专题03 基本不等式5考点（期中真题汇编，贵州专用）高一数学上学期人教A版必修第一册

学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题03基本不等式 ☆5大高频考点概览 考点01基本不等式“1”的妙用 考点02基本不等式求和的最小值 考点03基本不等式求积的最大值 考点04基本不等式恒成立问题 考点05基本不等式的实际应用 考点01 基本不等式“1”的妙用 1.(24,25高一上责州六盘水期中)已知a>0,b>0,a+2b=1,则上+2的最小值为() a b A.9 B.8 C.4 D.3 2.(24-25高一上：贵州贵阳乌当区某校：期中)已知m>0,n>0,且3m+n=2,则3+上的最小值为() m n A.6 B.8 C.12 D.16 3.24,25高一下-贵州贵阳修文县修文中学)在△ABC中，点D在BC上，且满足BD=BC,点E为 AD上任意一点，若实数，y满足庞=xB萌+yB心，则+2的最小值为() A.22 B.43 C.4+2V3 D.9+42 4.(24-25高一上贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学·期中)若正实数a,b满足a+2b=,则上+2有 a b 最小值是() A.9 B.8 C.7 D.6 5.(2425高一上费州六盘水纽绅中学期中)已知x>0,y>0,且8+2=1，则x+y的最小值是() x y A.10 B.15 C.16 D.18 6.(23.24高一上贵州铜仁第八中学期中)已知正实数a,b满足a+2b=2,则上+2的最小值为(） a b 1/7 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.9 c.22 D.2 7.(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)（多选）己知a>0,b>0,则下列结论正确的是 () A.若a+b=ab,a+4b的最小值为9. B.若a+b=1,a+Vb的最小值为1 C.若a+b三ab,之+2的最小值为冬 D.若a+b=1, a+b2 a2+b 的登大数为2,1 8.2425高一上贵州贵阳第一中学期中)已知正实数X,y满足+2=2，则x+2y的最小值为 9.(23-24高一上·贵州期中)已知a,b为正数，且a+b=4. (1)证明： 9+1≥4： a b 3 (2)求a+ b+二的最小值 b a 目目 考点02 基本不等式求和的最小值 124235商-上费州部分学校期中)已知X+y=Xyy≠0则1-16X-9y的最大值为（） A.-48 B.-49 C.-42 D.-35 2.(24-25高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中已知正数a、b满足a-1(b-1=1, 则a+4b的最小值等于() A.10 B.9 C.8 D.7 3.(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)若a>0,b>0,ab=2,则a+b的最小值为() A.22 B.4 C.42 D.6 4.(22-23高一上·贵州黔东南六校联盟期中)已知x>0,则x+4的最小值是() X A.4 B.6 C.8 D.16 5.(23-24高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中)（多选）下列选项正确的是() A.若x≠0，则x+二的最小值为2 2/7 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 B.若正实数x,y满足x+2y=1,则2+L的最小值为8 Xy C.y=Vx2+3+ .1 的最小值为2 X+3 1 D.函数y=2+x+二(x<0)的最大值是0 X 6.23.24高一上贵州期中2x+3的最小值为一 7.(23-24高一上贵州安顺镇宁实验学校：期中)已知x>5,则x+,1_的最小值是一 x-5 8.(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)(1)已知x、y、z都是正数，求证： (x+yy+z)(z+x)≥8xyz. (2)已知x>0,求2-3x-4的最大值， X (3)已知x>1,求x+ 1一的最小值. x-1日 9.(24-25高一上·贵州部分学校期中)己知m>0,n>0,且mn=3. (①求3+4的取值范围： m n 2)证明：3+ 1二1： m+3n+1 ③)求3m+n+1+3的最小值 m n 10.(24-25高一上·贵州六盘水期中)已知二次不等式ax2+bx+2<0的解集为-2，-1， (1)求不等式3x2-4x+a≥0的解集： (2)已知m>0,n>0且mn=m+n+b,求m+n的最小值. 目目 考点03 基本不等式求积的最大值 1.(24-25高一上·贵州贵阳第一中学期中)（多选）若正实数a,b满足a+2b=2,则下列结论中正确的有 () A.ab的最大值为 1 B. 1 a+4b2a+2b 的最小值为2 3 C.a+2b的最小值为2. D+2猫做小省为号 2.(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)己知a>0,b>0,且a+2b=1,则ab的最大值为 3/7 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点04 基本不等式恒成立问题 1.(22-23高一上贵州黔东南六校联盟期中)已知实数x,y满足4x+y2+Xy=1,且不等式2x+y-t<0恒 成立，则实数t的取值范围为() A.t> 210 B.t> 8 C.t10 5 4 D.t>8 2.(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)已知实数a>0,b>0,且满足 a-1+b-1≥32-a-b恒成立，则a+b的最小值为（） A.2 B.1 D.4 3.(22-23高一上·贵州黔东南六校联盟期中)若关于x的不等式x2-mx-n<0的解集是{x-1<x<2: (1)求不等式-nx2+mx+1>0的解集： (②)已知两个正实数x,y满足”+=1，并且x+2y≥a2-2a恒成立，求实数a的取值范围. X y 目目 考点05 基本不等式的实际应用 1.(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点， AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD,BD.可证△ACD△DCB,因而CD=ab 由于CD小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是() D C 6 B A.如果a>b>0,那么a>b B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对Ya>0,b>0,都有a+也≥ab,当且仅当a=b时等号成立 D.对Ha>0,b>0,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 2.(23-24高一上·贵州·期中)如图，某地区计划在等腰△ABC的空地中，建设一个有一边在BC上的矩形花 园，己知AB=AC=50m,BC=80m,则该矩形花园面积的最大值为() 4/7 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A A.500m2 B.550m2 C.600m2 D.650m2 3.(23-24高一上·贵州黔东南苗族侗族锦屏中学，期中)（多选)《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有 勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给 出了这个问题的一般解法：如图(1)，用对角线将长和宽分别为b和α的矩形分成两个直角三角形，每个 直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）·将三种颜色的图形进行重组， 得到如图(2)所示的矩形，该矩形长为a+b,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多 重要的结论，如图(3)，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE,过点A 作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是() 青 黄 b 朱 朱 青 A 青 D a 黄 朱 朱 黄 黄 青业 朱 a b a 6 (1) (2) (3) A.由题图(1)和题图(2)面积相等得d=2ab a+b B.由AE≥AF可得，Q+b≥a+b 2 2 C由ADAE可件C 、2 72211 a b D.由AD≥AF可得a2+b2≥2ab 4.(24-25高一上·贵州六盘水·期中)如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长20m.如果 可供建造围墙的材料总长是36m,则当宽x为时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的 最大面积是m2. 5/7 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 ∠ 5.(23-24高一上·贵州六盘水·期中)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂， 减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积即假 设车平面内有个三角形，达长分别ab.c三角形面、由公式s=pip alp bp口求， 其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足 a+b=12,c=4,则此三角形面积的最大值为一 6.(24-25高一上·贵州贵阳北大新世纪贵阳实验学校·期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求 二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a,b,,y>0,则Q+≥a+b x y x+y ,当且仅当9-b x y 时，等号成立.根据权方和不等式，函数fx=3+,1。 x2-3x 0<x<3的最小值为一· 7.(24.25高一上贵州县中新学校计划项目期中)材料：当a>0,b>0时，称0+也为a,6的算术平均数， 2 ab为a,b的几何平均数，2ab为a,b的调和平均数，d2+b为a,b的平方平均数，大小关系是 a+b 11 2 2bs0bsa+也s0Q+8(当且仅当。=b时等号成立).问题： a+b 2≤12 (1)求3+1与3-1的调和平均数和平方平均数； 2已知函数fx=x+ax号a>0,6>0,g+46=2求证：fx2 (3)根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每 次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为α（元/ kg)，第二次价格为b(元kg),试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 8.(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学期中)如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实 线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. 617 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 y (1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长x,宽y设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总 长度最小： (2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都 不超20米，则小网箱两相邻边长X、y分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 9.(23-24高一上·贵州六盘水期中)六盘水市是典型的资源型城市，它因“三线”建设而生，因转型升级而 兴，近年来，在市委市政府的领导下，紧扣产业转型升级，全力以赴推进新型工业高质量发展我市某多能 互补能源公司建造某种国标充电站，需投入年固定成本40万元，另建造x个充电站时，还需要投入流动成 本Wx万元，在年建造量不足18个充电站时，Wx=x2+12x(万元)，在年建造量大于或等于18个 充电站时，Wx=21x+400-15(万元)，每个充电站售价为20（万元），通过市场分析，该公司建 造的充电站当年能全部投入使用， (1)写出该公司年利润Lx(万元)关于年建造量x个充电站之间的函数解析式；（注：年利润就年销售收 入-固定成本-流动成本) (2)年建造量为多少个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大？最大利润是多少？ 10.(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校期中)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场 调查了解到下列信息：每月土地占地费y1(单位：元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月 库存货物费y2(单位：元)与x成正比；若在距离车站10km处建仓库，则y1和y2分别为2万元和8万元. (1)写出函数y1y2的函数解析式： (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和(y1+y2)最小？ 7/7 专题03 基本不等式 5大高频考点概览 考点01 基本不等式“1”的妙用 考点02 基本不等式求和的最小值 考点03 基本不等式求积的最大值 考点04 基本不等式恒成立问题 考点05 基本不等式的实际应用 地 城 考点01 基本不等式“1”的妙用 1．(24-25高一上·贵州六盘水·期中)已知，，，则的最小值为（   ） A．9 B．8 C．4 D．3 【答案】A 【分析】根据题意利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：A. 2．(24-25高一上·贵州贵阳乌当区某校·期中)已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】因，故， 则， 当且仅当时取等号，由，解得， 即时，取得最小值8. 故选：B. 3．(24-25高一下·贵州贵阳修文县修文中学·)在中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】， 由三点共线可得，且， 所以 ， 当且仅当即时等号成立. 故选：D. 4．(24-25高一上·贵州黔东南州榕江县榕江实验高级中学·期中)若正实数a，b满足，则有最小值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】“１”的妙用，凑出定值，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以有最小值是9. 故选：A. 5．(24-25高一上·贵州六盘水纽绅中学·期中)已知，且，则的最小值是（    ） A．10 B．15 C．16 D．18 【答案】D 【分析】根据基本不等式中“1”的整体代换求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：D. 6．(23-24高一上·贵州铜仁第八中学·期中)已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据，将式子化为，进而化简，然后结合基本不等式求得答案. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 故选：A. 7．(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)（多选）已知，，则下列结论正确的是（    ） A．若，的最小值为9． B．若，的最小值为1 C．若，的最小值为 D．若，的最大值为 【答案】ACD 【分析】对于每个选项，都根据已知条件通过变形构造出可以使用基本不等式的形式，然后求出最值并判断对错. 【详解】对于A：若，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故A正确； 对于B：若，则 ， 所以， 当且仅当，即当或时，等号成立， 而，所以的最小值不存在，故B错误； 对于C：若，则， 所以， 由，，以及可知，， 则当时，即时， 有最小值为，故C正确； 对于D：因为 ，设，则， 又， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以，故D正确； 故选：ACD 8．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 9．(23-24高一上·贵州·期中)已知为正数，且． (1)证明：； (2)求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)12 【分析】（1）由已知等式可得，根据，利用均值不等式即可得证； （2）利用均值不等式求解即可. 【详解】（1）证明：由，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． （2）解：， 当且仅当，即，即或时，等号成立． 故的最小值为12． 地 城 考点02 基本不等式求和的最小值 1．(24-25高一上·贵州部分学校·期中)已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，然后根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2．(24-25高一上·贵州毕节威宁彝族回族苗族自治县第八中学·期中)已知正数、满足，则的最小值等于（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出，，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正数、满足，可得，则， 所以，，，可得，，所以，，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 3．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)若，则的最小值为（    ） A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】直接运用基本不等式求解． 【详解】因为， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：A． 4．(22-23高一上·贵州黔东南六校联盟·期中)已知，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【详解】利用基本不等式求出最小值. 【点睛】因为，所以，由基本不等式可得：， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是4. 故选：A 5．(23-24高一上·贵州黔西南州金成实验学校·期中)（多选）下列选项正确的是（    ） A．若，则的最小值为2 B．若正实数x，y满足，则的最小值为8 C．的最小值为2 D．函数（）的最大值是0 【答案】BD 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可依次求解． 【详解】对于A，当时，，故A错误， 对于B，∵，，， 则，当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值为8，故B正确， 对于C，令，， 在上单调递增，则y的最小值为，故C错误， 对于D，当时， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，即函数y的最大值为0，故D正确． 故选：BD． 6．(23-24高一上·贵州·期中)的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意得，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为. 故答案为： 7．(23-24高一上·贵州安顺镇宁实验学校·期中)已知，则的最小值是 . 【答案】 【分析】将原式化为，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】，， ， 当且仅当，即时取等号， 在时，最小值为. 故答案为：. 8．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)（1）已知、、都是正数，求证：． （2）已知，求的最大值. （3）已知，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）3 【分析】（1）根据基本不等式可得，，，进而求证即可； （2）直接利用基本不等式求解即可； （3）先整理，再利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）证明：因为、、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以， 当且仅当时等号成立. （2）由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值为. （3）由，得， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3． 9．(24-25高一上·贵州部分学校·期中)已知，，且. (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)8. 【分析】（1）直接根据基本不等式即可求解； （2）将“”中的“3”用“”替换即可证明； （3）化简：，利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为，，所以，. 因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立. 故的取值范围为. （2）因为，所以， 则. （3）因为，所以. 因为，，，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，即的最小值是8. 10．(24-25高一上·贵州六盘水·期中)已知二次不等式的解集为． (1)求不等式的解集； (2)已知，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据不等式的解集，求得，再解一元二次不等式即可； （2）根据（1）中所求，结合不等式，即可求得的最小值. 【详解】（1）根据题意可得：，且， 解得，经检验满足题意； ，也即，， 解得， 故不等式的解集为：. （2）由（1）可知，也即， 因为， 故可得，也即， 故，解得或， 又，故， 当且仅当，也即时取得等号； 故的最小值为. 地 城 考点03 基本不等式求积的最大值 1．(24-25高一上·贵州贵阳第一中学·期中)（多选）若正实数，满足，则下列结论中正确的有（    ） A．的最大值为. B．的最小值为 C．的最小值为2. D．的最小值为. 【答案】AB 【分析】利用基本不等式求解最值判断ABC，利用消元法结合二次函数求得最值判断D. 【详解】对于A项，因为，所以， 当且仅当时取等号，则的最大值为，故A项正确； 对于B项，因为 ，当且仅当即时取等号，故B项正确； 对于C项，， 当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2，故C项错误； 对于D项，因为， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D项错误. 故选：AB. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是要对所求式子进行变形，利用乘“1”法以及基本不等式求最值，同时也要注意取等条件是否成立，由此即可顺利求解. 2．(24-25高一上·贵州仁怀第四中学·期中)已知，，且，则的最大值为 【答案】 【分析】直接由基本不等式求解． 【详解】∵，，∴，即，当且仅当，即时等号成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题． 地 城 考点04 基本不等式恒成立问题 1．(22-23高一上·贵州黔东南六校联盟·期中)已知实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不等式恒成立，即，由利用基本不等式，求的最大值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， ，， ，，， 当，时，， ，． 故选：B 2．(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】A 【分析】化简已知不等式，利用构造函数法，结合函数的单调性、奇偶性求得的取值范围，利用基本不等式求得的最小值. 【详解】依题意，， 即， 设，是奇函数且在上递增， 所以，即， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：A 【点睛】利用函数的单调性和奇偶性求解不等式恒成立问题，关键点是根据题目所给不等式进行化简，转化为“规范”的形式，如本题中，结构一致，从而可利用构造函数法来对问题进行求解. 3．(22-23高一上·贵州黔东南六校联盟·期中)若关于x的不等式的解集是． (1)求不等式的解集； (2)已知两个正实数x，y满足，并且恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据不等式的解集以及韦达定理即可求得，再解不等式即可. （2）利用基本不等式求的最小值，再解不等式即可. 【详解】（1）∵不等式的解集是， 是方程的两个根， ∴， 解得， 则不等式，即， 所以， 所以不等式的解集为； （2）∵恒成立， ∴， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 解得， 即实数a的范围是． 地 城 考点05 基本不等式的实际应用 1．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．(23-24高一上·贵州·期中)如图，某地区计划在等腰的空地中，建设一个有一边在上的矩形花园，已知，则该矩形花园面积的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形，设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据二次函数的性质即可得解； 方法二：设的长度为，的长度为，根据相似求出的关系，再根据基本不等式即可得解. 【详解】（方法一）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形， 设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点， 设的长度为，的长度为， 则，，， 所以，得，即， 则该矩形花园的面积为， 当时，该矩形花园的面积取得最大值，最大值为． （方法二）如图，当该矩形花园的面积最大时，该矩形为等腰的内接矩形， 设等腰的内接矩形为，取的中点，连接交于点， 设的长度为，的长度为， 则，，， 所以，得， 则，即， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该矩形花园面积的最大值为．    故选：C. 3．(23-24高一上·贵州黔东南苗族侗族锦屏中学·期中)（多选）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图（1），用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3），设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（  ） A．由题图（1）和题图（2）面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】BCD 【分析】根据题图（1），（2）面积相等，可求得d的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求得题图（3）中，，的表达式，逐一分析B，C，D选项，即可得答案． 【详解】对于A，由题图（1），（2）面积相等得，所以，故A错误． 对于B，因为，所以，所以， 设题图（3）中内接正方形的边长为t，根据三角形相似可得，解得，所以． 因为，所以，整理可得，故B正确． 对于C，因为D为斜边的中点，所以， 因为，所以，整理得，故C正确． 对于D，因为，所以，整理得，故D正确． 故选：BCD 4．(24-25高一上·贵州六盘水·期中)如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长．如果可供建造围墙的材料总长是，则当宽为 时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，熊猫居室的最大面积是 ． 【答案】 【分析】设矩形的长为，则，再利用基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意知宽为，设长为，则， 面积，由基本不等式可得，，即， 解得，当且仅当，时，等号成立； 因此当宽为时，熊猫居室面积最大为 . 故答案为：，. 5．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为 . 【答案】 【分析】由公式得到面积表达式，后由基本不等式可得答案. 【详解】由题， ，则. 由基本不等式，. 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 6．(24-25高一上·贵州贵阳北大新世纪贵阳实验学校·期中)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，函数 的最小值为 ． 【答案】8 【分析】先将给定函数式表示成已知不等式左边的形式，再利用该不等式求解即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时，等号成立， 又，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 的最小值为8. 故答案为：8. 7．(24-25高一上·贵州县中新学校计划项目·期中)材料：当，时，称为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数，为a，b的调和平均数，为a，b的平方平均数，大小关系是（当且仅当时等号成立）.问题： (1)求与的调和平均数和平方平均数； (2)已知函数，且，求证：； (3)根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定.假设该物品第一次价格为a（元/kg），第二次价格为b（元/kg），试问哪种购物方式比较经济？说明理由. 【答案】(1)调和平均数，平方平均数； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据题干背景知识求调和平均数和平方平均数即可； （2）利用二次函数性质得，结合已知及背景知识确定右侧表达式范围，即可证； （3）根据题意得每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元/kg，每次购买这种物品所花的钱数一定，则物品平均价格为元/kg，讨论其大小，即可得结论. 【详解】（1）令，则调和平均数， 平方平均数； （2）由，且， 又，即，当且仅当时等号成立， 所以，显然，得证. （3）若每次购买这种物品的数量 一定，则物品平均价格为元/kg， 若每次购买这种物品所花的钱数元一定，则物品平均价格为元/kg， 结合背景知识知：，当且仅当时等号成立， 当时，，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济； 当时，，此时两种购买方式一样经济. 8．(24-25高一上·贵州贵阳观山湖区第一高级中学·期中)如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. (1)若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽设计为多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小； (2)若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超米，则小网箱两相邻边长分别为多少米时，可使网衣和筛网的合计造价最低？ 【答案】(1)长为米，宽为3米 (2)4米和5米 【分析】（1）将实际问题转化成数学问题，得到是定值，利用基本不等式求最值； （2）法一，根据题意可得，列出总造价的关系式，消去利用基本不等式求解；法二，由题意得，列出总造价的关系式，利用基本不等式求解. 【详解】（1）依题得， 设筛网总长度为米，则， ， 当且仅当即时，筛网总长度最小， 所以每个小网箱长为米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. （2）法一：依题得，即， 设总造价为元，则 . ， 由得，解得. 当且仅当即时，造价最低， 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 法二：依题得， 设总造价为元，则 ， 由，得， 当且仅当且，即时，造价最低. 所以小网箱两条相邻边长为4米和5米时，可使网衣和筛网的合计造价最低. 9．(23-24高一上·贵州六盘水·期中)六盘水市是典型的资源型城市，它因“三线”建设而生，因转型升级而兴，近年来，在市委市政府的领导下，紧扣产业转型升级，全力以赴推进新型工业高质量发展.我市某多能互补能源公司建造某种国标充电站，需投入年固定成本40万元，另建造个充电站时，还需要投入流动成本万元，在年建造量不足18个充电站时，（万元），在年建造量大于或等于18个充电站时，（万元），每个充电站售价为20（万元），通过市场分析，该公司建造的充电站当年能全部投入使用. (1)写出该公司年利润（万元）关于年建造量个充电站之间的函数解析式；（注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本） (2)年建造量为多少个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当年建造量为20个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大，最大利润是35万元 【分析】（1）根据题意，分别求得和且时，分别求得函数的解析式，进而得到利润关于年建造量个充电站之间的函数解析式； （2）由（1）中的函数解析式，结合二次函数的性质和基本不等式，分别求得函数的最大值，比较即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意，当且时，； 当且时，， 所以该公司年利润（万元）关于年建造量个充电站之间的函数解析式为： . （2）解：由（1）可得： 当且时，， 当时，； 当且时，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 因为， 所以，当年建造量为20个充电站时，该公司在这一项目的建造中获得利润最大，最大利润是35万元. 10．(24-25高一上·贵州贵阳清镇博雅实验学校·期中)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元. (1)写出函数，的函数解析式： (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和（）最小？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接设出，根据题设条件可求出，，再根据实际问题知，即可求出结果； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）由题可设， 又在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元， 所以，得到，，得到， 又由实际问题知， 故. （2）由（1）知， 当且仅当，即千米时，取等号， 所以这家公司应该把仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和（）最小. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $