精品解析：浙江省舟山市定海二中四校联考2022学年第二次质量检测数学试题卷

浙江省舟山市定海二中四校联考2022学年第二次质量检测 九年级数学试题卷 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 表示（ ） A. 2023的绝对值 B. 2023的倒数 C. 的相反数 D. 2023的相反数 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，数据384000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 6. 如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的母线长为（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 8. 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若AD＝5，CD＝6，则AB的长是（　　） A. 5 B. 8 C. 4 D. 10 10. 对于题目“一段抛物线L：与直线l：有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是，乙的结果是的整数，丙的结果是的整数，则（ ） A. 甲、乙的结果合在一起才正确 B. 乙、丙的结果合在一起才正确 C. 甲、丙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙、丙的结果合在一起才正确 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 12. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______． 14. 如图，在菱形中，，过三点的圆交的延长线于点E，连接，则________度． 15. 如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连结与x轴交于点D．若的面积为2，则的值为__________． 16. 如图，的顶点放在边长为4的正方形的中心O处，将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为S，设，当时，S的值为____________；当α为锐角时，S的最大值为____________（用含α的式子表示）． 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. （1）计算： （2）解方程： 18. 如图，已知是四边形的一条对角线，，．求证：四边形是平行四边形． 小舟的证明过程如下： 证明： ， ， ，， ， ． ∴四边形是平行四边形． 小舟的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 19. 某地某天的温度随着时间的变化情况如图所示，结合该函数图象回答： （1）图中点表示的实际意义； （2）观察函数图象，当时，的值为多少？当时，的值为多少？ （3）结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． 20. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：_______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______________． （3）证明你的猜想； （4）计算：_______． 21. 某年级共有600名学生．为了解该年级学生两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组，） ②两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 ③A课程在这一组的成绩是： 70 71 71 71 76 76 77 77 77 78 79 79 79.5 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出表中m的值． （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为77分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程，并说明理由． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 23. 若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． （1）若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； （2）若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； （3）若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 24. 已知，在中，，以为直径的与交于点H，将沿射线平移得到，连接． （1）如图1，与相切于点G． ①求证：四边形是矩形； ②求的值； （2）如图2，延长与交于点K，将沿折叠，点F的对称点恰好落在射线上． ①猜想与的关系，请说明理由； ②若，求平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省舟山市定海二中四校联考2022学年第二次质量检测 九年级数学试题卷 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 表示（ ） A. 2023的绝对值 B. 2023的倒数 C. 的相反数 D. 2023的相反数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数和绝对值的基本概念，根据相反数的定义，一个数的相反数是在其前面添加负号，而绝对值表示数到原点的距离进行判断即可． 【详解】解：A、2023的绝对值是2023，故本选项不符合题意； B、2023的倒数是，故本选项不符合题意； C、的相反数是2023，故本选项不符合题意； D、2023的相反数是，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】主视图是三角形的一定是一个锥体，只有B是锥体． 故选B． 3. 2023年，我国将全面推进探月工程，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦娥八号任务，数据384000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较大的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案． 【详解】解：数据384000000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当，时，，但是， ∴，但是， ∴，是假命题的反例． 其他选项不能说明； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可，这是数学中常用的一种方法． 5. 如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15° 【答案】B 【解析】 【详解】∵直尺的对边互相平行， ∴∠1=∠3， ∵∠3+∠2=45°， ∴∠1+∠2=45°， ∵∠1=20°， ∴∠2=45°﹣∠1=25°， 故选：B． 6. 如图，五边形与五边形是位似图形，O为位似中心，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似图形中对应的边成比例，掌握此性质是解决本题的关键． 位似图形中，相对应的边成比例． 【详解】解：∵五边形与五边形是相似图形，且. ∴． 故选：D． 7. 圆锥的底面半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为，则该圆锥的母线长为（　　） A. 6 B. 12 C. 18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记弧长公式是解题的关键．根据侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为l， ∵圆锥的底面半径为4， ∴圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：， ∴圆锥的母线长为12， 故选：B． 8. 《孙子算经》是南北朝时期重要的数学专著，包含“鸡兔同笼”等许多有趣的数学问题．如：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺，木长几何？”大意是：“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，问木长多少？”设木长x尺，绳长y尺，则依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺；将绳对折再量木，木剩余1尺，即可得出关于x，y的二元一次方程． 【详解】解：∵用一根绳量一根木，绳剩余4.5尺， ； ∵将绳对折再量木，木剩余1尺， ， ∴根据题意可列方程组， 故选；D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，明确题意，找等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，交BC边于点D，连接AD，若AD＝5，CD＝6，则AB的长是（　　） A. 5 B. 8 C. 4 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本作图得到DA=DB=5，再证明∠ADC=∠C得到AC=AD=5，过A点作AH⊥CD于H，利用等腰三角形的性质得到则DH=CH=3，接着利用勾股定理计算出AH，然后利用勾股定理计算出AB的长． 【详解】解：由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DB＝5， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠ADC＝∠B+∠DAC＝2∠B， ∠C＝2∠B， ∴∠ADC＝∠C， ∴AC＝AD＝5， 过A点作AH⊥CD于H，则DH＝CH＝CD＝3， ∴BH=DH+BD=8 在Rt△ADH中，AH＝＝4， 在Rt△ABH中，AB＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 10. 对于题目“一段抛物线L：与直线l：有唯一公共点．若c为整数，确定所有c的值．”甲的结果是，乙的结果是的整数，丙的结果是的整数，则（ ） A. 甲、乙的结果合在一起才正确 B. 乙、丙的结果合在一起才正确 C. 甲、丙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙、丙的结果合在一起才正确 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况进行讨论，①当抛物线与直线相切，求得，②当抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点时，找到两个临界值点，可得c的取值范围． 【详解】解：∵抛物线L：与直线l：y＝－x＋5有唯一公共点． ∴①如图1，抛物线与直线相切， 联立解析式 得 解得：， 当时，相切时只有一个交点，和题目相符 所以不用舍去； ②如图2，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点， 当时，， 当时，， 当在抛物线下方和在抛物线上或上方时，抛物线与直线不相切，但在上只有一个交点． ∴， ∴， 又∵c为整数， ∴， 综上，甲、丙的结果合在一起才正确． 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，数形结合是解此题的关键． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 甲、乙两人在相同条件下进行射击练习，每人10次射击战绩的平均数都是8环，方差分别为，则两人射击成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】根据方差的意义即方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，即可得出答案． 【详解】解：，， ， 两人射击成绩比较稳定的是乙． 故答案为：乙． 【点睛】此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定． 13. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把、、分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即、、、， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键． 14. 如图，在菱形中，，过三点的圆交的延长线于点E，连接，则________度． 【答案】69 【解析】 【分析】本题考查了外接圆与外心，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，设圆心为O，连接，根据题意证明，然后证明，进而可以解决问题． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接， ∴， 在菱形中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：69． 15. 如图，经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点（点A在第一象限），过点A作轴，与反比例函数图象交于点C，连结与x轴交于点D．若的面积为2，则的值为__________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得，通过证明求出的面积，连接OC，再根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：∵经过原点O的直线与反比例函数的图象交于A，B两点， ∴， ∵轴， ∴OD为的中位线， ∴， ∴， ∴， 连接OC， ∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数图象的性质、反比例函数k的几何意义，掌握上述内容并作出合适的辅助线是解题的关键． 16. 如图，的顶点放在边长为4的正方形的中心O处，将绕点O逆时针旋转，在旋转过程中，的两边与正方形的边所围成的图形的面积为S，设，当时，S的值为____________；当α为锐角时，S的最大值为____________（用含α的式子表示）． 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质和最值，当时，的两边与正方形的边所围成的图形的面积刚好是正方形面积的，当α为锐角时，重叠部分面积最大时刚好是的平分线，根据条件求出重叠部分的面积即可． 【详解】解：当时，在旋转过程中，重叠部分的面积是定值，即为正方形面积的，即为4． 理由：如图，设与正方形的交点为E、F，过点O作，，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴， ∴． 当α为锐角时，旋转到（或者或或）平分位置时计算重叠部分的面积， 如图，设交于N点，作，M为垂足，连接． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分的最大面积， 故答案为：4；， 三、解答题（本题有8小题，共66分） 17. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、解分式方程，熟练掌握各运算法则和分式方程的解法是解题关键． （1）先计算负整数指数幂、开立方，特殊角的余弦值，再计算加减法即可得； （2）方程两边同乘，化成整式方程，再解一元一次方程即可得． 【详解】解：（1） ； （2）， 方程两边同乘，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以方程的解为． 18. 如图，已知是四边形的一条对角线，，．求证：四边形是平行四边形． 小舟的证明过程如下： 证明： ， ， ，， ， ． ∴四边形是平行四边形． 小舟的证明是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】小舟的证明不正确，证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由得到，然后证明出，得到，即可证明出四边形是平行四边形． 【详解】解：小舟的证明不正确，由无法得到． 证明如下：， ， ，， ， ， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 19. 某地某天的温度随着时间的变化情况如图所示，结合该函数图象回答： （1）图中点表示的实际意义； （2）观察函数图象，当时，的值为多少？当时，的值为多少？ （3）结合函数图象，写出该函数的两条性质或结论． 【答案】（1）在时，温度为 （2）， （3）①某地某天在时，温度最低，为；②某地某天在时，温度最高，为 【解析】 【分析】本题考查从函数图象中获取信息，数形结合是解决问题的关键． （1）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案； （2）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案； （3）观察某天的温度随着时间的变化情况图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图可知，图中点表示的实际意义是在时，温度为； 【小问2详解】 解：由图可知，当时，；当时，； 【小问3详解】 解：由图可知，该函数的两条性质或结论： ①某地某天在时，温度最低，为；②某地某天在时，温度最高，为． 20. 嘉琪根据学习“数与式”的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是嘉琪的探究过程，请补充完整： （1）具体运算，发现规律： 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：_______（填写一个符合上述运算特征的式子）． （2）观察、归纳，得出猜想： 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：______________． （3）证明你的猜想； （4）计算：_______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示，即可获得答案； （2）由材料提示，归纳总结即可； （3）根据二次根式的性质，二次根式的混合运算法则计算即可； （4）根据材料提示的方法可得，再根据二次根式的乘法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：特例4：． 故答案为：； 【小问2详解】 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：． 故答案为：； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 故答案为：． 21. 某年级共有600名学生．为了解该年级学生两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． ①A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组，） ②两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下： 课程 平均数 中位数 众数 A 75.8 m 84.5 B 72.2 70 83 ③A课程在这一组的成绩是： 70 71 71 71 76 76 77 77 77 78 79 79 79.5 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）求出表中m的值． （2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为77分，B课程成绩为72分，这名学生成绩排名更靠前的课程是什么课程，并说明理由． （3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过79分的人数． 【答案】（1）78.5 （2）B课程，理由见解析 （3）280 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，用中位数做决断，样本估计总体思想， 对于（1），根据中位数的定义解答即可； 对于（2），根据中位数的理解可得答案； 对于（3），先求出样本中超过79的百分比，再乘以总人数可得答案. 【小问1详解】 解：一共有60名学生的成绩，前三组有个成绩，中位数是第30,31个的平均数，且在第四组（），中位数. 【小问2详解】 解：B课程，理由如下： 某学生的A课程成绩为77分，低于中位数，B课程成绩为72分，高于中位数，所以这名学生成绩排名更靠前的课程是B课程. 【小问3详解】 解：. 所以估计A课程成绩超过79的人数为280人. 22. 根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂． 【素材2】测量得：，，，，机械臂端点C到工作台的距离． 【素材3】参考数据：，，，． 【任务1】求A、C两点之间的距离．（结果精确到） 【任务2】求长． 【答案】【任务1】A、C两点之间的距离约为；【任务2】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，勾股定理，求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解． （1）连接，过点A作，交的延长线于，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题； （2）过点A作，垂足为，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题． 【详解】解：【任务1】如图2，连接，过点A作，交的延长线于． 在中，， ， ∴， ， ∴， 在中，m，m， 根据勾股定理得：， 答：A、两点之间的距离约． 【任务2】如图2，过点A作，垂足为， 则四边形为矩形，，， 所以， 在中，，， 根据勾股定理得， ． 答：的长为． 23. 若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． （1）若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； （2）若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； （3）若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2 （2）； （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）由得到，求出，即可求解； （3）当时，即，则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即，则，即可求得；②当时，即可求得；③当时，即可求得，可得h的最小值，进而可得结论． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 同理可得，， 则； 【小问2详解】 解：因为，，所以y的值随的增大而增大， 即，， ，则， 则， 由即，则， 当时，h的最大值为； 【小问3详解】 解：∵，则函数y的最大值为； ①当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ②当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ∴； ③当时，若，则，, ∴； 若，则， ∴； 综上， h的取值为， 故有最小值，为， ∴, ∴． 所以，存在实数，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值． 24. 已知，在中，，以为直径的与交于点H，将沿射线平移得到，连接． （1）如图1，与相切于点G． ①求证：四边形是矩形； ②求的值； （2）如图2，延长与交于点K，将沿折叠，点F的对称点恰好落在射线上． ①猜想与的关系，请说明理由； ②若，求平移的距离． 【答案】（1）①见解析②16 （2）①，理由见解析② 【解析】 【分析】（1）①由平移的性质证出，则可得出结论； ②连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点D作于M，证出四边形是矩形，由矩形的性质得出，，由（1）可知，同理可证，设，，由勾股定理得出，则可得出答案； （2）①由折叠得，由平移得,可得，由圆的性质得，故可得；延长交于点Q，设，由等腰三角形的性质证出，由平移及折叠的性质证出，则可得出； ②连接，交于点N，证明，由全等三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出，列出方程可求出的长，根据锐角三角函数的定义可得出和的长，则可得出答案． 【小问1详解】 解：①证明：∵将沿射线平移得到， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； ②连接， ∵与相切于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证， 过点D作于M， ∴， 由（1）知， ∴四边形是矩形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：①，． 理由：∵是沿折叠得到的， ∴， 由平移得, ∴， 又，是的直径， ∴， ∴； 延长交于点Q， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵沿射线平移得到，沿折叠得到， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，； ②连接，交于点N， ∵沿折叠，点F的对称点为， ∴， ∵是的直径， ∴，点恰好落在射线上， ∴， ∵沿射线方向平移得到， ∴， ∴点B在的延长线上， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴平移的距离为． 【点睛】本题考查了平移的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质及切线的性质是解题的关键． 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