第03讲 直线 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案以“直线”为核心主题，围绕斜率与倾斜角、含参直线过定点、位置关系、三种距离、对称问题及将军饮马和三角形面积最值等七个考向系统设计，通过课时递进、任务关联和典型例题层层深入，构建从概念理解到综合应用的完整学习路径，帮助学生建立清晰的知识结构与解题逻辑。 亮点在于“问题驱动+素养导向”的单元探究设计，突出数学抽象、逻辑推理和数学建模的核心素养。例如在“将军饮马”专题中，学生需结合轴对称原理与最短路径思想解决实际问题，提升空间观念与运算能力；在“含参直线过定点”环节，通过变式训练引导学生发现参数变化背后的不变本质，发展推理意识与模型观念。每道例题后配有针对性变式练习，形成“学—练—思—拓”的闭环，既助力学生深度理解知识本质，也为教师开展大单元教学提供可操作性强、目标明确的教学支架。

第03讲 直线 考向一 斜率与倾斜角 【例1-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【例1-3】．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【例1-4】．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【例1-5】．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 考向二 含参直线过定点 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 考向三 直线的位置关系 【例3-1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【例3-2】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例3-3】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【变式】 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 3．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 考向四 三种距离 【例4-1】（2024-2025四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【例4-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【例4-4】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线，若，则与之间的距离为 . 考向五 对称问题 【例5-1】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例5-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 考向六 将军饮马 【例6-1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题— “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【例6-2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】 1．（24-25高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 2（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 考向七 三角形面积最值 【例7-1】（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【例7-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【变式】 1．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 2．（21-22高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 3．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知，三条直线两两相交，交点分别为． (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求面积的最大值． 题组一 斜率与倾斜角 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 6．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 7．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 题组二 含参直线过定点 1．（2024·安徽合肥）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 2．（2025湖北）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·重庆·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 题组三 直线的位置关系 1．（24-25上海静安）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 2．（2025·上海黄浦）直线，直线，若，则 ． 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是 . 4．（2025北京）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）（多选）已知直线：，则下列选项正确的是（   ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当时，直线的倾斜角为135° D．原点到直线的距离最大值为 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 题组四 三种距离 1．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高二上·重庆渝中·期中）当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 7．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 8．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 . 题组五 对称及其应用 1．（2025·广东深圳）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 12．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 13．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 14．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 15．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 题组六 将军饮马 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 2．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 3．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 题组七 三角形的面积最值 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 4．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 6．（24-25上海普陀）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 直线 考向一 斜率与倾斜角 【例1-1】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由直线的斜率公式可得：；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 【例1-2】（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【解析】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 【例1-3】．（22-23高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 【例1-4】．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 【例1-5】．（2025·江西新余·一模）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 又因为，故. 故选：D. 【变式】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 3．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知直线及两点，，若直线与线段相交，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知直线过定点，如下图所示：    易知当直线与线段相交时，直线需处在直线与直线之间； 且，， 又易知可化为，其斜率为， 因此可得，解得. 即的取值范围是. 故选：C 4．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 考向二 含参直线过定点 【例2】（25-26高二上·全国·课后作业）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式】 1．（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解法一：直线方程可化为， 分离参数后直线交点即为定点. 令，解得，所以直线过定点. 解法二（取特殊值）：直线方程中， 令，得；令，得. 由，解得，所以直线过定点. 解法三：设直线过定点，则， 即， 则，解得，所以直线过定点.故选：B. 2．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【解析】将直线方程变形为，由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是.故答案为： 考向三 直线的位置关系 【例3-1】（25-26高三上·江苏南通·开学考试）若直线：与直线：平行，则＝（   ） A． B．或3 C． D．3 【答案】B 【解析】因为两直线平行，所以：，所以或.故选：B 【例3-2】（25-26高三上·河南商丘·开学考试）已知直线，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件．故选：． 【例3-3】（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得． 故选：B 【变式】 1．（25-26高二上·重庆·开学考试）若直线与直线平行，则（    ） A．0 B．或0 C． D．1 【答案】C 【解析】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 2．（24-25高二上·河南焦作·期末）已知直线与互相垂直，则（   ） A．-2或0 B．-1 C．0 D．-2 【答案】D 【解析】由题可得，解得或（舍去）. 故选：D. 3．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【解析】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或．故选：D 考向四 三种距离 【例4-1】（2024-2025四川成都·期末）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线过定点， 直线， 则，可得过定点， 所以. 故选：A 【例4-2】（24-25高二上·山东临沂·期中）点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线的方程分别为（      ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【解析】将直线变形得， 由，解得，因此直线过定点， 当时，点到直线的距离最大， 最大值为，又直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故选：B 【例4-3】（2025高三·全国·专题练习）函数的最小值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得的定义域为，又，所以可以看作是x轴上的动点分别与两点，的距离之和，如图，点关于x轴对称的点为，则当与，三点共线时，距离之和最小，则． 故选：B 【例4-4】（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和直线平行，则这两条平行线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线可化为，设两条平行直线间的距离为，则. 故选：. 【变式】 1．（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为 ． 【答案】或 【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为，即， 由， 得，即直线l的方程为． 综上，直线l的方程为或． 4．（24-25高二上·湖北·期末）已知直线，若，则与之间的距离为 . 【答案】/ 【解析】由，可得，解得，所以直线，即， 所以与间的距离为.故答案为：. 考向五 对称问题 【例5-1】（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设关于直线的对称点为，则，解得.故选：A. 【例5-2】（2025高三·全国·专题练习）与直线关于坐标原点对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上一点关于坐标原点对称的点为， 则，，解得，，代入，得， 即所求直线的方程为．故选：D． 【例5-3】（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得.故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即.故选：B 【变式】 1．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 2．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【解析】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 考向六 将军饮马 【例6-1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题— “将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，作点关于直线的对称点为，   则，解得，所以. 则“将军饮马”的最短总路程为.故选：C. 【例6-2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）点在直线上运动，，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】点，都在直线的下方，点关于直线的对称点， 于是，当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是5.故选：C 【变式】 1．（24-25高二上·重庆·期中）（多选）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（   ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为 【答案】BD 【解析】由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为，如下图所示： 则，解得，即. 对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为， 又，所以直线的方程为，即，故A错误； 对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点， 联立两直线方程解得，故B正确； 对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又， 所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，总路程， 所以“将军饮马”的总路程为，故D正确. 故选：BD. 2（24-25高二上·福建福州·期中）（多选）已知直线和两点.在直线l上有一点P，则的最小值和的最值为（   ） A．的最小值为12 B．的最小值为6 C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】AC 【解析】令是关于的对称点，则， 所以，即，为与的交点， 如下图，则， 当且仅当共线且在线段上时取等号，即的最小值为12； 由图知（直线与直线的交点离点更近），即， 当且仅当共线且在射线上时取最小值，但无最大值，即最小值是，为. 故选：AC 3．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解析】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    考向七 三角形面积最值 【例7-1】（22-23高二上·福建福州·阶段练习）已知直线. (1)直线经过定点吗？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，说明理由； (2)求原点到直线距离的最大值； (3)若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于两点，当面积最小时，求对应的直线的方程. 【答案】(1)直线恒过定点； (2) (3)面积的最小值为4，直线方程为 【解析】（1）直线可化为， 令，解得，，即直线恒过定点； （2）当时，原点到直线的距离最大，此时最大值； （3）设直线的方程为，， 因为直线过定点，所以， 由基本不等式得，当且仅当，时取等号，得， 故面积，即面积的最小值为4， 此时直线方程为，即． 【例7-2】（23-24高二上·上海·期末）已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【解析】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值．故答案为：1 【变式】 1．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线过定点 (1)若到直线的距离为，求直线的方程； (2)若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)或 (2)最小值为，直线l的方程为. 【解析】（1）当直线斜率不存在时， 由过得，满足到的距离为3， 当直线斜率存在时，设直线方程为即， 点到直线的距离为，解得. 此时直线的方程为即， 综上所述，所求的直线方程为或. （2）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点， 则设直线为，，则， . ，当且仅当时取等号， 故面积的最小值为12，此时直线l的方程为. 2．（21-22高二上·广东梅州·阶段练习）已知直线l：． (1)证明：直线一定经过第三象限； (2)设直线与轴，轴分别交于A，B点，当点离直线最远时，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【解析】（1）直线l方程，可化为， 令，解得， 则直线l经过定点， 故直线l一定经过第三象限． （2）由（1）可知，直线l经过定点，则当时，点P离直线l最远，且， 此时，所以直线l的斜率为， 即，则l：， 则，，， 故的面积为． 3．（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知，三条直线两两相交，交点分别为． (1)证明：是直角三角形，且有一个顶点为定点； (2)求面积的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解析】（1）记的交点为A，记的交点为B，记的交点为C， 的斜率为，的斜率为， ，                         ，即是直角三角形，其中， 又，所以过定点， ，所以过定点， 有一个顶点B为定点； （2）的面积为， 其中AB为B到直线的距离，即， 又得交点为到直线的距离，即， ， 当且仅当时取等号， 时，面积取得最大值． 题组一 斜率与倾斜角 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 2．（2024·全国·模拟预测）已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边与直线平行， 即角的终边在直线上，所以. 所以. 故选：D. 3．（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意知，当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； 当时，直线的斜率， 所以倾斜角， 综上，. 故选：C 4．（25-26高二上·全国·课后作业）经过点作直线，若直线与连接点，的线段没有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】如图所示，直线与线段没有公共点，若为直线的倾斜角，    直线可从直线逆时针旋转到直线的位置，注意包含直线倾斜角为的情况， ，， 直线的区域包含倾斜角为的情况， 斜率或，从而或， 又，结合正切曲线可得． 故答案为： 5．（25-26高二上·全国·课后作业）已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【解析】若直线的倾斜角为，则且，如下图示，    由图知，直线的倾斜角的取值范围为. 故答案为： 6．（2025高三·全国·专题练习）设，若点在线段上，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】直线的倾斜角与斜率  如图，，则原问题可转化为过点的直线与线段有交点时，直线的斜率的取值范围． 连接，则， 当的倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率由增大至正无穷； 当的倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率由负无穷增大至．所以3或． 故答案为： 7．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线倾斜角，那么的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为直线倾斜角的取值范围为， 所以直线斜率的取值范围为：或. 又，由；由. 所以. 故答案为： 题组二 含参直线过定点 1．（2024·安徽合肥）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(   ) A． B． C．5 D．10 【答案】C 【解析】由题可知，,直线，所以,，所以， 所以的面积为，当且仅当时等号成立.选：C 2．（2025湖北）直线，点，，若与线段AB相交，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，可得， 所以直线过定点，则，， 由图可知直线的斜率的取值范围为：或，又， 所以或，即或， 又时直线的方程为，仍与线段相交， 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高一下·重庆·期末）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【解析】直线，令即，得，所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得，解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则，又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确；故选：AB 题组三 直线的位置关系 1．（24-25上海静安）已知直线与互相垂直，则实数的值为 ． 【答案】1 【解析】由两直线垂直可得，解得或1，当时，直线不存在，故舍掉，所以.故答案为：1. 2．（2025·上海黄浦）直线，直线，若，则 ． 【答案】1 【解析】由题设及，有，则，所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合.所以.故答案为：1 3．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【解析】方程组无解，等价于直线与直线平行， 可得：，解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行，故，答案为： 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线相互平行，则，解得.故答案为：. 4．（2025北京）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【解析】，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又.平行四边形为矩形.故答案为：矩形. 5．（24-25高二上·广西玉林·期末）（多选）已知直线：，则下列选项正确的是（   ） A．当直线与直线平行时， B．当直线与直线垂直时， C．当时，直线的倾斜角为135° D．原点到直线的距离最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，当直线：与直线平行时，，解得，故A正确； 对于B，当直线：与直线垂直时，，解得，故B错误； 对于C，当时，直线：，斜率为，所以倾斜角为135°，故C正确； 对于D，直线方程转化为：， 令，解得，，所以直线过定点， 则垂直于直线时，原点到直线的距离最大，最大值为，故D正确. 故选：ACD. 6．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线过点，直线与直线的交点在第一象限，点为坐标原点．若为钝角三角形，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当为直角三角形时，或，此时的斜率或0．如图，设时，与交于点；时，与交于点． 当从直线开始，绕点顺时针旋转到轴之间时，为钝角三角形，此时；记过点且与平行的直线为，当从直线开始，绕点逆时针旋转到直线之间时，为钝角三角形，此时1．综上，．故答案为：    题组四 三种距离 1．（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 2．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【解析】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·全国·课前预习）已知直线和的交点为，则点到直线的距离的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】联立，解得，即点的坐标为， 点到直线的距离， 当时，， 当时，，恒有，于是， 综上，点到直线的距离的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 5．（24-25高二上·重庆渝中·期中）当原点到动直线的距离最大时，实数的值为 . 【答案】 【解析】由，得，则动直线恒过定点； 故原点到动直线的距离最大时，直线， 因为直线的斜率为，所以，解得； 故答案为： 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【解析】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 7．（24-25高二上·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为 . 【答案】5 【解析】直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 直线化简为：， 令且，解得，， 所以直线过定点， 且与平行， 故当与直线，垂直时，直线，的距离最大， 且最大值为， 故答案为：5． 8．（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【解析】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为 . 【答案】3 【解析】因为直线与直线平行， 则，解得， 可知两直线分别为，，符合题意， 所以两直线的距离为.故答案为：3. 题组五 对称及其应用 1．（2025·广东深圳）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于直线的对称点为，由对称关系可得， 解得．则点到直线：的距离为． 故选：C． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）若点关于直线：（，）的对称点为，则（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】D 【解析】直线的斜率为，直线为线段的中垂线，从而， 又线段的中点在上，故，解得. 故选：D. 4．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 5．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线与直线关于直线对称，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由题意得，直线，∴两直线与直线间的距离相等， ∵方程可化为：，，∴，解得.故选：C. 6．（24-25高二上·重庆渝中·期末）与直线关于x轴对称的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若在直线上，则点在该直线关于x轴对称的直线上， 显然在A中的直线上，但不在B、C、D中的直线上. 故选：A 7．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）已知直线与关于原点对称，则恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为直线恒过点，点关于原点对称的点的坐标为， 所以直线恒过点.故选：A 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得，则直线与直线交于点， 在直线上取点，设点关于直线的对称点， 依题意，，整理得，解得，即点， 直线的方程为，即， 所以直线关于直线对称的直线方程为. 故选：D 9．（23-24高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 10．（23-24高二上·山东青岛·期中）直线关于x轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为2，与x轴交于点， 则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点， 所以，所求方程为，即. 故选：D 11．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为 ． 【答案】 【解析】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 12．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为： 13．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【解析】   易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 14．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即两直线的交点为， 由方程，令，可得，即直线过点， 设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 所以，所以对称直线的方程为，即. 故答案为：. 15．（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知点在直线上，则的最小值为 【答案】4 【解析】， 表示直线上的点到定点和的距离和，如图， 点关于的对称点为，， 当点三点重合时，最小，最小值为4. 故答案为：4 题组六 将军饮马 1．（24-25高二上·湖北·期中）已知点，动点P在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意知点A，B在直线的同侧， 设点B关于直线的对称点为，则解得即， 所以故答案为： 2．（24-25高二上·广东广州·期中）直线上的一点，到与的距离之差的绝对值的最大值为 . 【答案】 【解析】设点关于的对称点的坐标为，连接，    则，即，所以①． 因为的中点在直线上， 所以，即②． 由①②得，所以点的坐标为． 又， 当且仅当、、三点共线时，取最大值. 故的最大值为. 故答案为：. 3．（24-25高二上·天津·期中）三角形中，顶点，点B在直线上，点C在x轴上，则三角形周长的最小值为 . 【答案】 【解析】由，则其关于轴的对称点为， 设关于直线的对称点为， 则，解得，即， 作图如下： 的周长.故答案为：. 题组七 三角形的面积最值 1．（24-25高二上·吉林长春·期中）（多选）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，（点与点A，B不重合），则的面积的值可以是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】AB 【解析】动直线过定点，直线化简为 ，则，则直线过定点， 当时，两条直线分别为，交点， ； 当时，两条直线的斜率分别为：，所以两条直线互相垂直， ， 当且仅当时，面积达到最大值， 则的面积的值可以是或，不可以是, 故选：AB 2．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】   建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 3．（24-25高二上·湖北·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程． (2)若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【解析】（1）当经过时，设，代入，所以，即， 当不经过时，设，代入，解得，即， 所以直线的方程为或. （2）由题意设， 令，则，所以，令，则，所以， 所以，， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即(舍)时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最小值为.    4．（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 5．（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线方程为． (1)证明：直线恒过定点； (2)为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？ (3)若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，求面积的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)， (3)4； 【解析】（1）直线方程为， 可化为， 对任意都成立，所以，解得， 所以直线恒过定点. （2）如图所示：    点到直线的距离最大， 可知点与定点的连线的距离就是所求最大值， 即,此时， 所以的斜率为：， 可得，解得． （3）如图所示：    若直线分别与轴，轴的负半轴交于、两点，直线方程为，， 则，， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为4，此时直线的方程为． 6．（24-25上海普陀）过点的直线分别交与于两点. (1)若直线的倾斜角为，求直线的一般式方程. (2)当最小时，求直线的方程； (3)已知为坐标原点，设的面积为，讨论这样的直线的条数. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【解析】（1）若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即； （2）法一：当直线的斜率不存在时，； 当直线的斜率存在时，设直线，， 得，得， ， ， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. 法二：前面部分同法一， 注意到，且反向， 所以， 综上所述：的最小值为3，此时直线的斜率不存在，直线方程为. （3）当直线斜率不存在时，，，； 当直线斜率存在时，，，， ， 即， 当时，方程有1解，此时； 当时，， 当时，，方程无解； 当时，，，方程有1解； 当时，，，对称轴，且，方程有两个大于1的解. 当时，，开口向下，，，方程有1个大于1的解，一个小于的解. 综上所述： 当时，0条；当时，1条；当时，2条. 7．（24-25高二上·重庆·期中）已知两直线， (1)求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； (2)已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1)或； (2)2. 【知识点】求直线交点坐标、将军饮马问题求最值、直线截距式方程及辨析、求点关于直线的对称点 【分析】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. 【解析】（1）由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. （2）点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $