第二章 平面向量（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查向量的有关概念、向量的线性运算、运算法则、基本定理、坐标表示、向量的内积。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列各物理量中，属于向量的是（    ） A．长度 B．温度 C．速度 D．面积 2．化简：·（ ） A．0 B． C． D．|| 3．化简：-+=（ ） A．2 B．2 C． D． 4. 与向量=(1,2)是共线向量的是（ ） A．(2,1) B．(-1,2) C．(-2,1) D．(-1,-2) 5. 下列说法中，正确的是（ ） A．方向相反的向量是相反向量 B．零向量没有方向 C．模为1的向量是单位向量 D．大小相等的向量是相等向量 6. 已知向量=(-1,-3),=(2,6),则与的位置关系是（ ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．以上都不对 7. 已知向量=(-1,2),=(n,-6),且⟂，则n=（ ） A．12 B．3 C． 6 D．-12 8. 已知点A(2,m),B(n,-3),且向量=(2,-1),则m和n的值分别是（ ） A．4,-2 B．-2,4 C．-4,0 D．2,0 9. 已知向量=(1,-2),=(m,n),且-=(2,1),则||=（ ） A． B． C． D．2 10. 已知向量,满足||=4,||=,‹,›=45°,则·=（ ） A．2 B．2 C．4 D． 11. 若平面向量与向量=(1,-2)的夹角是180°，且||=,则=（ ） A．(-3,6) B．(3,-6) C．(6,-3) D．(-6,3) 12. 设0≤θ<2π，已知两个向量=(cos θ,sin θ),=(2+sin θ,2-cos θ),则向量长度的最大值是（ ） A． B．  C． D． 13. 已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|=（ ） A． B． C． D. 4 14. 已知,满足||=1,||=4,且·=2,则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 15. 若平面向量与向量=(2,1)平行，且||=，则=（ ） A．(4,2) B．(-4,-2) C．(6,-3) D．(4,2)或(-4,-2) 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．化简：-++=______。 17. 已知向量=(4,5),=(2m,-5),且//,则m=______。 18. 已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝______。 19. 若||=1，||=2,与的夹角为60°，若(+5)⟂(m-),则m的值为______。 20. 已知向量=(-1,2),=(3,-2),=(4,6),则·(+)=______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量=(-2,-3),=(5,1),且=-,求向量的坐标. 22. 已知向量，满足||=3，||=4,‹,›=45°,求(-)·(+). 23．已知向量=(1,2),=(2,-3),且(m-)//(-),求实数m的值. 24．已知向量，满足||=||=1，|-|=，求‹,›. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的单元测试卷，主要考查向量的有关概念、向量的线性运算、运算法则、基本定理、坐标表示、向量的内积。 第二章 平面向量 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列各物理量中，属于向量的是（    ） A．长度 B．温度 C．速度 D．面积 【答案】C 【分析】本题主要考查根据向量与数量的意义直接判断即可 【详解】显然长度、温度、面积，它们只有大小，不是向量，而速度既有大小又有方向，所以速度是向量.故C选项正确 故选：C 2．化简：·（ ） A．0 B． C． D．|| 【答案】A 【分析】本题考查的是点积性质：任何向量与零向量的点积均为零。这是因为零向量的所有分量都是 0，点积计算中每一项都会乘以 0。 【详解】向量 为任意非零向量，零向量记作 0。则：·=0，故A选项正确 故选：A. 3．化简：-+=（ ） A．2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考察的是利用三角形法则进行向量的减法运算，规律是被减向量和减向量的起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点，即-=。 【详解】-+==2，故A选项正确； 故选：A 4. 与向量=(1,2)是共线向量的是（ ） A．(2,1) B．(-1,2) C．(-2,1) D．(-1,-2) 【答案】D 【分析】本题考查共线定理，当且仅当有唯一实数λ，使=λ，向量（≠0）与共线。 【详解】根据共线定理，λ=λ(1,2)，只有D选项(-1,-2)=-，二者共线.故D选项正确. 故选：D 5. 下列说法中，正确的是（ ） A．方向相反的向量是相反向量 B．零向量没有方向 C．模为1的向量是单位向量 D．大小相等的向量是相等向量 【答案】C 【分析】本题考查的是向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。 【详解】A选项错误，方向相反的向量不一定是相反向量，相反向量必须方向相反且模相等； B选项错误，零向量有方向，它的方向是任意的； C选项正确，模为1的向量称为单位向量，这是单位向量的定义； D选项错误，大小相等（模相等）的向量不一定是相等向量，相等向量还必须方向相同。 故选：C. 6. 已知向量=(-1,-3),=(2,6),则与的位置关系是（ ） A．垂直 B．相交但不垂直 C．平行 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查的是向量之间的关系可以通过点积或斜率来判断。点积用于判断垂直，而平行则看是否一个向量是另一个的倍数 【详解】已知向量=(−1,−3)和 =(2,6)。计算点积：⋅=(−1)×2+(−3)×6=−2−18=−20≠0，因此不垂直。检查平行：存在标量 k 使得 =k。由 −1=2k 得 k=−​，由 −3=6k 得 k=−，因此 k 一致，向量平行。故C选项正确。 故选：C 7. 已知向量=(-1,2),=(n,-6),且⟂，则n=（ ） A．12 B．3 C． 6 D．-12 【答案】D 【分析】本题考察的是向量之间的垂直关系可以通过点积判断。 【详解】已知向量=(-1,2),=(n,-6),且⟂。计算点积：·=(−1)n+(−6)×2=−n−12=0,解得n=-12。 故选：D. 8. 已知点A(2,m),B(n,-3),且向量=(2,-1),则m和n的值分别是（ ） A．4,-2 B．-2,4 C．-4,0 D．2,0 【答案】B 【分析】本题考查的是向量的直角坐标的差的运算，向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。 【详解】因为点A(2,m),B(n,-3)，且向量=(2,-1)，所以有(n,-3)-(2,m)=(2,-1)，可得,解得,故选项B正确。 故选：B. 9. 已知向量=(1,-2),=(m,n),且-=(2,1),则||=（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考察的是向量的直角坐标的差的运算，及向量模的坐标公式。 【详解】因为向量=(1,-2),=(m,n)，且-=(2,1)，所以有(1,-2)-(m,n)=(2,1)，可得,解得，||= == = ,故选项C正确。 故选：C. 10. 已知向量,满足||=4,||=,‹,›=45°,则·=（ ） A．2 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平面向量内积的线性运算。 【详解】根据平面向量内积公式，可得·=||×||×cos‹,›=4××=4. 故选：C 11. 若平面向量与向量=(1,-2)的夹角是180°，且||=,则=（ ） A．(-3,6) B．(3,-6) C．(6,-3) D．(-6,3) 【答案】A 【分析】本题考查平面向量内积的线性运算和模长计算公式。 【详解】根据平面向量内积公式，可得·=||||cos‹,›，因为 ||= == =,·=||×||×cos‹,›=×3×(-1)=-15, 设向量坐标为(x,y),·=x-2y=-15,又因为||=,则x2+y2=45,解得，x=-3,y=6,故A选项正确。 故选：A. 12. 设0≤θ<2π，已知两个向量=(cos θ,sin θ),=(2+sin θ,2-cos θ),则向量长度的最大值是（ ） A． B．  C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标及模长公式和三角函数求最值。 【详解】=-=(2+sin θ -cos θ,2-cos θ -sin θ),0≤θ<2π,则||==≤=（当取最小值-1时，最大），故选项C正确 故选：C. 13. 已知,均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|+3|=（ ） A． B． C． D. 4 【答案】C 【分析】本题主要考查平面向量内积的线性运算和模长计算公式。 【详解】|+3|===== 故选：C. 14. 已知,满足||=1,||=4,且·=2,则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考察的是用向量的内积可以求平面中任意两向量的夹角 【详解】cos θ===,θ=. 故选：C 15. 若平面向量与向量=(2,1)平行，且||=，则=（ ） A．(4,2) B．(-4,-2) C．(6,-3) D．(4,2)或(-4,-2) 【答案】D 【分析】本题考查存在实数λ，使=λ，即向量与向量平行。 【详解】设=k=(2k,k)，而||=，则==,所以k=±2,=(4,2)或(-4,-2).故选项D正确。 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．化简：-++=______。 【答案】 【分析】本题主要考查利用三角形法则进行向量的减法运算，即-=。 【详解】-++=+-+=++=。 17. 已知向量=(4,5),=(2m,-5),且//,则m=______。 【答案】-2 【分析】本题主要考查当≠0时，//⇔存在实数λ，使=λ。 【详解】因为//，所以4×(-5)=2m·5,解得m=-2. 18.已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，则＝______。 【答案】3 【分析】本题考查向量的线性运算。 【详解】因为平面内四个不同的点A，B，C，D满足＝2－2，设点O 为坐标原点，则：=− ，=− ，=−，代入原式：−=2(−)−2(−)， 2(−)−2(−)=2−2−2+2=2−2，因此，−=2−2，即=3−2，计算向量=-，=-，由=3−2，=-3+2=3-3=3，因此||=3||⇒=3。 19. 若||=1，||=2,与的夹角为60°，若(+5)⟂(m-),则m的值为________。 【答案】 【分析】本题主要考查平面向量的内积公式。 【详解】(+5)⟂(m-)=3m2+(5m-3)·-52=0,所以3m+(5m-3)×2×cos60°-5×4=0,解得m=. 20.已知向量=(-1,2),=(3,-2),=(4,6),则·(+)=______。 【答案】1 【分析】本题主要考查向量坐标的线性运算。 【详解】因为向量=(-1,2),=(3,-2),=(4,6)，所以·(+)=(-1,2)·(3+4,-2+6)=(-1,2)·(7,4)=-1×7+2×4=-7+8=1. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．已知向量=(-2,-3),=(5,1),且=-,求向量的坐标. 【答案】(3,-2) 【分析】本题主要考察向量坐标的线性运算，根据已知条件，求向量坐标。 【详解】设向量=(x,y),因为=-，所以(5,1)=(x,y)-(-2,-3)=(x+2,y+3) 即,解得 ,所以向量的坐标为(3,-2) . 22．已知向量，满足||=3，||=4,‹,›=45°,求(-)·(+). 【答案】2-6 【分析】本题考察的是根据平面向量的内积公式进行计算。 【详解】因为||=3，||=4,‹,›=45°，所以·=||||cos45°=3×4×=6, 所以(-)·(+)=22+·-2·-2=2||2-·-||2=2×32-6-42=2-6. 23．已知向量=(1,2),=(2,-3),且(m-)//(-),求实数m的值. 【答案】 【分析】本题主要考查根据向量平行求参数值。 【详解】因为=(1,2),=(2,-3)，所以m-=m(1,2)-(2,-3)=(m-2,2m+3),-=2(2,-3)-(1,2)=(3,-8), 又因为(m-)//(-)，所以-8(m-2)=3(2m+3),解得m=. 24.已知向量，满足||=||=1，|-|=，求‹,›. 【答案】​ 【分析】本题考察的是平面向量内积公式，根据公式求夹角。 【详解】因为|-|=，所以(-)2=2-2·2=||2-2||||cos‹,›+||2=1-2cos‹,›+1=3, 所以cos‹,›=-，又因为‹,›∈[0,π],所以‹,›=. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $