1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间中直线与平面的垂直关系，从线线垂直出发，逐步构建线面垂直、面面垂直的知识体系，通过问题导思、例题解析与变式训练形成清晰的学习支架，前后知识点衔接自然，逻辑严密。 其亮点在于深度融合数学抽象、直观想象与逻辑推理等核心素养，以“一题多解”呈现基底法与坐标法的灵活运用，如正三棱柱中证明AB₁⊥MN，既体现向量运算的严谨性，又展现几何直观的直观性。课堂小结提炼六类垂直关系的向量判定标准，强化结构化思维，帮助学生建立立体几何的系统认知。教师可借此提升教学效率，学生则能深化理解并迁移应用，实现从知识掌握到能力发展的跃升。

1.4.1 第3课时 第一章 空间向量与立体几何 空间中直线、 平面的垂直 了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算 2．了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 3．掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，培养数学抽象、直观想象的核心素养. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系，提升逻辑推理、数学运算的核心素养. 任务一 空间中直线和直线的垂直 任务二 空间中直线和平面垂直 任务三 空间中平面和平面垂直 任务三 垂直关系中的探索性问题 任务一 空间中直线和直线的垂直 (阅读教材P29，完成探究问题1) 问题1．如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，直线l1，l2垂直时，u1，u2之间有什么关系？ 问题导思 提示：垂直. 知识点1：空间中直线与直线的垂直 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 微提醒 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 空间中直线和直线的垂直 1 例1 规律方法 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 1.基底法：第一步：选取三个不共面的已知向量(通常是它们的模及其两两夹角为已知)为空间的一个基底；第二步：把两直线的方向向量用基底表示；第三步：利用向量的数量积运算，计算出两直线的方向向量的数量积为0；第四步：由方向向量垂直得到两直线垂直. 2.坐标法：第一步：根据已知条件和图形特征，建立适当的空间直角坐标系，正确地写出各点的坐标；第二步：根据所求出点的坐标表示出两直线方向向量的坐标；第三步：计算两直线方向向量的数量积为0；第四步：由方向向量垂直得到两直线垂直. 解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1， 可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分别以OB，OC，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 因为三棱柱各棱长均为1，所以OA＝OC＝O1A1＝O1C1＝，OB＝. 因为A，B，C均在坐标轴上，所以A，B，C. 因为点A1与C1在Oyz平面内，所以A1，C1. 因为点B1在Oxy平面内的射影为B，且BB1＝1，所以B1， 即该三棱柱各顶点的坐标为A，B(，0，0)，C，A1，B1，C1. 答案不唯一． 1 对点练 任务二 空间中直线和平面垂直 (阅读教材P31-32，完成探究问题2) 问题2．观察下图，直线n与平面α平行，u是直线l的方向向量，当直线l垂直平面α时，u，n之间有什么关系？ 问题导思 提示：平行(重合). 知识点1：空间中直线和平面垂直 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l ⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 微思考 只要证明直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为零， 就可以证明直线与平面垂直，对吗？为什么？ 提示：不对，需证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量的数量积 均为零，才可得出直线与平面垂直.. 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 空间中直线和平面垂直 2 例2 A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) 变式探究 规律方法 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 1.基底法：第一步：把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示；第二步：分别证明它们垂直 2.坐标法：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：将直线的方向向量用坐标表示；第三步：找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；第四步：分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0 3.坐标法：第一步：建立空间直角坐标系；第二步：将直线的方向向量用坐标表示；第三步：求出平面的法向量；第四步：证明直线的方向向量与平面的法向量平行 A.平面CDD1C1的一个法向量为(0，1，0) B.平面A1BC的一个法向量为(1，1，1) C.平面B1CD1的一个法向量为(1，1，1) D.平面ABC1D1的一个法向量为(0，1，1) 2 对点练 任务三 空间中平面和平面垂直 (阅读教材P29，完成探究问题3) 问题3．观察下图，平面α，β平行，n1，n2分别是平面α，β的法向量，n1与n2具有什么关系？ 问题导思 提示：垂直. 知识点1：空间中平面和平面垂直 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 微提醒 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 空间中平面和平面垂直 3 例3 规律方法 利用空间向量证明面面垂直的方法 1.常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明. 2.法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 3 对点练 任务四 垂直关系中的探索性问题 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 平行关系中的探索性问题 4 例4 规律方法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 1.通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理. 2.探索性问题的关键是设点：(1)空间中的点可设为(x，y，z)；(2)坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为(x，y，0)；(3)坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为(0，0，z)；(4)直线(线段)AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 4 对点练 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 课堂小结 课时评价 1 A 棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为(　　) A.(1，1，0) B.(1，0，1) C.(0，0，1) D.(1，1，1) 2 (多选)下列四个结论正确的有(　　) A．对于任意两个向量a，b，若ab＝0，则a＝0或b＝0或a B．对于任意两个向量a，b，(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 C．空间中任意三个向量a，b，c 都满足·c－a·＝0 D．对于任意两个向量a，b，都有＝ 3 D $