第二章 平面向量（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一上册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的有关概念、向量的线性运算、运算法则、基本定理、坐标表示、向量的内积等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的有关概念 1 考点二 向量的模 2 考点三 向量的线性运算 2 考点四 向量的运算法则 2 考点五 平面向量的基本定理应用 3 考点六 共线定理或三点共线 3 考点七 向量坐标的线性运算及求某点坐标 3 考点八 向量共线的坐标应用 4 考点九 平面向量内积的线性运算 4 考点十 平面向量内积的几何意义 5 考点一 向量的有关概念 1．下列命题中真命题的个数是（ ） （1） 温度、速度、位移、功都是向量 （2） 零向量没有方向 （3） 向量的模一定是正数 （4） 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列量中是向量的是（） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 考点二 向量的模 3. 已知向量 = (3, -4)，则|| = ________ . 4. 已知向量 = (1, 2)，向量 = (x, 1)，且 || = 2||，则实数x的值为 ________. 考点三 向量的线性运算 5. 已知平面向量，，，则--=（ ） A. B. C. D. 6.  -= 考点四 向量的运算法则 7. 在△ABC中，已知==，点O为AC的中点，试用向量，分别表示向量，. 8. 计算：-2(-4-)+2(+3-) 考点五 平面向量的基本定理应用 9. 已知平行四边形ABCD，=，=，用，表示，，，. 10. 设D为△ABC所在平面内一点，=3，用，表示. 考点六 共线定理或三点共线 11. 判断向量=+，=2-是否共线（，不共线） 12.已知：=m+n且m+n=1.求证：B、C、D三点共线. 考点七 向量坐标的线性运算及求某点坐标 13.已知向量(-3,4)、(-1,1)，点A的坐标为(1,0). (1)计算3+2,--3; (2)当=-时，求B点的坐标. 14.平行四边形ABCD的三个顶点A(-5,-3),B(3,-1),C(4,4),求点D的坐标及平行四边形的对角线的交点坐标. 考点八 向量共线的坐标应用 15. 如果A(1,2),B(4,a),C(-2,a-1)在一条直线上，试求a的值. 16. 设有两个平面向量=(m,3),=(n,m)(其中m,n为实数)，且2+3=(8,12). (1)求m与n; (2)是否平行？ 考点九 平面向量内积的线性运算 17. 已知||=3，||=2,‹,›=,求·；(2+)·；cos‹+，-›. 18. 已知向量a=(cos θ,sin θ)，向量b=(,-1），则|2a-b|的最大值和最小值分别是( ) A.,0 B.4,2 C.16，0 D.4，0 考点十 平面向量内积的几何意义 19. 已知菱形ABCD的边长2，∠ABC=60°，则在上射影是 . 20. 已知正方形ABCD的边长1，点E为AB边上的动点，则·= ，·的最大值是 。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【黑龙江专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（上册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖黑龙江春季高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第二章平面向量的考点梳理卷，主要梳理和考查了向量的有关概念、向量的线性运算、运算法则、基本定理、坐标表示、向量的内积等常见考点。 第二章 平面向量 目录 考点一 向量的有关概念 1 考点二 向量的模 2 考点三 向量的线性运算 3 考点四 向量的运算法则 3 考点五 平面向量的基本定理应用 4 考点六 共线定理或三点共线 5 考点七 向量坐标的线性运算及求某点坐标 5 考点九 平面向量内积的线性运算 7 考点十 平面向量内积的几何意义 7 考点一 向量的有关概念 1． 下列命题中真命题的个数是（ ） （1） 温度、速度、位移、功都是向量 （2） 零向量没有方向 （3） 向量的模一定是正数 （4） 直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】本题主要考查向量的概念，既有大小又有方向的量称为向量。 【详解】（1）错误，只有速度，位移是向量；温度和功没有方向，不是向量； （2）错误，零向量有方向，它的方向是任意的； （3）错误，零向量的模为0，向量的模不一定为正数； （4）错误，直角坐标平面上的x轴、y轴只有方向，但没有长度，故它们不是向量。 故选A. 2. 下列量中是向量的是（） A. 频率 B. 拉力 C. 体积 D. 距离 【答案】B 【分析】本题主要考查根据向量与数量的意义直接判断即可。 【详解】显然频率、体积、距离，它们只有大小，不是向量，而拉力既有大小又有方向，所以拉力是向量，所以B选项正确。 故选：B． 考点二 向量的模 3. 已知向量 = (3, -4)，则|| = ________ . 【答案】5 【分析】本题主要考查向量模的坐标公式。 【详解】根据向量模的坐标公式，||= 。 代入坐标得：||= = = = 5。 4. 已知向量 = (1, 2)，向量 = (x, 1)，且 || = 2||，则实数x的值为 ________ 。 【答案】± 【分析】本题主要考查利用模长公式求参数值。 【详解】已知向量 =(1,2)，则 ∣∣==。由 ∣∣=2∣∣，得 ∣∣=2​。 向量=(x,1)，则 ∣∣==。因此，有方程：=2​ 两边平方得：x2+1=4×5=20，x2=19，x=±​ 故实数x 的值为±​。 考点三 向量的线性运算 5. 已知平面向量，，，则--=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题主要考查利用三角形法则进行向量的加法运算，规律是将向量首尾相接，和向量是首指向尾，即+=。 【详解】--=+=+=+=. 故选：D． 6.  -= 【答案】 【分析】本题主要考查利用三角形法则进行向量的减法运算，规律是被减向量和减向量的起点相同，差向量是减向量的终点指向被减向量的终点，即-=。 【详解】根据三角形法则进行向量的减法运算， -=。 考点四 向量的运算法则 7. 在△ABC中，已知==，点O为AC的中点，试用向量，分别表示向量，. 【答案】=(+)；=- 【分析】本题主要考查向量的运算法则，三角形法则和平行四边形法则。 【详解】解：以BA，BC为邻边，作平行四边形ABCD，如图所示： 根据向量加法的平行四边形法则可知，=+=+,故==(+). 在△ABC中，由向量减法的三角形法则可知，=-=- 8. 计算：-2(-4-)+2(+3-) 【答案】14 【分析】本题主要考查向量的数乘运算。 【详解】原式=-2+8+2+2+6-=8+6=14。 考点五 平面向量的基本定理应用 9. 已知平行四边形ABCD，=，=，用，表示，，，. 【答案】-；-；+；- 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理应用。 【详解】如图所示： =-=-，=-=-，=+=+，=-=-。 10. 设D为△ABC所在平面内一点，=3，用，表示. 【答案】+ 【分析】本题主要考查平面向量的基本定理应用及相似三角形. 【详解】如图所示： 过D作DE//AB交AC于E，DF//AC交AB于E，根据“平行四边形”法则和相似三角形的相关知识得=+=+. 考点六 共线定理或三点共线 11.判断向量=+，=2-是否共线（，不共线） 【答案】，不共线 【分析】本题主要考查共线定理，当且仅当有唯一实数λ，使=λ，向量（≠0）与共线。 【详解】的系数比为，的系数比为-1，≠-1，故，不共线。 12. 已知：=m+n且m+n=1.求证：B、C、D三点共线. 【答案】证明无答案 【分析】本题主要考查向量三点共线。 【详解】由题意得=(1-n)+n=+n(-)，可知-=n，=n，所以//，即B、C、D三点共线。 考点七 向量坐标的线性运算及求某点坐标 13.已知向量(-3,4)、(-1,1)，点A的坐标为(1,0). (1)计算3+2,--3; (2)当=-时，求B点的坐标. 【答案】(1)3+2=(-11,14);--3=(6,-7)；(2)B点的坐标(2,-) 【分析】本题主要考查向量的直角坐标的和、差及数乘向量的运算，两个向量的和坐标等于两个向量的坐标和，向量的差坐标等于终点的坐标减去起点的坐标。 【详解】(1)3+2=3(-3,4)+2(-1,1)=(-9,12)+(-2,2)=(-11,14). --3=-(-3,4)-3(-1,1)=(3,-4)-(-3,3)=(6,-7) . (2)设B点的坐标为(x,y),因为=-，所以有(x,y)-(1,0)=-(-3,4), (x,y)=(1,-)+(1,0)=(2,-). 14.平行四边形ABCD的三个顶点A(-5,-3),B(3,-1),C(4,4),求点D的坐标及平行四边形的对角线的交点坐标. 【答案】D(-4,2),交点坐标为 (-,) 【分析】本题主要考查利用向量的知识，把几何问题用代数的方法解决，及向量相等、中点公式。 【详解】设D(x,y),因为平行四边形对边平行且相等，所以=. 即(x,y)-(-5,-3)=(4,4)-(3,-1),即(x,y)=(-4,2),所以D(-4,2). 设对角线交点坐标为M(x0,y0),则M为线段AC的中点. 所以有x0==-，y0==,所以M(-,). 考点八 向量共线的坐标应用 15. 如果A(1,2),B(4,a),C(-2,a-1)在一条直线上，试求a的值. 【答案】- 【分析】本题主要考查向量共线的坐标应用。 【详解】由题得=(3,a+2),=(-3,a+1).因为A、B、C三点共线，所以=λ·(λ∈R,λ≠0),即(3,a+2)=(-3λ,λ(a+1)),于是,得λ=-1，所以a=- 16. 设有两个平面向量=(m,3),=(n,m)(其中m,n为实数)，且2+3=(8,12). (1)求m与n; (2)是否平行？ 【答案】(1)m=2,n=；(2)) 【分析】本题主要考查先进行坐标运算，再比较等式两边向量的横纵坐标，列方程组解出m,n. 【详解】(1)因为2+3=(8,12)，所以有2(m,3)+3(n,m)=(8,12)⇒(2m+3n,6+3m)=(8,12). 比较等式两边的向量得,解得m=2,n=. (2)因为=(m,3)=(2,3),=(n,m)=(,2),而=，所以=，故。 考点九 平面向量内积的线性运算 17. 已知||=3，||=2,‹,›=,求·；(2+)·；cos‹+，-›. 【答案】·=3；(2+)·=10；cos‹+，-›= . 【分析】本题主要考查利用||2=2可以把较复杂的内积计算化为简单的求值；用向量的内积可以求向量的长度，也可以求平面中任意两向量的夹角。 【详解】利用内积公式可求向量的长度，因为||=3，||=2，‹›>=，所以·=3×2×cos=3. (2+)·=2·+·=2·+||2=2×3+22=10, |+|2=(+)·(+)=·+·+·+·=||2+2(·)+||2=32+2×3+22=19, 所以|+|=，|-|2=||2-2(·)+||2=32-6+22=7，cos‹+，-›=== 18. 已知向量=(cos θ,sin θ)，向量=(,-1），则|2-|的最大值和最小值分别是( ) A.,0 B.4, C.16，0 D.4，0 【答案】D 【分析】本题主要考查向量点积与三角函数转换，·=cos θ-sin θ=2sin(-θ),再根据三角函数的有界性求出最大值与最小值。 【详解】·=2sin(-θ),|2-|==,所以|2-|的最大值为4，最小值为0. 故选D 考点十 平面向量内积的几何意义 19. 已知菱形ABCD的边长2，∠ABC=60°，则在上射影是 . 【答案】||cos∠BAD= 【分析】本题主要考查·=||·||cos‹,›,把||cos‹,›叫做在方向上的射影，结合图形，必须知道两向量的夹角的大小及向量的模。 【详解】由图可知：在上射影是||cos∠BAD=2·cos30°=. 20. 已知正方形ABCD的边长1，点E为AB边上的动点，则·= ，·的最大值是 。 【答案】1;1 【分析】本题主要考查平面向量内积的几何意义。 【详解】在正方形ABCD中，=，所以·=·=(-)·=2=1. 即在的射影是||.当E在上运动时，求·的最大值就是求在的射影的最大值，即E与B重合时，射影最大为||，所以(·)max=1. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $