第01讲 空间向量讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第01讲 空间向量 考向一 空间向量的概念辨析 【例1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【例1-2】（24-25北京）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【变式】 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（24-25福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 3．（2025湖北）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 考向二 共线定理 【例2-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2-3】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【例2-4】（23-24高二上·青海海南·期中）（）多选已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【变式】 1．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 2．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 3．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考向三 共面定理 【例3-1】（24-25江苏扬州）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（2025上海）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例3-3】．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【例3-4】（24-25 贵州贵阳）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025湖北武汉）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北邯郸）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 5．（24-25福建）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25 江苏苏州）如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 考向四 共面定理求距离最值 【例4】（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【变式】 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 考向五 空间向量的基本定理 【例5】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式】 1．（2025广东广州市）（多选）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都市）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A． B． C． D． 3.（2025·河北）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 考向六 空间向量的数量积 【例6】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【变式】 1．（24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 3．（24-25高二上·内蒙古包头）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 考向七 空间向量的坐标运算 【例7-1】（23-24浙江温州）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A 若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【例7-2】（24-25湖北孝感）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（25-26北京）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ． 2．（24-25浙江宁波）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值2 D．为钝角，则 3．（24-25河南郑州）（多选）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 4．（24-25新疆乌鲁木齐）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 题组一 空间向量的概念辨析 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 3 ．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 4．（24-25高二上·广东广州 ）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 5．（24-25高二上·安徽合肥）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 6．（23-24高二下·江苏）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 7．（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 8．（2025河南）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 9．（23-24高二上·重庆万州）（多选）以下四个命题中错误的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 10．（23-24高二上·贵州黔西）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 题组二 共线定理 1．（2025河北邢台）在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 3．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 4．（24-25高二上·上海）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 5．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 6．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 题组三 共面定理 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 4．（2025高二·全国·专题练习）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 5．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 7．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 9．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 10．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 12．（24-25高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 13．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 14．（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 题组四 共面定理求距离最值 1．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为3，空间中一点满足，其中，且.则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 题组五 空间向量的基本定理 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）在三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 题组六 数量积 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 6．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 7．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 8．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 9．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 10．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 11．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 12．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 题组七 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 2．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 3．（25-26高二广西）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）（多选）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 5．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 6．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 7．（24-25高二上·江西抚州·期末）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 8．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·四川乐山·期末）（多选）已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量 考向一 空间向量的概念辨析 【例1-1】（25-26高二上·全国·课后作业）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．若，，则 C．若向量，满足，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的； 把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误； 对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行， 所以当时，与不一定平行，故B错误； 对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误； 对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确． 故选：D. 【例1-2】（24-25北京）给出下列命题： ①空间向量就是空间中的一条有向线段； ②在正方体中，必有； ③是向量的必要不充分条件； ④若空间向量满足，，则． 其中正确的命题的个数是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】B 【解析】有向线段起点和终点是固定的，而空间向量是可以平移的，故①错误； 和大小一样、方向相同， 则，故②正确； 若，则和的模相等，方向不一定相同，若，则和的模相等，方向也相同，所以是向量的必要不充分条件，故③正确； 向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行，则不一定平行，故④错误.综上所述，②③正确.故选：B． 【变式】 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【解析】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量 可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 2．（24-25福建南平·期中）给出下列命题 ①空间中所有的单位向量都相等； ②方向相反的两个向量是相反向量； ③若满足，且同向，则； ④零向量的方向是任意的； ⑤对于任意向量，必有． 其中正确命题的序号为（    ） A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤ 【答案】C 【解析】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误； 对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误； 对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误； 对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，故④正确； 对于⑤，为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确． 综上，正确的命题序号为④⑤，故选：C. 3．（2025湖北）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【解析】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误； 对于②，向量是不能比较大小的，故错误； 对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误； 对于④，若不共线时，设，以为邻边作一个平行四边形， 如图所示： 由平面向量的加法法则可知，根据三角形中三边关系可得； 若共线且同向时满足成立； 综上所述：对任意向量，，，正确. 故答案为：④ 考向二 共线定理 【例2-1】（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误；故选：C. 【例2-2】（25-26高二上·全国·课后作业）设向量不共面，已知，若三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为三点共线，所以，则存在实数，使得， 由已知得 故 由于不共面，故解得 另解:因为向量不共面，所以， 由已知得 故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得． 故选：C. 【例2-3】（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【解析】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【例2-4】（23-24高二上·青海海南·期中）（）多选已知三棱柱，为空间内一点，若，其中，，则（    ） A．若，则点在棱上 B．若，则点在线段上 C．若，为棱的中点 D．若，则点在线段上 【答案】ABD 【解析】作出三棱柱，如图， 对于A，当时，，则，所以点在棱上，故A正确； 对于B，当时，，所以点在线段上，故B正确； 对于C，当时，由B知，所以为棱的中点，故C错误； 对于D，当时，，所以，则，即， 所以点在线段上，故D正确.故选：ABD. 【变式】 1．（24-25高二上·北京·期中）已知，，不共面，，，若与共线，则实数的值为（    ） A． B．1 C．3 D．或3 【答案】C 【解析】，， 若与共线，则有，即，解之得，则的值为3.故选：C 2．（24-25高二下·福建龙岩·期中）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】因为三点共线，所以，即， 所以，解得，所以，故选：A 3．（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故，故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件，故选：C 考向三 共面定理 【例3-1】（24-25江苏扬州）下列条件中，使点与点一定共面的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于可得，，由空间共面向量定理知，M、A、B、C一定共面，故A正确， 对于可知，系数和不为1，故M、A、B、C不共面，故B错； 对于，系数和 ，故M、A、B、C不共面，故C错； 对于，可得，系数和不为1，根据空间向量共面的推论可知M、A、B、C不共面，故D错； 故选：A. 【例3-2】（2025上海）若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 【例3-3】．（24-25高二上·江苏无锡·期中）设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，，共面，则可设， 即，即，解得，故选：D. 【例3-4】（24-25 贵州贵阳）如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 【变式】 1．（2025湖北武汉）在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 2．（24-25高二上·山东·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A选项，，共面； B选项，，共面； C选项，若存在，使得，则共面，与已知矛盾，所以假设错，不共面． D选项，，共面． 故选：C． 4．（23-24高二上·河北邯郸）下列说法中正确的是（    ） A．是，共线的充要条件 B．若，共线，则 C．若P，A，B，C为空间四点，且有，则是A，B，C三点共线的充要条件 D．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 【答案】D 【解析】对于A，当同向时，， 当反向时，，故A错误； 对于B，若共线，则或四点共线，故B错误； 对于C，若共线时，则可知A，B，C三点共线，不一定为1， 比如，，可得A，B，C三点共线，必要性不成立，故C错误； 对于D，因为三点不共线，对空间任意一点，若， 因为，所以可知四点共面，故D正确， 故选：D 5．（24-25福建）在下列条件中，使与一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔）已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 7．（24-25 江苏苏州）如图，三棱柱中，为的中点，满足，过作三棱柱的截面交于，且，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，E为中点，. 又因为四点共面，设， 即 所以 ，所以.故选：A． 考向四 共面定理求距离最值 【例4】（24-25高二上·四川乐山·阶段练习）如图，平行六面体各棱长为，且，动点在该几何体内部，且满足，则的最小值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 则，即， 由平面向量共面定理可知：点在平面内， 则的最小值即为点到平面的距离， 连接，，，，，， 因为平行六面体各棱长为，且，所以，， 所以三棱锥为正三棱锥，如图所示，    设中点为，过点作平面， 则点为的中心，即在上，则，则， 所以，故选：B. 【变式】 1．（24-25高二上·河南周口·阶段练习）在正三棱锥中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海宝山·阶段练习）在正四面体中，，点满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示，延长至点，使得， 所以， 又由，所以四点共面， 所以的最小值，即为点A到平面的距离， 因为点A是的中点，则点A到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为. 故选：B. 考向五 空间向量的基本定理 【例5】（2025高三·全国·专题练习）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，， ，则，故选：D. 【变式】 1．（2025广东广州市）（多选）在空间四边形中，分别是的中点，为线段上一点，且，设，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】分别是的中点，，故A正确； ， ，， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 2．（2025·四川成都市）设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点， 为的重心，可得， 而， ， 所以，， 所以，，因此，. 故选：C. 3.（2025·河北）如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC.M，N分别是对边OB，AC的中点，点G在线段MN上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（       ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【解析】连结ON. 因为M，N分别是对边OB，AC的中点，所以，， 所以. 又，所以. .故选：C 考向六 空间向量的数量积 【例6】（24-25高二下·甘肃临夏·期末）在平行六面体中，M，N分别是线段，上的点，且，，若，，，则下列说法中正确的是（    ）    A．与的夹角为45° B． C．线段的长度为1 D．直线与所成的角为60° 【答案】C 【解析】由题可得，，， 对于A，由题， 所以，， 所以， 因为，所以，故A错误； 对于B，由题得 ，故B错误； 对于C，因为，， 所以 ，故C正确； 对于D，因为， 又， 所以，所以， 所以直线与所成的角为，故D错误.故选：C 【变式】 1．（24-25高二下·湖北·期末）（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．长为 B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意有：，所以 ，所以，故A正确； ，所以，所以 ， 所以，故B错误； 由，， 所以 ，所以，故C正确； 由，所以，故D正确； 故选：ACD. 2．（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【解析】（1）由已知该几何体是三棱柱，所以四边形为平行四边形， 又，所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 3．（24-25高二上·内蒙古包头）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，，，为与的交点．设，，． (1)用，，表示，并求的值； (2)求的值． 【答案】(1)，(2)2 【解析】（1）因为平行六面体中，为与的交点， 所以是中点，也是中点， 又因为，且平行六面体中，， 那么， 因为，， 所以， ， 因为，所以，又，， 所以，，所以. （2）因为， 所以 . 考向七 空间向量的坐标运算 【例7-1】（23-24浙江温州）（多选）已知空间向量，，下列说法正确的是（    ） A 若，则 B．若在上的投影向量为，则 C．若，则 D．若与夹角为锐角，则 【答案】ACD 【解析】对于A：，，又，， 即：，解得：，故A选项正确； 对于B：在上的投影向量为：，即， 代入坐标化简可得：，故，无解，故B选项错误； 对于C：， ，解得：，故C选项正确； 对于D：与夹角为锐角，，解得：， 且与不共线，即，解得：， 所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确；故选：ACD. 【例7-2】（24-25湖北孝感）若是空间的一个基底，且向量，则叫向量在基底下的坐标，已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，一个向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设在基底下的坐标为，则， 在下的坐标为，，由得， ，即在下的坐标为．故选：B． 【变式】 1．（25-26北京）已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为 ． 【答案】 【解析】因为向量以为基底时的坐标为，所以． 设向量在新基底下的坐标为， 则，即 则，解得，所以以为基底时的坐标为． 故答案为：. 2．（24-25浙江宁波）（多选）已知向量，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值2 D．为钝角，则 【答案】AB 【解析】A.若，则，解得，故正确； B.当或时，不平行， 所以时，有，解得，故正确； C. ，无最大值，故错误； D. 若为钝角，则，且，不反向共线， 解得且，故错误； 故选：AB 3．（24-25河南郑州）（多选）已知空间向量 ，则下列结论正确的是（    ） A． 与 共面 B． C．在上的投影向量为 D．与夹角的余弦值为 【答案】AD 【解析】假设与共面，则有解，即有解， 解得 ，故选项A正确；，所以，故选项B错误； 在上的投影向量为，故选项C错误； ，故选项D正确；故选：AD 4．（24-25新疆乌鲁木齐）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一个法向量是 【答案】BCD 【解析】对于A，，，设，则得，显然无解， 故与不是共线向量，A错误； 对于B，与同向的单位向量是，B正确； 对于C，在方向上的投影向量为，C正确； 对于D，，，即坐标为的向量， 与、都垂直，因此平面ABC的一个法向量是，D正确.故选：BCD 题组一 空间向量的概念辨析 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【解析】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．（24-25高二上·山东·阶段练习）给出下列命题： ①零向量的方向是任意的； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量，满足，则； ④空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】零向量是大小为的向量，零向量的方向是任意的，命题①正确； 方向相同，大小相等的空间向量相等，它们的起点不一定相同，终点也不一定相同，命题②错误； 若空间向量，满足，但由于它们的方向不一定相同，故不一定相等，③错误； 空间中任意两个单位向量由于它们的方向不一定相同，故它们不一定相等，④错误； 所以正确的命题只有个； 故选：D. 3 ．（23-24高二上·新疆·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，互为相反向量，则 C．空间中两平行向量相等 D．在四边形ABCD中， 【答案】D 【解析】对于A，向量不可以比较大小，所以A错误； 对于B, 若，互为相反向量，则，故B错误； 对于C，两向量相等需要向量的方向相同，且长度相同，故C错误； 对于D，四边形ABCD中，，故D正确. 故选：D 4．（24-25高二上·广东广州 ）（多选）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【解析】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 5．（24-25高二上·安徽合肥）（多选）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【解析】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC 6．（23-24高二下·江苏）（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【解析】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 7．（23-24高二上·四川·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【答案】BD 【解析】对于A：零向量的方向是任意的，A错误； 对于B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B正确； 对于C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C错误；D符合定义，正确. 故选：BD. 8．（2025河南）（多选）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【解析】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 9．（23-24高二上·重庆万州）（多选）以下四个命题中错误的是（    ） A．向量，，若，则 B．若空间向量、、，满足，，则 C．对于空间向量、、，满足，，则 D．对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面 【答案】ABD 【解析】当为零向量时，满足，但是与不垂直，故A错； 当为零向量时，与不一定共线，故B错； 相等向量具有传递性，故C正确； 因为，所以不共面，故D错. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·贵州黔西）（多选）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 题组二 共线定理 1．（2025河北邢台）在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形， 所以. 又由，所以.故选：B.    2．（23-24高二上·贵州·开学考试）如图，在三棱柱中，为空间一点，且满足， ，则下列说法错误的是（　　） A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 【答案】B 【解析】对于，当时，，，所以，则点在棱上，故正确； 对于，当时， ， ，即，即 所以点在线段上，故错误； 对于，当时，，， 所以，所以，即，所以点在棱上，故正确； 对于，当时，所以，，所以， 即，即，所以点在线段上，故正确．故选：． 3．（23-24高二上·湖北省直辖县级单位·期中）若空间四点满足，则（    ） A．直线 B．直线 C．点P可能在直线上，也可能不在直线上 D．直线，且 【答案】A 【解析】由于，所以四点共面，由于，所以三点共线， 根据平行四边形法则可知：是线段上，靠近的三等分点（如下图所示）. 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 4．（24-25高二上·上海）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【解析】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即， ∴，，解得． 故选：C． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）设向量不共面，已知，，，若三点共线，则 ． 【答案】0 【解析】因为，，，所以．因为三点共线，所以存在唯一的实数，使得，即，即,解得. 故答案为：0 6．（24-25高二上·四川南充·期中）设，是空间中两个不共线的向量，已知，，，且 三点共线，则实数 ． 【答案】 【解析】因为，已知，， 所以. 因为，，三点共线，所以与共线，即存在实数，使得. 已知，，则. 根据向量相等的性质，对于和前面的系数分别相等，可得. 由，解得，又因为，所以. 故答案为：. 题组三 共面定理 1．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，所以三向量共面，故A错误； 对于B，，所以三向量共面，故B错误； 对于C，，所以三向量共面，故C错误； 对于D，假设共面，则，即， 所以，不符合题意，所以假设不成立，故D正确；故选：D. 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）若，，是空间一组不共面的向量，则下列可以作为基底的一组向量为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【解析】A选项，，所以，，是共面向量； B选项，，所以，，是共面向量； C选项，， 所以，，是共面向量； D选项，令，显然无解，故不是共面向量. 故选：D 3．（23-24高二上·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【解析】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 4．（2025高二·全国·专题练习）已知非零向量，，，若，为共线向量，则以下判断中错误的是（    ） A．与一定共线 B．与一定共面 C．，，一定共面 D．与一定共线 【答案】D 【解析】对于A，因为，为共线向量，所以，则，即与共线，所以A正确， 对于B，因为空间中任意两个向量必定共面，所以B正确， 对于C，由A可知，与共线，所以，，共面，所以C正确， 对于D，与不一定共线，所以D错误. 故选：D. 5．（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【解析】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 6．（24-25高二下·甘肃白银·期中）在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 7．（24-25高二上·湖南娄底·期末）已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 8．（24-25高二上·广东·期中）已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内，，若A，B，C，D四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】由及A，B，C，D四点共面得：， 即，又，， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：B 9．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，O不在该平面上，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 【答案】C 【解析】因为四点共面， 所以由共面定理可得，，即， 所以， 因为， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以， 故选：C. 10．（2025高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是（    ） ①若，则，，三点共线； ②若，则，，，四点共面； ③若，则，，，四点共面． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【解析】根据共线定理推论，系数，所以，，三点共线，命题①正确； ，若，，不共面， 则根据平行六面体法则，此时四点不共面，命题②错误； ， 所以，即，，，四点共面，命题③正确． 故选：C. 12．（24-25高二下·江苏连云港·期中）（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【解析】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 13．（24-25高二上·浙江金华·期末）在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得，所以.故选：A 14．（2024·北京朝阳·模拟预测）在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， 所以， 因为，所以， 所以， 又，所以， 所以， 因为共面，所以，解得. 故选：D. 题组四 共面定理求距离最值 1．（24-25高二上·山东烟台·阶段练习）已知正四面体的棱长为3，空间中一点满足，其中，且.则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】因为，，所以四点共面， 所以的最小值即为正四面体的高， 记的中点为，作底面于点， 由正四面体的性质可知，为正三角形的重心， 所以， 所以， 即的最小值为. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示，    延长，，至点，，，使得，，， 所以， 又由，所以，，，四点共面， 所以的最小值，即为点到平面的距离， 因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半， 又因为，所以三棱锥为正三棱锥， 取等边的中心为，连接，，可得平面， 所以即为点到平面的距离， 在等边，因为，可得， 在直角中，可得， 即点到平面的距离为，所以的最小值为.故选：C 题组五 空间向量的基本定理 1．（24-25高二下·甘肃甘南·期中）如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ，又，，， 所以 ． 故选：A 2．（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）在三棱柱中，为棱上点并且设，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】   在三棱柱中， ， 故选：B. 3．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）在三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示，连接， 因为，，则，， 所以 . 故选：D. 4．（24-25高二上·广东清远·期末）如图，在三棱锥中，．若点分别在棱上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得， 所以， 故选：C． 5．（24-25高二上·河北邢台·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于底面为等边三角形，所以为其重心， 所以, 所以, 故选：C 6．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，如下图所示： 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为点在上，且，则， 因此，. 故选：B. 7．（24-25高二上·湖北·期末）如图，在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记线段的中点为，由正四面体的性质可知，为的重心， 因为为的中点，则，所以，， 所以，，所以 所以 . 故选：B. 题组六 数量积 1．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）如图，在平行六面体中，底面ABCD是正方形，，M是CD中点，，则直线与BM所成角的正弦值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】设，， 由， 所以， 因为， 所以， ， 所以，直线与BM所成角的正弦值为. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 3．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知空间单位向量，，两两之间的夹角均为60°，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由题：，故A正确； 对于B， ，故B正确； 对于C，由，得，由，得 ，所以， 则 ．故C正确； 对于D，，所以，故．故D错误. 故选：ABC 4．（24-25高二上·广东肇庆·期末）已知平行六面体中，．若，则的值为 ． 【答案】 【解析】由题意可得 ， 解得：， 所以 故答案为： 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 6．（24-25高二上·河南开封·期末）如图，已知正四面体的棱长为1，是棱的中点，是线段的中点，记，， (1)用，，表示向量 (2)求 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，，， 所以； （2）依题意，得，， 所以， ， 所以. 7．（24-25高二上·广东珠海·阶段练习）如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【解析】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 8．（24-25高二上·浙江台州·阶段练习）如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 9．（24-25高二上·湖北·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱的长度都为，且.    (1)求的长度； (2)求直线和直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设，，， 由题意可知，，， 由空间向量数量积的定义可得， ， 则， 故. （2）， 则， ，则. 故直线和直线所成角的余弦值为. 10．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，设，，. (1)用，，表示向量； (2)用，，表示向量； (3)若，，，求. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）. （2）. （3），，， . 11．（24-25高二上·湖北宜昌·期中）如图，在三棱柱中，，，，点满足.    (1)用表示； (2)若三棱锥的所有棱长均为，求及. 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）因为，所以， 所以. （2）因为三棱锥的所有棱长均为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以. 12．（24-25高二上·四川广安·阶段练习）． (1)用向量表示向量，并求； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）， 则 ， 所以. （2）由空间向量的运算法则，可得， 因为且， 所以 ， ， 则. 题组七 空间向量的坐标运算 1．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】BC 【解析】列表解析： 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则. D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 2．（25-26高二上·全国·单元测试）（多选）已知向量，，，则下列结论正确的是（    ） A．向量与向量的夹角为 B． C． D．向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 3．（25-26高二广西）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BC 【解析】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由得，存在实数，使得，则， 即，解得，，B正确； 对于C，当时，，，，C正确； 对于D，当时，，，D错误. 故选：BC 4．（24-25高一下·黑龙江大庆·阶段练习）（多选）已知空间向量，，，则（    ） A． B． C． D．，，是共面向量 【答案】BCD 【解析】若，则存在使得，即，无解，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 由A可知与可构成一组基底，故若，，是共面向量， 则存在使得， 即，解得，故，，是共面向量，D正确. 故选：BCD 5．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】AD 【解析】，故A正确； ， 所以，所以与不垂直，故B错误； 在上的投影向量为，故C错误； ，故D正确. 故选：AD. 6．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）（多选）已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D． 【答案】ACD 【解析】，故A正确； ，，故B不正确； 在上的投影向量，故C正确； ，故D正确； 故选：ACD. 7．（24-25高二上·江西抚州·期末）（多选）已知空间向量，，则下列选项中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】A：，则，可得，错； B：，则，可得，对； C：，可得或，错； D：，则，故，则，对. 故选：BD 8．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）（多选）已知空间向量，，，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A正确， 对于B，由于，则，故，B正确， 对于C，，故与不垂直，故C错误， 对于D，，D正确， 故选：ABD 9．（24-25高二上·四川乐山·期末）（多选）已知空间向量，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【解析】A：，A错误； B：由知，，解得，B正确； C：由知，，解得，C错误； D：若，，则，D正确. 故选：BD 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．A，B，C三点共线 C． D．在上的投影向量为 【答案】AD 【解析】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，，不存在实数，使得， 所以三点不共线，故B错误； 对于C，，， 由， 即与不垂直，故C错误； 对于D，因，， 则在上的投影向量为，故D正确. 故选：AD. 1 学科网（北京）股份有限公司 $