第3节 等差数列的前n项和与性质讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学教学设计聚焦等差数列前n项和及其性质，从基本公式推导到实际应用层层递进，通过倒序相加法、二次函数视角与数列片段和规律构建知识支架，帮助学生建立从特殊到一般的认知路径。 资料亮点突出，体现核心素养中的“抽象能力”“逻辑推理”和“模型意识”，如用二次函数分析前n项和结构，引导学生发现数列本质特征；在天坛石板问题中融合文化情境，强化数学建模意识。既提升学生解决复杂问题的能力，又助力教师精准把握重难点，实现高效课堂与深度学习的统一。

第三节 等差数列的前n项和与性质 1 学科网（北京）股份有限公司 ▍知识点1:等差数列的前n项和公式 公式①:;②. 证明①:倒序相加法 ① ② ①+②: 因为 所以 由此得: 证明②:将代入可得: ▍知识点2:前n项公式和与二次函数的关系 等差数列的前项和, 令,则. （1）当（即）时,是常数函数,是各项为0的常数列. （2）当（即）时,是关于的一次函数,是各项为非零的常数列. （3）当（即）时, 是关于的二次函数（常数项为0）. 从上面的分析,我们可以看出: （1）一个数列是等差数列的条件是其前项和公式是关于的二次函数或一次函数或常数函数,且为常数）. （2）若一个数列前项和的表达式为为常数）,则当时,数列不是等差数列,但从第2项起为等差数列; （3）由二次函数图象可知,当时（是递增数列）,有最小值;当时（是递减数列）,有最大值. ［对应练习:基础1、基础2］ ▍知识点3:等差数列前n项和的性质 1.等差数列中依次项之和 组成公差为的等差数列. 2.若等差数列的项数为, 则, 3.若等差数列的项数为, 则（是数列的中间项）, . 4.为等差数列且公差为为等差数列且公差为. 5.若都为等差数列,分别为它们的前项和,则. ［对应练习:题型1—题型6］ ▶练基础 等差数列前项和的基本计算 1 利用基本量求值: 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量和的方程组,解出和,便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 【典例▪1】已知数列均为等差数列. （1）已知,,求; （2）已知,,求和; （3）已知,,求和; （4）已知,,,求和; （5）已知,,,求; （6）已知,,求; （7）已知,,求和; （8）已知,,求. ▶练基础 根据“等和性”求前项和 2 结合等差数列的性质解题: 若,则,常与求和公式结合使用. 【典例▪2】等差数列中,,则（   ） A.16 B.24 C.60 D.72 【变式▪3】（2024·镇江）设等差数列的前项和为,若,且,则（   ） A.1 B.2 C.2023 D.2024 【变式▪4】已知数列是等差数列,表示数列的前项和,若,则 . 【练习▪5】（2024·山东）已知为等差数列的前项和,且,则 . 【练习▪6】（2024·武汉高二）已知等差数列的前n项和,若,则（    ） A.150 B.160 C.170 D.180 【练习▪7】（2024·江西高二期末）等差数列的前项和为,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪8】数列满足.若数列的前项和为,则（    ） A.4046 B.4047 C.8092 D.8094 【练习▪9】（2023·江苏高二专题）在等差数列中,已知,,,则________. 第三节 等差数列的前n项和与性质 ▶▷ 重点题型专练 ◁◀ ▍练题型 求数列的前项和 1 已知等差数列,求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型,解决此类问题的核心便是去掉绝对值,此时应从其通项公式入手,分析哪些项是正的,哪些项是负的,即找出正、负项的“分界点”. （1）对于首项小于0而公差大于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项小于0而从第项开始大于或等于0,于是有 （2）对于首项大于0而公差小于0的等差数列加绝对值后得到的数列求和,设的前项和为的前项和为,数列的第项大于0而从第项开始小于或等于0,于是有 . 【典例▪10】（23-24高二·四川南充期末）已知等差数列中,. （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前项和. 【变式▪11】（23-24·浙江）已知数列的前n项和为.若为等差数列,且满足,. （1）求数列的通项公式; （2）设,求. 【练习▪12】数列中,,, （1）求数列的通项公式及前项和; （2）求数列的前项和. 【练习▪13】（23-24高三·贵州练习）已知在等差数列中,,. （1）求数列的通项公式; （2）设是数列的前项和,求. 【练习▪14】已知数列的前n项和为,且 （1）求数列的通项公式; （2）求数列的前n项和 【练习▪15】（23-24高三·江西阶段练习）已知等差数列的前项和为. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和. ▍练题型 等差数列前项和的性质 2 ▷角度1:等差数列的性质 为等差数列且公差为为等差数列且公差为. 【典例▪16】（23-24·成都）已知等差数列的前项和为,则数列的公差为（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【变式▪17】（2024·广东）已知数列是等差数列, 是前项和,,则 . 【练习▪18】已知等差数列的前项和为,且,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪19】已知等差数列的前n项和为,若,,则 . 【练习▪20】设等差数列的前项和为,若,且,则 . 【练习▪21】已知是等差数列的前n项和,若,,则等于（ ） A.﹣4040 B.﹣2024 C.2024 D.4040 【练习▪22】（23-24高二·全国）已知等差数列前n项和为,其中,则＝ . 【练习▪23】设等差数列的前项和为,若,,则_________. ▷角度2:等差数列片段和“”性质 连续项的和依然成等差数列,即,, ,…成等差数列,且公差为. 【典例▪24】记是等差数列的前n项和,若,,则（    ） A.27 B.36 C.45 D.78 【变式▪25】已知等差数列的前项和为, ,,则（    ） A.7 B.8 C.9 D.10 【变式▪26】（23-24高二·西安练习）等差数列的前n项和,若,则 . 【练习▪27】等差数列中,其前项和为100,其前项和为500,则其前项和为 . 【练习▪28】已知数列的前n项和为,且,则=（　　） A.0 B. C. D. 【练习▪29】在等差数列中,若,则=（    ） A.100 B.120 C.57 D.18 【练习▪30】设等差数列的前项和为,若,则 （    ） A.18 B.36 C.54 D.72 【练习▪31】等差数列的前项和为,若,,则（    ） A.6 B.12 C.15 D.21 【练习▪32】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石）,环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且上、中、下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块,则中层共有扇面形石板（    ） A.1125块 B.1134块 C.1143块 D.1152块 【练习▪33】设是等差数列的前项和,若,则 . 【练习▪34】在等差数列中,其前项和为,若,则 . ▷角度3:等差数列与的比值问题 【典例▪35】（23·24高二·陕西咸阳阶段练习）设等差数列,的前项和分别为,,,都有,则的值为 . 【变式▪36】两个等差数列和,其前项和分别为,且,则 . 【变式▪37】、已知等差数列与的前项和分别为,,且,则 . 【练习▪38】已知和都是等差数列,前项和分别为和,若,则 . 【练习▪39】已知两个等差数列,的前项和分别为和,且（）,则 = . 【练习▪40】等差数列,的前n项和分别为,,若,则 . 【练习▪41】等差数列,的前n项和分别为,,且,则 . 【练习▪42】等差数列、的前项和为与,且,则 . 【练习▪43】已知等差数列,,其前项和分别为,,且满足, . 【练习▪44】已知两个等差数列的前项和分别为和,且,则 . 【练习▪45】设等差数列,的前项和分别为,,都有,则的值为 . 【练习▪46】（23-24高二·陕西榆林）已知等差数列 与等差数列的前项和分别为与, 且,则 . ▍练题型 等差数列前项和的最值问题 3 1.等差数列前项和最大（小）值的情形 （1）若,,则存在最大值,即所有非负项之和. （2）若,,则存在最小值,即所有非正项之和. 2.求等差数列前项和最值的方法 （1）运用二次函数求最值.即求出的表达式,若对称轴恰好为整数,则就在该处取得最值;若对称轴不是正整数,则应在离对称轴最近的正整数处取得最值,有时的值有两个,有时为一个. （2）寻找正、负项的交替点法,可利用等差数列性质或利用或来寻找.,其实质仍是找到数列中最后的一个非正数项（或非负数项）,然后确定的最值. ▷角度1:二次函数法求最值 【典例▪47】是等差数列,若. （1）求的通项公式; （2）求数列的前项和及其最值. 【变式▪48】已知数列的前项和,当且仅当时,取得最小值,那么的取值范围是 . 【练习▪49】在数列中,若,前项和,则的最大值为 . 【练习▪50】等差数列中,公差,,则当前项和最大时, . 【练习▪51】等差数列中,已知,且在前项和中,仅当时, 最大,则公差的取值范围为 . ▷角度2:正负项交替法最值 【典例▪52】已知是等差数列{}的前n项和,且,则（    ） A.数列{}为递增数列 B. C.的最大值为 D. 【变式▪53】（2024·重庆·高二统考期末）已知等差数列的前项和为,若,,则取得最大值时的值为 . 【练习▪54】（2023·云南三模）已知为等差数列的前项和.若,,则当取最小值时,的值为 . 【练习▪55】已知等差数列的公差为d,首项,当且仅当时,其前n项和取得最大值,则d的取值范围是 . 【练习▪56】已知等差数列的前项和为,若,则当最小时,的值为 . 【练习▪57】在等差数列中,已知,且,则当取最大值时,_______. 【练习▪58】设为等差数列的前项和,且,都有,若,则（    ） A.的最小值是 B.的最小值是 C.的最大值是 D.的最大值是 【练习▪59】设等差数列的前项和为,满足,数列中最大的项为第 项. ▍练题型 前项和的奇偶性问题 4 1.若项数为, 则,,. 2.若项数为, 则,,, ,. 【典例▪60】数列的通项 ,求数列的前n项和. 【变式▪61】一个等差数列共有偶数项,偶数项之和为84,奇数项之和为51,最后一项与第一项之差为63,则该数列公差为 . 【变式▪62】（23-24高二·甘肃定西阶段练习）已知等差数列共有21项,若奇数项的和为110,则偶数项的和为（    ） A.100 B.105 C.90 D.95 【变式▪63】设等差数列的项数为奇数,则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A. B. C. D. 【练习▪64】一个等差数列共有2n项,奇数项的和与偶数项的和分别为24和30,且末项比首项大10.5,则该数列的项数是（     ） A.4 B.8 C.12 D.20 【练习▪65】已知数列的前项和为,且满足,则（    ） A.130 B.169 C.200 D.230 【练习▪66】已知等差数列共有项,其中所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则 . 【练习▪67】等差数列共有项,所有的奇数项之和为,所有的偶数项之和为,则等于 . 【练习▪68】（2024高三·全国专题）已知数列满足,,则的前40项和为 . 【练习▪69】在等差数列中,,且在这10项中,,则公差 . 【练习▪70】已知等差数列的前项和为377,项数为奇数,且前项中,奇数项的和与偶数项的和之比为7:6,则中间项为 . 【练习▪71】（2024·黑龙江双鸭山）在数列中, ,,且,则 . 【练习▪72】项数为奇数的等差数列,奇数项和为,偶数项之和为,求这个数列的中间项及项数. 【练习▪73】（2024高三·全国专题）已知数列的通项,求的前项和. 【练习▪74】已知数列满足,, （1）求; （2）当为奇数时,求数列的前项和 【练习▪75】（2024高二·杭州）已知数列为等差数列,,记分别为数列的前项和,. （1）求的通项公式; （2）求. ▍练题型 等差数列与关系的应用 5 【典例▪76】已知等差数列的公差为,前项和为,且,则正确的是（    ） A. B. C. D. 【变式▪77】已知是公差为的等差数列,是其前项和,且,,则（　　） A. B. C. D. 【变式▪78】已知是等差数列的前项和,若,则使的最小整数（    ） A.12 B.13 C.24 D.25 【练习▪79】（23-24高二·山西期末）已知为等差数列的前n项和,,则下列选项正确的是（    ） A.数列是单调递增数列 B.当时,最大 C. D. 【练习▪80】已知等差数列前项和为,满足,若,则（    ） A.18 B.19 C.20 D.21 【练习▪81】已知公差的等差数列前项和为,满足,则下列结论中正确的是（    ） A. B. C.是中的最大值 D.是中的最小值 【练习▪82】（20-21高二·广东清远期中）若是等差数列,首项,,,则使前项和成立的最大自然数是（　　） A.39 B.40 C.41 D.42 【练习▪83】（多选）等差数列的前项和为,公差为,若,则（    ） A. B. C.当时,取得最大值 D.当时,取得最大值 【练习▪84】（多选）设等差数列的前项和为,且满足,,则下列说法正确的是（    ） A.最大 B. C. D. 【练习▪85】（多选）设等差数列的前项和为,,公差为,, ,则下列结论正确的是（ ） A. B.当时,取得最大值 C. D.使得成立的最大自然数是15 【练习▪86】（多选）已知是公差为d的等差数列,其前n项和是,若,则下列结论正确的是（    ） A. B. C. D. 【练习▪87】已知等差数列的前项和为,若,则（    ） A.2 B. C. D. 【练习▪88】已知等差数列的前项和为,若,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪89】设是等差数列的前n项和,若,且,设,则（    ） A. B. C.2 D.3 【练习▪90】设是公差为d的等差数列,是其前n项和,且,,则（    ） A. B. C. D. 【练习▪91】已知等差数列的前项和为,且,则下列说法错误的是（    ） A. B. C.数列是递减数列 D.中最大 【练习▪92】若数列是等差数列,首项,且,,则使数列前n项和的最大自然数n是（    ） A.405 B.404 C.407 D.406 【练习▪93】（23-24高二·全国单元测试）设等差数列,前项和为,,则下列结论一定正确的是（      ） A.若,则公差 B.若,则最小 C. D. 【练习▪94】（多选）已知无穷等差数列的前项和为,且,则（    ） A.在数列中,最大 B.在数列中,最大 C. D.当时, 【练习▪95】（多选）首项为正数的等差数列的前项和为,若,则（    ） A. B. C.当时,取最大值 D.当时,的最小值为27 【练习▪96】（23-24高二·甘肃期中）（多选）已知为等差数列的前项和,若,则（    ） A.使的的最小值为2024 B. C.当取最小值时, D.为单调递减的等差数列 ▍练题型 等差数列前n项和的实际应用 6 【典例▪97】（23-24高二·徐州）《张邱建算经》记载:今有女子不善织布,逐日织布同数递减,初日织五尺,末一日织一尺,计织三十日,问共织布 尺. 【练习▪98】小方计划从4月1日开始存储零钱,4月1日到4月4日每天都存储1元,从4月5日开始,每天存储的零钱比昨天多1元,则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ） A.19903元 B.19913元 C.20103元 D.20113元 【练习▪99】《周髀算经》有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸,冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸,前九个节气日影之和为八丈五尺五寸,问芒种日影长为（一丈＝十尺＝一百寸）（    ）. A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸 【练习▪100】在中国古代,有一道“八子分棉”的名题:“九百九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.”题意是把996斤棉分给8个子女做盘缠,从第一个孩子开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.则第一个孩子分到的棉是（    ） A.65斤 B.82斤 C.167斤 D.184斤 【练习▪101】2021年是中国共产党建党100周年,某校在礼堂开展“赓续红色精神,发扬优良作风”的庆祝活动.已知该礼堂共有20排座位,每排比前一排多3个座位数,若前3排座位数总和为45,则该礼堂共有座位的个数是（    ） A.570 B.710 C.770 D.810 【练习▪102】《海岛算经》有如下问题:某地有一佛塔共13层,每层塔的高度依次构成等差数列,下面7层塔的高度之和为25.9米,自下而上第5层塔的高度为3.6米,则最上层的塔高为（    ） A.3米 B.2.9米 C.2.8米 D.2.7米 【练习▪103】（23-24高二上·河北保定·期末）某阶梯大教室的座位数从第二排开始,每排的座位比前一排多3个,已知第一排有5个座位,且该阶梯大教室共有258个座位,则该阶梯大教室最后一排的座位数为 . 【练习▪104】（23-24高三·山东·期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,七七数之剩二（除以7余2）,问物几何？现有这样一个相关的问题:已知正整数满足五五数之剩三,将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前项和为,则的最小值为_________. ▶▷ 综合巩固提升 ◁◀ 一、单选题 1.已知等差数列的前n项和为,,,若（）,则n的值为（    ） A.15 B.14 C.13 D.12 2.已知公差不为0的等差数列的前23项的和等于前8项的和.若,则k等于（    ） A.22 B.23 C.24 D.25 3.在等差数列中,且,若,且,则=（    ） A.38 B.20 C.10 D.9 4.设等差数列的前n项和为Sn,若, ,则当取最小值时,n等于（　　） A.6 B.7 C.8 D.9 5.已知等差数列和等差数列的前n项和分别为,且,则使为整数的正整数n的个数是（    ） A.2 B.6 C.4 D.5 二、多选题 6.已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且,则下列命题正确的是（    ） A. B.该数列的公差d<0 C.a7=0 D.S12>0 三、填空题 7.在等差数列中,公差为,且,则等于 . 8.在公差不为0的等差数列中,为其前n项和,若,则正整数 . 9.在等差数列中,奇数项之和为44,偶数项之和为33,若此数列的项数为奇数,则这个数列的中间项是第 项;若此数列的项数为偶数,且公差为,则此数列的项数为 . 四、解答题 10.已知一次函数. （1）设函数的图像与y轴的交点的纵坐标构成数列,求证:数列是等差数列; （2）设函数的图像与y轴的交点到x轴的距离构成数列,求数列的前n项和. 11.设等差数列的公差为,且.令,记分别为数列的前项和. （1）若,求的通项公式; （2）若为等差数列,且,求. $第三节等差数列的前项和与性质 核心基础导学 【11(1)260:(2)4=39,d=5:(3)a,=1:d=2:(4)n=15,d=-1 6 (5)12:(6)21.7:(7)4=16,S。=85:(8)210 解折：（1)依题意，8=8x50+15）=260. 2 (2)由已知得8=8到6+a）.84+).172 2 2 解得a。=39, 又，a=4+(8-1)d=39 .d=5. .a=39,d=5 (3)由题意得：8，=3色+）36+）9，解得：4=1 2 2 则公差d=马，4=512 2 2 w题意得飞2.名 =-5,解得n=15】 2 2 又4=之+5-以=-3 6 2,2=-5，g=15,=1 6 (5)因为数列包}是等鉴数列且4宁，4= 6,=-5 又=a+a-=号+-》-5，且eN 2 26 解得n=12. (6)d=a,-4=0.8,于是a,=0.7+(7-1)×0.8=5.5,从而 品=7x07+5-217 2 (7)设等差数列{a}的首项为a,公差为d 则8=名+4=5 as=a1+5d=10, 解得a=-5,d=3. 4,=a,+24=10+2x3=16,=10%,+109=10x(545x9×3=85 2 (8)设等差数列{a}的公差为d, a,+a。=58,a1+a,=50, (2+1以=0，解每B=3 「2a,+13d=58 d=4' 则3。=104，+109=10x3+10x9x4=30+180=210 2 2 【2】c 解折：4+4=123.-10（色+8】=56，+a,）片60.故选：C 【3】B 解析：因为52236，*】-2023，所以4+a=2。 2 所以a,+ao1=4,+am=2=m.故选：B 【4】52 解折：=136+a.B×2a】=13x4=52.故答案为：52 2 2 【5】26 解析：在等差数列{a}中，a,+a。=2a, ,a4+a,+a。=3a,=6,解得：a,=2 8,=13(6,+a-13,=13×2=26故答案为：26. 2 【6】B 解析：因为口}为等差数列，所以a,+a:=4+a4, 因为a2+4+a4+ag=40,所以a2+ag=a+a4=20, 3.=16色=86，+a,)=160.故选B 2 【7】B 解折：因为等羞数列a}的前”项和为品，且8，=色a】=a,=14, 2 则a,=2,因此，a,+a4+4=3a,=6.故选：B. 【8】B 解析：因为2a=a。+a2,所以数列{和}为等差数列， 则m=4047色，+】.4047x24型三4047.故选：B 2 2 【9】12 解折：8，=7色+a2=7a,=42, 2 a4=6, ∴.a1+a.=a4+a-=6+45=51 :8-色+a2.5=510. 2 2 .n=20. 重点题型专练 11n-n2,n<6 【10】(1)a=12-2n:(2)={2-1m+60,n≥6 解析：(1)“数列{a}是等差数列，且4=10,4=2， 公差d=8,-4-2, 5-1 因此，a.=a+(n-1)d=10-2-1)=12-2n. (2)由(1)知a.=12-2n, 所以，当n<6时，a>0:当n=6时，a。=0;当n>6时，a。<0, 因此，当n<6时，。=k++hl++k.=a,+a,+a++a =n40+12-2m2=1n-r2, 2 当n26时，Sn=a+a+a+…+a=a,+a2+a,+…+a。-a,--a。 =2(a,+a2+4+…+ag)-(a+a2+a+…+as+a,+…+a) =2×6×a0+0_10+12-2m=m2-1r+60, 2 2 综上，S= 11n-z2,n<6 z2-1n+60,n26 -n2+9n,n≤5 【1】1Da=-2+10,neN:2）Z=-9如+40n≥6aeN 解析：(1)由题意，设等差数列 的公为1，又=8，号5 3d=5-8=-3,.d=-1, .三=8+(a-1)×()=9-n, ∴.S.=-n2+9n,则Sa-1=-(n-1)+9(-1)=-n2+1n-10,n≥2， ∴a。=S-S-1=-2n+10,又a1=8, ∴a。=-2n+10,neN°. (2)由(1)得，a1>a2>…>a,=0>a6>…, 当n≤5 时，7=k+h+k小4+a,++e,=8+10-2nn4 2 当n26时，Tn=a1+a2+a-a6-a,--a.=2S,-S =2×(-52+5×9（m2+9n)）=x2-9n+40, 「-n2+9n,n≤5 x=2-9+40n2≥6ew 【1a4=-成：-6 解析：(1)因为aH=a.-2,即aH-a.=-2,所以数列{an}是等差数列， 所以a=31+6-x(2)=3-2n,3=3+3-2×m=3-n 2 (2)令a,>0得n≤16，T=a+kh++.: 当n≤16时，T=a+a++h.=a+a+…+a,=S=32n-n2: 当n>l6时，T=a++a6-4,-…-a.=S6-(S-6) =2S6-S。=512-32n+n2 综上可每，7=2-3as16 512-32n+z2,2>16 【13】(1)a.=3n-20(2)T。=909 解析：(1)解：设等差数列a}的公差为d, 则{8+0，+a=名+9=-24 四a,+a,+a,=38,+12=-15,解得317， 所以，a。=a,+(n-1)d=-17+3(n-1)=3n-20 a)将k-2叫积6 因此，。=07+20-3x6x61+3×30-20x24 =909 2 2 [3n+321sn≤7 【14】(1)a=-3m+21(2)x=,29 2 39 当n≥2时， =8-+2[-+2-明+2 当n=1时，a=S,=18,满足上式，综上，a。=-3n+21: (2)令a.≥0，得21-3n≥0，解得n≤7， 令a<0,得21-3n<0,解得n>7, 则当1a≤7时H4+a++a=子+ 2 当n≥8时，T.=(a,+a2+…+a,)-(a+…+a) 综上所述，T= 2 2 -9+126a 2 29n-31≤5 2 【15】(1)a.=16-3n;(2)T.= 3n2-29n+140,n≥6 2 解析：(1)设数列{a}的首项为a,公差为d, 则{及=a+d=10 食”g解特台9 故a。=13-3(n-1)=16-3n. （2)由(1)可得8=3+16-3别29m-3n 2 2 令a,=16-3n>0,解得a< 3 所以当15n≤5时，a,>0,则Z=4+4+…+a,=8=29:3 2 当n≥6时，a.<0,则T.=a+a2+a+a4+a,-as--a。 =2(a1+a2+a;+a4+a,)-(a+a2+a+a4+a,+as+…+a) =28,-8.=2×29x5-3x5_29n-3n2_3n2-29m+140 2 2 2 (29n-321≤n≤5 2 所以T.= 3n2-29m+140,m≥6 2 【16】B 解折：设等差数列a,}的公差为d,则s,=m+-山 2 即有号=4+，因此受受=a+动-a+宁)=d=2,所以 数列{a}的公差为2.故选：B 【17】101 解析：设等差数列a,}的公差为d,则S,=na,+a-l以，即有 2 三=a+2-l, 由4，=2,8=11，得=2+9d=1,解得d=2,因此三=n+1, 10 10 2 所以8=101. 100 【18】D 解析：设等差数列{a}的公差为d, 则 三4是a+g+:m+- 2 n+l n n+1 4*-4-号 2 “数列侣}是公差为号的等差数列 号=4号4，解得：d=2 a,-as=3d=6,故选：D. 【19】-18 解析：设等差数列a}的公差为d,由等差数列前n项和公式可知 鸟=4+"，d: 2 可得S兰-三=d为定值，所以 S. 即为等差数列，又三-三=1， n+12 87 即侣}是以-0为首项公差为1的等茶数列 所以鸟=-10+8×1=-2，从而3，=-18.故答案为：-18 【20】20 解析：设等差数列包}的公差为d,则8=a,+a-山，所 2 以-4+ 所以号号=6+4-6+2424=4，解特-2 因此，a。=a+9d=2+2×9=20.故答案为：20。 【21】B 解析：8是等差数列a,)的前n项和，则数列 n 是等差数列. 4-204,0606, S01 则数列侣}的公差=名1，首项为是-子=204 器=-20+12023=-1，=-21.故选B 【22】-13 解折：若8-885，所以号-晋-号 为等羞数列，故三=受+3过 因为) 85 所以君-+起，解得d=号 所音是41， 故S=-13.故答案为：-13 【23】36 n(n-1 解析：a+ 2 、9+-号故 为等差数列， 26 【24】D 解析：因S。是等差数列a}的前n项和，则S,S6-S,S,-S6,Sz-S成等 差数列， 于是2(S6-S)=+(S,-S6),代入S=6,S。=21,解得：S,=45, 又2(S,-)=(S-S)+(S,-S,),代入上述值，解得：S2=78. 故选：D 【25】C 解析：在等差数列{a}中， S4=1,S2=4,所以S,=1S-S4=3, 故S,品-4Sa-86-:。-S6构成公差为2的等差数列， 所以S。-S6=1+(5-)×2=9,即a,+as+a,+ao=9.故选：C 【26】10 解析：由等差数列an}有S,Sn-S,S-Sn,S4。一S.成等差数列， 设为d, 则Sn-Sa=Sm-Sm+Sm-Sm=S.+2以+S+d=2S。+3=5→d=1, 故S4=S4.-S1.+Sn-Sn+S26-S+Sn=4S。+6d=10. 【27】1200 解析：因为{红}是等差数列， 则S,Sm-S,Sn-S2.成等差数列，100,500-100，S-500成等差数列， 即800=100+S.-500,解得S=1200.故答案为：1200 【28】D 解析：由a+2=2a1一a。可得a2+a=2a1, 故数列{a}为等差数列， 又S1。=20,So=10,故S。,S。-S。S。-S。也成等差数列， 即2×(10-20)=20+S。-10∴.S。=-30,故选：D 【29】B 解析：{a}是等差数列，则S,S。-S,S,-S。,S,-S,仍成等差数列， 又S,=3,S-S=24-3=21,所以 S,-S6=2(S。-S)-S1=39,S2=39+24=63, S2-S,=2(S,-S6)-(S6-S)=2×39-21=57, 所以2=57+63=120，故选：B. 【30】D 解析：因为差数列{a}中，S,S。-S,S,-S,S2-S,成等差数列， 令S,=x,S。=y,即x,y-x,162-,288-162成等差数列， 则x+(162-)=2(0-x)(心-x+(288-162）=2062-), 即x+54=y,x+198=3y,解得S。=y=72,故选：D 【31】C 解析：设S。=x,则S。-S=x-6,S-S6=27-x, 因为{a}为等差数列，所以S,S。-S,S,-S。也成等差数列， 则2(x-6)=6+27-x,解得x=15.故选：C 【32】B 解析：记从中间向外每环扇面形石板数为{a.),{a.}是等差数列，且公差 为d=9,a1=9, 设每层有k坏，则n=3北，S。=3402 {a。}是等差数列，则S,S业-S,S-S也成等差数列， 所以2(S-)=8+(S-), 所以8=3S4-S)=3402,-S=1134,故选：B 【31品 解析：由等差数列片段和性质知：S,S。-S,S:-SS。-S,…是等差数 列. 由意-方可设可=北0.则。=，于是 S,。-8,-00-84,依次为2,3,4，… 所以8=t+2+3+4=10,所以=3 0·故选B 【34】10:3 解析：由等差数列前n项和的性质可得，S,S4-S,S1-S4,Ss-S1成等 差数列，设S,=s,则S=6s,即s,S4-5,6-S4成等差数列，故 2(S4-s）=s+6s-S4,解得S4=3s,故S,S4-S,S1-S4S4-S1即 3,2,3,4s,故S。-63=43,S2a=103,故Sa:S4=10:3 【35) 19 解析：因为数列红}，色，}的前：项和分别为3，工且三=2+ T。4n-3, 15×(a+as) 所以会会#格5 S:-2×15+311 1T:4×15-319 【36】13 22 26+a）-749+2 解折：++。96+)19+3 22 【37】24 20 解析：因为{a},,}为等差数列，且三=+3 T n+l 所以可设S=m(2n+3),T.=kn(n+1), 则4，=S,-S4=65-44k=21k,b。=T。-T,=10k×11-9k×10=20k 4=21 “4.20 8)罗 解析：由等差数列的性质及求和公式可得： 13(a+a:) 会会治会行器做 2 72 2 【3915 三=7m+ 解析：因为元n+27' (a1+au)×21 所以4=4+a4 =飞1+放答案为：青 (6+6,)×21T14×21+273 2 【01月 解折：(2+3S.=m7.→72+3 2 又86+号4=%.526+)子的=9% 93 1贵 21(a+4.) 解折：因为三=+，且三 a,+an-2au =au T5n+3' 216+b)6+b2边，4 2 由等差数列前n项和的性质得 ,+a0-201=4-S1=2×21+2-1 b,+,2h:b,T1 引号号，故答奖为：出 【4】号 解析：由等差数列性质 2as 2a6246= 得，-636+6)-6+826+5d)2五瓦 等差数列{a}前n项和满足81=(2n-1)a.,则S=1la6, 等差数列}前n项和满足五1=(2n-b。,则=1山。， 所以二=-22-4=号，故选：B 11+3147 【4) 解析：运用等差数列的性质8=2-a,可得8=9a,即a-)8, 由等数雅质可知会)受兮吕京故答案为奇 4 【41号 解析：故不妨令S。=(3n+1)nk,T=(5n-2)zk,k≠0 烈子器 13(a,+a】 受六格甘西片会铝魅 8=24-凸+a1-11 【451号 解折：图为等差数列}，和5中受号 所以可设S。=an(2n+3),T=an(4n-3), 所以9+a=2a=-8=17a17 5+b, 受号”号故答案为员 【4618 解析：因为数列红}、{，}都是等差数列，所以马+马=马+区=红 Bu bubu bu 又.=16*a-1k,=26+=24 2 2 故a ,即有9+8=2a=42xS 改会会冬异器器做选卫 【47】(1)a.=-2n+20 (2)数列{a}的前n项和为-n2+19n,最大值为90，无最小值 解析：(1)设公差为d 由a1=18,a2+a,=26 得2a,+5d=36+5d=26,解得d=-2, 所以a.=-2n+20: (2)设数列{a}的前n项和为S。, 则s=18-2m+20) =-n2+19n, 2 西数严1的对稀维为=吕。 所以(S)=S,=S。=90,无最小值。 【48】(13,15) 解析：由于数列{扣}的前n项和S。=(n-c),是关于n的开口向上的 二次函数，并且当且仅当n=7时，S。取得最小值， 则色8可为阳8特Ba ,7(7-c)<8(8-c） 则c的取值范围是(13,15).故答案为：(13,15) 【49】66 解析：=4=-2×1+1×b=21,解得b=23,故S。=-2m2+23m,属于二 次函数，对称轴为2=5,75，故当=5或6时取得最大值 S,=-2×52+23×5=65,S=-2×62+23×6=66,S6>S, 故S。的最大值为66.故答案为：66. 【50】5或6 解析：等差数列{a》中，公差d<0,a+a=0 所以a,+2d+a,+8d=0,解得a,=-5d, 所以8+2 2 当前n项和S最大时，n=5或6，故答案为：5或6， 【sn(g 解析：{a}为等差数列，且a,=5, 则前项和8-引 ,是关于n的二次函数，且neN 因为仅当=0时，品最大所以对称销在区同（侣引 则公差1的取做范阳是()故答米为：（行司》 【52】C 解析：a。+a,=a,+a<0,因为a>0,所以a<0,所以B错 公差d=a.-a,<0,所以A错 因为前7项均为正，从第8项开始为负，所以S的最大值为S,所以C 对，S4= 4a+a=76,+a,)k0,所以D错，故选：C 2 【53】8 解析：由已知数列{a}为等差数列， 则a+a=as+a,<0, 又4>0， 所以a,<0, 则d=4-as<0, 所以数列{a}为递减数列， 则当n≤8时，a.>0,当n≥9时，a.<0, 所以当n=8时，S。取得最大值，故答案为：8 【54】8 解折：因为3.=16色+a】-86+4)上8，+a,)>0,所以a+,>0, 2 又a,+a,=2a<0,所以a,>0,则d=a,-a>0 所以{a}为递增的等差数列，且a<a,<…<a<0<a<…, 所以(S)=S,即当S取最小值时，n的值为8.故答案为：8 512到 解析：等差数列{a}的首项a,=14>0,当且仅当n=8时，其前n项和S 取得最大值， ,14+7d>0 14+8d<0 解得2<d<-子故答案为：2到引 【56】1012 解析：因为等差数列{a}中， 2023(4,+a2a】-202341mn<0, 2 S=1012(a+)=1012(on+)> 所以ao2<0,ao>0,则当S最小时，n=1012.故答案为：1012 【57】12或13 解析：因为在等差数列{a}中，S,-S=0 所以ag+a。+a+a2+ag+a4+a:+a16+a =(a,+a,）+(a。+a6)+(:+a+(a,+a:)ta:=:=0, 所以a:=0, 又因为4>0 所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负， 所以当S。取最大值时，n=12或13. 【58】C 解折：由号> S得 (+aa+a+an,即a>an,∴数列 2n 2(n+1) {a}为递减的等差数列， :8<-1,.4,>0,at<0,当n≤17且neN*时，a,>0:当n≥18 a17 且neN*时，a<0: ∴.S有最大值，最大值为S。.故选：C 【59】6 解析：依题意， =6a型=1a>0,.=12a+=66,+4,<0, 2 显然a,<-a。<0,且Ia,>a。,等差数列{a}的公差 d=a,-a6<-2a6<0, 即数列{a}是递减数列，前6项均为正数，从第7项起为负数， 数列{S}的最大项为S。,a。是数列a.}中的最小项，且a,>0 所以数列 4≤n≤1山中最大的项为三，是第6项故答案为：6 ae】 3 7 2 【60】T 2 ,为偶数 3 之-5n为奇数 [2n-3,n=2k-1 解析：方法1：b.= 4n+6,n=2k 当n为偶数时 Tn=(伯，+b+…+b.)+(6+b,+…+b) 2 2 2 当n为奇数时，若n23,则T=伯，+b,+…+b)+(++…+b,) =1+-34++6"分=子+子-5， 2 7n 2 2 显然无==-1满足上式因此当为奇数时，工=子+子-5。 +-5为数 方法2：6.=2=2-1keN, 4n+6,n=2k 当n为偶数时，b1+b,=2a-1)-3+4n+6=6m+1, 7 当n为奇数时， 5 工=红-bm-2a++子a+0-6e+4-子+ 所以T= J2 【61】3 解析：由题知不妨设等差数列为{a},首项为a,,公差为d,项数为 2n,n∈Z, 故有3。=色，】=m=84, 2 Sw-a6+a=a.=51, 2 两式相减S4-8春=nam-na,=nd=33 d11 因为a-8=(2m-H=63,故2a-g,故n=lhd=3. 故答案为3 【62】A a1+a:+…+aa= n(a+a-1k=10 2 解析：由 有a,=10,偶数项的 4,+a,+…+a-10色，+a】-10 2 和为100.故选：A 【63】D 解折：由题媽奇数项角士项偶数项有兮项 2+12-1 奇数项之和为n+1 4+2,22d=n+1 2 6+ 2 n-1n-3 低数项之和利为%+0+。之2-a+“) 2 2 2 所以奇数项之和与偶数项之和的此为”+：，故选：D n-1 【64】B 解析：根据等差数列的性质得： nd=30-24=6,am-a,=(2n-1)d=10.5,解得：n=4,故该数列的项数 为2n=8.故选：B 【65】C 2n-1,2=2k-1,k∈N 解析：a。三 5n+1,n=2k,k∈N .S。=(a+a3+a,+a,+a,)+(a2+a4+a。+4+a。) =1+5+9+13+17)+11+21+31+41+51) =45+155=200.故选：C 【66】29 解析：设等差数列{红}的所有奇数项之和为S奇， 所有偶数项之和为S。, 由题知3，=4+a,+…+a-色+6，+a-6+lh.=290 2 Sg=a+a++aim n(a,+a】=a4=261 2 两式相减，可得a=29,故答案为：29 【67】10 解析：因为等差数列{a}共有2n+1项， 所有奇数项之和为 =马+8，++4-+儿g+a-a+ha=132, 2 所有偶数项之和为S。=a,+a,十+.=色a】=m,=120, S_（+a出=n+1_132_业 所以，Sga 一n12010,解得r=10.故答案为：10. 【68】1980 解析：因为a,=1,a,=a1+1=3,又a.=a1+2,a4=a.+3,所以 a1=a+2=a1+2+3, 即a-a1=5,所以数列{a}的奇数项是以1为首项，5为公差的等差 数列： 同理，由a+2-am=5知，数列{a,}的偶数项是以3为首项，5为公差的 等差数列. 所以{a}前40项和为 S。=(g+a+…+a)+(a2+a,++ao) =20×1+20×12×5+20×3+20X19x5=1980.故答案为：1980. 2 2 【69】2 [S备+S%=120 解析：由查=业 ,S海=55 得Sa=65所以8a-=5d=10,所以d=2 Sw 13 故答案为：2 【70】29 解折：固为：为流所以受一会兰子辉得 所以S:=13a,=377,所以a,=29.故所求的中间项为29.故答案为：29 【71】676 解析：对？分奇偶讨论，由此得到奇数项和偶数项的规律，按规律即可求 解出a+a,++a的值.当n为偶数时，a+:-a,=2,所以偶数项成首 项为2，公差为2的等差数列，所以a,=2+2g-1=n: 2) 当n为奇数时，a2-a.=0,所以奇数项为常数列，所以a.=a,所以 am=1: 所以 4+a,++a1=51x1++4+6++50)=26+2+50）y25676, 2 2 故答案为：676. 【72】中间项为11，共有7（项）. 解析：设等差数列{红}共有(2n+1)项， 则奇数项有（红+1）个，偶数项有n个，中间项是第(n+)项，即a, 所以鸟=2 4+an)(a+(a+0-n+14-4,解符n=3 26 tos)n na n333 又因为S章=(n+1)a1=44,所以aH=11。 故这个数列的中间项为11，共有2n+1=7(项) [3m2+4n,为偶数 4 【73】 3m2+6m+1业，n为奇数 4 解析：由题意，当n为偶数 时，an1+a.=2(a-1+3+n-2=3n-1,S= 5+(3n-卫.2=3知2+4 2 2 4 当n为奇数时， S=Sm-am= a+广+4a+-[+2]32+6a+山 A 32+4,n为偶数 4 所以S 3n2+6n+11 ,n为奇数 4 【74】(1)4.=3n-1:(2)8=3m+1 4 解析：(1)因为a+2-a.=3,所以数列a2,44,a2u构成首项为a,=2,公 差为3的等差数列， 所以a2.=a,+(n-1)3=3n-1 (2)由a+2-a.=3,所以数列41,4，，a21构成首项为a1=1,公差为3 的等差数列，得到a1=a,+(n-1)3=3n-2 设n=2k-1, 则Sw-1=(a1+a,+…+a-)+(a2+a4++a-2) =(1+4+7+.+3张-2)+(2+5+8+…+3k-4) 0+3北-2，化-2+3-4=32-北+1， 2 2 又*生，所以：为奇数时，8=-生+1 2 4 【75】(1)a,=4-3(2)-Bm2-5+4n为奇数 「3n2-7n,n为偶数 解析：(1)设等差数列{a}的公差为d, :6=24,h为奇数 a。-9,n为偶数 .b=2a1,b2=a2-9=a,+d-9,b,=2a,=2(a,+2d)=2a1+4d, S4=28,T=16 「4a,+6d=28 2a,+a1+d-9+2a,+4d=16' 整理得2马+3=4 la+d=5 解得1 d=4, .am=4n-3: (2)当n为偶数时， T=b,+b2+b,+…+b =2(4+a,+…+a）+(a2-9+a,-9+…+a。-9) 2 2 2 =+40a-)-3+6+4-3-1) 4 =3n2-7n: 当n为奇数时，n≥3， T.=T1+bn=T-1+2a =3n-1)2-7(n-1)+2(4n-3) =3n2-5n+4 当n=1时，上式也成立： - 【76】C 解析：因为=。<S1,所以a。=S。-S,=0,a1=S,-S。>0 对于A,所以d=a-am>0,故A错误； 对于B,a。=0,d>0,则a<0,故B错误 对于C,因为a。=0,a,<0, 186+a.18色+a】0,故c正确： 2 2 对于D,因为a,<0,所以S,-S=a<0,所以S>S,故D错误 故选：C 【77】C 解析：因为数列{口}是公差为的等差数列，S.是其前n项和，且 a1<0,%=S0241 则3a4-8m=4n+m++,-266tea】-1B6i+an上0， 2 所以，a20m+aon=4,+2010d+a,+2011d=2a,+4021d=0, 2 所以d=4024>0,A对： a201+a20n=2a0n+d=0>2a201,则a201<0,B错： 4026+aml=20116n+aa）0.C对 S4022= 2 因为aon+a8n=2aon-d=0<2a0n,则a2on<0<a0, 又因为d>0,所以，数列{a}是单调递增数列， 当n≤2011时，a≤a2o1<0;当n≥2012时，a,≥a0>0. 综上所述，S≥S,D错.故选：C 【78】C 解析：等差数列{a}的前n项和为S。,由S.<S,且S:>S, 得a2=S2-S1<0,a2+aa=S,-S:>0,所以a:>0>a2, 则数列{a}的公差d>0,所以数列a}是递增的等差数列， 且当n≤12时，a.<0,当n213时，a.>0, 又23色，+=2e<0.3=24色，+-126a+ab0 2 2 所以使S。>0成立的最小的n为24，故选：C. 【79】D 解析：对A:设数列{a}的公差为d,由a,+a。+a,=3a。>0,得a。>0 又因为a+a.=a。+am<0,所以a,=a。+d<0,得d<0,故A错误： 对B:因为d<0,a。>0,a,<0,所以当n=10时，S有最大值，故B错 误： 对C:s,= xg+-1>0,20g+a-106+amk0 2 2 故C错误： 对D:S=8,+a。+au,因为a。+a<0,所以<S,故D正确. 故选D 【80】C 解析：由于等差数列{a}的前n项和为S满足Sm>0,S。<0, 39×(a,+a】>0,3n= S39 0×(6+an】<0, 2 2 由于4，+a9=2a0,所以a0>0, 所以aw+a=4+ao<0,则a1<-4。<0, 则公差d=a-aw<0, 所以当n≤20时，a。>0,当n≥21时，a.<0, 故aoa2<0 又因a。aH<0,所以m=20.故选：C 【81】B 解析：由题意S4-S0=a01+ao2++aoa4=12(2on+aog)=0,即 a2012=2201 所以Sa,-40246,+a】-2012em+n)0,故B正确： 2 当d>0时，可得4<a2<<ao<aoa=-aa<0,ao:>0,此时 Son<0,So2是S中的最小值， 当d<0时，可得a>a,>>an>aon=-aog>0,4<0,此时 Sn>0,Sn是S中的最大值，故ACD错误.故选：B. 【82】B 解析：aw+a1>0,aa1<0,且4>0，故a0>0,a1<0, -a+a上20e+a）小0，=6a+a)归4<0. 故使前n项和S>0成立的最大自然数n是40.故选：B 【83】BC 解折：4，+4，=24.>03，=1a+a】-3h。<0,所以4>04<0，故 2 d<0, 当n=15时，S取得最大值.故BC正确，AD错误.故选：BC 【84】AB 解析：因为Som>0,S<0, 所以 8e-2026,+a.202am+a0, 2 2 m-20236,+al=20234<0 2 所以aon+ao2>0,aon<0,故C错误； 所以ao>0,且ol>ho,故B正确： 所以d=aoe-an<0,则{a}单调递减，且 a1>a2>…>a1on>0>a1o2>…, 所以S1最大，故A正确， 令4o1=5,4o2=-1,则S0m=4044,S=-2023,则So+S02>0,故 D错误.故选：AB 【85】ABC 解析：因为等差数列a}中， 3=166+al-166+al0,4<0, 2 2 所以a>0,a,<0,d=a,-a<0,A正确 当n=8时，S取得最大值，B正确： a,+a,+a=3a,+24d=3(a,+8d)=3a,<0,C正确： 。=84+a)=86+a,)小0，，-17a+al=17a,<0, 2 故S。>0成立的最大自然数n=16,D错误.故选：ABC 【86】BC 解析：因为S0-S02=a02=0,S024-S0四=a2024<0, 所以d=aa-a<0,故A错误，B正确： &,045色+a-4045an=0,放C正确： 2 因为S024-Sm2=a0+a224<0, S200-S2016=a2017+a201s+.+a2030=7(a2023+a2024)<0, 所以So<S6,故D错误.故选：BC 【87】D 解折：由3==20，得S=15(a+a】_5x24=14,得4= 2 2 4s,=4x5色+）-4×5×2品=202，=20，得4，=1， 2 2 7 所以a,+4=4+4=了故选D, 【88】B 解析：S23-e0=a1o01+a102+a1oag+…a1o22+a123=23a1o12=1, .a2n=2 2023×6+a】=202aom 2023.故选B. 2 23 【89】C 解析：设等差数列的公差为d,由S=3,得， 84+2=304a+6),即a=子 由S.=2S2得，12a,+66d=(8a,+28d), 即12×子+6=8×含+28，解得A=2故选：C 【90】c 解折A:由=8，得+兰=+，则6=号 2 又4<0，所以马=号<0，符d>0,故A错误： 2 B44+6吕+宁>0，藏B错误 c=12a+2=-12×号+6=0，故c正确 2 2 8=4,+-=”-1224, 2 2 由n2-12≥-35，得1≤n≤5或n≥7，即当1≤n≤5或n≥7时，有S≥S, 故D错误.故选：C 【91】D 解析：因为Sa 2022(a,+ao2】=1011(aom+aoa)>0, 2 所以41o11+41o2>0, 2023(4,+a2s】=2023aon<0, 又S024= 2 所以a1o2<0,则4o1>0 所以等差数列{a}单调递减，{s}中S最大.故选：D 【92】A 解析：因为数列a}是等差数列，首项a,<0,且 a204+a2o1>0,ao42o4<0, 所以数列{an}的公差d>0,ao<0,ao>0, 所以5w-495+a）-g52u=405aw0, 2 8w-495a+an)208-au+an)>0, 所以当n≤405时，S.<0:当n≥406时S>0 所以使数列{an}前n项和S<0的最大自然数n是405.故选：A 【93】D 解析：对于A,若a,>0,又a,+a>0,即2a+13d>0,则d的符号无法 确定，故A不正确； 对于B,当4=-1，d=2时，满足a,+4>0,此时，S最小，故B不正确： 对于C,因为品，=15+型=15a,而4的符号无法确定，故C不正确： 2 对于D,8,=14+a=7a,+a)>0,故D正确：故选：D 2 【94】AD 解析：由题知，无穷等差数列{a}的前n项和为S。,So<S且 S0y>S2001 所以ao>0,am<0, 所以等差数列{a}为递减数列， 所以在数列{a.}中，a,最大：当n≥2020时，a.<0:故选：AD 【95】ABD 解析：A:首项为正数的等差数列{a。}的前n项和为S, 所以(-)S-S.)=a:+a+a:+a:)X3=血a,+a:0, 若a4>0,则a:+a:一定大于零，不符合题意， 所以a,<0,a:+a:>0,故A正确： B:由A可知S,-S,=ag+a4+a+a.=2(a4+4)>0→S:>S1 S:-S,=3a4<0→S<S2,故B正确： C:由A可知，因为a4<0,a4+a:>0,可知a:>0,故n=13,S取最大 值，故C错误： D:S=276+=274<0,.=26+】=136+)0,故D 2 2 正确.故选：ABD. 【96】BC 解折：AB选项因为Sm-2023色，+a-20234m<0, 2 S0o24 2024(a+aoal】=1012(aon+aoi)>0, 2 故a1<0,4>0,且o<h,故a.>0的n的最小值为1012，A错 误，B正确： C选项，因为ao2<0,a1o>0,故当n=1012时，S。取得最小值，C正确： D选项，设{a}的公差为d,因为a<0,a>0,所以d>0, 因为8=a+,y,所以三=4+， 2 2 故+号40 2+1n 2 2 放倍}为单腾送指的等兹数列，D错误放选BC 【97】90 解析：每日织布数可看作等差数列，其中a,=5,a。=1, 故30天共织布S。 30(a+a0】=15×6=90尺.故答案为：90 2 【98】C 解析：设小方第n天存钱a。元， 则数列{a}从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1， 所以小方存钱203天的储蓄总额为 1+1+1+200×1+200X192x1=203+19900=20103元.故选：C 2 【99】B 解析：由题意知： ·从冬至日起，依次小寒、大寒等十二个节气日影长构成一个等差数列 a},设公差为d, :冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为 八丈五尺五寸， %1+a4+a,=3a,+9d=315 {=%+2=8 ,解得a,=135,d=-10 .芒种日影长为a2=a,+11d=135-11×10=25(寸)=2尺5寸. 故选：B 【100】A 解析：记8个子女依次分棉4，斤、a:斤、a,斤、、4斤， 则数列{a}为公差为17的等差数列. 因为棉的总数为996斤，所以84+8X7x17=96, 2 解得4=65.故选：A 【101】D 解析：设从第一排到最后一排的座位数构成一个数列{a} 由“每排比前一排多3个座位数可知，{红}是等差数列，且公差d=3,又 a,+a2+4=3a2=45,可得a1=a2-3=12,该礼堂共有座位的个数为 Sw20x12+2019x3=810,故选D 2 【102】C 解析：设该塔从下到上每层高度依次排列构成等差数列和}，且{}的 公差为d,前n项和为S 由题意得，S,=25.9,a,=3.6, 因为8=7色+a）.7x2a=259,得a,=37, 2 2 所以d=a,-a,=3.6-3.7=-0.1, 则a=a,+(（13-5)d=3.6+8×-0.1)=2.8.故选：C 【103】38 解析：该阶梯大教室的座位数按照从小到大的顺序依次成等差数列， 且首项为5，公差为3，所以a.=5+(n-1)×3=3n+2, 设该阶梯大教室共有n排 则5n+a-卫×3=258，整理得(3+43a-12)=0, 2 因为n>0,所以n=12 所以该阶梯大教室最后一排的座位数为5+(12-1)×3=38 故答案为：38 【104】41 解析：依题意，a.=5n-2,显然数列{红}是等差数 列，8=3+6n-n, 2 因此2+80=如+n+80=50a+1S)+125×2,,6 +1=41,当且仅当 V n 16 即n=4时取等号 所以当n=4时.2过+80取得最小值41.故选：C 综合巩固提升 1.【答案】B 解析：设等差数列的公差为d,则由S,=35,4。=0,得 [5a,+10d=35 a,+9d=0 解得=9 d=-1 因为S。=S, 所以9m-,-》-=35,即m-19a+35=0,解得a=4或n=5(金去) 2 故选：B 2.【答案】C 解析：设等差数列{a}的公差为d,d≠0， 则由题可符3，=8，即23%+23×2d=8%,+8×7d,整理得4，=-15d, 2 as+a4=0,.a1+7d+a1+(k-1)d=0,即2a,+(k+6)d=0, .-30d+(k+6)d=0,d≠0，k=24. 故选：C 3.【答案】C 解析：由于a.≠0,2a.-a2=0,解得a。=2 由等差数列的性质可 得：8-包a-g+a山.2-e+】-(e-4=38， 2 所以2(2n-)=38,解得n=10 故选：C 4.【答案】A 解析：设该数列的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=-6,解得d=2, 所以-1+a-×2=m-12n=a-可-36，所以当6时，3取 2 最小值. 故选A 5.【答案】C 解折：依题意(a+9.=+27.,元+ S.7n+23 4+a.(2n-_Sd 瓷刊岩 2 2-+23_+6-7t8-7+是 (2n-1）+1 2n 所烈专为整数的正整数：为1248，共4个 故选：C 6.【答案】BCD 解析：由S,<S6可得，S6-S,=as>0,S6=S,可得S,-S%=a,=0 S,>S可得S-S,=4<0,所以等差数列{a}的公差d<0,故选项B 正确。 所以a,42,4,a,4,4。为正，4=0，从第8项起均为负.故选项C正确 所以S,-S,=a,+a+a,+a。=2(a+a,)=2a<0,故选项A不正确. .=x12=66,+4)=6,>0,故选项D正确， 2 故选：BCD 7【答案】分 解折：等差数到中=匹+09，极如，+ 2 10+0型-+）整理得1=24，故导月 2 黄答案为子 8.【答案】13 解析：设等差数列公差为d, .S2=3(a1+2a,+a), 12a+2d=a+2a+26+4ad+a+e-1 即4a,+22d=4a,+(k+9)d, 即+9=22， .=13. 故答案为：13 9.【答案】 444 解析：若此数列的项数为奇数，设项数为2n-1,则奇数项之和 g=4+,++,1=色+a山=m., 2 偶数项之和品=风+a+++a--儿，+a小--央，所 2 以受片劳青解得=4 所以第4项是此数列的中间项. 若此数列的项数为偶数，设项数为2，则8-8，=，所以-11=之， 所以n=22,故此数列的项数为44.故答案为：4：44. -n2+7n,n≤4 10.【答案】(1)证明见解析(2)=x-7m+24n≥5 解析：(1)解：由题意f(x)=x+8-2n,令x=0,得y=8-2n,即 a.=8-2n a4-an=8-2(n+1)-8+2n=-2,且a=8-2=6 .数列{a}是首项为6，公差为-2的等差数列 (2)解：由题意，得b.=3-2m 4=6,b2=4,b=2,b4=0,b,=2, ∴.此数列前4项是首项为6，公差为-2的等差数列， 从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列. .当n≤4时，S.=6n+ a-×(2）=-+7m 2 当n≥5时，8=8，+a-4到x2+a-5a-4x2 2 =12+n2-7n+12=n2-7m+24. ∴.S= -n2+7n,n≤4 n2-7n+24,n≥5 1.【答米】4=班2)4-哥 解析：(1)3a,=3a+a,∴3d=a,+2d,解得a,=d, S=3a2=3(a+d)=6d, 又万=++6=号+会品号 减+7=*22 即2-71+3=0，解得d=3或d=(舍去)， a.=a,+(n-1)d=3n. (2)他}为等差数列， 26=6+6,即2-2+2 a:a as :62-足=，即G-3ad+2=0,解得4=d或4=2d。 a as aas a d>1,a。>0, 又S-T=99,由等差数列性质知，99a。-99b。=99,即a。-b。=1, a-250-1,即-a-250=0,解得a=51或8=-50（舍去） 当a,=2d时，ao=a,+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾，无解： 当4=d时，o=g+49d=50d=51,解得d=0 综上，d=50 51