2025年第42届全国中学生物理竞赛复赛理论试题

第42届全国中学生物理竞赛复赛试题 (2025年9月20日上午9：00-12：00》 考生须知 1、考生考试前务必认真阅读本须知。 2、本试题共7道题，5页，总分为320分。 3、如遇试题印刷不清楚的情况，请务必及时向监考老师提出。 4、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸上；写在试题纸和草稿纸上的解答一律不给分。 一.(45分)一磁光陷阱中约束的N个原子构成的原子气处于绝对温度为T的平衡态。在位置r=(x,y,z)、 速度为v=(x,y,2)的原子数密度f(r,v)服从玻尔兹曼分布 m(ω经x2+ωy2+w2z2)1 m(喉+哆+)l f(r,v)c exp exp 2kBT 2kBT 其中ω：为(i=x,y,z)方向上陷阱对原子气的约束强度，m为原子质量，k为玻尔兹曼常量，T为绝对温度。 取竖直向下为z轴正方向。在陷阱正下方z=h(h>0)处有一探测器，可测量z=平面附近的原子的纵向 数密度（即此平面附近z方向单位高度内的原子数）和通过该平面的原子流（即单位时间由上至下通过该平 面的净原子数)。重力加速度大小为g,忽略原子间的碰撞。在t=0时将陷阱撤除。 (1)求陷阱撤除前，平衡态下完整的分布函数f(r,): (2)求某t>0时刻，在z=h平面附近的原子的纵向数密度n(t),以及通过该平面的原子流I(t): (3)在原子气温度极低、约束很强的条件下，可通过测量n(t)的最大值所对应的时间t或者I()的最大值 所对应的时间t求得温度T.在温度极低、约束很强的极限下，求t和t的表达式（准确到温度的非零 的最低阶)。 (④)在原子气温度极低、约束很强的极限下，在t=n附近，m因≈e即门，其中为与无关 的量，©是上述（高斯）分布函数的有效展宽。实验上若测得此有效展宽，可用来估计温度T.求σ的 表达式（准确到温度的非零的最低阶）。 提示：edx=要0x2edx=只 二.(45分)重离子束探针是目前唯一可直接测量磁约束聚变等 次离子束 离子体芯部电势的仪器，其测量原理如图2a所示：向等离子体 二次离子束 入射的一束重离子束中，每个离子的电荷量为q1=e(e为元电荷 能量分析器 接收狭缝 的电荷量，e>0),初始入射动能为K；在等离子体内该重离 测量位置 子束中的离子直接电离产生电荷量为q2=2e的二次离子；在某 个位置产生的二次离子束在外部磁场的偏转下离开等离子体， 恰好被能量分析器接收；能量分析器可以测量二次离子束进入 等高子体 狭缝的动能K2.已知电势在等离子体外均为零。相对论效应可忽 图2a 略。 重离子束探针中常用的能量分析器是普罗卡格林 平行板能量分析器，其结构简图如图2b所示：两平行 =0 电极板间距为d,上电极板电压为V,下电极板电压为O: 2 在能量分析器中二次离子束经过的各区域中，仅两平行 1=0 无场区域 板之间存在均匀电场，其余空间不存在电场或磁场。假 0 设二次离子束的速度平行于纸面。 能量分析器 Xo (1)一离子束在距离下电极板Yo1处（入射板狭缝中心） 接收狭缝 入射，入射角为8，在距离下电极板Yo2处被一接收板（狭 图2b 第1页，共5页 缝中心)接收，其被接收时距离入射点的水平距离为X (1.1)试写出XD的表达式。 (12)为了减小入射角度细微偏差对测量结果的影响，要求入射角满足二级聚焦条件，即当入射角发 生极小变化49时，X,的变化是一个与(49)3同阶的量。试确定满足二级聚焦条件的入射角9，（日，在0~之 间)，并给出X,和V的表达式。 (1.3)若能量分析器已经根据上面的二级聚焦条件放置，入射板和接收板与水平方向的夹角分别为8，和 ,某二次束离子在入射到能量分析器时其与狭缝中心的距离为L,求其在接收板平面上距接收板中心的距 离s(L,s大于零表示在下半平面，小于零表示在上半平面)。 (2)工程安装误差和入射束动能K2的波动会导致能量分析器并不严格满足二级聚焦条件。已知入射板的缝 宽为w. (2.1)求这时1=0对应的s的表达式。 (2.2)假设进入狭缝的离子都能被接收板捕获，从入射狭缝各位置入射的二次离子束的密度、动能、 速度方向均相同，若上半平面接收到的二次离子束电流为，下半平面接收到的二次离子束电流为，试用 u、以及能量分析器各硬件参数表示K2 (2.3)在图2中的测量位置（即二次离子束产生的位置）的直接电离过程（即一次离子（以T1·为例） 电离产生二次离子T1+的过程)可简化为 TI(极高能)+e(低能)→TI(极高能)+e(次级高能)→T1*+(极高能)十e(次级高能)+e”(逸出) 其中©、©~和©~分别表示电离前的电子、电离后的次级高能电子和逸出电子。电离前后的能量是守恒的。 第二步中间过程中的次级高能电子与极高能一次离子碰撞，使其电离成二次离子。电离能和电子的动能均 远小于一次束离子的动能，没有其它碰撞过程。忽略一次束离子从初始位置到测量位置、二次束离子从测 量位置到能量分析器的运动过程中的能量衰减，求测量位置处的电势中（极高）。 121 三.(45分)一量子霍尔效应器件的俯视图如图3a所示，其中1至8为器件端口， 可以通电流或测电压，垂直于器件方向上施加磁场B.由于量子霍尔效应，在两端口 (,通电流1后，在另外两端口L,m(取任意两个不相邻的两端口L,通电流，在连接端 876 口(，的直线段的一侧取端口L,另一侧取端口m)之间可以测到电压差Um,进而可 图3a 以得到相应的量子霍尔电阻R比，m=Um/I 图3a中的器件可等效为图3b所示的含电源的 电路：电路中的是流入端口的电流（电流为 流出时，I要改变符号)；r=R/2为每个端 口的固有电阻，r为已知量；每一电源旁的量 r(2+)r(+) 表示相应电源的电动势的值，且所有电源均无 内阻；R是端口因接入电路而产生的接触电 ⊙B Res is 阻，各端口接触电阻不一定相同，但它们与r的 r(G r(8+)r(+l) 比值均为同一远小于1的量级（约0.1%量级）， 即ei≡Rce/r~e《1。 (1)在等效电路图3b中分别在哪两个端口接 图3b 通电流、哪两个端口测量电压，可以得到与接 触电阻R无关的霍尔电阻？至少对一种接法 证明你的结论。 (2)现将两个图3a所示的器件a、b连为一个系统，每个器件仍分别等效为图3b。器件a、b的端口分别 标记为1a至8a和1b至8b,已知相应端口的接触电阻分别为Rca和Rc心(1=1，…，8)。除各端口的接触电阻 可能不同外，两器件其它性质相同。 第2页，共5页 (2.1)当器件a、b的连接方 式如图3c所示时，求把端口 7a和3b之间断路时系统的霍 OR 尔电阻R1a5b3a,b,以及把端 口7a和3b之间连通时系统的 霍尔电阻R1a5b3ab·这两个 霍尔电阻哪个受接触电阻影 12b3b146 响导致的相对误差较小？证 15b OB 明你的结论。 (2.2)当器件a、b按图3d 8bl 7b 6b 图3c 所示的三重并联的方式连接 图3d 时，求此系统在A、B点接入电流，在C、D点测量电压得到的 霍尔电阻RAB,CD·各端点的接触电阻导致的RA.B:C.D的相对误差为∈的几次方量级？在端口5a、5b、6a、6b、 Ta、7b的接触电阻均为零的假设下，证明你的结论。 四.(50分)真空激光加速机制即是利用强激光脉冲加速电子使其获得能量增益。实际激光束的电磁场十分 复杂，现采用单色平面电磁波与电子相互作用的简化模型。入射强激光可视为沿z轴传播的线偏振单色平面 电磁波，入射波的电场和磁场可表示为 E-E cos(ka-t)ex.B cos(kz-t)ey. 其中E为电场强度的振幅，c为真空中的光速，k为波矢的大小，ω为圆频率，ex和ey表示x轴和y轴的基矢。 不计重力，应用相对论动力学讨论以下问题： (1)假设t=0时电子静止且位于坐标原点处，忽略辐射阻尼，求 (1.1)1时刻电子的动量p和能量e(表达式中可含有t时刻的z坐标)： (12)电子的位置坐标x,y,z与时间t的代数关系，可用隐函数形式表达。 (2)假设t=0时刻将能量为的电子从坐标原点沿xz平面注入，且其初速度方向与x轴正方向的夹角不 大于受忽略辐射阻尼，求电子加速达到的最大能量mx及相应的入射角9。，这里，是电子入射方向与z轴 的夹角。 (3)当激光脉冲强度很大时，辐射阻尼将无法忽略。辐射阻尼导致的能量损失满足 盖 dr=- 其中4o为真空磁导率。已知激光脉冲强度/=1.0×1022W/cm2,激光波长入=800nm,初始时刻电子能量 0=1000mc2,求经过一个周期T由辐射阻尼引起的相对能量损失g.已知m。=9101×10-3k3,e= Eo 1.602×10-1C,c=2.998×108m/5,o=4m×10-7N/A2,激光强度1是能流密度5=三E×B大小的时 Ho 间平均值。 五.(45分)低温下的约瑟夫森结可作为超导量子计算电路的基本单元。如图 5,理想的约瑟夫森结可视为“超导体薄绝缘层（灰色区域）超导体”组成 的三明治结构，直角坐标系原点0位于其中心(：轴正方向垂直于纸面向外， 体 未画出)，其在yz平面内矩形截面的边长分别为Y和Z,绝缘层厚度为d(d 电流 电流 <Y、Z).超导体1、2中电子的状态可以分别用波函数以，c©%、w,ce物 来描述，它们的相位差6=%，一%·由于绝缘层很薄，超导电子可以隧穿形成 沿x方向的约瑟夫森电流，电流密度记为，结两端的电压记为U,相位差8 满足约瑟夫森方程： 第3页，共5页 图5a J=josin, 082eU Ot h 其中方，>0为常量，h是约化普朗克常量，e(e>0)是元电荷的电荷量，5为在6依赖的所有自变量中， 除t之外的其他自变量均不变时6对求导。以上两式表明，即使约瑟夫森结两端电压U=0,也可以存在直 流约瑟夫森电流。以上两式在外磁场为零和不为零两种情况下都成立；当外磁场为零时，相位差δ与空间 坐标无关。 (1)当约瑟夫森结两端的电压U为直流恒定电压U。时，试求此时电流密度)的表达式(t=0时的相位 差记为6(0))，以及该电流变化的周期T (2)当约瑟夫森结两端电压U=0时，沿z方向施加一恒定均匀外磁场。由于超导体对外磁场的屏蔽作用， 总磁场只能存在于绝缘层及两侧等效厚度为1的超导体内，即图5中两虚线之间的区域。已知绝缘层内总 磁感应强度B只有z分量且只与y坐标有关，即B=B,(y)e,其中e,是z方向的单位矢量。相位差6在外 磁场不为零时随y坐标的变化满足d5_24d+2》B,0). dy (21)忽略约瑟夫森电流产生的磁场，B,)为常量B,试求6y)（y=0处的相位差记为6。，6。≠m, k为整数)，以及总的约瑟夫森电流I,与外磁场B的关系；试问当B为何值时，总电流1，=0？ (2,.2)考虑约瑟夫森电流产生的磁场，试证明此时0)满足形如6。 “疗血6的方程，并确定弓的表达 式（入称为约瑟夫森穿透深度)。已知绝缘层材料的磁导率为% (3)在外磁场为零（相位差6与空间坐标无关）的情况下，采用宏观电路模型研究外加一定直流偏置电流 /的约瑟夫森结相位差δ随时间：的变化。约瑟夫森结具有等效电容C(即三明治结构形成的平行板电容器 的电容)。在一般工作状态下，约瑟夫森结还有与约瑟夫森电流并存的直流电流，需要考虑约瑟夫森结存在 的直流电阻R因此，实际的约瑟夫森结可以等效为满足约瑟夫森方程的理想结J 与电阻R、电容C的并联，如图5b所示。为简化起见，记1。=Y忆。 (31)求以上三个支路电流的表达式（用相位差6(）及其时间导数表示)，并导 出6()所满足的微分方程。 以下讨论中直流电阻R足够大，可忽略电阻支路中的电流。 (3.2)第(3.1)问中的微分方程描述的运动可视为“位移”为6、单位“质量” 图5b 的等效“粒子”在势V(⑥中的运动。求势（⊙的表达式：当电流I处于什么范围 时，势V(⑥⊙存在势阱？求势阱底部对应的8值，并求“粒子”在势阱底部做小幅振动的角频率)。 (3.3)改变偏置电流1，第(3.2)问中的角频率ω将随之改变，角频率的最大值称为约瑟夫森等离子体 角频率ω，已知电磁波在结区中传播的波速c=①，入，绝缘层材料的相对介电常量e,=9.0,d=3.0nm,入= 53nm,求c与真空中光速c的比值（结果保留两位有效数字）。 六.(45分)一转速仪的简化模型如图6a所示。竖直转轴底部由光滑地面支撑， 并由固定的光滑轴承A、B约束。两轴承的厚度均可忽略，它们相距2h,其中点 为O。质量分别为m和m,的小球a和b(均可视为质点)固定在质量为M、长 为2/的匀质细杆的两端：一光滑水平轴固定在竖直转轴的。点，细杆中心的小圆 孔套在此水平轴上，细杆可在它和转轴所在的平面内绕此水平轴转动。以O为原 点、竖直向上为z轴正方向建立固定于地面的直角坐标系O)2,y轴垂直于纸面 向里（图中未画出），x、少z方向的单位矢量分别记为e,、e,、e,·记Oa相对 于z轴正方向的夹角为0。转轴上O处装有一轻质盘簧，可对细杆施加一大小为 k0的回复力矩，其中k为盘簧的扭转系数。重力加速度大小为g (1)转速仪以某一角速度绕竖直转轴做匀速转动，0为某一固定值6，（0<8。<π 图6a 第4页，共5页 且8。*r)。 2 (1.1)求转速仪做匀速转动的角速度®。，并分别在m,>m,和m≤m,的情况下讨论实际存在此0，时8所 满足的条件： (1.2)某时刻，细杆运动至如图6a所示的x2平面内，求此时转速仪相对0点的角动量L以及轴承A、 B对转轴的作用力F、F。· (2)取m,=m,=m,初始时系统处于第(1)问中的稳定运动状态；某时刻（记为1=0）小球a受到在细 杆和竖直转轴所在平面内、且垂直于细杆的冲击（使日增大），此冲击作用时间极短。已知在此后的运动过 程中0的最大值为8（8。<8<π)。 (2.1)求小球a在受到冲击后的瞬间，0的时间变化率2，； (2.2)当冲击足够小时，细杆可在日，附近做小幅简谐振动，求振动的角频率0。； (2.3)记6。=日-A。（6。<日。)，求1时刻转速仪绕竖直转轴转动的角速度()，结果保留至6，的一阶 项。 七.(45分)在光纤中传播的光信号到达光纤的外表面时，会发生折射和反射。折射光导致能量损耗，降低 光信号的信噪比。通过掺杂工艺可以改变光纤的折射率，使光线在光纤中螺旋前进，不到达光纤的外表面， 避免折射造成的能量损失。现考虑一种由所谓自聚焦光纤构成的圆 柱体，其对称轴为z轴，它的一段如图7所示。在光纤中建立柱坐 标系，光纤中质元的位置坐标为（ρ，0，z).光纤中任意一点的折射率 n随该点到z轴的距离p的增加而递减，即 n nov1-a2p2 这里，a和o均为大于零的常量，且a足够小。光纤内的光线是三维 图7a 空间曲线，记曲线的参数方程为 p=p(z), 0=0(z) 已知光纤的横截面半径足够大，光线轨迹始终不能到达光纤柱体的侧面。 (1)导出p(z)和8(z)满足的微分方程。 (2)如果在光纤内部z=0处，光线满足边界条件 p(0)=po,p'(0)=k1>0;6(0)=0,0'(0)=k2>0 其中字母右上角的撇号表示对z求导。求光线在此后的传播中，离轴线的最远距离pmax。 (3)在第(2)问的边界条件下，求解光线在直角坐标系中的轨迹x(z),y(z)。 第5页，共5页 第42届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答 (2025年9月20日9：00-12：00) -.(45分) (1)将分布函数f(r,)写为 f(r,v)=cf(x,vx)fy(y,vy)f2(z,vz) ① 其中c为归一化系数，且 fi(i,v)=exp mωi2+mv明 2kBT i=x,y,Z ② 由总原子数为N知 N=∫f(r,)drdv 由②和并利用积分公式，对(i=x,y,z)方向，得 fi (i,v)didvr 2πkBT e 2kBT di 00 e iksTdvi=moi 00 联立①②③④式解得 c=N m3 2πkgT WxWywz ⑤ .N( m(w2x2+wy2+w2z2)][m(经++2) WxWy@zexp 2kBT exp 2kgT ⑥ (2)设t时刻位于(x,y,z=h)、速度为（心y,z)的原子在t=0时位于(x,y,z),速度为（心x乃y,z), 则由 自由落体运动规律可知 x'+vxt=x,y'+vyt=y ⑦ z'+vt+=h ⑧ 2 以=x,以=y ⑨ v吆+gt=z ⑩ t时刻z=h平面附近的原子的纵向数密度为 n(t)=cf(x',v)f(y',vy)fz(z',v)dxdy dvxdvydvz ① 联立②⑦⑧⑨⑩①式，对x,y,vx,vy积分得 Nm@z 00 n(t)= 2πkBT -(-a)t)dm ② 联立②②式并利用积分式得 Nm@z wzhrt 12 mozh? n(t)= m(1+ω2t2) 2πkaT exp -00 2kgT z- 1+ω2t2 2kgT(1+@2t2) mw2 =N exp m( 2πkaT(1+ω2t2)】 2kBT(1+ω2t2) ③ t时刻通过z=h平面的原子流为 I(t)=cf(x'v)f(y'.v)fz (z'v2)vzdxdy duxdvydvz ④ 联立②⑦⑧⑨⑩④式，对x,y,Vx,,积分得 I(t)= Nm@z 2πkTJ」 ⑤ 联立②⑤式，并做变量替换 k-） 1+ω2t2 得 r00 I(t)= Nmwz m(1+wt2)22 exp muh-9)7 2πkBT 2kBT 2kBT(1+ω2t2) ω2htt 2+gt+ ⑥ 1+w2t2 dv" 利用⑥式和积分公式得 I(t)=N mah-生 2mkgT(1+aωt2可 2kBT(1+ωgt2) ⑦ (3)约束很强时，w:→∞， 由③式得，n(t)可近似为 m-) ⑧ 2kgTt2 为使n(t)最大，应有dn/dt=0,将⑧式对t求导并令其为零得 0=m-() kpTt2 ⑨ 在低温极限下，令上式的解为tn=to+6t,代入上式并只保留到δt或T中任意一个的最低阶，得 0=mh2-g2# mg4牡36t-kmTt6+0(T2,6t2,T6》 四 令②⑩式中的领头阶和次领头阶均为零，联立解得 2h kBT 2h to= 6t=- 四 2mgh 即 tn=（1-2mgn kBT 2h 四 当约束很强时，由⑦式得 m-)】 2kBTt2 ⑧ 为使原子流密度最大，将②式代入”=0得 dt 0=-2ht2kg7」 四 在低温极限下，令上式的解为t,=t1+6t,代入上式并只保留到8t或T中任意一个的最低阶，得 0=a+号)(r-）-a+号)g+g(r-）st 2ht kBT +0(T2,6t2,T6t) 西 m 令⑤式中的领头阶和次领头阶均为零，联立解得 2h kBT 2h t1= 6t= 西 2mgh、g 即 t=（1 kBT 2h ⑩ 2mgh tn的解法2： 将⑨式直接化为 0=t4+ 4kT2- 4h2 mg2 20 g2 求解②⑩可得唯一具有物理意义的解 2kBT kT2h2 +2 四 mg2 V(mg2) *g 将@按小T温度展开得 kBT 2h tn(1 @ 2mgh t的解法2： 在四式中令x= (),= 它可以化为： mgh x3+x2-(1-t)x-1=0 利用卡丹达诺公式可得到唯一具有物理意义的解为 1 =x= 1,4-3 9r3W3 31/9.3V3 3+3(8+2+232r-132+4r +8+2232红-132+4虹 将⑤按小T展开得 =1-+0 团 即 =(1- kBT 2h ⑩ 2mgh (4)约束很强时，由⑧式得 In n(t)=co-Int- ⑧ 2kBTt2 其中co为和t无关的量。将⑧式在t=tn附近展开，得 In())+() 四 2 由于tm为n(t)最大值对应的t,故四式中一阶项应为零，即 mg24n2、h2 ua0后+ ⑩ 3 其中使用了⑨式。四式中的二阶项为 3h2 @ 在低温极限下，将②式代入上式得 mg2 lnn(eJtn≈- ② 四式两边取指数得 n≈nepe-)( 国 2 比较②⑧及题给条件可得 1 mg2 四 即 kgT 西 Vmg2 评分标准：本题45分。 第(1)问7分，①③式各1分，④⑤式各2分，⑥式1分： 第(2)问16分，⑦⑧⑨⑩式各1分，①②③④式各2分，⑤6式各1分，⑦式2分： 第(3)问12分，⑧⑨20式各1分，@式2分，②⑧四⑤式各1分，西式2分，⑩式1分： 第(4)问10分，®式2分，四⑩①②③④式各1分，⑤式2分。 二.(45分) (1) (1.1)设二次离子质量为M、速度为V。它在平行板均匀电场中做斜抛运动，设其加速度大小为a,按 牛顿第二定律得 =Ma g2 d ① 水平运动的距离L为 L=Vcose 2Vsine ② 二次离子的动能为 K=IMv ③ 2 由①②③式得，二次离子在平行板均匀电场中水平运动的距离L为 L=V cose, 2V sind 2dMy'sin cos2Kd sin(20) ④ 9'a qVA 9V dM 在下电极板下的无场区域运动时，不论是进入平行板前还是离开平行板后，其倾角都是日，故X,(@)的表 达式为 )(cot=2Kdsim(2+:)cot ⑤ gVa (1.2) 令0，=0，+△8，由⑤式得 4 Xo(%+△8)= 2K,dsim28+△8】+g1+yo)cot8+△8） ⑥ 4' 将③⑥式展开至0[(48，)3有 X,(e+△e)= 2Kdsin()) QVa [4 dcos282+wm+）A △a GV sin2 ⑦ 1-8Kd sin(:) cos in (△8)2+o[(a4)] 4'a 按题给二级聚焦的定义得 4K:d cos(2)+Y:) -1 -=0 8 9V n2 8K,dsin(2)++Yp:) cos0L=0 ⑨ 9,'a in 由⑧式得 YoI+Y2= 4K,d cos(20,)sin ⑩ q2Va 将⑩式代入⑨式得 (2sin6)2=1 ① 又 0<4<号 ② 因而 4=8 3 将③式代入②⑩式得 K,d ④ 2g2(Yo1+Y2) Xp(8)=3W3(Y1+Yo2) ⑤ (13)二次离子离开下平行板时距入射狭缝中心线的水平距离XM为 Ico0+m+/sin2Kdsin(20) 6 tan qVa 前两项是进入平行板前的水平运动距离，后一项是在两个平行板之间区域内的水平运动距离。假设x和y分 别是离子被接收板接收时距入射狭缝中心线的水平距离和距下平行板的垂直距离，从图2b可看出 x=Xp-scos6 ⑦ y=Yp2 +ssine ⑧ 离开下平行板后离子的运动方向与水平方向的夹角仍是日，有 y=tane 1⑨ x-Xv 将⑥⑦⑧式中的x,y,XM代入⑨式得 tan+-(cos tan+sindsin 5= gVa —=-sin(9+8) ②0 cos 0,tan+sin sin(+) 5