精品解析：浙江省台州市玉环市实验学校2020-2021学年八年级第二学期阶段测试数学试卷

玉环市实验学校2021学年第二学期阶段性学习检测（二） 八年级 数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. ，，2 B. 1，1，1 C. 2，3，4 D. ，， 3. 如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（　　） A 15m B. 20m C. 30m D. 60m 4. 若一次函数的图像与轴交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 6. 学校学生会招募新会员，小林同学心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分，若依次按照3：2：5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（ ） A. 80 B. 82 C. 77 D. 78 7. 已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数的图象大致是（　） A. B. C. D. 8. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A. 1.2米 B. 1.5米 C. 2.0米 D. 2.5米 9. 如图，函数和的图象交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，甲、丙两地相距400km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线A－B－C－D表示两车之间的距离y（km）与慢车行驶的时间x（h）之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙两地之间的距离为100km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有 二、填空题（本题共有5小题，每小题6分，共30分） 11. 计算：_____． 12. 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，抽样测得小麦株苗的方差分别为s甲2＝3.6，s乙2＝15.8，则 ____ 地的小麦长势更整齐．(填“甲”或“乙”) 13. 如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______． 14. 菱形周长是20，对角线长的比为，则菱形的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则_____． 16. 在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1，______） （2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长． 三、解答题（第17~20题每题8分，第21题10分，第22~23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图1中，的形状为_____三角形，面积为_____，周长为_____； （2）在图2中，以格点为顶点，画一个腰长为等腰直角三角形． 20. 已知一次函数的图象经过点和. （1）求该函数的表达式； （2）若点是轴上一点，且面积为10，求点的坐标. 21. 为迎接中国共产党建党100周年，某校组织七、八年级学生开展了党史知识竞赛．现从两个年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：89，74，85，80，81，92，58，99，80，82，90，76，80，85，64． 八年级：91，72，92，80，83，92，88，82，85，83，76，83，82，80，46． 【整理数据】 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 0 1 1 2 8 3 八年级 1 0 0 a b 3 【分析数据】 平均数 众数 中位数 七年级 81 c 81 八年级 81 83 d 【应用数据】 （1）由如表填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　． （2）若八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的有 　 　人． （3）你认为哪个年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好，并说明理由． 22. 如图，在矩形中，点是线段上一动点，点为的中点，的延长线交于． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）．设点运动时间为秒，并求为何值时，四边形是菱形． 23. 武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元． 夏装款式 款 款 每套进价（单位：元） 每套售价（单位：元） （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？ 24. 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：． （1）请你解答小明的这道题； （2）在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”） （3）如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由； （4）连接，． ①求证：是定值； ②求最小值（直接写出答案即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉环市实验学校2021学年第二学期阶段性学习检测（二） 八年级 数学 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分） 1. 二次根式在实数范围内有意义，则满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：2x+3≥0， 解得x≥， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件：被开方数是非负数． 2. 下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（ ） A. ，，2 B. 1，1，1 C. 2，3，4 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断三边能否构成直角三角形，解题关键是掌握勾股定理的逆定理并能运用求解． 利用勾股定理的逆定理，对四组数逐一计算验证，再作判断． 【详解】解：，边长，，2的线段能构成直角三角形，故A符合； ，边长1，1，1的线段不能构成直角三角形，故B不符合； ，边长2，3，4的线段不能构成直角三角形，故C不符合； ，边长，，的线段不能构成直角三角形，故D不符合； 故选：A． 3. 如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15m，则A，B两点间的距离是（　　） A. 15m B. 20m C. 30m D. 60m 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解. 【详解】是的中点， 是的中位线， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理应用，正确理解定理是解题的关键． 4. 若一次函数的图像与轴交于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数y=x+4的交于点P，得y=0，再求出x的值，即可求出点P的坐标． 【详解】解：∵一次函数y=x+4的图象与x轴交于点P， ∴令y=0时，0=x+4， 解得x=-4， ∴点P的坐标为（-4，0）， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握图象与x轴的交点，纵坐标为零，图象与y轴的交点，横坐标为零是解题的关键． 5. 如图，在中，，，则的度数是（ ） A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 【答案】D 【解析】 【分析】因为，，所以可得到，根据平行四边形的性质对角相等，从而得出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，清楚掌握其性质并能灵活运用是解题关键． 6. 学校学生会招募新会员，小林同学的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、70分，若依次按照3：2：5的比例确定成绩，则小林同学的最终成绩为（ ） A. 80 B. 82 C. 77 D. 78 【答案】C 【解析】 【分析】由加权平均数的含义列式列式计算即可． 【详解】解：由题意得（分）， 所以小林同学的最终成绩为77分． 故选C． 【点睛】本题主要考查的是加权平均数的含义及计算，掌握加权平均数的含义是解题的关键． 7. 已知一次函数的函数值随的增大而增大，则该函数的图象大致是（　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一次函数随的增大而增大，判断出，再根据即可得出一次函数图像经过一、二、三象限． 【详解】解：一次函数的函数值随的增大而增大 一次函数的图像经过一、二、三象限 故答案为：A． 【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，根据的正负判断图像经过哪些象限，属于基础题型． 8. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（　　） A. 1.2米 B. 1.5米 C. 2.0米 D. 2.5米 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米， ∴AE＝AB−BE＝2.5−1.6＝0.9（米）． 在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝==1.5（米） 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段AD的长度． 9. 如图，函数和的图象交于点A，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象中直线y=ax+5在直线y=2x上方时的x的取值部分求解． 【详解】解：由图象可得x<时，直线y=ax+5在直线y=2x上方， ∴不等式2x<ax+5的解集是x<， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是通过数形结合求解． 10. 如图，甲、丙两地相距400km，一列快车从甲地驶往丙地，途中经过乙地，一列慢车从乙地驶往丙地，两车同时出发，同向而行，折线A－B－C－D表示两车之间的距离y（km）与慢车行驶的时间x（h）之间的函数关系．根据图中提供的信息，下列说法不正确的是（ ） A. 甲、乙两地之间的距离为100km B. 快车从甲地驶到丙地共用了2.5h C. 快车速度是慢车速度的1.5倍 D. 快车到达丙地时，慢车距丙地还有 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象可由点A知甲、乙两地之间的距离为100km，即可判断A；由A点为两车的路程差，除以时间即可求得速度；求得快车速度后，即可用总路程除以其速度，进而判断B；求出慢车速度，进而判断D． 【详解】由图可知， ∴甲、乙两地之间的距离为100km，故A说法正确，不符合题意； ∵，即快车和慢车的距离为0， ∴B点表示2h时，快车追上慢车， ∵慢车速度，快车速度， ∴快车速度是慢车速度的1.5倍，故C说法正确，不符合题意； ∴快车到丙地共用了，故B说法错误，符合题意； ∵两车同时出发，同向而行， ∴慢车距离丙地距离为千米，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，能够看清图象表示的意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（本题共有5小题，每小题6分，共30分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题关键是掌握二次根式的性质并能运用求解． 利用二次根式的性质直接求解． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 为了考察甲、乙两块地小麦的长势，抽样测得小麦株苗的方差分别为s甲2＝3.6，s乙2＝15.8，则 ____ 地的小麦长势更整齐．(填“甲”或“乙”) 【答案】甲 【解析】 【分析】根据方差的性质分析，即可得到答案． 【详解】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝15.8 ∴s甲2s乙2 ∴甲地的小麦长势更整齐， 故答案为：甲． 【点睛】本题考查了方差的知识；解题的关键是熟练掌握方差的性质：方差越大，离散程度越大，从而完成求解． 13. 如图，ABC中，，CD是AB边上的中线，且，则AB的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵∠ACB=90°，D是AB边的中点， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 14. 菱形周长是20，对角线长比为，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】设较短对角线的一半是，较长对角线的一半是，根据勾股定理列出方程，求出x的值，得出两条对角线的乘，最后算出结果即可． 【详解】解：设较短对角线的一半是，较长对角线的一半是，根据题意得： ， 解得（负值舍去）． 较短的对角线长为：， 较长的对角线长为：， ∴菱形的面积为：． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出菱形对角线的长． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，垂直平分，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，再根据垂直平分线的性质得出，，从而可得是等边三角形，于是有，再利用解直角三角形求得即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴（）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，根据矩形的性质求线段长，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 16. 在数学综合实践课中，小明和同学对类似八下教科书25页例2的问题进行拓展探索： 如图1，一根长为5米的木棍斜靠在一竖直的墙上，为4米，如果木棍的顶端沿墙下滑米，底端向外移动米，下滑后的木棍记为，则与满足的等式，即关于的函数解析式为，小明利用画图软件画出了该函数图象如图2， （1）请写出图象上点的坐标（1，______） （2）根据图象，当的取值范围为______时，的周长大于的周长． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）把的横坐标代入，求解点的纵坐标即可； （2）先分别求解的周长，的周长，可得：当的周长的周长时，即，再画出直线的图象，直线过点、，观察函数图象可得答案. 【详解】解：（1）当时，， 故点的坐标为， 故答案为1； （2）由，得：， 由题意得：，， 则的周长， 而的周长， 则当的周长的周长时， 即， 由（1）知，当时，，当时，， 则在原图象的基础上，画出直线的图象如下，直线过点、， 从图象看，当时，，即的周长大于的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，二次根式的化简，理解图象上点的横坐标与纵坐标的含义，利用两个函数图象的交点坐标解决有关不等关系问题是解题的关键. 三、解答题（第17~20题每题8分，第21题10分，第22~23题每题12分，第24题14分，共80分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法和加法可以解答本题． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法． 18. 平行四边形中，过点作于点，点在上，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形． 19. 如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点． （1）在图1中，的形状为_____三角形，面积为_____，周长为_____； （2）在图2中，以格点为顶点，画一个腰长为的等腰直角三角形． 【答案】（1）直角，5， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可说明为直角三角形，再求出，，，分别求得面积与周长即可． （2）根据要求作出图形即可． 【小问1详解】 解：如图1中， ，，， ∴，，，， ∴是直角三角形， 面积为， 周长为， 故答案为：直角，5，． 【小问2详解】 如图2中，即为所求． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，利用二次根式的性质化简，二次根式的加减，二次根式的乘除，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 20. 已知一次函数的图象经过点和. （1）求该函数的表达式； （2）若点是轴上一点，且的面积为10，求点的坐标. 【答案】（1）y＝x−2 （2）（−3，0）或（7，0） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式一般步骤：将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程组，解方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式； （2）根据题意，设p（x，0），表示BP＝|x−2|，再根据面积公式列等式，计算即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象经过点A（−2，−4）和B（2，0）， 进而得 ， 解得k＝1，b＝−2， ∴该函数的表达式：y＝x−2； 【小问2详解】 ∵点P是x轴上一点， ∴设P（x，0）， ∴BP＝|x−2|， ∵△ABP的面积为10， ∴×4×|x−2|＝10， ∴|x−2|＝5， ∴x−2＝5或x−2＝−5， 解得x1＝−3或x2＝7， ∴点P的坐标（−3，0）或（7，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤，求点P的坐标分两种情况是解题关键． 21. 为迎接中国共产党建党100周年，某校组织七、八年级学生开展了党史知识竞赛．现从两个年级各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：89，74，85，80，81，92，58，99，80，82，90，76，80，85，64． 八年级：91，72，92，80，83，92，88，82，85，83，76，83，82，80，46． 【整理数据】 40≤x＜50 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x＜100 七年级 0 1 1 2 8 3 八年级 1 0 0 a b 3 【分析数据】 平均数 众数 中位数 七年级 81 c 81 八年级 81 83 d 【应用数据】 （1）由如表填空：a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　，d＝　 　． （2）若八年级有500名学生，请你估计该校八年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上（含90分）的有 　 　人． （3）你认为哪个年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好，并说明理由． 【答案】（1） （2）100 （3）八年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）将七、八年级的成绩排列好，找到八年级的成绩中70≤x＜80和80≤x＜90的人数，即可求得，根据众数的定义，从七年级成绩中找到出现次数最多的那个数，即可求得，根据中位数的定义，在八年级成绩中找到中间位置的数，即第8个数，即可求得； （2）根据表格可知八年级90分以上学生人数，求得所占的百分比，然后列式计算即可；（3）七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数为83，七年级的中位数为81，根据中位数的大小判断八年成绩较好 【小问1详解】 七年级成绩从小到大排列：58，64，74，76，80，80，80，81，82，85，85，89，90，92，99，其中80出现3次，次数最多 则众数：80，故 八年级成绩从小到大排列：46，72，76，80，80，82，82，83，83，83，85，88，91，92，92，第8个数即为中位数，是：83，故 其中70≤x＜80的有2人，则，80≤x＜90的有9人,则 故答案为： 【小问2详解】 （人） 故答案为：100 【小问3详解】 八年级的总体水平较好，理由如下： 七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数为83，七年级的中位数为81，83>81 八年级的学生对党史知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可） 【点睛】本题主要考查了数据的统计、求中位数以及运用中位数进行决策、用样本估计总体等知识点，正确的统计是基础、灵活应用相关知识是解答本题的关键 22. 如图，在矩形中，点是线段上一动点，点为的中点，的延长线交于． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，从点出发，以1厘米/秒的速度向运动（不与重合）．设点运动时间为秒，并求为何值时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形菱形 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质推出，根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定证，根据全等三角形的性质推出，则“对角线互相平分的四边形为平行四边形”； （2）先表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为中点， ∴， 在和中， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 当时，四边形是菱形， 理由是： ∵，，， ∴． ∵四边形是菱形， ∴． 在中，由勾股定理得： ， 即， 解得：． ∴当时，四边形菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 23. 武汉的夏季到了，某服装店同时购进，两款夏装共套，进价和售价如下表所示，设购进款夏装套（为正整数），该服装店售完全部，两款夏装获得的总利润为元． 夏装款式 款 款 每套进价（单位：元） 每套售价（单位：元） （1）求与的函数关系式； （2）该服装店计划投入不多于万元购进这两款夏装，则至少购进多少套款夏装？若，两款夏装全部售完，则服装店可获得的最大利润是多少元？ （3）在（2）的条件下，服装店购进款夏装的进价降低元（其中），购进款夏装的进价不变，且最多购进套款夏装．若保持这两款夏装的售价不变，该服装店如何进货使得全部售完，两款夏装获得的利润最大？ 【答案】（1）y=-30x+21000；（2）至少要购进甲款运动服200套．最大利润是15000元；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据总利润=（A款的售价-A款的进价）×购进A款的数量+（B款的售价-B款的进价）×购进B款的数量代入列关系式，并化简； （2）根据总成本≤20000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题； （3）把20＜a＜40分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论． 【详解】解：（1）根据题意得y=（100-60）x+（150-80）（300-x）=-30x+21000， 即y=-30x+21000； （2）由题意得，60x+80（300-x）≤20000， 解得x≥200， ∴至少要购进甲款运动服200套． 又∵y=-30x+21000，-30＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x=200时，y有最大值， y最大=-30×200+21000=15000， ∴若售完全部的甲、乙两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元； （3）由题意得，y=（100-60+a）x+（150-80）（300-x），其中200≤x≤240， 化简得，y=（a-30）x+21000， ∵20＜a＜40，则： ①当20＜a＜30时，a-30＜0，y随x的增大而减小， ∴当x=200时，y有最大值， 则服装店应购进甲款运动服200套、乙款运动服100套，获利最大； ②当a=30时，a-30=0，y=21000， 则服装店应购进甲款运动服的数量应满足200≤x≤240，且x为整数时，服装店获利最大； ③当30＜a＜40时，a-30＞0，y随x的增大而增大， ∵200≤x≤240， ∴当x=240时，y有最大利润， 则服装店应购进甲款运动服240套、乙款运动服60套，获利最大． 【点睛】本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量，商品利润率=商品利润/商品进价×100%；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 24. 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：． （1）请你解答小明这道题； （2）在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”） （3）如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由； （4）连接，． ①求证：是定值； ②求的最小值（直接写出答案即可）． 【答案】（1）见解析 （2）是 （3）是．证明画图见解析 （4）①是定值，，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出． （2）证得，则在以为一条边的角的另一边上，当点与重合，与重合；当点与重合时，的长最长，可得出结论； （3）过作于，证明，得出．则可得出结论． （4）①延长交直线于，证得四边形是矩形，得出，，在中，得出，则答案得出． ②过作关于的对称点，连接，交直线于，则，由勾股定理求出即可得出答案． 【小问1详解】 证明：和是等边三角形， ，，，， ， 即， ， ． 【小问2详解】 解：是； 证明：，， ， 在以为一条边的角的另一边上， 当点与重合，与重合； 当点与重合时，的长最长，即为的长； 故点在一条线段上运动． 【小问3详解】 解：是． 证明：过作于， 四边形和四边形是正方形， ，，， ，， ， 又，， ， ． 又， 点是在与的距离为2的直线上，过作直线，即点在直线上运动． 【小问4详解】 ①延长交直线于，由（1）可得， ． ，， ， 又， 四边形是矩形， ，， 在中，， 是定值． ②过作关于的对称点，连接，交直线于，则， 在△中，，， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $