警示，基础层学生可掌握基本步骤，提升层能突破综合情境，教师据此实现分层教学与精准反馈，助力学生自主复习与课堂提质增效。

专题2.3直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三 由直线交点的个数求参数 题型四 由直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 题型七 坐标法的应用——交点坐标 题型八 求平面两点间的距离 题型九 由顶点坐标判断三角形的形状 题型十 由距离求点的坐标 题型十一 用两点间的距离公式求函数最值 题型十二 距离新定义 拓展训练一 直线交点的相关问题求解 拓展训练二 两点间的距离相关问题求解 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【即时训练】 1．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 知识点二：距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【例2】(24-25高二上·重庆·阶段练习）在中，边上的高所在直线的方程为，边所在直线的方程为. (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程. 1．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 2.（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【经典例题二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例1】（2022高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 1．（23-24高一下·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 3．（23-24高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 4．（23-24高一下·上海宝山·期末）解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【经典例题三 由直线交点的个数求参数】 【例1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 1．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设，，若直线与线段AB相交，则a的取值范围是　　 A． B． C． D． 2．（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【经典例题四 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）若直线在轴上的截距为，则实数可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 4．（23-24高二·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围． 【经典例题五 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【例2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·江苏·专题练习）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是 ． 4．（23-24高二下·上海·课后作业）为何值时，下面三条直线不能构成三角形？ 【经典例题六 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 2．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【经典例题七 坐标法的应用——交点坐标】 【例1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）在中，，D，E为斜边AB的三等分点，，求斜边AB的长． 1．（23-24高一·全国·单元测试）当0<k<时，两条直线kx－y＝k－1，ky－x＝2k的交点在 象限． 2．（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. \3．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合. （1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系. （2）若是等腰三角形(如图)，且，，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论. 【经典例题八 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知平面内两点，，怎样求这两点间的距离？ 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 3．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【经典例题九 由顶点坐标判断三角形的形状】 【例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知点A（1，3），B（3，1），C（0，0），则△ABC的面积为 A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2023高一·全国·课后作业）以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【经典例题十 由距离求点的坐标】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，且，求a的值． 1．（23-24高二·全国·课后作业）设，在x轴上有一点，使得，则x等于（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 2．（23-24高一·全国·课后作业）一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 (　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5) 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 4．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【经典例题十一 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（22-23高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）求函数的最小值． 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）求的值域 【经典例题十二 距离新定义】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例2】（2023·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 1．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2022·山东·模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（    ） A．A，B，C三点可能共线 B．A，B，C三点可能构成锐角三角形 C．A，B，C三点可能构成直角三角形 D．A，B，C三点可能构成钝角三角形 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 4．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【拓展训练一 直线交点的相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式. 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知直线l过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 【拓展训练二 两点间的距离相关问题求解】 【例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 2．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 4．（22-23高二上·北京海淀·期中）对于平面直角坐标系中的两点，现定义由点到点的“折线距离”为. (1)已知，求； (2)已知点，点是直线上的一个动点，求的最小值； (3)对平面上给定的两个不同的点，是否存在点，同时满足 ①②. 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明. 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 5．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2024高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 7．（多选）（2024高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 8．（多选）（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 10．（多选）（23-24高二上·江西·阶段练习）已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 12．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 14．（24-25高二下·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 15．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 17．（2024高二·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 18． （23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，满足，求函数的最小值． 19.高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值 20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3直线的交点坐标与距离公式重难点题型专训 （2个知识点+12大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 求直线交点坐标 题型二 由方程组的解的个数判断直线位置关系 题型三 由直线交点的个数求参数 题型四 由直线的交点坐标求参数 题型五 三线能围成三角形的问题 题型六 直线交点系方程及应用 题型七 坐标法的应用——交点坐标 题型八 求平面两点间的距离 题型九 由顶点坐标判断三角形的形状 题型十 由距离求点的坐标 题型十一 用两点间的距离公式求函数最值 题型十二 距离新定义 拓展训练一 直线交点的相关问题求解 拓展训练二 两点间的距离相关问题求解 知识点一：两条直线的交点坐标 1．两条直线的交点坐标 (1)两条直线的交点坐标 一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相 交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无穷多解，则两条直线重合. (2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系 设两直线,直线. 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1和l2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 【即时训练】 1．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程. 【详解】联立方程组解得，即交点为， ，∴，∴，即. 故选：B 2．（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 知识点二：距离公式 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 2．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 3．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 4．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【即时训练】 1．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，是直线上的两点，若，则（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】由题意得：，是直线上的两点， 则，， 若，则， 即， 则，则， 故． 故选：D 2．（25-26高二上·全国·课前预习）顺次连接构成一个等腰三角形，则实数m的一个取值可能为 ． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】分别计算、、时的的值即可. 【详解】当时，由两点间距离公式可得，解得； 当时，由两点间距离公式可得， 解得； 当时，由两点间距离公式可得， 此时方程无解，综上，m的取值可能为． 故答案为：（或，答案不唯一）. 【经典例题一 求直线交点坐标】 【例1】（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线、的交点坐标，根据题意，设直线的方程为，将交点坐标代入直线的方程，求出实数的值，即可得出直线的方程. 【详解】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为. 故选：B. 【例2】(24-25高二上·重庆·阶段练习）在中，边上的高所在直线的方程为，边所在直线的方程为. (1)求点的坐标； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程. 【答案】(1) (2) 或 . 【分析】（1）联立方程组，解出即可. （2）分截距为0和不为0讨论即可 【详解】（1）由，得，所以. （2）当截距为0时，设直线方程为， 由直线过点，得，即，所以直线方程为. 当截距不为0时，设直线方程为，所以， 所以直线方程为. 综上，可知所求直线方程为或. 1．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）直线与直线相交，则实数的值为（ ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得. 【详解】由直线与直线相交，得， 即，解得且， 所以实数k的值为且. 故选：D 2.（多选）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）与直线相交，且交点在第四象限的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】联立直线方程求出交点坐标判断即可. 【详解】联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第一象限，故错误； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故C正确； 联立，得交点坐标为，在第四象限，故D正确． 故选：. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【答案】 【分析】由三角形面积之比得到点到直线的距离之比，从而得到直线和直线的交点为线段的三等分点，进而得到直线的方程，同理得到直线的方程，最后联立两直线方程求解点的坐标． 【详解】 由，它们有公共边， 故，到直线的距离之比为． 同理，，到直线的距离之比为， 边上靠近的三等分点为，即， 它与点连线的直线方程为． 边上靠近的四等分点为即， 它与点连线的直线方程为． 由，解得点坐标为． 【经典例题二 由方程组的解的个数判断直线位置关系】 【例1】（2022高二上·全国·专题练习）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【分析】联立两条直线的方程得到二次方程，再根据判别式分析即可 【详解】联立两条直线方程得：得到，两边平方得：，当即时，，得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点．当时，得到，与曲线只有一个交点．所以曲线与的最多有两个交点． 故选：A 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【答案】答案见解析. 【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 【详解】（1）方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1). （2）方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合. （3）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目. 1．（23-24高一下·河北石家庄·期末）若关于x，y的方程组无解，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可. 【详解】由题, 直线与平行,故. 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题. 2．（23-24高二·全国·课后作业）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法： ①若方程组无解，则两直线平行； ②若方程组只有一解，则两直线相交； ③若方程组有无数多解，则两直线重合． 其中说法正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据两直线交点即方程组的解，则方程组的解的个数即两直线的交点个数，可以判断每个选项. 【详解】①若方程组无解，则两条直线无交点，两直线平行；正确；②若方程组只有一解，说明两条直线只有一个交点，则两直线相交；正确；③若方程组有无数多解，说明两条直线有无数多个交点，则两直线重合．正确. 故答案为C. 【点睛】在同一平面内，两条直线有三种位置关系，即相交、平行、重合．相应地由直线的方程组成的二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、有无数解．当的解只有一组时，这两条直线和有一个公共点，它们的位置关系为相交．当的解有无数组时，这两条直线和有无数个公共点，它们的位置关系为重合．当无解时，这两条直线和没有公共点，它们的位置关系为平行． 3．（23-24高二上·上海徐汇·期中）关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是 . 【答案】-35 【解析】由x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则直线与直线重合求解. 【详解】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 ， 故答案为：-35 4．（23-24高一下·上海宝山·期末）解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】，无数个解；，无解；且，. 【分析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】（1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 【经典例题三 由直线交点的个数求参数】 【例1】（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【详解】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与的交点问题，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到射线的取值范围,进而求两直线交点的横坐标并解不等式即可. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 1．（23-24高二上·安徽黄山·期中）设，，若直线与线段AB相交，则a的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，若直线与线段AB相交，则A、B在直线上或在直线的两侧，进而可得，解得a的取值范围，即可得答案． 【详解】根据题意，若直线与线段AB相交，则A、B在直线上或在直线的两侧， 则有， 即， 解可得：， 即a的取值范围为； 故选C． 【点睛】本题考查二元一次不等式的几何意义，注意直线与线段相交的意义，属于基础题． 2．（23-24高二·全国·课后作业）若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 4．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 【经典例题四 由直线的交点坐标求参数】 【例1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【分析】将点分别代入两直线方程即可解得，. 【详解】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得； 故选：B 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）直线与直线的交点在第四象限，求的范围． 【答案】 【分析】联立与解出交点坐标，令横坐标大于0，纵坐标小于0，解出的范围即可. 【详解】联立两条直线方程解得， 因此两直线交点坐标为， 因为交点在第四象限，所以， 解得． 1．（22-23高二上·全国·课后作业）若直线与直线的交点在第四象限，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立方程组求得两直线的交点为，根据题意列出不等式组，即可求解. 【详解】由方程组，解得， 即两直线的交点坐标为， 因为两直线的交点位于第四象限，可得且，解得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 2．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）若直线在轴上的截距为，则实数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意，令代入直线方程求出的值，即是在轴上的截距为，再求出. 【详解】由题意可知，当，即且时， 令，得在轴上的截距为， 即， 所以或， 故选：BC. 3．（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 4．（23-24高二·全国·单元测试）若直线与直线的交点在第四象限，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】先联立两直线的方程，求得交点坐标，再根据交点在第四象限求解. 【详解】由得 所以两直线的交点坐标为. 又此交点在第四象限， 所以 解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 【经典例题五 三线能围成三角形的问题】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线ax+y+1=0，x+ay+1=0和x+y+a=0能构成三角形，则a的取值范围是（    ） A．a≠ B．a≠ C．a≠且a≠ D．a≠且a≠1 【答案】C 【分析】由三条直线两两不平行，且不交于同一点可得． 【详解】已知三条直线能构成三角形，首先不平行， 若，则三条直线围成三角形， 若，则，，解得， 时，由，得，代入得，或，因此 综上：且． 故选：C． 【例2】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）已知直线，直线，直线， （1）若，求的值； （2）当为何值时三条直线能围成直角三角形. 【答案】（1）；（2）0，，. 【分析】（1）根据斜率相等可求出结果； （2）分三种情况由两条直线垂直求出,再验证能否构成三角形，可得解. 【详解】（1）当时，与不平行， 当时，由得，即，所以，经验证符合题意； （2）由题意，若和垂直可得：，解得，由（1）知当时，，构不成三角形， 当时，经验证符合题意； 故； 同理，若和垂直可得：，解得，应舍去； 若和垂直可得：，解得或，经验证符合题意； 故m的值为：0，，. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知三条直线、和中没有任何两条平行，但它们不能构成三角形的三边，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三条直线过同一点，求得，并判断不重合即得． 【详解】由已知得三条直线必过同一个点，则联立，解得这两条直线的交点为， 代入可得，此时没有两条直线重合． 故选：A. 2．（2024高二·江苏·专题练习）若三条直线，和不能围成封闭图形，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】问题转化为三条直线交于一点或至少有两条直线平行或重合，由此能求出使这三条直线不能围成任何一封闭图形的的值． 【详解】①三条直线交于同一点，不能围成封闭图形， 由，得，得交点． 直线过点，可得，得； ②若直线与直线平行时，则，解得； ③若直线与直线平行时，则，解得. 综上所述：或或． 故选：ACD ． 3．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知直线y＝x＋b与x轴、y轴的交点分别为A、B，如果△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1，那么b的取值范围是 ． 【答案】[－1，0)∪(0，1] 【解析】求出直线与轴交点的坐标，得出三角形的面积，利用面积不大于1得出的范围，注意需围成三角形． 【详解】令x＝0，得y＝b， 令y＝0，得x＝－2b， ∵△AOB的面积(O为坐标原点)不大于1， ∴△AOB的面积S＝|b|×|－2b|＝|b|2≤1， ∵b＝0时，A、O、B三点重合，构不成三角形， ∴b≠0， ∴－1≤b＜0或0＜b≤1. 故答案为：[－1，0)∪(0，1]． 【点睛】本题考查直线方程，直线与坐标围成三角形问题．属于基础题． 4．（23-24高二下·上海·课后作业）为何值时，下面三条直线不能构成三角形？ 【答案】，2 【解析】分与的交点为在上，，，三种情况讨论求解. 【详解】由方程组， ， 则与的交点为. 若点在上，则. 所以当时，三条直线交于一点. 若，则； 若，则. 综上所述，当，2时，三条直线不能构成三角形. 【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题. 【经典例题六 直线交点系方程及应用】 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】首先求直线所过定点，再判断选项. 【详解】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限 故选：A 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 1．（23-24高二上·全国·课后作业）过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求直线恒过的定点，将点到直线的距离的最大值转化为两点间距离. 【详解】直线恒过点，, 点到直线距离， 即点到直线距离的最大值为. 故选：B 3．（23-24高二上·山东聊城·期中）直线恒过定点 【答案】 【分析】变换直线，转化求解方程组问题，即可求解. 【详解】直线方程化简为， 即， 当，解得：， 所以直线恒过定点. 故答案为： 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知为任意实数，当变化时，方程表示什么图形？图形有何特点？ 【答案】直线，过定点 【分析】此方程为过与的直线系方程. 【详解】因为方程化简得： 为任意实数，方程表示直线. 因为， 所以当，直线恒成立， 故直线过定点. 【经典例题七 坐标法的应用——交点坐标】 【例1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）直线与直线的交点位于第一象限内，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立方程组解出交点坐标，结合象限内点坐标的特点，解不等式即可解决． 【详解】解：由，解得， 直线与直线的交点位于第一象限内， ，解得：， 则实数a的取值范围是. 故选：C． 【点睛】本题主要考查两直线交点坐标的求解，以及象限内点坐标的特点． 【例2】（23-24高一·全国·课后作业）在中，，D，E为斜边AB的三等分点，，求斜边AB的长． 【答案】 【分析】建立坐标系， 设出点的坐标，列方程求解即可． 【详解】如图，以边AC所在直线为x轴，边CB所在直线为y轴，建立直角坐标系．设点，，则，．由，得，即．因此，． 【点睛】用解析法解决平面几何问题的关键是建立适当的坐标系，用坐标表示有关的量，然后进行代数运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系．本例设点A的横坐标为，点B的纵坐标为，使D，E两点的坐标具有更简洁的形式．我们在解题时要学会设坐标的技巧． 1．（23-24高一·全国·单元测试）当0<k<时，两条直线kx－y＝k－1，ky－x＝2k的交点在 象限． 【答案】第二 【详解】由题意联立方程组，则，所以交点位于第二象限. 2．（24-25高二上·四川自贡·期中）直线被两条直线：和：截得的线段的中点为，求直线的方程. 【答案】 【分析】设出两个交点的坐标，利用中点坐标公式可求出，即可求出直线方程. 【详解】设l与的交点坐标为，l与的交点坐标为， ，由中点坐标公式得，， 即，解得 则l的方程为，即. 3．（22-23高二上·河南·阶段练习）已知直线，直线和． (1)求证：直线 恒过定点； (2)设（1）中的定点为，与，的交点分别为 ， ，若恰为 的中点，求． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）先分离参数，再令参数的系数等于 ，求得、 的值，可得直线 恒过定点； （2）先设一个交点，再表示另一个交点，接着联立方程求出交点坐标，最后解出即可. 【详解】（1）解：由题， 可化为， 由于，令，可得， 所以，解得， 即直线 恒过定点． 所以直线 恒过定点. （2）由（1）知，不妨设， 由题意可知，恰为 的中点， 所以， 因为， 分别在直线 和直线 上， 所以， 解得 ，所以， 将代入直线方程，解得． 所以 的值为 . 4．（23-24高二下·安徽安庆·期中）大家知道，等边三角形的重心(三条中线的交点)､外心(三条边的中垂线的交点)､垂心(三条高的交点)三点重合. （1）观察等腰直角三角形(如图)，若其重心是､外心为､垂心为，判断､､的位置关系以及线段和的长度之间的数量关系. （2）若是等腰三角形(如图)，且，，验证（1）的结论是否成立？若成立，请证明你的结论. 【答案】（1）可得到､､三点共线，且；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合坐标法进行求解即可； （2）利用坐标法，结合共线向量的性质进行求解即可. 【详解】（1）建立如图所示的平面直角坐标系， 设等腰直角三角形中，，所以有， 显然重心的坐标为：，外心的坐标为：，显然垂心与点重合，，，所以有， 因此､､三点共线，且； （2）建立如图所示的直角坐标系： 因为，，所以有， 显然重心的坐标为：，设， ， 由，即 且，解得，即， 设，因此有：，即，即， ，，所以有， 因此､､三点共线，且. 【经典例题八 求平面两点间的距离】 【例1】（25-26高二上·全国·单元测试）著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】将转化成到点的距离与到点的距离之差，再结合和两点间的距离公式进行求解． 【详解】由所求的式子的形式想到距离之差， ， 可转化成轴上一点到点的距离与到点的距离之差， 则（当且仅当三点共线时取等号）， 所以的最大值为． 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知平面内两点，，怎样求这两点间的距离？ 【答案】答案见解析 【详解】我们可以将点，的坐标看作向量，的坐标，由向量的坐标运算，可得. 由于， 因此，可得平面内任意两点间的距离公式：. 1．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 2．（多选）（23-24高二·全国·课后作业）对于，下列说法正确的是（    ） A．可看作点与点的距离 B．可看作点与点的距离 C．可看作点与点的距离 D．可看作点与点的距离 【答案】BD 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】由题意，可得， 可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离， 故选：BD 3．（25-26高二上·河南南阳·开学考试）已知是直线上的两点，若，求 . 【答案】 【分析】根据题设条件先求出，再利用两点间的距离公式计算即得. 【详解】因为，在直线l上，所以，. 由已知，得， 由两点间的距离公式，得. 故答案为：. 4．（2023高二上·江苏·专题练习）已知，为直角，，，建立适当的坐标系，写出顶点A，B，C的坐标，并求证斜边AC的中点M到三个顶点的距离相等． 【答案】答案见解析，证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，求出各点的坐标，利用两点间距离公式证明结论. 【详解】以B为坐标原点，以边BA所在的直线为x轴，边BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 则三个顶点的坐标分别为，，． 由中点坐标公式得斜边AC的中点M的坐标为. 所以， ， . 所以. 【经典例题九 由顶点坐标判断三角形的形状】 【例1】（23-24高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状. 【详解】由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知的三个顶点分别为，，． (1)求边上的中线的长； (2)证明：为等腰直角三角形． 【答案】(1) (2)答案及解析 【分析】（1）首先求出线段的中点的坐标，利用平面直角坐标系中两点的距离公式计算可得； （2）利用距离公式求出，，，再由勾股定理逆定理证明即可. 【详解】（1）因为，，所以线段的中点的坐标为， 又，则． （2）因为， ， ， 因为，且， 所以为等腰直角三角形． 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知点A（1，3），B（3，1），C（0，0），则△ABC的面积为 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求出三边长，进而得到三角形为等腰三角形，然后求出底边上的高，最后再求出三角形的面积． 【详解】由题意得|AB|=，|AC|=，|BC|=， ∴△ABC为等腰三角形，且|AC|=|BC|． 取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，， ∴． ∴S△ABC==4． 故选A． 【点睛】解答本题的关键是通过求出三角形三边的长度判断出三角形的形状，然后再根据三角形的形状求出其面积． 2．（2023高一·全国·课后作业）以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是 A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【详解】由两点间的距离公式求得：, 故△ABC为等腰三角形． 故选：B. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可. 【详解】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 4．（23-24高二·全国·课后作业）如图，已知的三个顶点分别为，，． (1)试判断的形状； (2)设点D为BC的中点，求BC边上中线的长． 【答案】(1)直角三角形； (2). 【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答. (2)求出点D坐标，再用两点间距离公式计算作答. 【详解】（1）根据两点间的距离公式，得，， ，，即， 所以是直角三角形. （2）依题意，线段BC的中点，， 所以BC边上中线的长为. 【经典例题十 由距离求点的坐标】 【例1】（23-24高二上·四川遂宁·期中）若A(4，0)与B点关于点(2，1)对称，则B点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中点坐标公式即可求解. 【详解】解：设，由题知，点和点的中点为，则 解得：， 所以点的坐标为 故选：B. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，且，求a的值． 【答案】 【分析】直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算可得； 【详解】解：因为且，所以，解得 1．（23-24高二·全国·课后作业）设，在x轴上有一点，使得，则x等于（    ） A．0 B．6 C．0或6 D．0或 【答案】C 【分析】直接根据两点间距离公式列式求解即可. 【详解】由，得，即， 化简为：，解得或. 故选：C. 【点睛】本题考查两点间距离公式，考查计算能力，属于基础题. 2．（23-24高一·全国·课后作业）一条平行于轴的线段长是5个单位，它的一个端点是，则它的另一个端点B的坐标为 (　　) A．(－3,1)或(7,1) B．(2,－2)或(2,7) C．(－3,1)或(5,1) D．(2,－3)或(2,5) 【答案】A 【分析】由线段平行于轴可设为，结合即可求解. 【详解】∵轴，∴设为， 又，∴或7. 故选：A. 3．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 4．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，在y轴上求一点P，使，并求的值. 【答案】 【分析】通过两点距离公式联立求解即可. 【详解】设所求点为， 则， ， 由得 解得， 所以，所求点， . 【经典例题十一 用两点间的距离公式求函数最值】 【例1】（22-23高二上·福建·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为点到点的距离，则的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】把目标式进行转化，看作动点到两个定点距离和的最值，利用对称性可得答案. 【详解】, 可以看作点到点的距离之和， 作点关于轴的对称点，显然当三点共线时，取到最小值， 最小值为间的距离. 故选：D. 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）求函数的最小值． 【答案】 【分析】化简，转化为到点距离之和，结合对称法，即可求解． 【详解】由题意，函数 ， 根据两点距离公式的几何意义得，函数表示到点距离之和， 如图所示，作出点关于的对称点， 连接，交轴于点，连接， 可得 又由， 当且仅当点与重合时，等号成立， 所以，即函数的最小值为． 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知x，y∈R，，则S的最小值是（    ） A．0 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】由表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】解：表示点P(x，y)到点A(－1，0)与点B(1，0)的距离之和， 如图所示：    由图象知：， 当点P在线段AB上时，等号成立， 所以S取得最小值为2． 故选：B 2．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 3．（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）求的值域 【答案】[10，＋∞) 【解析】利用两点间的距离公式将问题转化为平面内一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)，连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小. 【详解】如图，函数的几何意义为 平面内一点P(x，0)到点A(－3，4)和点B(5，2)的距离之和. 由平面解析几何知识，找出B关于x轴的对称点B′(5，－2)， 连接AB′交x轴于一点P，此时距离之和最小， ∴ymin＝|AB′|＝＝10，又y无最大值， 所以y∈[10，＋∞). 【点睛】本题考查了两点间的距离公式，点对称问题，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于基础题. 【经典例题十二 距离新定义】 【例1】（2025高二·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为．给出下列命题： ①若点在线段上，则； ②在中，若，则； ③在中，． 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用新定义推理判断①；举例说明判断②③. 【详解】对于①，点在线段上，设点的坐标为，则在之间，在之间， 即，①正确； 对于②，取，则，②错误； 对于③，取，则，③错误， 所以真命题的个数为1. 故选：B 【例2】（2023·广东韶关·一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是与两点间的直线距离，即.切比雪夫距离是与两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即.已知是直线上的动点，当与（为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为 . 【答案】6 【分析】由条件确定与两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可. 【详解】因为点是直线：上的动点，要使最小，则，此时， 所以，由方程组，解得，， 所以，，两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6. 1．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“好点”的定义逐个验证即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于B，设， 则， ， 所以， 所以点是的“好点”； 对于C，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于D，设， 则， 所以点不是的“好点”. 故选：B. 2．（多选）（2022·山东·模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（    ） A．A，B，C三点可能共线 B．A，B，C三点可能构成锐角三角形 C．A，B，C三点可能构成直角三角形 D．A，B，C三点可能构成钝角三角形 【答案】ACD 【分析】取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答. 【详解】令点，设点，则有， 由得：， 当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确； 当时，则A，B，C三点不共线， 若，有，且成立，为直角三角形，C正确； 若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确； 若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确. 故选：ACD 3．（24-25高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义为两点之间的“折线距离”． ①若，则 ； ②原点与直线上任意一点之间的折线距离的最小值为 ． 【答案】 2 3 【分析】根据定义直接计算①，设即可表示再根据分段函数的性质计算可得②. 【详解】对于①若则； 对于②，设，则， 函数图象如下所示：则. 故答案为：2；3 4．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明：； (2)若两点在平行于坐标轴的同一条直线上，在平面上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】 （1）利用给定新定义结合绝对值不等式证明即可. （2）进行合理分类讨论，求出符合情况的点即可. 【详解】（1）由绝对值不等式知，， 而， 当且仅当，时等号成立， 即三点共线时等号成立． 故成立. （2）点与点是在同一条平行于坐标轴的直线上的两个不同的点，可分下列两种情况讨论： 若，则， 由条件①，得， ，，. 由条件②，得， ， . 因此，所求的点. 若，则， 由条件①，得， 代入条件得，解得， 结合条件②得，代入条件得， 解得，故.可得符合条件的点. 综上，当，时，存在符合条件的点， 当， 时，存在符合条件的点， 【拓展训练一 直线交点的相关问题求解】 【例1】（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 【例2】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P，求证：过点P的直线可以写成 的形式. 【答案】证明见解析 【分析】先说明直线（，不全为0）与直线（，不全为0）的交点P满足，然后说明 可以表示过点P的直线斜率不存在的或斜率存在的情况即可. 【详解】设点 ， 因为直线（，不全为0）与直线（，不全为0）相交于点P， 所以有，， 故成立， 即说明点在直线上； 下面只需证明过点的直线的斜率可以取任意值或斜率不存在； 可变为，即该方程表示的是一条直线， 不可能同时为零，否则 不相交，则一定存在 使得， 此时表示过P斜率不存在的直线； 当时，该直线斜率 ，m,n不能同时为0，总存在m,n使得取到任意实数， 故综合上述：过点P的直线可以写成 的形式 . 1．（23-24高一上·湖南衡阳·期末）设点,,若直线与线段没有交点,则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为直线过定点,直线与线段没有交点,转化为过定点的直线与线段无公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案. 【详解】 直线与线段没有交点 即直线与线段没有交点对于直线, 令,则,则直线恒过点 根据题意,作出如下图像: , 根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为 , 根据两点求斜率公式可得:直线的斜率为 直线的斜率为 若直线与线段没有交点 则 故选:C. 【点睛】本题考查了直线与线段无交点求参数范围,解题关键是掌握两点求斜率公式和直线过定点的求法,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知直线l过定点，且与以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图象以及斜率公式确定直线l的斜率k的取值范围. 【详解】如图，要使直线l以，为端点的线段（包含端点）没有交点，则或,因为，所以直线l的斜率k的取值范围是； 故选：A 【点睛】本题考查斜率公式以及直线交点，考查基本分析判断求解能力，属基础题. 3．（24-25高二上·福建泉州·期中）直线与线段没有公共点，其中，，则实数b的取值范围是 . 【答案】 【分析】数形结合即可求得的取值范围. 【详解】由题可知，当直线经过点时， 当直线经过点时， 当直线与线段没有公共点， 则或. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)若，求的值； (2)若直线与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，若，求的值． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）当或时利用两直线垂直斜率之积为计算即可； （2）令和分别解出四点坐标，然后由得到关于的方程，分的取值解出即可； 【详解】（1）当或时，显然直线与不垂直， 所以， 所以， 解得． （2）依题意可知直线的斜率存在且不为0，即或， 令，得， 解得， 所以， 令，得， 解得， 所以， 又，所以， 即， 当时，，无解； 当或时，， 解得或； 当时，，无解； 综上所述，或． 【拓展训练二 两点间的距离相关问题求解】 【例1】（24-25高三下·浙江·开学考试）在等腰梯形中，．设是其内部一点，满足，，，，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，利用两点的距离公式求解即可. 【详解】由题意，以中点为原点，所在直线为轴建立如图所示坐标系， 设，，，，，其中， 则由题意可得①，②， ③，④， ④①得，③②得，所以， 所以， 故选：D 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，用解析法证明：. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法证明即可. 【详解】如图所示，以B为坐标原点，取AC所在的直线为x轴，以垂直于AC且经过B点的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c， 则，，，， 则 ， ， 所以. 1．（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，则可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，结合图形分析即可求解. 【详解】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 2．（22-23高一上·北京海淀·阶段练习）设，为平面直角坐标系上的两点，其中，，，均为整数.若，则称点为点的“相关点”.已知点是坐标原点的“相关点”，点是点的“相关点”，点是点的“相关点”，……，依此类推，点是点的“相关点”.注：点，间的距离则点与点间的距离最小值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】因为“相关点”的关系都是相互的，所以当n为偶数时，回到最初点， 即回到，再按照题意求解点O与点距离最小即可 【详解】根据题意，由于“相关点”的关系都是相互的，所以当，时， 点与点间的距离最小值为0，所以点又回到最初位置，坐标为， 然后根据式子，经过三次变换：，， ，又因为，，，均为整数，所以点与点间的距离最小值为1， 故选：B 3．（23-24高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用平面上两点间线段最短和两点间距离公式的几何意义即可求解. 【详解】 . 记点、点、点和点， 因为，， 所以的几何意义为：表示正方形内的点到点、点、点和点四点的距离之和. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 因为的几何意义为：正方形内的点到点和点的距离之和. 所以当点在线段（不包含点和点）上时，点到点和点的距离之和最小，即取得最小值，为. 综上可得：当点是线段与的交点时，和同时取得最小值，均为. 所以的最小值为. 故答案为：. 4．（22-23高二上·北京海淀·期中）对于平面直角坐标系中的两点，现定义由点到点的“折线距离”为. (1)已知，求； (2)已知点，点是直线上的一个动点，求的最小值； (3)对平面上给定的两个不同的点，是否存在点，同时满足 ①②. 若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明. 【答案】(1)4； (2)； (3)存在，答案见解析. 【分析】（1）根据题中给定定义直接求解; （2）根据定义列出式子，用不等式求解最值； （3）根据定义分类讨论证明. 【详解】（1）. （2）因为点为直线上的动点， 故可设点的坐标为， 则. 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 此时点坐标为. （3）注意到点与点不同，下面分三种情况讨论. 若，则，由条件②得， 即，所以. 由条件①得. 所以， 所以，所以. 因此，所求的点为. 若，则，类似于A.，可得符合条件的点为. 当，且时，不妨设. 当且仅当与同时成立时取等号， 即当且仅当与同时成立时条件①成立. （i）若，则由上面证明知，要使条件①成立，则有且 .从而由条件②得. 因此所求点的集合为 （ii）若，类似地由条件①可得且，从而由条件②得. 因此所求点的集合为 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 【详解】当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知三边所在直线方程分别为，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，边上的高必过点B，联立、得出交点B，设边上的高所在直线的斜率为，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率，求出直线所在方程. 【详解】设边上的高所在直线的斜率为，则有， 联立、方程，得交点， 中边上的高过点，斜率为，所在直线的方程为， 即． 故选：A. 3．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 4．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（   ）. A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用两点间距离公式及斜率坐标公式计算判断. 【详解】依题意，，，即， 又线段的中点为，线段的中点为，即线段与互相平分， 因此四边形是矩形，而直线的斜率，直线的斜率， 即，则，所以矩形是正方形. 故选：B 5．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数变形，设，，，则表示的几何意义为的长，作出辅助线，由几何关系得到最小值，得到答案. 【详解】， 设，，， 故表示的几何意义为的长， 如图所示，取点关于轴的对称点，连接， 则的长即为的最小值，即最小值为. 故选：B 6．（多选）（2024高二·江苏·专题练习）已知集合，集合，且，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据直线平行和两线交于点时，交集为空集，可得结果． 【详解】解：因为集合，集合，且， 所以直线与直线平行或交于点， 当两线平行时，； 当两线交于点时，，解得． 综上得a等于或2． 故选：AD． 7．（多选）（2024高二·江苏·专题练习）已知直线：和直线：，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数k，使得直线的倾斜角为 B．对任意的实数k，直线与直线都有公共点 C．对任意的实数k，直线与直线都不重合 D．对任意的实数k，直线与直线都不垂直 【答案】ABD 【分析】举例即可说明A、C；分以及，得出直线与直线的关系，即可得出B项；根据直线垂直列出方程，求解方程，即可说明D项. 【详解】对于A项，当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角为，故A项正确； 对于B项，当时，直线的方程为，与重合，此时两直线有公共点； 当时，有，即一定相交. 综上所述，对任意的实数k，直线与直线都有公共点，故B项正确； 对于C项，由B可知，当时，直线与重合，故C项错误； 对于D项，要使直线与直线垂直，则应有，该方程无解， 所以对任意的实数k，直线与直线都不垂直，故D项正确. 故选：ABD. 8．（多选）（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则a的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，根据平面直角坐标系上两点的距离公式计算，即可求解. 【详解】因为且，所以， 解得 故选：CD 9．（多选）（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 10．（多选）（23-24高二上·江西·阶段练习）已知三条直线：直线不能围成一个封闭图形，则实数的值可以是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】ABC 【分析】根据题意可知，三条直线中有两条相互平行或三条线过同一点的情况下满足题意，分类讨论即可求得实数的值. 【详解】若中有两条相互平行，或三条线过同一点都不可以围成封闭图形， 若，由两直线平行与斜率之间的关系可得； 若，由两直线平行与斜率之间的关系可得； 联立可得，可知的交点为， 若交于同一点，可得， 故选：ABC. 11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 12．（2025高三·全国·专题练习）直线过两直线和的交点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程的性质，两直线平行的关系求解. 【详解】设过两直线和的交点的直线系方程为， 即． 由于与平行，所以，解得． 当时，直线的方程是，故符合题意. 故答案为： 13．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于 . 【答案】 【分析】联立方程组，求得两直线的交点坐标，代入直线，即可求解. 【详解】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 将点代入直线，可得，解得， 即实数的值为. 故答案为：. 14．（24-25高二下·上海崇明·期末）曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为 ． 【答案】 【分析】联立方程组，求出两点坐标，根据两点间的距离公式，求出线段长度. 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 15．（24-25高二上·江苏镇江·期中）函数的最大值为 . 【答案】 【分析】可表示为点与点的距离减去点与点的距离，然后可得答案. 【详解】， 表示为点与点的距离减去点与点的距离， 所以， 又，当共线，且P在B的外侧时取等号， 所以的最大值为. 故答案为：. 16．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 17．（2024高二·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1，－1)，B(－1，3)，C(3，0)． （1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）△ABC是以A为直角顶点的直角三角形；（2）5． 【分析】（1）利用两点间的距离公式求出的值，再由勾股定理的逆定理判断即可；或求出直线、的斜率，利用斜率的关系判断即可； （2）直接直角三角形的两直角边求面积即可 【详解】2、（1）如图所示，△ABC为直角三角形，下面进行验证．    法一：∵，， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． 法二：∵． ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC． ∴△ABC是以A为直角顶点的直角三角形． （2）由（1）中法一得|AB|＝2，|AC|＝． 又∵∠A＝90°，∴S△ABC＝|AB||AC|＝×2×＝5． 18．（23-24高一下·福建宁德·阶段练习）已知，满足，求函数的最小值． 【答案】10 【分析】由题意可得即求直线上的点到和点的距离之和．利用对称轴上的垂直和中点这两个条件，求出设关于直线的对称点A'的坐标，则线段A'B 的长度为所求． 【详解】函数表示直线上的点到和点的距离之和． 设关于直线的对称点， 则可得 可得 ，∴， 连接A'B交直线l于点P，则AP+PB＝A'P+PB＝A'B＝10， 故函数的最小值为10． 19．（24-25高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线：，. (1)若直线过点，求的值； (2)求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）将点的坐标代入直线方程待定即可； （2）求出直线所过定点，结合图形可知当时点到直线距离取最大值，最大值为. 【详解】（1）将点的坐标代入直线的方程得， ， 整理得， 解得. （2）直线的方程可化为， 联立解得 故直线恒过点， 如图可知，当时点到直线距离的取最大值，最大值为， ， 故点到直线距离的最大值为5.    20．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知直线，．若，求的值； （2）已知直线，点，求点关于直线的对称点的坐标； （3）已知直线，是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或；（2）；（3）存在，，三角形面积的最小值为8 【分析】（1）根据两直线垂直列出方程即可求解； （2）设，结合对称性质列方程组求解即可； （3）先求出直线恒过定点，直线与轴和轴的交点分别为，结合题意即可求得的范围，再表示出，进而结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由，得，解得或； （2）设，则， 解得，即. （3）存在，由，得． 由，得时，则直线恒过定点，如图， 直线与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交. 而 ， 当且仅当，即时，的面积取得最小值8． 学科网（北京）股份有限公司 $