3.1用树状图或表格求概率（第2课时）（教学设计）数学北师大版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦“用树状图或表格求概率”第二课时，核心是多步骤事件的结果列举与概率计算。通过“温故知新”回顾树状图、列表法原理及概率公式，衔接第一课时基础，以“石头剪刀布”游戏情境引入，搭建从简单操作到复杂应用的学习支架。 本设计特色在于融合生活情境与数学思维，以“石头剪刀布”“掷骰子”等游戏为载体，引导学生用树状图或列表法有序列举结果，判断公平性，体现“用数学眼光观察现实世界”。小组合作探究中，通过方法选择（如树状图体现顺序、列表法突出组合）培养逻辑推理与分类讨论能力，落实“用数学思维思考现实世界”。对学生而言，提升概率应用与建模能力；对教师而言，提供分层问题设计与合作指导策略，助力高效教学。

3.1用树状图或表格求概率（第2课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第三章“用树状图或表格求概率”3.1用树状图或表格求概率（2），内容包括：掌握多步骤事件的树状图构建与概率计算． 2.内容解析 本节课是在学生第一课时掌握树状图、列表法基本原理及简单应用后的巩固深化课，核心围绕方法熟练运用 — 场景灵活选择 — 问题综合解决展开，通过多样化的实际情境问题，推动学生对概率计算的理解从会操作向善应用进阶.​ 二其中涉及的复杂事件转化、方法选择策略、概率决策应用等为后续用频率估计概率、概率的综合应用奠定基础 —— 只有熟练掌握等可能事件的概率计算，才能理解频率与概率的关系. 综上，本课时既巩固了第一课时的基础技能，又通过复杂情境与实际问题，推动学生对概率的理解从数学操作走向生活应用，是概率模块从基础到综合的关键衔接环节 ​基于以上分析，确定本节课的教学重点为：熟练运用树状图法和列表法列举两步随机事件的所有等可能结果，并准确计算事件概率，能根据概率结果判断游戏规则的公平性. 1.教学目标 （1）能熟练运用树状图或表格有序列举两步及以上等可能事件的所有结果，并准确计算其概率，培养逻辑推理能力. （2）能结合具体问题情境，选择恰当的列举方法分析概率问题，明确两种方法的适用场景与优劣. （3）能根据概率计算结果，判断游戏的公平性，初步具备基于概率分析实际问题的能力. 2.目标解析 （1）学生要能够熟练化运用这两种列举方法，同时要能将方法应用于两步及以上更复杂的随机事件场景. ​经历有条理的分析推导，最终得出概率结论，强化有理有据思考与表达的逻辑意识. （2）学生要从机械使用方法进阶到主动选择方法，结合具体问题的情境特征，判断树状图或列表法哪种更高效、更易操作. 同时，要明确两种方法的适用场景与优劣. （3）经历计算不同参与者获胜的概率的过程，对比概率是否相等，进而判断规则是否公平。这让学生体会到公平性的数学本质，而非单纯的形式公平. 这一过程强调学生能将游戏规则等现实情境抽象为概率模型，体现了数学建模与应用意识的核心素养，让学生切实感受到数学与生活的紧密关联 学生通过第一课时的学习，已初步掌握树状图、列表法求概率的基本流程，能对摸球抛硬币这样的简单两步随机事件，完成列举等可能结果、计算概率的操作，理解概率 = 目标结果数 / 总等可能结果数的核心逻辑。但对于 “两步及以上”“含复杂限定条件的事件，方法的迁移性与应用熟练度不足，需要在本课时通过多样化情境强化. 1.学生在列举结果时，易因无固定顺序出现重复或遗漏，面对选择列举方法、将复杂事件转化为基本事件等任务时，缺乏分类讨论、有序拆解的高阶思维习惯，需教师引导突破思维难点. 2.学生在小组合作学习的经验较普遍，但在探究掷骰子点数和概率、复杂摸牌问题等任务时，部分学生存在分工低效、表达模糊、思路整合困难的问题，需要教师在课堂中进行针对性的合作方法指导. 3. 当问题涉及多步骤、复杂表述时，学生易因情境抽象、步骤繁琐产生畏难心理，需要教师通过分层问题设计、趣味生活情境等方式，激发持续的学习动力，帮助学生建立解决复杂问题的信心. 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：针对具体问题情境，能灵活选择树状图或列表法，解决结果数量较多或情境稍复杂时的情境. 1.温故知新 本节课将进入用树状图或表格求概率第二课时的学习，先回顾以下问题： (1) 树状图的绘制逻辑是什么？ 分层绘制分支，确保不重复、不遗漏地列举所有等可能结果． (2) 列表法的构建方式是什么？ 将表格的“行”和“列”分别对应两个相互独立的操作步骤或对象分组，其中行表示第一个对象，列表示第二个对象. (3) 等可能结果的含义? 每个结果出现的概率相等，这是计算等可能事件概率的前提. (4)概率的核心计算公式. P（A）=，n 是所有等可能结果的总数，m 是事件A包含的结果数. 通过以上问题，猜测一下：什么情况下用树状图？什么情境下用列表法让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，夯实方法基础，保障进阶学习） （教学建议：教师提问，利用问题串引导，深化思维深度，有利于学生启发学生并展开本节课的学习） 2.情景引入 由小明和小颖做“石头、剪刀、布”的游戏。如果两人的手势相同，那么小凡为游戏的获胜者；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，小明和小颖中的获胜者为游戏的获胜者。 假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同，你认为这个游戏对三人公平吗？ (设计意图：石头、剪刀、布”是学生日常游戏，易引发共鸣，此外，加入第三方“小凡”，打破传统双人游戏认知，激发探究欲) 探究点1　“石头、剪刀、布”游戏公平性探究 情境回顾：小明和小颖玩“石头、剪刀、布”，手势相同时小凡获胜；手势不同时按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”规则，小明或小颖获胜。假设两人每次出三种手势的可能性相同，游戏对三人公平吗？ 1. 明确问题——什么是“游戏公平” 问题1：如何判断一个游戏是否公平？ 答：游戏是否公平，看三人获胜的概率是否相等，若相等，则游戏公平，反之则不公平. 2.小组合作： （1）学生以 4 人小组为单位开； （2）用树状图列举小明和小颖的所有手势组合： （教师提示学生：注意列树状图的时候要注意小明和小颖出拳的先后顺序） （3）观察统计，游戏共有几种可能？每种可能出现的概率一样吗？ 答：总共有9种可能的结果，且每种结果出现的可能性相同 3.计算三人获胜概率 三人赢下游戏的概率分别是多少？ （1）小凡获胜：两人手势相同（“石头，石头”“剪刀，剪刀”“布，布”）.这类结果共3种，因此小凡获胜的概率P==; （2）小明获胜：小明胜小颖（ “石头，剪刀”“剪刀，布”“布，石头”）.这类结果共3，因此小明获胜的概率P==; （3）小颖获胜：小颖胜小明（ “剪刀，石头”“布，剪刀”“石头，布”）.这类结果共3种，因此小颖获胜的概率P==. 4.你认为这个游戏公平吗？ 答：因为三人获胜的概率相等，所以这个游戏对三人公平 5.引导学生尝试用列表法呈现结果，重复步骤概率计算，验证结论是否与树状图法一致. 小明手势 石头 剪刀 布 石头 (石,石)-小凡 (石,剪)-小明 (石,布)-小颖 剪刀 (剪,石)-小颖 (剪,剪)-小凡 (剪,布)-小明 布 (布,石)-小明 (布,剪)-小颖 (布,布)-小凡 三人获胜概率均为.，游戏对三人公平. 6.知识小结 引导学生总结：树状图法的优缺点？列表法呢？ （1）树状图法的优势在于能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性；但当步骤更多或结果数量较大时，分支会变得繁琐、视觉上不够紧凑，绘制和查看的效率会降低 （2）列表法的优势在于简洁紧凑，突出结果的组合性；但不易体现事件的先后顺序 7.即时训练 甲、乙两人玩 “摸卡片比数字” 游戏，规则如下： 准备分别标有数字1、2、3的三张卡片，打乱后背面朝上放置。甲先随机摸出一张卡片，记录数字后放回并重新打乱；再由乙随机摸出一张卡片.若甲摸出的数字大于乙摸出的数字，则甲胜；若乙摸出的数字大于甲摸出的数字，则乙胜；若数字相等，则重新摸卡，直到分出胜负.已知甲、乙每次摸卡时，摸到标有1、2、3的卡片的可能性相同，这个游戏对甲、乙公平吗？ 解：用树状图列举所有可能结果 甲 乙 ├─── 1 ────1 ─── (1,1)平局 │ ├─── 2 ─── (1,2)乙胜 │ └─── 3 ─── (1,3)乙胜 开始├─── 2 ────1 ─── (2,1)甲胜 │ ├─── 2 ─── (2,2)平局 │ └───3 ─── (2,3)乙胜 └─── 3 ───1 ─── (3,1)甲胜 ├─── 2 ─── (3,2)甲胜 └─── 3 ─── (3,3)平局 总结果数：9种 平局结果：3种 甲胜：(2,1)、(3,1)、(3,2) → 3种； 乙胜：(1,2)、(1,3)、(2,3) → 3种. 甲获胜的概率 =，乙获胜的概率 =，因此这个游戏对甲、乙公平. （设计意图：选用石头剪刀布这一学生熟悉的游戏情境，体现“数学源于生活”，激发探究兴趣；通过公平性判断渗透模型思想和分类讨论思想） （教学建议：在绘制树状图时，要确定分步顺序；同时在小组合作部分，要给组内成员布置清楚任务） 探究点2　掷骰子点数和的获胜概率最大化选择 问题展示： 小明和小军玩游戏：每人从(1,2,…,12)中选择一个数，随后两人各掷一次质地均匀的骰子，若谁选择的数等于 “两枚骰子掷得的点数之和”，谁就获胜；若两人选择的数都不符合点数和，则重复游戏直至分出胜负。若你是游戏者，应选择哪个数，才能让获胜概率最大？ 1.学生独立思考，分析事件并选择合适的方法 答：两人各掷一次骰子，属于两步随机事件.但由于需呈现两枚骰子点数和的组合关系，且两枚骰子的组合数过多，树状图法使用起来会变得繁琐且不够紧凑，因此列表法更适合直观展示所有结果.本体根式和列表法去列举所有情况. 2.用表格法列举所有结果 小明点数/ 小军点数 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 3. 组织学生统计每个点数和的结果数 点数之和 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 出现次数 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 概率 从表格中的数据，引导学生寻找出现次数最多的点数之和，可以发现什么？ 答：“点数之和=7”出现的次数最多，概率最大，其次是6和8 4. 作为决策者，应该选择哪个数字胜率最高？ 答：作为游戏者，应选择“7”，因为其获胜概率最大，高于其他数字 5.知识小结 通过游戏，你能否总结列表法的适用情境？ 答：当事件涉及两步组合求和且不用太过区分顺序时，列表法能直观展示结果关系，便于统计与概率分析. 6.即时训练 小明和小红玩游戏，规则如下：两人各掷一次质地均匀的骰子，若掷得的点数之积为偶数，则小明获胜；若掷得的点数之积为奇数，则小红获胜。这个游戏对小明和小红公平吗？若不公平，谁获胜的概率更大？. 解：用表格列举所有结果及积的奇偶性 小明掷得的点数/ 小红掷得的点数 1 2 3 4 5 6 1 奇 偶 奇 偶 奇 偶 2 偶 偶 偶 偶 偶 偶 3 奇 偶 奇 偶 奇 偶 4 偶 偶 偶 偶 偶 偶 5 奇 偶 奇 偶 奇 偶 6 偶 偶 偶 偶 偶 偶 从表中可以看出总结果数有36种；积为奇数有9种，积为偶数有27种. 小红获胜的概率为；小明获胜的概率为，因此这个游戏不公平，小明获胜的概率更大. （设计意图：强化列表法在两步随机事件中的应用，让学生熟练掌握列举所有等可能结果→统计目标结果数→计算概率的完整流程，深化对概率公式的理解与应用） （教学建议：针对点数和统计易出错的问题，教师用 PPT 或板书完整呈现 36 种结果的列表，带领学生逐一核对每个点数和的结果数） 例题导析 例1：同时掷两枚质地均匀的骰子，设第一枚骰子的点数为m，第二枚骰子的点数为n，求下列事件的概率： （1）两枚骰子的点数之和为5（即m+n=5）； （2）至少有一枚骰子的点数为3. 【分析】两枚骰子的结果适合用列表法，其中行、列分别对应第一枚、第二枚骰子的点数，清晰呈现 36 种等可能结果，体现两步独立、结果组合性强情境下列表法的优势. 【解答】（1）用表格列出第一枚骰子点数与第二枚骰子点数的和的所有组合 并从中寻找结果等于5的个数 第一枚骰子点数m/ 第二枚骰子点数n 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 统计表中的结果数可知共有36种结果，其中m+n=5的结果共4种，因此两枚骰子之和为5的概率P= （2）第一枚为3，第二枚不为3的情况有6种；第一枚不为三，第二枚为3的情况有6，其中两枚都是3的情况有重复，因此最终由11情况至少一枚骰子为3. 则至少一枚骰子为3的概率P=. 例2：甲、乙两人玩转盘游戏：转盘被等分为红、黄、蓝三个区域（指针指向区域边界时重新转动）。游戏规则为：甲先转动转盘一次，记录颜色后，乙再转动转盘一次；若两次指针指向的颜色相同，则甲获胜；若两次颜色不同，则乙获胜。这个游戏对甲、乙公平吗？ 【分析】甲转→乙转是两步有顺序的随机事件，适合用树状图，第一层为甲转动的颜色，第二层为乙转动的颜色，体现步骤清晰、层级明确情境下树状图的优势. 【解答】画树状图列出所有情况 甲转动 乙转动 │ ├─ 红 → (红,红)-甲胜 │ ─ 红 → ├─ 黄 → (红,黄)-乙胜 │ └─ 蓝 → (红,蓝)-乙胜 │ ├─ 红 → (黄,红)-乙胜 开始→│ ─ 黄 → ├─ 黄 → (黄,黄)-甲胜 │ └─ 蓝 → (黄,蓝)-乙胜 │ ├─ 红 → (蓝,红)-乙胜 │ ─ 蓝 → ├─ 黄 → (蓝,黄)-乙胜 │ └─ 蓝 → (蓝,蓝)-甲胜 从图中可以看出总结果数有9种，且每种结果等可能出现，但甲胜的情况只有三种，而乙有六种. 甲获胜的概率是，而乙胜的概率是，因此该游戏对甲不公平. （设计意图：训练学生用树状图或表格法有序列举两步独立事件的所有等可能结果，落实“不重复、不遗漏”的列举要求.） （教学建议：再教学时，先让学生尝试解决问题，再针对学生不理解的点重点展开讲解，同时每个题的解题分析要做好．） 1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，要列举所有可能结果，最适合的方法是（ A ） A. 树状图法 B. 列表法 C. 公式法 D. 以上方法都不适合 2.小明和小刚玩“猜拳”游戏（石头、剪刀、布），用树状图列举所有结果时，第一层分支代表的是（ A ） A. 小明出的手势 B. 小刚出的手势 C. 两人出的手势组合 D. 游戏结果 3.甲、乙两人各掷一次骰子，若“点数和为6”，则甲胜；若“点数和为7”，则乙胜。这个游戏（ B ） A. 对甲公平 B. 对乙公平 C. 对两人都公平 D. 无法判断 4.下列事件中，适合用树状图法列举结果的是（ B ） A. 从两张卡片中同时抽一张，求抽到红色卡片的概率 B. 先后两次抽奖，每次抽一张奖券（不放回），求两次都中奖的概率 C. 掷一枚骰子，求点数大于3的概率 D. 从装有3个红球、2个白球的袋子中摸一个球，求摸到红球的概率 5.一个游戏规则：掷两枚骰子，若点数之积为奇数，甲胜；若为偶数，乙胜。则（ B ） A. 甲胜的概率大 B. 乙胜的概率大 C. 两人胜的概率相等 D. 无法确定 6.用列表法列举“同时掷两枚骰子”的所有结果，总共有36种等可能结果。 7.小明和小红玩“摸球”游戏：袋中有2个红球、1个白球，小明先摸1个（不放回），小红再摸1个。要列举所有可能结果，应选用树状图法. 8.掷一枚骰子两次，点数和为8的概率是。 9. 甲、乙两人分别从 A、B 两个路口出发，每个路口都有 “直行”“左转”“右转” 3 种通行方式，且选择每种方式的可能性相同。规定： 若两人通行方式均为 “直行”，则甲胜； 若两人通行方式均为 “左转”，则乙胜； 其余情况重新通行，直到分出胜负。 （1）用列表法列举两人通行方式的所有可能结果； （2）计算甲、乙获胜的概率，说明游戏是否公平. 【解答】解：（1）用列表法列举两人通行方式的所有可能结果 甲的通行方式/ 乙的通行方式 直行 左转 右转 直行 (直行,直行) (直行,左转) (直行,右转) 左转 (左转,直行) (左转,左转) (左转,右转) 右转 (右转,直行) (右转,左转) (右转,右转) 由表可知，总结果数为9种，每种结果等可能出现. （2）计算甲、乙获胜的概率及公平性判断 甲胜的结果数有1种，乙胜的结果数也有1种，重新通行的结果数有7种， 由于重新通行时胜负概率不变，仅需比较有效结果 甲获胜的概率P=；乙获胜的概率P=. 设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略. 题型一：两步随机事件的概率计算 1.（2024・北京中考模拟）从分别标有数字 1，2，3，4 的四张卡片中，随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，求两次抽取的卡片数字之和为 5 的概率. 【分析】不放回抽样的两步事件，计算“两次数字之和为5”的概率，需用树状图或表格法列举所有可能结果，忽略不放回条件，误按“放回抽样”计算总结果数，或遗漏部分和为5的组合. 【解答】解用树状图列举所有结果 第一次抽取 第二次抽取（不放回） ├─ 1 → │ ├─ 2 → (1,2) 和=3 │ ├─ 3 → (1,3) 和=4 │ └─ 4 → (1,4) 和=5 ├─ 2 → │ ├─ 1 → (2,1) 和=3 │ ├─ 3 → (2,3) 和=5 开始→ │ └─ 4 → (2,4) 和=6 ├─ 3 → │ ├─ 1 → (3,1) 和=4 │ ├─ 2 → (3,2) 和=5 │ └─ 4 → (3,4) 和=7 └─ 4 → ├─ 1 → (4,1) 和=5 ├─ 2 → (4,2) 和=6 └─ 3 → (4,3) 和=7 总结果数有12种；和为5的结果有 4种，因此和为5的概率P=. 【点评】本题考查学生对列举法的使用，不放回抽样的多步骤事件，树状图能清晰呈现“第一次抽取→第二次抽取”的分步过程，避免遗漏 2. （2023・四川成都中考）同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之积为偶数的概率. 【分析】放回抽样的两步独立事件，计算点数之积为偶数的概率，可通过表格法列举所有36种结果，或利用对立事件简化计算 【解答】解：表格法列举结果， 第一枚骰子点数/ 第二枚骰子点数 1（奇） 2（偶） 3（奇） 4（偶） 5（奇） 6（偶） 1（奇） 奇 偶 奇 偶 奇 偶 2（偶） 偶 偶 偶 偶 偶 偶 3（奇） 奇 偶 奇 偶 奇 偶 4（偶） 偶 偶 偶 偶 偶 偶 5（奇） 奇 偶 奇 偶 奇 偶 6（偶） 偶 偶 偶 偶 偶 偶 积为奇数的结果数有9种；积为偶数的结果数有27种；则两枚骰子点数之积为偶数的概率为P= 【点评】本题考查的不仅仅是列表法解决问题，其实也考查对立事件法比表格法更高效，但这需要在后期的学习种体现． 3. （2024・山东青岛中考模拟）袋子中有红、黄、蓝三种颜色的小球各 1 个（除颜色外完全相同）。先摸出 1 个小球，记录颜色后放回，摇匀，再摸出 1 个小球，求两次摸到的小球颜色相同的概率. 【分析】计算“两次摸到颜色相同”的概率，适合用表格法，也可以用列树状图法，“放回抽样”意味着第一次摸球后不影响第二次的概率. 【解答】用表格法列举所有结果 第一次摸球颜色/ 第二次摸球颜色 红 黄 蓝 红 (红,红) (红,黄) (红,蓝) 黄 (黄,红) (黄,黄) (黄,蓝) 蓝 (蓝,红) (蓝,黄) (蓝,蓝) 颜色相同的结果有 3种；总结果有3×3=9种，两次摸到的小球颜色相同的概率P= 【点评】本题考查抽奖转盘、密码解锁等放回抽样场景，培养用概率解释生活现象的能力． 4.（2023・江苏苏州中考）甲、乙两人玩 “猜数字” 游戏，甲从 1，2，3 中选一个数，乙也从 1，2，3 中选一个数，若两人选的数相同，则甲胜；否则乙胜。用列表法求甲胜的概率． 【分析】本题是两步独立事件，甲、乙分别从1,2,3中选数，选择相互独立，无放回/放回之分，因数字可重复选择．故用列表法列举所有可能结果会更清晰明了一些. 【解答】用表格法列举所有结果 甲选的数/ 乙选的数 1 2 3 1 (1,1) (1,2) (1,3) 2 (2,1) (2,2) (2,3) 3 (3,1) (3,2) (3,3) 甲胜条件共3种；总结果数有 9种，因此甲胜的概率P=. 【点评】本题考查为典型的两步独立事件），列表法能直观呈现所有9种组合，且对角线结果清晰对应选数相同的情况，避免遗漏． 题型二： 根据情境选择树状图或列表法 5. （2024・湖北武汉中考模拟）有 A、B 两个不透明袋子，A 袋有 1 个红球、1 个白球，B 袋有 1 个红球、1 个白球。先从 A 袋摸 1 个球，再从 B 袋摸 1 个球，判断用树状图还是列表法更适合列举 “两球颜色组合” 的结果，并说明理由。 【分析】两步独立事件，A袋摸球→B袋摸球，结果组合清晰，两种方法均可，但需比较简洁性、直观性差异． 【解答】两种方法均可，但列表法更适合， 理由如下：①表格直接呈现4种组合，无需绘制分支，视觉上更紧凑； ②行列交叉格清晰对应“两步结果”，便于快速统计； ③两步事件用表格法列举耗时更短，适合结果数较少的情境 【点评】本题不直接计算概率，而是聚焦方法选择，体现中考对“数学策略”的重视——不仅要会用工具，还要能根据事件特征选择最优工具. 6. （2023・浙江杭州中考模拟）小明依次抛两枚硬币（第一枚抛完看结果，再抛第二枚），要列举所有结果，应选树状图还是列表法？说明原因. 【分析】本题是有序两步事件（第一枚→第二枚），结果包含顺序信息，需突出分步顺序． 【解答】结论：树状图更适合 理由如下：①树状图通过第一层→第二层的分支结构，明确呈现先抛第一枚，再抛第二枚的先后顺序，避免学生误认为“(正,反)”与“(反,正)”是同一结果； ②对于依次抛掷的动态过程，树状图的“分支生长”更符合事件发生的时间线，帮助理解“有序结果”的本质； 【点评】本题通过依次抛掷强调顺序对结果的影响，考查树状图在有序事件中的独特优势——不仅列举结果，更能呈现结果生成过程. 7. （2024・广东深圳中考模拟）同时掷两枚质地均匀的骰子，分析用树状图列举点数和与用列表法列举点数和的优劣. 【分析】两步独立事件，需呈现点数组合及点数和，结果数较多且需关注和的分布规律，但和顺序没有太大关系． 【解答】结论：列表法更优. 理由如下： ①树状图法的分支繁琐，适用于多步骤、结果数少的事件，难观察和的分布 ②列表法易观察和的规律，适用于两步事件、需统计结果特征. 【点评】本题要求分析优劣，而非简单选择，需从结果呈现、规律观察、效率等多维度评估，体现高阶思维能力. 8. 从三男两女中选两人参加活动，一人先选，选后放回再选另一人，判断用树状图还是列表法更适合列举所有可能的性别组合，并计算 “一男一女” 的概率 【分析】第一次选后放回，两次选择相互独立，总结果数有25种，性别组合：关注“男/女”分类，可简化为“男（M）”“女（F）”两种结果，总组合数有4种． 【详解】列表法更适合， 第一次性别/ 第二次性别 男 女 男 (男,男) (男,女) 女 (女,男) (女,女) 由图可知，性别组合仅4种，一男一女的概率P=. 【点评】本题虽涉及5人，但核心是性别组合，列表法通过“男/女”分类简化列举，避免树状图因“具体人选”导致的36个分支，体现“化繁为简”的数学思想——当事件可按特征分类时，列表法能快速聚焦核心组合． 题型三 游戏公平性判断 9. （2024・陕西西安中考模拟）甲、乙玩掷骰子游戏：甲掷一次骰子，若点数为奇数则甲得 1 分；乙掷一次骰子，若点数为偶数则乙得 1 分。共掷 10 次，得分高者胜。判断游戏是否公平，并说明理由. 【分析】游戏公平性取决于单次甲、乙得分概率是否相等，与掷的次数无关；单次掷骰子，甲得分条件“奇数（1,3,5）”，乙得分条件“偶数（2,4,6）”，均为等可能事件. 【解答】骰子点数1-6，共6种等可能结果：甲得分概率 P=0.5；乙得分概率 P=0.5 单次甲、乙得分概率均为0.5，每掷1次两人得分概率相同； 共掷10次时，得分高者胜的概率也相等. 因此游戏公平，因为甲、乙单次得分概率相等 【点评】本题看似涉及10次掷骰子，实则通过单次概率是否相等判断公平性，避免学生被次数干扰，直击公平性本质——双方获胜的概率均等． 10. （2023・福建福州中考）转盘中 A、B、C 三个区域面积相等，甲、乙各转一次转盘，若指针都指向A则甲胜，都指向B则乙胜，否则重新转.判断游戏是否公平？ 【分析】转盘三等分，每次指向A,B,C的概率均为，其余情况重新转动意味着仅比较都指向A和都指向B的概率，忽略其他结果． 【解答】用列表法列举所有可能结果 甲转结果/ 乙转结果 A B C A 甲胜 重新转 重新转 B 重新转 乙胜 重新转 C 重新转 重新转 重新转 由表可知共有9种情况，甲乙获胜的概率都只有一种情况，因此他们获胜的概率都是.此游戏公平. 【点评】本题考查了判断游戏公平性的相关知识点，通过列表法清晰呈现重新转的7种情况，直观说明甲、乙胜的结果数均为1种，避免遗漏(A,A)和(B,B)的对称性． 11. （2024・辽宁沈阳中考模拟）用 1、2、3 三张卡片，甲先抽一张，放回后乙再抽一张，若两数之和为偶数甲胜，奇数乙胜，判断游戏是否公平. 【分析】需计算和为偶数与和为奇数的概率是否相等，和的奇偶性取决于两次抽卡的奇偶组合． 【解答】列表法列举所有和的奇偶性 第一次抽卡/ 第二次抽卡 1（奇） 2（偶） 3（奇） 1（奇） 偶 奇 偶 2（偶） 奇 偶 奇 3（奇） 偶 奇 偶 由表可知和为偶数的情况有5种；和为奇数有四种 4种，因此甲乙获胜的概率分别是、. 甲获胜的概率大于乙获胜的概率，因此游戏不公平. 【点评】此题考查奇偶性规律的应用，无需计算具体和，通过奇+奇=偶，偶+偶=偶快速统计；这也体现“分类计算”的高效性． 12. （2023・重庆中考）甲、乙两人玩 “石头、剪刀、布” 游戏，规则：若两人手势相同则平局，重新玩；若不同，按 “石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头” 规则胜者得 1 分，玩 5 次，得分高者胜。判断游戏是否公平. 【分析】每次游戏甲、乙手势选择相互独立，且手势“石头、剪刀、布”为等可能结果，若是手势相同则重玩，不影响单次有效游戏的概率． 【解答】列举单次游戏的所有可能结果 甲手势/ 乙手势 石头 剪刀 布 石头 平局 甲胜 乙胜 剪刀 乙胜 平局 甲胜 布 甲胜 乙胜 平局 总等可能结果有9种，其中平局有 3种；甲胜的情况 3种；乙胜的情况有3种 因此甲乙获胜的概率均为，游戏公平. 【点评】本题通过平局重玩的规则设计，重点考查学生对独立事件概率和条件概率的理解——平局不影响有效胜负的概率对称性. 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力. 1.树状图法 （1）特点：能清晰体现事件发生的步骤性与顺序性，直观展示结果的生成过程. （2）适用情况：适合多步骤、有明确先后顺序的随机事件. 2.列表法 （1）特点：以 “行 × 列” 的二维表格形式呈现结果，简洁紧凑，突出结果的组合性 （2）适用情况：适合两步独立且结果为组合配对的随机事件.设计意图：运用文字按顺序排列的方式清晰呈现，增强学习的主动性与连贯性. 1.必做题：随堂练习 2.探究性作业：习题3.1 第3题. 3.1用树状图或表格求概率（第2课时） 1.树状图法 （1）特点：步骤性与顺序性，直观展示. （2）适用情况：多步骤、有先后顺序. 2.列表法 （1）特点：简洁紧凑，突出组合性 （2）适用情况：适合两步独立、组合配对的随机事件. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $