专题2.3 双曲线及其标准方程重难点题型讲义（2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选择性必修第一册）

该高中数学讲义围绕双曲线的核心概念与标准方程，构建了“定义理解—方程求解—几何应用—综合拓展”的四维知识体系，通过清晰的思维导图梳理11类典型题型与2大拓展训练，用表格对比焦点位置、参数关系及轨迹特征，直观呈现重难点分布和内在逻辑联系。 讲义的亮点在于以核心素养为导向设计练习，如题型三利用双曲线定义求最值，培养学生几何直观与逻辑推理能力；题型十根据过点求方程，强化建模意识与运算能力。每类题型均配经典例题与变式训练，基础层学生可掌握通法，提升层学生能突破难点，教师据此实现分层教学与精准反馈。同时提供自我检测与错题归因建议，助力学生自主复习，提高课堂效率。

专题2.3 双曲线及其标准方程重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 双曲线定义的理解 题型二 利用双曲线定义求方程 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五 判断方程是否表示双曲线 题型六 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型七 根据双曲线方程求a、b、c 题型八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 题型九 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型十 根据双曲线过的点求标准方程 题型十一 求双曲线的轨迹方程 拓展训练一 双曲线的定义及应用 拓展训练二 双曲线方程相关问题 知识点一：双曲线的定义 1.定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.集合语言表达式 集合:. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【知识剖析】 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即时训练】 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，若，则（   ） A．1 B．9 C．3或7 D．1或9 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算并根据最值可得结果. 【详解】根据双曲线定义可知， 所以或； 又因为双曲线上的点到焦点距离的最小值为，所以舍去； 可得. 故选：B 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 【答案】13 【分析】由焦半径取值范围确定P点位置，从而由双曲线定义即可求解. 【详解】由题意， 所以当在左支上时，当在右支上时， 因为，所以在右支上，所以. 故答案为：. 知识点二：双曲线的标准方程 1.标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 【知识剖析】 探究双曲线的标准方程中的“标准” 连接双曲线两焦点所得线段的中点在原点，且平面直角坐标系是以两定点所在直线和两定点所连线段的垂直平分线为坐标轴建立的，不符合上述特征的双曲线的方程都不是双曲线的标准方程. 2．探究双曲线的标准方程 (1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,a<b,a=b均有可能,这不同于椭圆中的限制条件a>b>0. (2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件. (3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含项的系数为正;焦点在y轴上标准方程中含项的系数为正. 3.双曲线的一般方程 若不能确定双曲线焦点的位置,常可设出所求双曲线的一般方程. (1)当m>0,n<0时，双曲线的焦点在x轴上； (2)当m<0,n>0时，双曲线的焦点在y轴上. 4.双曲线的基础三角形 在双曲线的标准方程中，因为a,b,c三个量满足,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,此三角形为双曲线的基础三角形，且长度为c的线段是此三角形的斜边,如图. 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义确定的值，即可得双曲线方程. 【详解】因为， 由双曲线的定义可得即，且焦点在x轴上， 所以双曲线的方程为． 故选：A. 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的. 【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 【经典例题一 双曲线定义的理解】 【例1】（22-23高三上·辽宁锦州·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【答案】B 【分析】由渐近线方程可得，则，后由双曲线定义可得答案. 【详解】由，可得，则. 又因在双曲线，则由双曲线定义，有，可得. 故选：B 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【详解】（1）由题意，适当选取两定点，，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在处， 在另一边上截取一段（小于），作为动点到两定点和的距离之差， 而后把它固定在处，这时将铅笔（粉笔）置于处， 于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支，（如图所示）， 显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同， 其原因都是应用了“平面上到两定点的距离之差或是同一个常数”这个条件． （2）不是，是以，为端点的两条射线． 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，由题意可得为线段的中点，且，再结合双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的对称性不妨设点在双曲线的右焦点， 如图，延长交于点， 因为为的角平分线，， 所以为线段的中点，且， 又为线段的中点， 所以. 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知曲线C的方程为，则（    ） A．曲线C可以表示圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 【答案】CD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的相关知识，对每个选项逐一分析即可. 【详解】若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确； 若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确； 若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确. 故选：CD 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的方程为，点，点，点为双曲线上的一个动点，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】结合图形可知点为上支上的点时才可能取得最小值，根据双曲线的定义可得， 所以，当且仅当三点共线时取等号. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，且，所以点为双曲线的上焦点， 设下焦点为，结合图形可知点为上支上的点时才可能取得最小值， 由双曲线的定义可得，所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号.故的最小值为7. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线和点，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求的最小值. 【答案】3 【分析】利用圆锥曲线的定义，P到右焦点的距离与P到右准线的距离之比等于离心率，结合图形的最小值即为点到双曲线右准线的距离，计算可得. 【详解】由双曲线的方程，知，， ∴，离心率，右准线的方程为， 设点P到右准线的距离为，由圆锥曲线的第二定义可得，即，    如图所示，过P作右准线的垂线，垂足为D， 则， 所以当P，A，D三点共线时， 的值最小为. 故答案为:. 【经典例题二 利用双曲线定义求方程】 【例1】（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线定义即可求解. 【详解】设动点，则由题意可得， 所以动点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数8，又， 所以由双曲线定义可知P点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）相距的A，B两个观察站都听到了一声巨响，且在A处听到的时间比在B处听到的时间早．已知当时的声速是，发出巨响的点与A，B都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程． 【答案】 【分析】依题意设点在点左侧，以的中点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设爆炸点为，即可得到，根据双曲线的定义可知点在以、为焦点的双曲线的左支上，且、，再根据，求出，即可求出曲线方程； 【详解】解：依题意设点在点左侧，以的中点为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，设巨响点为，由题意知，，，所以点在以、为焦点的双曲线的左支上，其中、，所以，又，所以，所以巨响的点所在曲线的方程为 1．（22-23高二上·辽宁大连·期末）已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动圆半径为， 由于动圆P与两圆和都外切， 所以，， 即， 可知动圆P圆心的轨迹为以为焦点，实轴长为4的双曲线的左支， 即，，， 所以动圆P圆心的轨迹方程为， 故选：A. 2．（多选题）（23-24高三下·福建厦门·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】BC 【分析】分点A在圆内、圆外、圆上、圆心，作图，结合椭圆、双曲线定义以及圆的性质可知. 【详解】当点A在圆内时，如图1，因为点Q在PA的垂直平分线上，所以，所以，又，所以由椭圆定义知，此时轨迹为椭圆； 当点A在圆外时，如图2，，且，由双曲线定义可知，此时轨迹为双曲线；当点A在圆上时，易知点Q为定点，即圆心O；当点A在于点O重合时，易知Q为AP的中点，轨迹为圆. 故选：BC 3．（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆的圆心的轨迹方程． 【详解】设，的圆心分别为，，圆的半径为． 因为，所以当动圆的半径小于2时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以， 当圆与圆内切、与圆外切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的左支； 当圆与圆外切、与圆内切时，有， 则，圆的圆心轨迹是以，为焦点的双曲线的右支． 因此圆的圆心的轨迹是以，为焦点的双曲线，，， 则，，，方程为． 故答案为：． 4．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【答案】(1)的长度最短，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用两点距离公式，通过比较，可得答案； （2）由题意整理等量关系，结合双曲线方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，，， ，， 路线的长度：， 路线的长度：， 因为，则路线的长度最短. （2）设点，已知， 可得， 所以点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分， 则，即，又因为，， 则点的轨迹方程为. 【经典例题三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例1】（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的渐近线方程求出的值，求出的取值范围，结合双曲线的定义可求得的值. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则， 因为，则，所以，， 设点，其中或， 则， 若点在双曲线的右支上，则，则， 当点在双曲线的左支上，则，则. 由双曲线的定义可知，解得（舍）或. 故选：D. 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）以中点为坐标原点建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，设出方程，即可求得结果； （2）根据题意，求得，结合点的坐标满足双曲线方程，联立方程组即可求得点的坐标. 【详解】（1）以A､B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设､，则点满足， 故点在以为焦点的双曲线上，设其方程为， 则，解得， 故点P所在曲线的方程为； （2）根据题意可得：，即， 又，故可得，设点坐标为， 由点在双曲线上，故可得，则， 由，故可得，即， 整理得：，解得（舍）或，此时，， 故点的坐标为. 1．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 2．（多选题）（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】因为双曲线的方程为，所以，即， 由双曲线的定义可得， 又，所以，即， 当时，， 当时，， 所以的值为或. 故选：AC. 3．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ． 【答案】 13 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x21的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】 圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为． 设双曲线的左、右焦点分别为，，连接，，，， 可得， 当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即的最小值为13， 此时P点坐标为． 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【答案】 【分析】考虑点P在双曲线的两支，左支时，由双曲线定义可得，右支时，，据此可得答案. 【详解】因双曲线为，则. 为双曲线上一点，当在左支上时，由双曲线定义可得: , 当且仅当三点共线时取等号； 当在右支上时，， 所以， 当且仅当三点共线时取等号. 又，则的取值范围为． 【经典例题四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例1】（2022·河南洛阳·三模）设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据点的轨迹方程及可得，结合勾股定理及可得从而得的面积. 【详解】依题意，所以， 所以． 又，即， 所以，所以. 故选：A． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 【答案】 【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形中利用等面积法求解即可. 【详解】    由题可得，， 所以, 设，则，解得, 由于对称性，不妨取，所以 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为， 在直角三角形中，， 所以. 1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由可知，然后结合双曲线的定义求得，计算面积即可. 【详解】因为双曲线C：，所以， 因为，所以，所以， 由双曲线的定义知：， 两边同时平方得：， 所以，故. 故选：D 2．（多选题）（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出双曲线的实半轴长及半焦距，再利用双曲线的定义，结合三角形内切圆的性质逐项计算判断即得. 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距， 设的内切圆在，，上的切点分别为，切点，    显然，即，而，则的横坐标为，A正确； 设的内切圆半径为，则，B正确； 延长交于点，由平分，，得，为的中点， 因此，即有，C正确； ，D错误. 故选：ABC 3．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 【答案】16 【分析】根据双曲线上的点的对称性可得，结合双曲线的定义得，设，则，利用对称产生的直角三角形结合勾股定理列式求解的值，从而得四边形的面积. 【详解】如图，因为关于直线对称，设交与， 则，且，    由双曲线定义可得，所以， 在中，， 设，则， 在中，由得①， 在中，由得②， 解①②可得：， 所以， 于是可得四边形的面积为. 故答案为：. 4．（2024高三·全国·专题练习）经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，设为双曲线的左焦点，求△的周长． 【答案】 【分析】由题设可知为，联立双曲线方程应用韦达定理求、，进而求出及，根据双曲线定义可得，即可求△的周长． 【详解】由，得，，，焦点，． 设，，则直线的方程为． 由得：，则，． 于是． 由，解得A的横坐标，代入直线：，得． ∴． 由图所示，由双曲线的定义得，两式相减． ∴△的周长. 【经典例题五 判断方程是否表示双曲线】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）若，则这个曲线是（    ） A．双曲线，焦点在轴上 B．双曲线，焦点在轴上 C．椭圆，焦点在轴上 D．椭圆，焦点在轴上 【答案】B 【分析】方程两边同除以得，再根据即可得答案. 【详解】解：将方程两边同除以可化为， 因为，所以， 所以方程表示的曲线是双曲线，且焦点在轴上. 故选：B. 【例2】（2024高二·全国·专题练习）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可． 【详解】（1）因为，即，方程表示双曲线， 所以，解得或； 所以或； （2）因为，即，焦点在轴上的双曲线， 则，解得， 所以； （3）因为1，即，焦点在y轴上的双曲线， 则，解得， 所以. 1．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知 为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：直线可化为，其斜率和纵截距分别为，曲线可化为．选项A中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合；选项B中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合；选项C中，由直线所在位置可知，，曲线中也有，符合；选项D中，由直线所在位置可知，，而曲线中，不符合，故选C． 考点：本题考查的知识点是圆锥曲线的标准方程，以及直线的斜截式方程的掌握，重点是根据直线的方程和圆锥曲线的标准方程． 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期末）已知，曲线：，则（    ） A．当时，是轴 B．当时，是椭圆 C．当时，是双曲线，焦点在轴上 D．当时，是双曲线，焦点在轴上 【答案】CD 【分析】通过的取值范围，判断选项正误即可. 【详解】，曲线：， 对于A，当时，方程化为，是轴，故A错误； 对于B，当时，方程化为，当时，曲线是圆，故B错误； 对于C，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故C正确； 对于D，当时，是双曲线，方程化为，焦点在轴上，故D正确， 故选：CD. 3．（23-24高三上·北京丰台·期末）能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是 ． 【答案】之间的数即可 【分析】根据二次曲线不表示双曲线，列出不等式，转化求解即可． 【详解】解：方程表示的曲线不是双曲线， 则有； 解得：； 故答案为：之间的数即可. 4．（2024·全国·高考真题）如图，已知两条直线，．有一动圆（圆心和半径都在变动）与、都相交，并且、被截在圆内的两条线段的长度分别是定值、．求圆心的轨迹方程，并说出轨迹的名称． 【答案】圆心的轨迹方程为，圆心的轨迹为双曲线. 【分析】设圆心的坐标为，计算出圆心到直线、的距离，结合勾股定理可化简可得出点的轨迹方程，可得出其轨迹曲线的形状. 【详解】解：设圆心的坐标为，则圆心到直线的距离为， 圆心到直线的距离为， 由题意可得，， 整理可得. 所以，圆心的轨迹方程为，且圆心的轨迹为双曲线. 【经典例题六 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例1】（22-23高三·全国·对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示双曲线求解实数k的取值范围即可. 【详解】曲线表示双曲线，所以即可. 解得或， 所以实数k的取值范围是：. 故选：B. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）（2）根据双曲线标准方程中的分母的正负解决即可. 【详解】（1）原方程可变形为， 要使方程表示双曲线，必须满足， 即或，解得或， 所以当或时，方程表示双曲线. （2）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，解得， 所以当时，方程表示焦点在轴上的双曲线. 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出的取值范围使得方程表示双曲线，然后再判断与这个取值范围的关系. 【详解】要使方程表示双曲线，则. 解不等式，可得. 当时，不一定满足，例如当时，方程不表示双曲线； 而当方程表示双曲线时，一定有，那么一定满足. 所以是方程表示双曲线的必要不充分条件. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程表示焦点在轴上的双曲线列式计算求解. 【详解】方程表示焦点在轴上的双曲线， 由题意可得 解得， 故选：B． 3．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用双曲线方程的特点，可得，解不等式，即可求出实数的取值范围. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，即或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程表示双曲线. （1）若命题是真命题，求实数的范围； （2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围. 【答案】（1）； （2）. 【分析】由方程表示焦点在y轴上的椭圆，根据椭圆的几何性质可得，，求解不等式可得答案；由双曲线的几何性质求出为真命题的的范围，结合，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围. 【详解】若命题p是真命题，则，解得； 若命题q为真命题，则，即． 命题“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假． 当p真q假时，，得； 当p假q真时，，解得或． 实数m的取值范围时． 【经典例题七 根据双曲线方程求a、b、c】 【例1】（22-23高二上·重庆永川·期中）已知双曲线的焦距为4，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程确定，根据，即可得的值. 【详解】解：已知双曲线的焦距为4，则， 又，解得. 故选：B. 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值． 【答案】10或2 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线的定义求解. 【详解】由双曲线可知，， 由双曲线的定义可知，， 即 ， 解得或. 1．（2023·浙江·二模）点和是双曲线的两个焦点，则 A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据双曲线方程可求焦距，即可得. 【详解】由可知 所以，则， 所以. 【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，双曲线的简单几何性质，属于中档题. 2．（多选题）（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设，利用点差法可求两点坐标，求出各线段的长度后可判断各项的正误，我们可可以根据双曲线中的极线是可得判断C，再由及比例的性质可判断B，由B的结论根据比例性质可推出判断A，再由及比例性质可判断D. 【详解】法1：设，不妨设. 由题设可得，故即为， 故，而，， 故，所以， 所以，故，故， 故，故，. 故的直线方程为：，故 故， ， ，， ，， 故，故A错误. 而，故B成立， 又，故C成立. 又，故成立， 故D成立， 故选：BCD . 法2：如图， 点的极线是，故成调和点列，即，故C正确； 又，所以，所以， 所以，故B正确； ，故A错误； ，故D正确. 故选：BCD 3．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点.若，则 . 【答案】/ 【分析】不妨设点为双曲线的右支上一点（不是顶点），延长、交于点，分析可知点为的中点，，利用中位线的几何性质以及双曲线的定义可得出、的等量关系，进而可求得的值. 【详解】不妨设点为双曲线的右支上一点（不是顶点），延长、交于点， 因为且，所以，， 易知为的中点，又因为为的中点，所以，， 又因为，，则， 即，解得. 故答案为：. 4．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程. 【答案】（1）（2）. 【分析】（1）根据条件，结合双曲线定义即可求得双曲线的标准方程. （2）当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线，变形后由中点坐标公式可求得斜率，即可求得直线方程. 【详解】（1）根据题意，焦点在轴上，且，所以， 双曲线的标准方程为C：. （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点， 当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意； 当斜率存在时，设直线方程为，设， 则，化简可得， 因为有两个交点，所以 化简可得恒成立， 所以， 因为恰好为线段的中点，则， 化简可得， 所以直线方程为，即. 【点睛】本题考查根据双曲线定义求双曲线标准方程，直线与双曲线的位置关系，由中点坐标求直线方程，属于中档题. 【经典例题八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征】 【例1】（23-24高三上·广东·阶段练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（    ） A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论. 【详解】双曲线可化为， 因为双曲线的焦点在轴上，所以，即． 故选：C. 【例2】（2024高三·全国·专题练习）根据k的变化，讨论方程所表示的曲线的形状. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，结合把大区域划分成小区域或用特殊值进行分类讨论，即可求解. 【详解】由方程且，从k的特殊值入手讨论： (1)当时，方程化为，表示两条平行于y轴的直线； (2)当时，方程化为，表示两条相交于原点的直线； (3)当且时，方程化为. 对两分母的符号再分三小类讨论： ①当，即时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线； ②当，即或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线； ③当，即时，由于， ∴当时，方程表示圆. 而当或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆. 综上，当时，表示两条平行于y轴的直线； 当时，表示两条相交于原点的直线； 当时，方程表示焦点在x轴上且中心在原点的双曲线； 当或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的双曲线； 当时，方程表示圆； 当或时，方程表示焦点在y轴上且中心在原点的椭圆. 1．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若双曲线=的一个焦点是,则的值是 A．-1 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】双曲线=的标准方程为, ∵焦点在轴上,∴,且, ∴ 故选A． 2．（22-23高三·全国·对口高考）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由焦点坐标计算即可. 【详解】双曲线，化为标准方程为：， 一个焦点是，所以焦点在轴上，. 所以，，所以，所以， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·上海浦东新·开学考试）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m= 【答案】 【分析】根据焦点相同，则焦距相等，建立方程求解. 【详解】由可得， 由可得 所以焦点在轴上，且， 解得， 故答案为： 4．（23-24高二上·河南许昌·阶段练习）已知双曲线：的焦点与椭圆:的两个顶点重合. （1）求双曲线的焦点坐标及实轴长； （2）若为与的一个交点，求. 【答案】（1）焦点坐标为，，实轴长为；（2）. 【分析】（1）根据双曲线的焦点只可能与椭圆长轴的两个顶点重合，可知焦点及，由可得实轴长（2）不妨设，，，计算 ，联立双曲线及椭圆方程可得代入即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点只可能与椭圆长轴的两个顶点重合， 所以双曲线的焦点坐标为，，即， 由，得，故实轴长为. （2）联立得 不妨设，，， 则 . 【点睛】本题主要考查了双曲线标准方程及简单几何性质，椭圆标准方程及简单几何性质，属于中档题. 【经典例题九 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·广东汕尾·期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，求出，的值，结合双曲线的方程进行求解即可． 【详解】解：设双曲线的方程为． 由已知得：，， 再由，， 双曲线的方程为：． 故选：D． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 【答案】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，又根据可得，即可求解. 【详解】由已知，，，，① ∵，则，∴， 则，∴，代入①式， 解得，， ∴双曲线的方程为． 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知离心率为2的双曲线，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将、到双曲线的同一条渐近线的距离之和转化成焦点到渐近线的距离，得到b值，再根据离心率，即求出a，得到双曲线方程. 【详解】设右焦点，依题意F是AB的中点，渐近线为， F到渐近线的距离为 ， 因为、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，F是AB的中点，所以，所以，故，得 ， 又因为离心率，得， 故双曲线的方程为. 故选：A. 【点睛】本题考查了双曲线的方程，属于中档题. 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由四边形的面积为，可得，又由内切圆的周长可以求出内切圆的半径，从而利用内切圆半径×周长÷2=四边形的面积可求出，进而得到关于a，b的两个方程，联立求解即可得答案． 【详解】解：因为四边形的面积为， 所以，整理得， 记四边形内切圆半径为r，则，得． 又，所以， 又，联立可得，或， 所以双曲线的方程为或． 故选：AB. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为 .①中心在原点，焦点在轴；②焦距大于12；③双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为4. 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据①可确定方程为，根据③得，根据②可得，进而得，即得. 【详解】由①设双曲线的标准方程为， 由③得， 由②得，所以，所以， 可取，此时双曲线方程为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程． 【答案】 【分析】先化椭圆方程为标准方程，求出椭圆的焦点，由此设出双曲线的标准方程，把点代入方程， 联立即可求得，的值，则双曲线的方程可求. 【详解】由，得，则 ，所以. 所以椭圆的焦点为，. 因为双曲线与椭圆有相同的焦点， 所以可设双曲线方程为 因为双曲线过点，所以 又②，联立①②，解得: 或（舍），. 所以双曲线的标准方程为. 【经典例题十 根据双曲线过的点求标准方程】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）经过点和的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设双曲线的方程为，将两点代入，即可求出答案. 【详解】设双曲线的方程为， 则解得 故双曲线的标准方程为． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用求出双曲线的标准方程. （2）设出双曲线的标准方程，结合给定点的坐标求出即可. （3）设方程为，建立方程组求解即得. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴上，，，得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）由双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由，且点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （3）设所求双曲线方程为， 由点在双曲线上，得，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. 1．（2022·北京朝阳·一模）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，设双曲线的标准方程为，进而结合题意得，设，则，再待定系数，结合已知数据计算即可. 【详解】解：根据题意，设双曲线的标准方程为， 因为，，，， 所以，设， 则点在双曲线上， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，解得， 所以. 故双曲线的方程近似为. 故选：A 2．（多选题）（23-24高二上·黑龙江·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设出双曲线方程，代入点即可求出. 【详解】因为，则可设双曲线方程为或， 将点代入方程可得，解得， 所以双曲线方程为或. 故选：AC. 3．（22-23高三下·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】分析可知点、在双曲线上，利用不等式的基本性质分析出点不在双曲线上，可知点、、都在双曲线上，由此可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】因为点、关于原点对称，且双曲线也关于原点对称，故点、都在双曲线上， 对于点，，，所以，，即点不在双曲线上， 所以，点、、都在双曲线上，所以，，解得， 因此，双曲线的标准方程为. 故答案为：. 4．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 【经典例题十一 求双曲线的轨迹方程】 【例1】（22-23高二上·湖北·期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆的性质，线段垂直平分线的性质，结合双曲线的定义进行求解即可． 【详解】解：因为线段的垂直平分线与直线相交于点， 所以有，由圆，得，该圆的半径， 因为点在圆上运动时， 所以有，于是有， 所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线， 所以，，可得，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B． 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用两圆相切分别可得，结合双曲线的定义，可得点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支，从而可得的轨迹方程. 【详解】因为圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为， 又因为动圆C与圆外切，且与圆内切， 则，可得， 可知点的轨迹是以点为焦点的双曲线的右支， 则，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 2．（多选题）（23-24高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 【答案】BC 【分析】根据已知条件判断的大小关系，结合双曲线定义判断轨迹的图形. 【详解】当时，，故轨迹为双曲线的右支； 当时，，故轨迹为射线； 故选：BC. 3．（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 4．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 【答案】 【分析】 讨论直线的斜率存在和不存在的两种情况，当不与轴垂直时，利用的中点坐标和的坐标表示直线的斜率，从而得到的方程，结合点差法消去的坐标可求得结果，当与轴垂直时，也满足，得到答案. 【详解】，即，故，，设，，． 则，，，， 由得即， 于是的中点坐标为． 当不与轴垂直时，，即． 又因为两点在双曲线上，所以，， 两式相减得，即． 将代入上式，化简得． 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程． 综上所述：点的轨迹方程是． 【拓展训练一 双曲线的定义及应用】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意得且，则，根据双曲线定义得点的轨迹是以为焦点的双曲线，求出其方程即可得解. 【详解】如图，连接，由题意可得，且为的中点， 又为的中点，所以且． 连接，因为点关于点的对称点为， 线段的垂直平分线与直线相交于点， 由垂直平分线的性质可得， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的双曲线，，， 所以，所以曲线的方程为， 令可得，即． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义，通过解方程组求解出火讯点的坐标即可. 【详解】设火讯点的坐标为，由于观察到的距离相差为6，且， 所以点在双曲线上．则焦距为，半实轴长为，所以半虚轴长为， 由于离近，所以点在双曲线上； 由于离近，所以点也在双曲线上． 联立两双曲线的方程可得即火讯点的坐标为． 1．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义确定轨迹，即可得轨迹方程. 【详解】因为，所以的轨迹为双曲线，且焦点在轴上 设该双曲线的方程为，则，，. 所以的轨迹方程为. 故选：D. 2．（多选题）（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（    ） A．直线与直线的斜率之积为1 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 【答案】ACD 【分析】对选项A，设，根据，即可判断A正确.对选项B，根据即可判断B错误，对选项C，根据题意得到分别为双曲线的左、右焦点，即可判断C正确，对选项D，根据，得到，代入双曲线方程得到，再代入椭圆方程即可判断D正确. 【详解】    对选项A，由题意得，，设，则， 则，故A项正确； 对选项B， 不妨设在第一象限，若，，即. 所以，. 所以，故B项错误； 对选项C， 若，则分别为双曲线的左、右焦点， 则，即，故C项正确； 对选项D，，解得， 代入双曲线方程求得， 再代入椭圆方程，求得，故D项正确． 故选：ACD． 3．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 . 【答案】9 【分析】利用双曲线方程及其定义解得或，又因为，即可得. 【详解】根据双曲线方程可得， 再由双曲线定义可得，解得或， 又因为，所以可得. 故答案为： 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的轨迹的方程. 【答案】 【分析】根据题意得，从而判断点的轨迹为以为焦点的双曲线，根据双曲线定义求解即可. 【详解】由得，其半径为4， 因为线段的垂直平分线与直线交于点， 故，则， 而，故点的轨迹为以为焦点的双曲线， 则， 故点的轨迹的方程为. 【点睛】本题关键在于，从而判断轨迹为双曲线，再根据定义即可求解. 【拓展训练二 双曲线方程相关问题】 【例1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据已知条件得出及双曲线的性质，即可求出m的值. 【详解】由焦距为，， 则，解得：， 故m的值为1. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·河北·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）设双曲线的方程为，代入点即可求解； 【详解】（1）依题意，，即， 两边平方得， 整理得. （2）设双曲线的方程为，将，代入得： ，解得， 所以双曲线方程为. 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及勾股定理，联立方程即可求解. 【详解】由题意设双曲线方程为， 由题意可知， 由于，，故，解得， 故， 故双曲线方程为， 故选：D 2．（多选题）（24-25高二上·湖南株洲·期末）当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（    ） A．存在实数使得方程表示轴 B．存在实数使得方程表示圆 C．不存在实数使得方程表示椭圆 D．存在实数使得方程表示双曲线 【答案】ACD 【分析】由，可判断A；由，可判断B；当，时，方程可写成，进而可判断C；当或时，可判断D. 【详解】当时，方程为，表示轴，故A正确； 若曲线为圆，由，得，且，故B错误； 当，时，方程可写成， 若曲线为椭圆，则且，m不存在，故C正确； 当或时，方程表示的曲线为双曲线，故D正确. 故选：ACD. 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．    【答案】 【分析】先设出双曲线的标准方程，再根据条件求出，即可求出结果. 【详解】设所求双曲线方程为：， 如图，因为，易知， 又坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分点，所以在双曲线上，得到，整理得到， 故所求曲线方程为.    故答案为：. 4．（2023·全国·模拟预测）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹； (2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：． 【答案】(1)动点的轨迹是以，为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点，） (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得到，化简得到答案. （2）题目转化为，考虑和两种情况，计算，，计算得到，得到证明. 【详解】（1）由已知，得，化简并整理，得． 故动点P的轨迹E是以A，B为顶点、焦距为8的双曲线（不包含顶点A，B）． （2）点M是∠AFP的平分线与AP的交点，所以， 又，故，所以， 要证，即证， 也即证，只需证明成立． 当时，因为，，所以，故，显然成立． 当时，由，得，． 所以． 因为点P在双曲线上，所以， 所以，故． 又∠PAF为锐角，所以，从而得证． 【点睛】关键点睛：本题考查了双曲线的轨迹方程，双曲线相关的证明问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和和综合应用能力，其中将双曲线中的线段关系转化为，进而用斜率公式计算是解题的关键. 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意求出双曲线方程，令，根据双曲线定义可得：，然后利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】圆与轴的交点分别为 故，根据双曲线定义得，即, 令，则， 又函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：先根据双曲线定义得出，再换元令，得出所求式子关于参数t的表达式，利用函数的单调性即可求得结果. 2．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】D 【分析】不妨设，，，根据面积关系和双曲线的定义可求，即可求解. 【详解】由题意，则， 不妨设，，，设到轴的距离为， 因为为的角平分线，则， 所以，所以，所以， 又，所以， 所以的周长为. 故选：D 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可. 【详解】由，得，所以为双曲线的右支， 为该双曲线的左焦点．设右焦点为，则， 所以．所以， 当且仅当点在线段上时，等号成立，所以的最小值为． 故选：D. 4．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义及中垂线的性质求解 【详解】双曲线的实半轴长为， 延长交直线于点， 由题意有，， 又是中点， 所以， 故选：B. 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】C 【分析】先作出双曲线图，根据图像代入点，求出点的坐标，最后求出的值. 【详解】如图所示，    根据题意，作出冷却塔的双曲线函数图，设双曲线方程为， 因为冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm， 所以设双曲线上的点且， 将代入可得，两式相减得， 又双曲线离心率为3，所以，所以， 代入可得，得，所以， 将点代入可得，解得， 所以冷却塔的最小直径为， 故选：C 6．（多选题）（23-24高三上·河北·期末）圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 【答案】AB 【分析】利用椭圆和双曲线定义求解. 【详解】当点在圆内且不与点重合时，由图可知：，    又，由椭圆的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的椭圆， 即点的轨迹是椭圆； 当点在圆外时，由图可知：，    又， 由双曲线的定义可得：点的轨迹是以点、为焦点的双曲线，即点的轨迹是双曲线， 故选：AB 7．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 【答案】BC 【分析】由双曲线的定义可知，可求的值. 【详解】由双曲线的定义可知，即， 所以或． 故选：BC． 8．（多选题）（24-25高二下·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 【答案】BD 【分析】A选项，根据曲线表示椭圆得到不等式，求出A错误；B选项，令，解得或；C选项，由椭圆特征得到，求出C错误；D选项，根据双曲线特征得到，，解得，D正确. 【详解】A选项，方程表示的曲线为. 当即或时，曲线表示椭圆， 当时，曲线表示圆，所以A不正确； B选项，若曲线表示双曲线，令，解得或， 故当或时，曲线是双曲线，所以B正确； C选项，曲线表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得，C错误； D选项，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可得，，解得，所以D正确 故选：BD. 9．（多选题）（23-24高二上·河北邢台·期中）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 【答案】AC 【分析】根据双曲线的简单几何性质即可求解. 【详解】由可得，所以，得，A正确，B错误， 当为上顶点时，此时的最小值为．C正确，D错误， 故选：AC 10．（多选题）（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的两个顶点，的坐标分别为，，，所在直线的斜率之积是，下列说法正确的是（    ） A．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） B．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） C．若，则顶点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点） D．若，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点） 【答案】BD 【分析】设出点的坐标，根据直线的斜率与直线的斜率之积为，可得出含有参数的点轨迹方程，然后对进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项. 【详解】设点，因为，所在直线的斜率之积是， 所以（），整理可得（）. 分析A，当时，方程为，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点），故A错误； 分析B，当时，方程为，则顶点C的轨迹是圆（除去与x轴的交点），故B正确； 分析C，当且时，顶点C的轨迹是椭圆（除去与x轴的交点）；故C错误； 分析D，当时，顶点C的轨迹是双曲线（除去与x轴的交点），故D正确； 故选：BD． 11．（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解． 【详解】∵，，∴， ∵，∴由正弦定理得，即，， 所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)． 该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为， 所以轨迹方程为． 故答案为：． 12．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则 ． 【答案】8 【分析】运用双曲线定义解题即可. 【详解】若点P在双曲线C的左支上，则，与矛盾，则点P在双曲线C的右支上. 由双曲线的定义可得，则． 故答案为：8. 13．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 【答案】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 14．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 【答案】18 【分析】根据双曲线的方程求出，再由双曲线定义求出，结合可得答案． 【详解】因为，所以， 可得， 因为，，所以，或， 因为，所以舍去，故. 故答案为：. 15．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】先根据中位线求解出，然后利用垂直平分线的性质分析的取值，由此判断出轨迹并求解出轨迹方程. 【详解】连接，如下图所示：      因为为的中点，所以， 由垂直平分线的性质可知：， 所以， 所以的轨迹是以为焦点且实轴长为的双曲线， 所以，所以， 所以轨迹方程为， 故答案为：. 16．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 【答案】 【分析】据为双曲线虚轴的上，下端点，可设设，由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程. 【详解】设， 由题意知，可得，即， 整理得，可得圆心为，半径， 所以的最大面积为，解得，即， 设，则， 则，可得，同理 则，则， 整理得，所以双曲线的方程为. 故答案为：. 17．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设曲线的左焦点为，由双曲线定义得，当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小即周长的最小． 【详解】（1）设．因为，所以， 整理得，即曲线的方程为； （2）设曲线的左焦点为，则． 因为点在双曲线的右支上，所以，所以． 因为， 所以的周长为． 当Ｑ，Ｐ，三点共线时，取得最小值， 所以周长的最小值为． 18．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程. 【答案】. 【分析】利用三角形重心坐标公式，结合相关点法即可得解. 【详解】依题意，设点坐标各为， 因为在双曲线中，则， 所以， 因为，所以， 由三角形重心坐标公式有，即 ， 因为，所以， 已知点在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有， 即所求重心的轨迹方程为：. 19．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线 【分析】(1)利用椭圆的定义求解出椭圆的方程即可.(2)结合双曲线的几何特征分为钝角(平角)或锐角(零角)的情况讨论得到点均落在双曲线上，从而得到结论. 【详解】（1）当时，点在圆内，由于点在线段的垂直平分线上，则，可得，由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，点的轨迹方程为．    （2）当时，点在圆外． 若为钝角或平角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的右支上． 若为锐角或零角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的左支上． 综上，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线．    20．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 【答案】 【分析】 利用垂直平分线的性质及双曲线的定义可得答案. 【详解】 由题意可知，点在线段的垂直平分线上， 所以， 又点是圆上一动点， 所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得， 所以的轨迹的方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 双曲线及其标准方程重难点题型专训 （2个知识点+11大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 双曲线定义的理解 题型二 利用双曲线定义求方程 题型三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 题型四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 题型五 判断方程是否表示双曲线 题型六 根据方程表示双曲线求参数的范围 题型七 根据双曲线方程求a、b、c 题型八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征 题型九 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型十 根据双曲线过的点求标准方程 题型十一 求双曲线的轨迹方程 拓展训练一 双曲线的定义及应用 拓展训练二 双曲线方程相关问题 知识点一：双曲线的定义 1.定义 平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.集合语言表达式 集合:. (1)当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，M点不存在． 【知识剖析】 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 【即时训练】 1．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设为双曲线上一点，、为双曲线的左右焦点，若，则（   ） A．1 B．9 C．3或7 D．1或9 2．（24-25高二上·江苏常州·期末）已知双曲线左右焦点分别为、，是双曲线上的一点，若，则 ． 知识点二：双曲线的标准方程 1.标准方程 标准方程 （） （） 图形 间的关系 【知识剖析】 探究双曲线的标准方程中的“标准” 连接双曲线两焦点所得线段的中点在原点，且平面直角坐标系是以两定点所在直线和两定点所连线段的垂直平分线为坐标轴建立的，不符合上述特征的双曲线的方程都不是双曲线的标准方程. 2．探究双曲线的标准方程 (1)在双曲线的标准方程中,a与b没有必然的大小关系,a>b,a<b,a=b均有可能,这不同于椭圆中的限制条件a>b>0. (2)双曲线标准方程中的两个参数a与b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件. (3)焦点在双曲线标准方程中，判断焦点的位置是双曲线的定位条件,焦点的位置决定了双曲线标准方程的类型:焦点在x轴上标准方程中含项的系数为正;焦点在y轴上标准方程中含项的系数为正. 3.双曲线的一般方程 若不能确定双曲线焦点的位置,常可设出所求双曲线的一般方程. (1)当m>0,n<0时，双曲线的焦点在x轴上； (2)当m<0,n>0时，双曲线的焦点在y轴上. 4.双曲线的基础三角形 在双曲线的标准方程中，因为a,b,c三个量满足,所以长度分别为a,b,c的三条线段恰好构成一个直角三角形,此三角形为双曲线的基础三角形，且长度为c的线段是此三角形的斜边,如图. 【即时训练】 1．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建莆田·期中）若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【经典例题一 双曲线定义的理解】 【例1】（22-23高三上·辽宁锦州·期末）双曲线：的左右焦点分别为，，一条渐近线方程为，若点在双曲线上，且，则（    ） A．7 B．9 C．1或9 D．3或7 【例2】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是什么曲线？ （2）在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于，如果截取的长度等于，其轨迹还是上述图形吗？ 1．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为．若为双曲线上一点，为的角平分线，过右焦点的直线与直线垂直，垂足为，则（   ） A．1 B．2 C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知曲线C的方程为，则（    ） A．曲线C可以表示圆 B．曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆 C．曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D．曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线 3．（24-25高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的方程为，点，点，点为双曲线上的一个动点，则的最小值为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线和点，F是双曲线的右焦点，P是双曲线上任意一点，求的最小值. 【经典例题二 利用双曲线定义求方程】 【例1】（23-24高二上·北京·阶段练习）化简方程的结果是（    ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）相距的A，B两个观察站都听到了一声巨响，且在A处听到的时间比在B处听到的时间早．已知当时的声速是，发出巨响的点与A，B都在水平面上，求发出巨响的点所在曲线的方程． 1．（22-23高二上·辽宁大连·期末）已知一个动圆P与两圆和都外切，则动圆P圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高三下·福建厦门·阶段练习）已知P是圆O:x2+y2=4上任意一点，定点A在x轴上，线段AP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当P在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．（2025高二·全国·专题练习）已知动圆与两圆，中的一个内切，与另一个外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 ． 4．（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物.现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以AB所在直线为轴，AB中点为原点建立直角坐标系. (1)工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由； (2)工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等.请写出所有满足要求的点的轨迹方程. 【经典例题三 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值】 【例1】（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（    ） A． B． C．或 D． 【例2】（23-24高二·全国·课后作业）设声速是a（），在相距10a（）的A､B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6，已知声强与距离的平方成反比.试建立适当的坐标系. (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标. 1．（23-24高二上·云南楚雄·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 2．（多选题）（22-23高二上·江苏徐州·阶段练习）设为双曲线上一点，，分别为双曲线的左，右焦点，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的右支上一点P，分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为 ；此时P点坐标为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，已知双曲线，、分别是其左右焦点，点，是上的动点，求的取值范围． 【经典例题四 利用定义解决双曲线中焦点三角形问题】 【例1】（2022·河南洛阳·三模）设满足，且，则的面积为（   ） A．3 B． C．9 D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点M在双曲线上，且轴，求到直线的距离. 1．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点P在双曲线C上，O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．2 D．3 2．（多选题）（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知P为双曲线右支上的一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为A，下列结论正确的是（    ） A．的横坐标为2 B． C． D． 3．（24-25高三下·浙江宁波·阶段练习）已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为 . 4．（2024高三·全国·专题练习）经过双曲线的右焦点作倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，设为双曲线的左焦点，求△的周长． 【经典例题五 判断方程是否表示双曲线】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）若，则这个曲线是（    ） A．双曲线，焦点在轴上 B．双曲线，焦点在轴上 C．椭圆，焦点在轴上 D．椭圆，焦点在轴上 【例2】（2024高二·全国·专题练习）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线； (2)表示焦点在轴上的双曲线； (3)表示焦点在轴上的双曲线． 1．（23-24高二上·安徽池州·期中）已知 为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·广东广州·期末）已知，曲线：，则（    ） A．当时，是轴 B．当时，是椭圆 C．当时，是双曲线，焦点在轴上 D．当时，是双曲线，焦点在轴上 3．（23-24高三上·北京丰台·期末）能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是 ． 4．（2024·全国·高考真题）如图，已知两条直线，．有一动圆（圆心和半径都在变动）与、都相交，并且、被截在圆内的两条线段的长度分别是定值、．求圆心的轨迹方程，并说出轨迹的名称． 【经典例题六 根据方程表示双曲线求参数的范围】 【例1】（22-23高三·全国·对口高考）若曲线表示双曲线，那么实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知，当为何值时： (1)方程表示双曲线？ (2)方程表示焦点在轴上的双曲线？ 1．（24-25高二上·浙江衢州·期中）“”是方程“表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 . 4．（23-24高二上·江苏连云港·期中）已知，命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题方程表示双曲线. （1）若命题是真命题，求实数的范围； （2）若命题“或”为真命题，“且”是假命题，求实数的范围. 【经典例题七 根据双曲线方程求a、b、c】 【例1】（22-23高二上·重庆永川·期中）已知双曲线的焦距为4，则的值为（    ） A．1 B． C．7 D． 【例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点为，，点P在双曲线上，若，求的值． 1．（2023·浙江·二模）点和是双曲线的两个焦点，则 A． B．2 C． D．4 2．（多选题）（2023·浙江绍兴·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线交的左､右支分别于两点，交直线于点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高二上·山东菏泽·期中）已知、是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点.若，则 . 4．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）在平面直角坐标系中，已知双曲线C的焦点为、，实轴长为. （1）求双曲线C的标准方程； （2）过点的直线l与曲线C交于M，N两点，且Q恰好为线段的中点，求直线l的方程. 【经典例题八 双曲线的方程与双曲线(焦点)位置的特征】 【例1】（23-24高三上·广东·阶段练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（    ） A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m 【例2】（2024高三·全国·专题练习）根据k的变化，讨论方程所表示的曲线的形状. 1．（23-24高二上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）若双曲线=的一个焦点是,则的值是 A．-1 B．1 C． D． 2．（22-23高三·全国·对口高考）若双曲线的一个焦点是，则k的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海浦东新·开学考试）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则实数m= 4．（23-24高二上·河南许昌·阶段练习）已知双曲线：的焦点与椭圆:的两个顶点重合. （1）求双曲线的焦点坐标及实轴长； （2）若为与的一个交点，求. 【经典例题九 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 【例1】（23-24高二上·广东汕尾·期末）中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为2，则双曲线C的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 1．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知离心率为2的双曲线，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，设、到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二·全国·课后作业）已知双曲线的两个顶点分别为，，，的坐标分别为，，且四边形的面积为，四边形内切圆的周长为，则双曲线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）写出一个同时满足下列条件①②③的双曲线方程为 .①中心在原点，焦点在轴；②焦距大于12；③双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为4. 4．（23-24高二·江苏·课后作业）已知双曲线过点，且与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程． 【经典例题十 根据双曲线过的点求标准方程】 【例1】（23-24高二·全国·课后作业）经过点和的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上； (2)，经过点，焦点在轴上； (3)双曲线过两点． 1．（2022·北京朝阳·一模）如图1，北京2022年冬奥会比赛场地之一首钢滑雪大跳台与电力厂的冷却塔交相辉映，实现了它与老工业遗址的有效融合.如图2，冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为.在冷却塔的轴截面所在平面建立如图3所示的平面直角坐标系，设，，，，则双曲线的方程近似为（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D． 2．（多选题）（23-24高二上·黑龙江·期中）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·广东·阶段练习）已知双曲线，四点、、、中恰有三点在上，则双曲线的标准方程为 ． 4．（23-24高二下·全国·随堂练习）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【经典例题十一 求双曲线的轨迹方程】 【例1】（22-23高二上·湖北·期末）已知圆，为圆心，为圆上任意一点，定点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·陕西渭南·期中）已知两圆，，动圆C与圆外切，且与圆内切，求动圆圆心C的轨迹方程． 1．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 2．（多选题）（23-24高二上·吉林长春·期末）若，，动点满足，当和时，点轨迹（    ） A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．一条直线 3．（2024·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为 . 4．（2023高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程； 【拓展训练一 双曲线的定义及应用】 【例1】（24-25高二上·全国·单元测试）如图，已知，，是圆上任意一点，点关于点的对称点为，线段的垂直平分线与直线相交于点，记点的轨迹为曲线，若点在曲线上，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）四个森林防火观察站的坐标依次为，他们都发现某一地区有火讯．若观察到的距离相差为6，且离近，观察到的距离相差也为6，且离近．试求火讯点的坐标． 1．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知点，，动点满足，则的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2023·辽宁抚顺·模拟预测）已知双曲线与椭圆的一个交点为，分别是的左、右顶点，分别是的左、右顶点，则（    ） A．直线与直线的斜率之积为1 B．若，则 C．若，则 D．若的面积为，则 3．（23-24高二上·江西宜春·阶段练习）已知分别是双曲线的左右焦点，若，则 . 4．（2024高三·全国·专题练习）已知点A为圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线交于点.求点的轨迹的方程. 【拓展训练二 双曲线方程相关问题】 【例1】（24-25高二下·浙江·开学考试）已知双曲线的焦距为，则m的值为（   ） A．4 B．2 C．1 D． 【例2】（24-25高二上·河北·期中）求适合下列条件的曲线的标准方程： (1)已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； (2)求过点，的双曲线的标准方程． 1．（2025·天津和平·三模）已知双曲线的上，下焦点分别为点，，若的实轴长为1，且上点满足，，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（多选题）（24-25高二上·湖南株洲·期末）当变化时，指出方程表示的曲线的形状，下列说法正确的是（    ） A．存在实数使得方程表示轴 B．存在实数使得方程表示圆 C．不存在实数使得方程表示椭圆 D．存在实数使得方程表示双曲线 3．（22-23高二下·上海黄浦·期中）从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，视所在直线为x轴，则双曲线的标准方程方程为 ．    4．（2023·全国·模拟预测）已知动点分别与定点和连线的斜率乘积． (1)求动点的轨迹； (2)设点位于第一象限，是的右焦点，的平分线交于点，求证：． 1．（24-25高二上·河南许昌·期末）已知双曲线，圆与轴的交点分别为的一个顶点和一个焦点，设分别为的左，右焦点，若为右支上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·海南·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，若的角平分线交轴于点，且，则的周长为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知为曲线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）已知分别是双曲线的左、右焦点，M是E的左支上一点，过作角平分线的垂线，垂足为为坐标原点，则（   ） A．4 B．2 C．3 D．1 5．（23-24高二上·重庆沙坪坝·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为3的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为3cm，下口半径为4cm，高为8cm（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ）    A．cm B．cm C．cm D．cm 6．（多选题）（23-24高三上·河北·期末）圆O的半径为定长r，M是圆O所在平面内一个定点（点M与点O不重合），P是圆O上任意一点，线段MP的垂直平分线与直线OP相交于点Q，当点P在圆O上运动时（    ） A．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆 B．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线 C．若点M在圆内，则点Q的轨迹是椭圆的一部分 D．若点M在圆外，则点Q的轨迹是双曲线的一支 7．（多选题）（22-23高二·江苏·假期作业）设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 8．（多选题）（24-25高二下·广西来宾·开学考试）已知方程表示的曲线为.给出以下四个判断，其中正确的是（    ） A．当时，曲线表示椭圆 B．当或时，曲线表示双曲线 C．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则 9．（多选题）（23-24高二上·河北邢台·期中）已知是双曲线的上焦点，点在上，则（    ） A． B． C．的最小值为2 D．的最小值为4 10．（多选题）（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的两个顶点，的坐标分别为，，，所在直线的斜率之积是，下列说法正确的是（    ） A．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） B．若，则顶点的轨迹是圆（除去与轴的交点） C．若，则顶点的轨迹是椭圆（除去与轴的交点） D．若，则顶点的轨迹是双曲线（除去与轴的交点） 11．（23-24高二上·上海杨浦·期中）在中，，，，则顶点的轨迹方程是 . 12．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，P是双曲线C上的一点，且，则 ． 13．（24-25高三上·宁夏石嘴山·期中）代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 14．（24-25高二上·山西·期末）已知双曲线的两个焦点为，，双曲线上有一点，若，则 . 15．（23-24高二上·广东广州·阶段练习）已知点为圆上的动点，点，延长至，使得，线段的垂直平分线交直线于点，记的轨迹为.则的方程为 . 16．（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 17．（24-25高二下·河北保定·开学考试）已知定点，定直线，曲线上有一动点，过点作直线的垂线，垂足为，且． (1)求曲线的方程； (2)若点在轴的右侧，，求周长的最小值． 18．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线有动点，是曲线的两个焦点，求的重心的轨迹方程. 19．（2025高二·全国·专题练习）已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 20．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点．求的轨迹的方程． 学科网（北京）股份有限公司 $