第17章 因式分解-进阶单元卷 2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

第17章 因式分解（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.多项式的公因式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  3.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数．现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是(    ) A. 我爱学 B. 爱数学 C. 趣味数学 D. 我爱数学 【答案】D  4.如果，，那么的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  5.如图，长、宽分别为，的长方形周长为，面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  6.若为任意整数，则的值总能(    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】B  【解析】． 为任意整数，的值总能被整除． 7.甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为    ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】，，，，原多项式为故选B． 8.多项式因式分解成，其中，，均为整数，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  9.如图，两个正方形的边长分别为，如果，，则阴影部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解析：如图，三角形的一条直角边为，另一条直角边为，因此，          故选C． 10.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”例如：因为，所以称为“完美数”下面个数中，为“完美数”的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.计算：          ． 【答案】  12.分解因式的结果是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了因式分解运用公式法，掌握是解题的关键． 根据多项式乘多项式展开，合并同类项，再根据平方差公式分解因式即可． 【解答】 解：原式 ． 故答案为：． 13.请你写出一个整式，使得多项式能因式分解，这个整式可以是          ． 【答案】答案不唯一  14.若是完全平方式，则的值是          ． 【答案】或  15.已知，，是的三边长，且满足，则是          三角形． 【答案】等边  16.对于非零的两个实数，，规定，那么将进行分解因式的结果为          ． 【答案】  17.在对多项式进行因式分解时，甲，乙两位同学都出现了错误，在回看两人的计算过程后，发现甲将“”和“”抄错为了“”和“”，得出的结果是，乙漏抄了“”和“”，得出的结果是根据二人的计算过程，原多项式是          ． 【答案】  18.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，，就是一个智慧优数，可以利用进行研究若将智慧优数从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ；第个“智慧优数”是          ． 【答案】； 【解析】注意到，知，当时，由产生的智慧优数为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；当时，由产生的智慧优数为，，，，，，，，，，，，；当时，由产生的智慧优数为，，，，，，，，；当时，由产生的智慧优数为，，，，，，；当时，由产生的智慧优数为，，，，；当时，由产生的智慧优数为，，，；当时，由产生的智慧优数为，，；综上所述，将上述产生的智慧优数从小到大排列如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故第个智慧优数是，第个智慧优数是． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.分解因式： ； ； ． 【答案】(1)(4x2+y2)(2x+y)(2x-y)  (2)(a-b)(x+3y)(x-3y)  (3)(x+y)2(x-y)2  四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知的展开式中不含的一次项，常数项是． 求，的值； 先化简，再求值： 【答案】(1)解：∵(x2+mx-3)(2x+n)  ＝2x3+nx2+2mx2+mnx-6x-3n  ＝2x3+(n+2m)x2+(mn-6)x-3n，  又∵展开式中不含x的一次项，常数项是-6，∴mn-6＝0，-3n＝-6，  解得m＝3，n＝2．  (2)原式＝m3-m2n+mn2+m2n-mn2+n3  ＝m3+n3，∵m＝3，n＝2，∴原式＝33+23＝27+8＝35．  21.本小题分 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 该同学第二步到第三步运用了因式分解的． A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 该同学因式分解的结果是否彻底？          填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：          ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C  (2)不彻底;​​​​​​​  (3)设，原式.  【解析】  由得出运用了两数和的完全平方公式故选C．   ，分解不彻底，．  略 22.本小题分 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且以上长度单位： 观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果； 若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线虚线部分长之和． 【答案】(1)解：由图形可知，；  (2)依题意得，，，，，，图中所有裁剪线段之和为.  23.本小题分 【发现】对于一个个位数字与十位数字不同的两位数，我们可以记为，即将这个两位数的十位数字和个位数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个两位数的平方差用较大数的平方减较小数的平方一定是的倍数． 【证明】请利用因式分解的知识证明该发现； 【应用】根据中的证明简便计算：． 【答案】(1)证明：假设a＞b，则​​​​​​​．∴这两个两位数的平方差一定是99的倍数．  (2)解：原式＝(432-342)+(212-122)＝99×(4+3)×(4-3)+99×(2+1)×(2-1)＝99×(4+3+2+1)＝99×10＝990．  24.本小题分 【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】例：分解因式：． 解：原式． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ，． 当时，有最小值，最小值是， 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 分解因式：； 当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； 若，求的值． 【答案】(1)解：原式＝(a2-2a+1)-4＝(a-1)2-22＝(a-1+2)(a-1-2)＝(a+1)(a-3)．  (2)原式＝-2(a2-4a)+10＝-2(a2-4a+4)+8+10＝-2(a-2)2+18．∵(a-2)2≥0，∴-2(a-2)2≤0．∴-2(a-2)2+18≤18．∴当a＝2时，-2(a-2)2+18有最大值，最大值是18，  即当a＝2时，代数式-2a2+8a+10有最大值，最大值是18．  (3)由题意，得2x2+3y2+8x-6y+11＝0．∴2x2+8x+8+3y2-6y+3＝0．∴2(x2+4x+4)+3(y2-2y+1)＝0．∴2(x+2)2+3(y-1)2＝0．  又2(x+2)2≥0，3(y-1)2≥0，∴2(x+2)2＝0，3(y-1)2＝0．∴x+2＝0，y-1＝0．解得x＝-2，y＝1．∴x+y＝-2+1＝-1．∴(x+y)2025＝(-1)2025＝-1．  第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17章 因式分解（进阶） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列因式分解正确的是(    ) A. B. C. D. 2.多项式的公因式是(    ) A. B. C. D. 3.小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数．现将分解因式，结果呈现的密码信息可能是(    ) A. 我爱学 B. 爱数学 C. 趣味数学 D. 我爱数学 4.如果，，那么的值为(    ) A. B. C. D. 5.如图，长、宽分别为，的长方形周长为，面积为，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.若为任意整数，则的值总能(    ) A. 被整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 7.甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，那么分解因式正确的结果为    ． A. B. C. D. 8.多项式因式分解成，其中，，均为整数，则的值为  (    ) A. B. C. D. 9.如图，两个正方形的边长分别为，如果，，则阴影部分的面积为  (    ) A. B. C. D. 10.如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”例如：因为，所以称为“完美数”下面个数中，为“完美数”的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11.计算：          ． 12.分解因式的结果是          ． 13.请你写出一个整式，使得多项式能因式分解，这个整式可以是          ． 14.若是完全平方式，则的值是          ． 15.已知，，是的三边长，且满足，则是          三角形． 16.对于非零的两个实数，，规定，那么将进行分解因式的结果为          ． 17.在对多项式进行因式分解时，甲，乙两位同学都出现了错误，在回看两人的计算过程后，发现甲将“”和“”抄错为了“”和“”，得出的结果是，乙漏抄了“”和“”，得出的结果是根据二人的计算过程，原多项式是          ． 18.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”例如，，就是一个智慧优数，可以利用进行研究若将智慧优数从小到大排列，则第个“智慧优数”是          ；第个“智慧优数”是          ． 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 19.分解因式： ； ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 已知的展开式中不含的一次项，常数项是． 求，的值； 先化简，再求值： 21.本小题分 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式第一步 第二步 第三步 第四步 该同学第二步到第三步运用了因式分解的． A. 提取公因式 B. 平方差公式 C. 两数和的完全平方公式 D. 两数差的完全平方公式 该同学因式分解的结果是否彻底？          填“彻底”或“不彻底”若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：          ． 请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 22.本小题分 如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且以上长度单位： 观察图形，可以发现代数式可以因式分解，请写出因式分解的结果； 若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线虚线部分长之和． 23.本小题分 【发现】对于一个个位数字与十位数字不同的两位数，我们可以记为，即将这个两位数的十位数字和个位数字调换位置，得到一个新的两位数，则这两个两位数的平方差用较大数的平方减较小数的平方一定是的倍数． 【证明】请利用因式分解的知识证明该发现； 【应用】根据中的证明简便计算：． 24.本小题分 【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】例：分解因式：． 解：原式． 例：求代数式的最小值． 解：原式． ，． 当时，有最小值，最小值是， 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 分解因式：； 当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； 若，求的值． 第4页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $