专题03 实际问题与一元二次方程 6大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版）九年级数学上学期

专题03 实际问题与一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 与图形有关的问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 考点06 其他问题 地 城 考点01 传播问题 1．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 2．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 4．(23-24九上·河南郑州金水区第十一初级中学·期中)生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 5．冬季易引发流感，刚开始有2人患流感，经过两轮传染共有288人患病，求每轮传染中平均一个人传染几个人？ 地 城 考点02 增长率问题 6．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 7．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期中)某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（） A． B． C． D． 8．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为 ． 9．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)小明妈妈的宠物店开业之前，为增大宣传力度，小明妈妈发起了将开业消息转发给好友得优惠券的活动．开业之后，由于开业消息转发热度的不断增加，宠物店的客流量持续提升，经统计，宠物店第一周的客流量为800人次，第三周的客流量为1152人次，求这两周客流量的平均增长率． 10．(24-25九上·河南周口太康县·期中)年月日，在第个“世界读书日”到来之际，由河南省委宣传部、河南省直文明办指导，河南省文化和旅游厅主办，河南省图书馆、各省辖市文广旅局共同承办的“阅享新时代·书香润河南”——河南省“全民阅读”系列活动启动仪式在郑州举行．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆对外开放的第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末三个月累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．(24-25九上·河南洛阳西工区·)今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 12．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)列方程解应用题： 某制衣厂一月份生产衬衣5000件，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产衬衣15918件，问二、三月份平均每月的增长率是多少？ 13．(24-25九上·河南郑州·期中)某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，设这种药品平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 14．(24-25九上·河南焦作·期中)“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 地 城 考点03 与图形有关的问题 15．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 16．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 17．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 18．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期中)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽为，则车棚长为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 19．(24-25九上·河南周口太康县·期中)《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 20．(24-25九·河南周口川汇区·期中)使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（    ） A． B． C． D． 21．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)如图，某班级矩形劳动实践基地的长、宽分别为、．由于劳动社团人数增多，现计划将其扩充为一个新的矩形劳动实践基地，且基地的长、宽均增加相同的长度（设为x，且）． (1)亮亮说：“新旧基地的面积差为平方米．”他的说法 ；（填“正确”或“错误”） (2)若新基地面积为，求x． 22．(24-25九上·河南焦作·期中)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，则原铁皮的边长为 ． 23．(24-25九上·河南三门峡·期中)教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 学校生态园年秋季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少元； （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域； （2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为． 问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是_______； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）怎样设计能使苗圃的面积最大？面积最大是多少？ 地 城 考点04 营销问题 24．某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件．第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7500元？ 解：设…… 根据题意，得 …… 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)数学问题中横线处短缺的条件是______； (2)所列方程中未知数的实际意义是______； (3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程． 25．(24-25九上·河南郑州一八联合国际学校·期中)某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 26．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 27．(24-25九上·河南郑州第十九初级中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 28．(24-25九上·河南南阳邓州·期中)某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 29．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 30．(24-25九上·河南实验中学等校·期中)某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ (1)设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； (2)请求出多种的桃树． 31．(24-25九上·河南濮阳·期中)近两年直播购物逐渐走进了人们的生活． 某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． (1)每件商品降价x元时，日销售量为 件； (2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； 32．(24-25九上·河南漯河临颍县·期中)“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？ 地 城 考点05 动态几何问题 33．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 34．(24-25九上·河南周口西华县·期中)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点06 其他问题 35．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则满足题意的关于x的一元二次方程的一般形式为（    ） A． B． C． D． 36．(24-25九上·河南周口西华县·期中)县教体局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？若设应邀请x个球队参加比赛，则x的值为 ． 37．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 实际问题与一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 传播问题 考点02 增长率问题 考点03 与图形有关的问题 考点04 营销问题 考点05 动态几何问题 考点06 其他问题 地 城 考点01 传播问题 1．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：有1人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为人， 故答案为：． 2．(24-25九上·河南信阳淮滨县·期中)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，认真审题，找到等量关系是解题关键． 每轮传染中平均一个人传染的人数为x人,即经过第一轮有人感染,则经过第二轮有 人被感染,根据两次一共有100被感染即可列出方程． 【详解】解：由题可知． 故选：A． 3．(24-25九上·河南新乡河南师范大学附属中学联考·期中)某种植物的主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241，设每个支干长出小分支的个数是x，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据“主干长出若干个分支，每个支干又长出同样个数的小分支，主干、支干、小分支的总数是241”列方程求解即可． 【详解】解：设每个支干长出小分支的个数是x， 根据题意，得， 故答案为：． 4．(23-24九上·河南郑州金水区第十一初级中学·期中)生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了240件，则全组共有 名同学． 【答案】16 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及传播问题的变式、因式分解法解一元二次方程等知识，读懂题意，掌握解一元二次方程的方法是解决问题的关键． 【详解】解：设全组共有名同学，则， ，即，解得或（舍弃）， 故答案为：． 5．冬季易引发流感，刚开始有2人患流感，经过两轮传染共有288人患病，求每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染11个人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第二轮传染后患流感的人数为， 由题意可得 解得 答：每轮传染中平均一个人传染11个人． 地 城 考点02 增长率问题 6．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)仙毫茶为一芽一口叶的新茶，茶色嫩绿欲滴，呈现清淡柔和的香气，入口清甜、回味匀净．在某次茶品交易会上，茶农小林参展第一天签了100单，第三天签了169单，求小林参展第二天、第三天这两天签单数量的平均增长率． 【答案】小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 【分析】本题考查了一元二次方程的运用．设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为，根据“第一天签了100单，第三天签了169单，连续三天签单数量的增长率相同，”建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为， 由题意，得， 解得：，（不合题意，舍去） 故小林参展第二天，第三天这两天签单数量的平均增长率为． 7．(24-25九上·河南南阳桐柏县·期中)某经济开发区今年1月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，问2、3月份平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为，根据题意得方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程． 【详解】解：设平均每月的增长率为，则二月份的产值为：，三月份的产值为：， 根据题意得：． 故选：D． 8．(24-25九上·河南周口鹿邑县·期中)“劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 设平均每年增产的百分率为，列出方程，求解即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为， 则第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为， 则列出的方程是， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 9．(24-25九上·河南许昌禹州·期中)小明妈妈的宠物店开业之前，为增大宣传力度，小明妈妈发起了将开业消息转发给好友得优惠券的活动．开业之后，由于开业消息转发热度的不断增加，宠物店的客流量持续提升，经统计，宠物店第一周的客流量为800人次，第三周的客流量为1152人次，求这两周客流量的平均增长率． 【答案】这两周客流量的平均增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两周客流量的平均增长率为x，根据宠物店第一周的客流量为800人次，第三周的客流量为1152人次，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设这两周客流量的平均增长率为， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：这两周客流量的平均增长率为． 10．(24-25九上·河南周口太康县·期中)年月日，在第个“世界读书日”到来之际，由河南省委宣传部、河南省直文明办指导，河南省文化和旅游厅主办，河南省图书馆、各省辖市文广旅局共同承办的“阅享新时代·书香润河南”——河南省“全民阅读”系列活动启动仪式在郑州举行．读书已经成为很多人的一种生活方式，城市图书馆是读书的重要场所之一，据统计，某图书馆对外开放的第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末三个月累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，找准等量关系，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设进馆人次的月平均增长率为，则由题意得： ， 故选：C． 11．(24-25九上·河南洛阳西工区·)今年十一国庆期间上映的电影《志愿军2》以抗美援朝战争中铁原阻击战为背景，影片一上映就获得一众好评，上映第一天票房纳为亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房约为亿元．若把增长率记作．则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：C． 12．(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)列方程解应用题： 某制衣厂一月份生产衬衣5000件，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产衬衣15918件，问二、三月份平均每月的增长率是多少？ 【答案】二、三月份平均每月的增长率是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用——增长率问题．基本数量关系：若基数为a，末数为b，增长率为x，时间间隔为n，则有关系式． 题目中增长率设为x，二月份的基数为一月份生产的衬衣件数5000，时间间隔为1；三月份的基数为一月份生产的衬衣件数5000，时间间隔为2．等量关系是；第一季度共生产的衬衣件数等于一月份、二月份、三月份生产的衬衣件数之和． 【详解】解：设二、三月份平均每月的增长率是x， 根据题意，二月份生产衬衣件， 三月份生产衬衣件， 第一季度共生产的衬衣件数为一月份、二月份、三月份生产的衬衣件数之和， 得， 解得（舍去）， ∴． 故二、三月份平均每月的增长率是． 13．(24-25九上·河南郑州·期中)某市政府为了解决群众看病贵的问题，决定降低药价．某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，设这种药品平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．由题意可求出第一次降价后的价格为，进而可求出第二次降价后的价格为，根据第二次降价后的价格为128元，即可列出等式，即可选择． 【详解】解：设这种药品平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的价格为， ∴第二次降价后的价格为， ∴可列方程为． 故选A． 14．(24-25九上·河南焦作·期中)“乒乓球”被称作为我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．在今年第33届巴黎奥运会上，我国囊括了乒乓球各个项目的所有冠军，再次激发起了人们对乒乓球运动的热爱．据统计在奥运会结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1)我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为x，利用在奥运会结束后的两个月参加健身运动的人数=在奥运会结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买m套这种健身器材，求出购买100套这种健身器材所需费用，由该值等于24万元，利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合每套售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为． （2）解：设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 整理得：，. 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 地 城 考点03 与图形有关的问题 15．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 16．(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)为了喜迎周年庆，物美超市筹备了精彩的文艺演出，筹办组在一块边长为的正方形空地上搭建舞台，并设计了如图所示的方案，其中阴影部分为舞台．舞台区域的宽均为，中间空白部分的面积为，则该正方形空地的边长为 米． 【答案】15 【分析】本题考查一元二次方程的应用．若设正方形空地的边长为x米，则中间空白的长为米，宽为米，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 整理，得． 解得（舍去），． 所以，该正方形空地的边长为15米， 故答案为：15． 17．(24-25九上·河南洛阳涧西区·期中)用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）． (1)纸盒底面长方形的长为________，宽为________； (2)若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】(1)、 (2)剪去的正方形的边长为 【分析】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，掌握一元二次方程解几何问题的方法是解题的关键． （1）根据图示，列代数式即可求解； （2）根据题意，列式，求解即可． 【详解】（1）解：根据图示，设剪去的正方形的边长为（硬纸片厚度忽略不计）， ∴纸盒底面长方形的长为、宽为， 故答案为：，； （2）解：根据题意得：， 整理得，， 解得：（不符合题意，舍去），， 答：剪去的正方形的边长为． 18．(24-25九上·河南驻马店汝南县·期中)如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若设车棚宽为，则车棚长为___________m； (2)若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽． 【答案】(1) (2)自行车车棚的长为，宽为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）设车棚宽度的长为，则车棚长度为，根据车棚面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：设车棚宽度的长为，则车棚长度为， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，， 当时，，而墙长，不合题意，舍去， 答：自行车车棚的长为，宽为． 19．(24-25九上·河南周口太康县·期中)《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来，代表了国家把加强中小学劳动教育摆在更加突出的位置．某中学为了让学生体验农耕劳动，计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分，两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形菜地（篱笆只围，两边）． (1)若菜地的面积为，求的长； (2)若在直角墙角内点P处有一棵古树，且到墙的距离为．若要将这棵古树围在矩形菜地内（含边界，不考虑树的粗细），判断该菜地的面积能否为？说明理由． 【答案】(1)的长为或 (2)要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设的长为，则的长为，根据菜地的面积为建立方程，解方程即可得； （2）设，则，根据该菜地的面积为建立方程，解方程求出的值，从而可得的值，将其与进行比较，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长为，则的长为， 由题意得：， 解得或， 答：的长为或． （2）解：要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是，理由如下： 设，则， 由题意得：， 解得， 当时，， 即当，时，这棵树没有被围在菜地里， 所以要将这棵树围在矩形菜地内，菜地的面积不能是． 20．(24-25九·河南周口川汇区·期中)使用墙的一边，再用的铁丝网围成三边，围成一个面积为的矩形，求这个矩形的两边长．设墙的对边长为，可得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据各边之间的关系，可得出墙的邻边长为，再利用矩形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵铁丝网的总长度为15m，墙的对边长为， ∴墙的邻边长为， 根据题意得： 故选：B． 21．(24-25九上·河南商丘民权县求实学校·期中)如图，某班级矩形劳动实践基地的长、宽分别为、．由于劳动社团人数增多，现计划将其扩充为一个新的矩形劳动实践基地，且基地的长、宽均增加相同的长度（设为x，且）． (1)亮亮说：“新旧基地的面积差为平方米．”他的说法 ；（填“正确”或“错误”） (2)若新基地面积为，求x． 【答案】(1)错误 (2) 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积，整式加减的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列式是解题关键． （1）由题意可知，新基地的长、宽分别为、，进而得到新基地的面积，再与旧基地的面积作差即可； （2）结合（1）所得新基地的面积的式子，列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，新基地的长、宽分别为、， 则新基地的面积为， 旧基地的面积为， 新旧基地的面积差为平方米， 亮亮的说法是错误的， 故答案为：错误； （2）解：由（1）可得：， 解得：，（舍）， 即． 22．(24-25九上·河南焦作·期中)将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为5cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积是，则原铁皮的边长为 ． 【答案】20cm/20厘米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，先设正方形的边长为，即可表示出正方体的长和宽为，再根据体积相等列出方程，求出解． 【详解】解：设正方形的边长为，则正方体的长和宽为，根据题意，得 ， 解得（舍）， ∴原铁皮的边长为． 故答案为：． 23．(24-25九上·河南三门峡·期中)教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 学校生态园年秋季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少元； （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域； （2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为． 问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是_______； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）怎样设计能使苗圃的面积最大？面积最大是多少？ 【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二：（1）；（2）的值为；（3），时，苗圃的面积最大，最大面积为 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式，配方法的应用等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务二；（1）依题意得的长是，计算求解即可； （2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）苗圃的面积为，根据配方法，即可求解． 【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二（1）解：依题意得，的长是， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴的值为； （3）面积为． 由（2）可知 ∴当时，即，时，苗圃的面积最大，最大面积为． 地 城 考点04 营销问题 24．某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件．第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7500元？ 解：设…… 根据题意，得 …… 根据上面所列方程，完成下列任务： (1)数学问题中横线处短缺的条件是______； (2)所列方程中未知数的实际意义是______； (3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程． 【答案】(1)单价每降低元，月销售量可增加件 (2)单价降低了元 (3)见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据所列方程即可得到结论； （2）根据所列方程即可得到结论； （3）设单价降低了元，根据题意列一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 数学问题中横线处短缺的条件是单价每降低元，月销售量可增加件， 故答案为：单价每降低元，月销售量可增加件； （2）解： ， 所列方程中未知数的实际意义是单价降低了元， 故答案为：单价降低了元； （3）解：设单价降低了元， 根据题意得， 解得，， 第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠， ， （元）， 答：单价定为元． 25．(24-25九上·河南郑州一八联合国际学校·期中)某种服装，若进价为每件86元，按每件130元出售，平均每天可售出20件，后调查发现，单价每降低1元，平均每天的销量可增加5件，若想要每天获利1600元，且每件降价幅度不超过10元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用等知识，设每件应降价x元，根据题意，列出一元二次方程，解方程即可，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每件应降价x元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ∴每件应降价4元． 答：每件应降价4元． 26．(24-25九上·河南安阳安阳县等3地·期中)篮球纳入中考体育项目，有助于提升学生的身体素质、促进全面发展，因此倍受社会各界关注．某商场抓住商机将进价为80元的篮球以95元的价格售出，平均每月能售出600个．调查表明：售价在95元到115元范围内，篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个． (1)当售价上涨元时，那么销量为______个； (2)若要达到每月13500元利润的目标，售价应定为多少元？这时售出篮球多少个？ 【答案】(1) (2)110元；450个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系． （1）根据球的售价每上涨1元，其销量就减少10个列出代数式即可． （2）根据达到每月13500元利润的目标列出方程即可求出答案． 【详解】（1）解：篮球的售价每上涨1元，其销量就减少10个， 售价上涨元，销量就减少个， 销售量为个． （2）解：由题意可知：， 整理得，， 解得：． 售价在95元到115元范围内， （元）． （元） （个）． 答：售价应该定为110元，此时售出篮球450个． 27．(24-25九上·河南郑州第十九初级中学·期中)2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨1元，就少卖10个．若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ 【答案】售价应定为元 【分析】设售价应定为元，由商场计划一周的利润达到8000元，列出方程可求解；本题考查了一元二次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键． 【详解】解：设售价应定为元， 由题意可得：， 整理得， 解得：，， 更大优惠让利消费者，， 答：售价应定为元 28．(24-25九上·河南南阳邓州·期中)某商场购进一款年货大礼包，经调研发现，当该款大礼包每盒的售价为元时，每天可售出盒，每盒的售价每降低元，每天的销量增加盒，要使该款大礼包每天的销售额达到元，每盒的售价应降低多少元？若设该款大礼包每盒降价元，则可列方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设该款大礼包每盒降价元，根据该款大礼包每天的销售额达到6000元，列出方程即可． 【详解】解：设该款大礼包每盒降价元，根据题意得， ，即 故选：D． 29．(24-25九上·河南平顶山第四十一中学教育集团·期中)我国法律明确规定，驾驶电动自行车必须年满周岁．未成年人操作电动自行车的熟练程度较低、应急能力较差，再加上缺乏对危险隐患的认知，若遇紧急情况，往往很难准确避险：据统计，摩托车、电动自行车、小汽车是导致交通事故死亡最多的车辆，摩托车、电动自行车驾乘人员死亡事故中约为颅脑损伤致死．为确保安全出行，交警提醒骑车出行必须佩戴头盔．某头盔品牌厂商在某电商平台共有个网店，一个网店平均每月销售个头盔．现准备多开一些网店以提高销售量，试验发现，每多开1个网店，每个网店头盔月销售量就会减少2个，但随着网店数量增加，运营成本也会增加，如果要使每月总销售量增加，且尽可能减少运营成本，那么应多开几个网店？ 【答案】2个． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键．设应增加x个网店，根据销售总量每个网店销售量网店数量列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设应增加x个网店，则增加后共有，每个网店头盔月销售量为， ， 即， 整理得， 解得， 网店越多，运营成本就越多，且， 为了尽可能减少运营成本，符合题意， 答：应多开个网店． 30．(24-25九上·河南实验中学等校·期中)某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ (1)设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； (2)请求出多种的桃树． 【答案】(1)（）， (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个，进而可求总产量； （2）依题意得， （），计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个， ∴总产量是个， 故答案为：，； （2）解：依题意得， （）， 整理得，， ， 解得，（舍去）． 答：多种的桃树棵． 31．(24-25九上·河南濮阳·期中)近两年直播购物逐渐走进了人们的生活． 某电商在抖音平台上对一款成本价为60元的商品进行直播销售，如果按每件100元销售，每天可卖出20件．通过市场调查，该商品售价每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元． (1)每件商品降价x元时，日销售量为 件； (2)求x为何值时，日销售能盈利1200元，同时又能尽快销售完该商品； 【答案】(1) (2)当时，日销售盈利1200元，且能尽快销售完该商品 【分析】本题主要考查一元二次方程与销售利润的问题，理解销售与利润的数量关系，掌握一元二次方程解实际问题的方法是解题的关键． （1）根据每降低5元，日销售量增加10件列式求解即可； （2）根据销量与利润的数量列式求解即可． 【详解】（1）解：按每件100元销售，每天可卖出20件，每降低5元，日销售量增加10件，设每件商品降价x元， ∴每件商品降价x元时，日销售量为（件）， 故答案为：； （2）解：由题意得， 整理得， 解方程得， 当时，，当时，， ∴，符合实际题意， 即当时，日销售盈利元，且能尽快销售完该商品． 32．(24-25九上·河南漯河临颍县·期中)“十四五”时期，国家政策提出要坚持“以文塑旅、以旅彰文”，打造独具魅力的中华文化旅游体验，文旅融合发展进入高水平阶段．著名旅游景区“只有河南·戏剧幻城”以黄河文明为创作根基，对于树立河南文化自信，加速中原崛起具有重要意义.该景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售杯．年春节假期，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润？ 【答案】当每杯售价定为元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．设当每杯售价定为x元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润，根据题意列一元二次方程解答即可． 【详解】解：设当每杯售价定为x元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天元的利润， 根据题意，得， 整理，得， 解得，， ∵要让顾客获得最大优惠， ∴， ∴当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可使此款奶茶实现平均每天6300元的利润． 地 城 考点05 动态几何问题 33．(24-25九上·河南郑州第八中学·期中)如图，在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动，如果，分别从，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒，． (1)当______时，点在的垂直平分线上； (2)当为何值时，的长度等于? (3)是否存在t的值，使得的面积等于?若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，； (3)不存在，理由见解析 【分析】设运动的时间为秒，可得：，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； 先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可； 先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】（1）解：当时，点在的垂直平分线上， 设运动的时间为秒， 则，，， 根据题意可得：， 解得：， 故答案为：． （2）解：设运动的时间为秒， 则有，， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 解得（舍去），， 当时，的长度等于； （3）解：不存在； ，， ， ， 整理得：， ，，， ， 该方程无解， 不存在的值，使得的面积等于． 【点睛】本题考查了动点问题、线段垂直平分线的性质、一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，解决本题的关键是根据动点运动的时间用含的代数式表示出线段的长度，根据线段垂直平分线的性质、勾股定理列一元二次方程并求解． 34．(24-25九上·河南周口西华县·期中)如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，动点Q从点C开始沿边向点B以的速度移动，如果P，Q两点分别从A，C两点同时出发，当点Q运动到点B时，两点停止运动．设运动时间为． (1)当_________时，？当_________时，的长度为？ (2)连接，是否存在t的值，使得的面积为？若存在，请求出此时的t值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在的值，使得的面积与四边形的面积之比等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4 (2)存在， (3)存在， 【分析】此题考查了一元二次方程的应用、解一元二次方程、勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，正确列出方程． （1）根据题意可得：，，再根据题意分别列出方程求解即可； （2）根据，列出方程求解即可； （3）根据当时，，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 则， 当时，，解得：； 当的长度为时，， 解得：或（舍去）； 故答案为：；4． （2）解：存在． ∵， ， ∴， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积为． （3）解：存在． 若，则， 即， 整理得：， 解得：，． ∵， ∴， ∴当时，的面积与四边形的面积之比等于． 地 城 考点06 其他问题 35．(24-25九上·河南郑州登封嵩阳中学·期中)目前中国是世界上高铁运营里程最长、规模最大、速度最快的国家，中国高铁也成为中国人引以为傲的国家名片．某高铁交通路线从郑州东站出发，停靠站点依次为新乡东站—鹤壁东站—安阳东站—……—北京西站，若从郑州东站到北京西站共设计了56种往返车票，这条线路共有多少个站点？若设这条线路共有x个站点，则满足题意的关于x的一元二次方程的一般形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程的一般形式，根据题意先列出方程，再根据一元二次方程的一般形式求解即可． 【详解】解：设这条线路共有x个站点，根据题意，得， 整理，得， 故选：C． 36．(24-25九上·河南周口西华县·期中)县教体局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？若设应邀请x个球队参加比赛，则x的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设应邀请个球队参加比赛，根据赛制为单循环形式且计划安排15场比赛，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设应邀请个球队参加比赛， 根据题意得：， 整理得， 解得（负数舍去）， ∴， 故答案为：． 37．(24-25九上·河南驻马店平舆县·期中)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“连根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“连根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“连根方程”； (2)已知关于的方程（是常数）是“连根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义方程，涉及一元二次方程的解法，读懂题意，理解“连根方程”定义，准确列方程求解是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程，得到，结合题中“连根方程”的定义验证即可得到答案； （2）由因式分解法解一元二次方程，得到，结合题中“连根方程”的定义得到或，代值求出或，验证即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ，解得． 由，符合“连根方程”的定义， 故方程是“连根方程”； （2）解： ， ，解得． ，是“连根方程”， 或， 即或． 或． 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意． 或． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $