专题04 双曲线 7个高频考点（期中真题汇编，人教A版）高二数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04双曲线 ☆7大高频考点概览 考点01双曲线的定义与方程 考点02双曲线的几何性质 考点03双曲线的渐近线 考点04双曲线的离心率 考点05双曲线的弦长及中点高弦问题 考点06双曲线中的三角形 考点07双曲线的综合问题 目目 考点01 双曲线的定义与方程 一、单选题 1.(2425高二上黑龙江实验中学期中)已知椭圆C1:器+号=1(m>2)与双曲线 C2:等-号=1(n>0)有公共的焦点F1、F2,P是C和Cz的一个公共点， 则P+P引() A.2vm B.2W6 C.2vm+2 D.2vn+2 2.(2425高二上广东部分名校期中)已知双曲线C:等-=1的两个焦点分别为R1,F2,双曲线C上有 一点P,若|PF1=5,则川PF2=() A.9 B.1 C.1或9 D.11或9 3.(2425高二上江苏常州田家炳高级中学期中)与圆x2+y2=1及圆(k-4)+y2=4都外切的圆的圆心 在() A.椭圆上 B.双曲线的一支上 C.抛物线上 D,圆上 4.(2425高二上重庆鲁能巴蜀中学校期中)如图，已知双曲线C:x2.号=1的左、右焦点分别为F,F2, 过F的直线与C的左、右支分别交于P、Q,△PFF的内切圆半径为r1△PQF,的内切圆半径为”2，则 的取值范围为() 1/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.(0,青) B.(0,) c.(,) D.(音) 5.(24-25高二上陕西榆林第十二中学期中)已知F1、F2是平面内两个不同的定点，则 “|MF1-MF|为定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.(24-25高二上河北石家庄二十七中期中)在平面直角坐标系x0y中，点F的坐标为(2,0)，以线段FP为 直径的圆与圆0：x2+y2=3相切，则动点P的轨迹方程为() A.号-y2=1 B.x2.号=1 C.号+号=1 D.号+号=1 7.(24-25高二上福建莆田第一中学期中)已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆 M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是() A.号+y2=1 B.x2+g=1 C.晋-y2=1(x≥1) D.x2.=1(x≤-1) 二、多选题 8.(24-25高二上黑龙江实验中学期中)在平面直角坐标系x0y中，己知点A-2,0),B(2,0),P是一个动点， 则() A.若PA+PB=6,则点P的轨迹为椭圆 B.若PA-PB=2,则点P的轨迹为双曲线 C.若PA+P=PA-Pl,则点P的轨迹为直线 D.若PA=2P,则点P的轨迹为圆 9.(24-25高二上湖南祁阳第一中学.期中)0°≤《≤180°变化时，方程x2+y2c0$0=1表示的曲线的形状 2/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 可以是() A.两条平行直线 B.圆 C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的双曲线 10.(Q4-25高二上陕西检林期中)已知关于x,y的方程器需=1表示的曲线是B,则曲线E可能是() A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 11.(24-25高二上河南开封五校期中)已知曲线C:x2+(1-m2)y2=1(其中m为常数)，则曲线C可能 为() A.平行于x轴的两条直线 B.单位圆 C.焦点在x轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的椭圆 三、非选择题 12.(24-25高二上·四川自贡蜀光中学.期中)在平面直角坐标系x0y中，已知点 F(-V10,0F10,0,MF引-MF=2,点M的轨迹为C则c的方程为 13.(24-25高二上重庆南坪中学校·期中)如图一直角三角形ABC的“勾“股”分别为6,8，以AB所在的直线 为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A,B为焦点，且过点C的双曲线方程为」 B 14.(24-25高三上宁夏石嘴山期中)代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系将代 数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与√x-a)+(y-b)相关的代 数问题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间的距离的几何问题结合上述观点，满足方程 Vx2-6x+13-Vx2+6x+13=2W3的x的值为 15.(24-25高二上广西示范性高中.期中)一动圆与圆C1:2+y2+10y+24=0和 C2:x2+y2-10y-24=0都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 16.(24-25高二上福建莆田第五中学期中)若双曲线与椭圆5x2+2y2=10的焦点相同，且过点(1,2)， 3/14 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 则该双曲线的标准方程为 17.(2425高二上辽宁铁岭西丰县第二高级中学期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a=25,经过点A(2,-5),焦点在y轴上： (2)过点A(3,2)和B(17,12). 目目 考点02 双曲线的几何性质 一、单选题 1.2425高二上云南昭通第一中学教研联盟期中)已知双曲线器-器=1(a>0,b>0)的上焦点为 F(0,2),渐近线方程为y3x±y=0,则该双曲线实轴长为() A.1 B.5 C.2 D.25 2.(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学.期中)双曲线x2-2y2=1的焦点坐标为() A(0,±) B.(0,±3) c.（±o D.（±V5,0) 3.2425高二上河南开封五校期中)已知离心率为3的双曲线x2器=1与椭圆器+罗=1有相同的焦点， 则m2+n2=() A.13 B.21 C.29 D.31 4.(2425高二上江苏泰州期中)双曲线x2-y2=m的一个焦点是(2,0)，则m=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 5.(Q425高二上江苏徐州第三中学等学校期中)以椭圆器+号=1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的 标准方程为() A.号-号=1 B.号号=1 c.号器=1 D.号-6=1 二、多选题 6.(2425高二上山东荷泽期中)关于双曲线C:器-号=1，下列说法正确的是（) A.C的渐近线方程为y=士专x B.C的离心率为号 4/14 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.c的焦点坐标为（±V5,0) D.C的实轴长是虚轴长的4倍 7.(2425高二上云南昆明寻甸回族第族自治县第一中学期中)已知双曲线C:器~器=1的左、右焦点分 别为F1、F2,过左焦点F1作直线与C的右支交于点A,与y轴交于点B,若△ABF2为正三角形，则() A.双曲线C的焦距为2V5 B.双曲线C的虚轴长为2 C.双曲线C的离心率为及 D.△AF1F2的面积为4V5 三、非选择题 8.(24-25高二上天津实验中学滨海学校期中)双曲线号-詈=1的焦点坐标为 26.2425高二上吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学期中)已知曲线C:警-=1，P(x0y,为C上 点， ①xo的取值范围为-2,2： ②x6+y的取值范围为[1，+∞： ③不存在点Pxoy。,使得x-2y。=-1: ④k0-2y。+v5的取值范围为(W5,2V5+5] 则上述命题正确的序号是 9.(2425高二上江西期中)已知曲线y=奈(k>0)可以由双曲线等-答=1绕原点0逆时针旋转号得到， 则k= 10.(2425高二上上海进才中学期中)双曲线等.号=1的实轴长为 目目 考点03 双曲线的渐近线 一、单选题 1.(2425高二上河南开封部分学校期中)双曲线x2.号=1的渐近线方程为() A.y=士xB.y=士x C.y=±3x D.y=±9x 2.(24-25高二上山东菏泽郵城县第一中学月考)已知双曲线C:-y2=1(a>)的焦距为4，则C的渐近 5/14 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 线方程为() A.y=t/3x B.y=士x C.y=±2x D.y=±9x 3.(24-25高二上江苏徐州铜山区期中)双曲线C:等-器=1(m>0)的一条渐近线的方程为y=-x, 则m值为() A.m=星 B.m=号 C.m=青 D.m=号 4.2425高二上广东领航高中联盟)已知0为坐标原点，双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,点M在C上，且M在x轴上的射影为F,若2W3MF=V2OF,则C的渐近线方程为() A.y=±V2xB.y=±2x c.y=±号x D.y=士x 二、非选择题 5.(24.25高二上渐江杭州扶墅区源清中学期中已知双曲线等导=1(a>0,b>0),过原点的直线与 双曲线交于M,N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F,若△MNF的面积为2a2,则双 曲线的渐近线方程为一· 6.2425高三上甘肃临夏州高中期末)双曲线C:等-器=1b>0)的离心率为V2,若点F为双曲线C的左 焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为 7.(2425高二上广东深圳深圳大学附属实验中学)已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)与圆 0:x2+y2=1相切，且C的渐近线方程为y=±3x (1)求C的方程： (2)若C的右顶点为P,过C的右焦点的直线交C于AB两点，且PA,PB=4,求|AB| 8.2425高二上江苏连云港灌南县期中)请写出一个焦点在y轴，并与双曲线器-号=1有相同渐近线的 双曲线的方程： 9.(2425高二上黑龙江鸡西第一中学期中)已知双曲线C:器器=-1(a>0,b>0)的离心率e=V5,实 轴长2V3 (1)求C的方程： (2)过C的右焦点且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，求|AB|; 6/14 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)求与C有相同的渐近线且过点(1,2)的双曲线的标准方程. 目目 考点04 双曲线的离心率 一、单选题 1.(2425高二上辽宁县级重点高中协作体期中)已知双曲线C:等·=-1(a>0,b>0)的左、右焦点 分别为F1,F2,点P为C在第一象限上的一点，若△PF1F2为直角三角形，且PF1+|PF2=2F1F2 ,则C的离心率为() A. B.V3 C.2 D. 2.24-25高二上江苏常州奔牛、三中、武高期中)设双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的右焦点为F, 双曲线C上的两点AB关于原点对称，且满足FA.F克=0，|FB|<|FA≤3FB|,则双曲线C的离心 率的取值范围是() A.[,+)B.【,+) c.(,+) D.（V2,+∞） 3.(24-25高二上江苏泰州兴化期中)已知双曲线等-y2=1(a>0)的离心率为V2,则实数a的值为() A.1 B.V2 C.2 D.5 4.(24-25高三上江西多校)已知双曲线C:x2.器=1的离心率大于实轴长，则m的取值范围是() A.(3,+∞) B.(5,+ c.(0,3) D.(5,3 5.(2425高二上河南许平汝名校月考)设双曲线C1:器-y2=1,C2:x2.号=1的离心率分别为e1,e2 若e2=V2e1,则m=() A. B.2 C.4 D.8 二、非选择题 6.(2425高二上福建莆田第四中学期中)已知双曲线器-发=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的 弦的中点为(4,2)，则该双曲线的离心率为」 ,22 7.(24-25高二上河南商丘十校期中)已知双曲线C1:=1(a1>0,b1>0)的一条渐近线与双曲线 C2:鬓黄=1(2>0，b2>0)的一条新近线关于直线y=x对称，且这两条新近线的夹角为30，则双曲 线C1与C2的离心率之积为 7/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 8.(Q425高二上广西玉林六校期中)对于梢圆：三+等=1(a>b>0),我们称双曲线：爷等=1为 其件随双曲线已知椭圆C:号+器=1(0<b<5),它的离心率是其件随双曲线r离心率的号倍 ()求椭圆C伴随双曲线的方程： (2)点F为T的上焦点，过F的直线1与T上支交于AB两点，设△ABO的面积为S,∠A0B=日（其中0为 坐标原点)若AB|=63,求a 9.(2425高二上吉林长春第二实验中学月考)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的离心率为号。 F(C,0)为双曲线的右焦点，且点F到直线x=零的距离为号 (1)求双曲线C的方程， (2)若点A(12,0),点P为双曲线C左支上一点，求PA+|PF|的最小值 10.2425高二上山东菏泽期中已知双曲线C:等器=1(a>b>0)的离心率为，点(4,5)为C上 一点. (1)求C的标准方程； (2)若直线I:y=kx+m(k≠0)与C相交于A,B两点，且AB的垂直平分线过点P(0,-),求证： 10m-4k2为定值. 目目 考点05 双曲线的弦长及中点弦问题 一、单选题 1.(2425高二上浙江宁波五校联盟期申)已知双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的离心率为5，圆 (x-)+y2=9与C的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则a的取值范围是() A.(0,1] B.(0,10] c.(0,] D.(0,] 二、非选择题 2.(24-25高二上天津和平区双菱中学期中)已知双曲线C:器-y2=1(a>0)的焦距为2W5且左右顶点 分别为A1,A2,过点T(4,0)的直线与双曲线C的右支交于M,N两点. (1)求双曲线的方程； (②若直线MN的斜率为，求弦长MN, 8/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3.(24-25高三上海南文昌中学月考)已知双曲线C:器y2=1(a>0)的焦距为2V5且左右顶点分别为A1, A2,过点T(4,0)的直线1与双曲线C的右支交于M,N两点. (1)求双曲线的方程： (②若直线MN的斜率为夏，求弦长MN: ③)记直线AM,A2N的斜率分别为k1,k2,证明：会是定值. 4.(23-24高二上山东潍坊)已知双曲线C:等-爷=1(a>0,b>0)的一个焦点为(25,0)，一条渐近线 方程为2x-y=0,0为坐标原点 (1)求双曲线C的标准方程； (2)已知倾斜角为娈的直线1与双曲线C交于AB两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求弦长AB|. 5.(2425高二上四川绵阳南山中学实验学校期中)已知椭圆C与双曲线x2.号=1有相同的焦点，且椭圆 C经过点(-，) (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线1与椭圆C相交于AB,且AB的中点为(-1,1)，求直线1的方程 6.(2425高二上上海进才中学期中)设AB为双曲线x2.号=1上两点，如下四个点：P1(1,1), P2(-1,2),P(1,3),P4(-1,-4)中，可作为线段AB中点的是 一·（请将所有满足条件的点填 入) 7.2425高二上陕西检林期中已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条海近线的 距离为1，离心率为设直线交双曲线C的右支于A、B两点，交x轴于点D,且线段AB的中点为 M(4,1),0为原点 (1)求双曲线C的方程： (2)求直线1的方程； 9/14 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (3)求△OAB的面积. 8.2425高二上湖南部分学校期中)已知双曲线C:等器=1(a>0,b>0)的实轴长为4V5,且过点 (（4,1. (1)求双曲线C的方程 (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线1,1与双曲线C交于A,B两点，求AB, (3)若M,N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P,证明：点P在直线 x-2y=0上 9.(24-25高二上浙江浙江星辰联盟期中)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F(-22,0,F2√2,0)， 双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程： (2)经过点M(3,1)作直线1交双曲线的右支于A,B两点，且M为AB的中点，求直线的方程； (③)已知定点C(V2,3),点D是双曲线右支上的动点，求DF+DG的最小值， 目目 考点06 双曲线中的三角形 一、单选题 1.2425高二上江苏泰州兴化文正实验学校期中)已知双曲线C:等-y2=1的左右焦点为FF2,过F2的 直线1与双曲线C的右支交于AB两点，若AB=2,则△ABF1的周长为() A.12 B.14 C.10 D.8 2.(2425高二上山东多校期中)已知R,F2分别是双曲线C:等-器=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为 C上一点，PF1⊥PF2,且△FPF2的面积等于4，则b=() A.互 B.2 c.2v2 D.4 二、多选题 3.(2425高二上重庆鲁能巴蜀中学校期中)已知双曲线C:詈-器=1〔6>0)的左，右焦点分别为 F1(-C,0)、F2(C0),直线y=-2(x-c)与双曲线C右支相交于AB(其中A在一象限)，若 10/14 专题04 双曲线 7大高频考点概览 考点01 双曲线的定义与方程 考点02 双曲线的几何性质 考点03 双曲线的渐近线 考点04 双曲线的离心率 考点05 双曲线的弦长及中点弦问题 考点06 双曲线中的三角形 考点07 双曲线的综合问题 地 城 考点01 双曲线的定义与方程 一、单选题 1．(24-25高二上·黑龙江实验中学·期中)已知椭圆与双曲线有公共的焦点、，是和的一个公共点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件结合椭圆与双曲线定义可得，然后由向量的运算求解即可. 【详解】如下图所示： 依题意由椭圆定义可得，所以； 即； 依题意由双曲线定义可得，所以； 即； 因此可得； 又易知，即可得； 因此，而， 即满足，所以； 又为的中点，因此. 故选：D 2．(24-25高二上·广东部分名校·期中)已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（   ） A．9 B．1 C．1或9 D．11或9 【答案】A 【分析】根据双曲线定义可求得，再根据或或即可得解. 【详解】根据双曲线定义可得，又， 所以或， 又，， 而或， 所以. 故选：A. 3．(24-25高二上·江苏常州田家炳高级中学·期中)与圆及圆都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 【答案】B 【分析】求得动圆的圆心所满足的几何条件，由双曲线的定义可求解. 【详解】设动圆的圆心为，半径为， 由，可得圆心，半径， 由，可得圆心为，半径 由题意可得，消去可得， 所以动圆的圆心是双曲线靠近的一支曲线. 故选：B. 4．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右支分别交于的内切圆半径为的内切圆半径为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根举双曲线的定义表示各边，在和中应用余弦定理，根据面积比求出答案. 【详解】设， 则，， 故在和中由余弦定理可得， 即，解得，则 又因为，则， 故选：D. 5．(24-25高二上·陕西榆林第十二中学·期中)已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”； 若动点的轨迹是双曲线，则为定值， 所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”. 因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件. 故选：B. 6．(24-25高二上·河北石家庄二十七中·期中)在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 7．(24-25高二上·福建莆田第一中学·期中)已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程. 【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切， 则，， 则， 故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支. 又因，解得，故其轨迹方程为. 故选：D. 二、多选题 8．(24-25高二上·黑龙江实验中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点，P是一个动点，则（   ） A．若，则点P的轨迹为椭圆 B．若，则点P的轨迹为双曲线 C．若，则点P的轨迹为直线 D．若，则点P的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆以及双曲线的定义即可求解AB；根据向量的线性运算，结合圆的定义可判断C；根据点点距离化简，结合圆的一般方程即可求解D. 【详解】对于A，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的椭圆，故A正确， 对于B，，而，故，故点的轨迹为以为焦点的双曲线的右支，故B错误； 对于C，由，可得，所以， 则点的轨迹为以原点为圆心的圆，故C错误， 对于D，若，设，则， 化简可得，满足，故点的轨迹为圆，D正确. 故选：AD. 9．(24-25高二上·湖南祁阳第一中学·期中)变化时，方程表示的曲线的形状可以是（     ） A．两条平行直线 B．圆 C．焦点在轴上的椭圆 D．焦点在轴上的双曲线 【答案】AB 【分析】根据符号, 对角分五类进行讨论, 由圆、椭圆和双曲线的标准方程判断对应曲线的具体形状即可. 【详解】当 时, , 方程 ,得 表示与 轴平行的两条直线;故A正确； 当 时, , 方程 表示圆心在原点的单位圆;故B正确； 当 时, , 方程 表示中心在原点, 焦点在 轴上的椭圆;故C错误； 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的双曲线; 当 时, , 方程 表示焦点在 轴上的等轴双曲线. 故D错误； 故选：AB. 10．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知关于，的方程表示的曲线是，则曲线可能是（   ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆 【答案】ABD 【分析】根据椭圆、双曲线、圆的标准方程得出相应的的取值范围，可得ABD正确，再根据抛物线标准方程可C错误. 【详解】由椭圆标准方程可知当且时， 即且，也即时，曲线是椭圆，即A正确； 由双曲线标准方程可知当时，即时，曲线是双曲线，即B正确； 由抛物线标准方程可知，曲线不可能是抛物线，即C错误； 根据圆的标准方程可知，当，可得，此时曲线是圆，即D正确. 故选：ABD 11．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（   ） A．平行于轴的两条直线 B．单位圆 C．焦点在轴上的双曲线 D．焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 三、非选择题 12．(24-25高二上·四川自贡蜀光中学·期中)在平面直角坐标系中，已知点 点的轨迹为.则的方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围. 【详解】由题，点M的轨迹是为焦点，实轴长为2的双曲线的右支， 故可设C的方程为， 由题：，解得：, 故C的方程为. 故答案为：． 13．(24-25高二上·重庆南坪中学校·期中)如图一直角三角形的“勾”“股”分别为6，8，以所在的直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以，为焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义和性质计算即可. 【详解】 设双曲线的方程为， 由题意得，则， ，则，， 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 14．(24-25高三上·宁夏石嘴山·期中)代数与几何是数学的两个重要分支，它们之间存在着紧密的联系.将代数问题转化为几何问题，可以利用几何直观来理解和解决代数问题，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，满足方程的的值为 . 【答案】 【详解】方程变形后，几何意义为平面内一点到两定点距离之差为，由双曲线定义得到点在双曲线左支上，代入求出. 【分析】由， 得， 其几何意义为平面内一点到两定点距离之差为， 由于，由双曲线定义可得点在双曲线的左支上， 所以，解得或（舍去）. 故答案为：. 15．(24-25高二上·广西示范性高中·期中)一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 16．(24-25高二上·福建莆田第五中学·期中)若双曲线与椭圆的焦点相同，且过点，则该双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的焦点坐标，在根据双曲线的定义求出双曲线的，再求双曲线的. 【详解】椭圆的标准方程为，所以椭圆的焦点坐标为，根据双曲线的定义可得：，解得，又因为，所以， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 17．(24-25高二上·辽宁铁岭西丰县第二高级中学·期中)求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入求出，即可得解； （2）设双曲线方程为，代入点的坐标得到方程组，解得、即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）依题意设双曲线方程为， 则，解得，所以双曲线方程为； 地 城 考点02 双曲线的几何性质 一、单选题 1．(24-25高二上·云南昭通第一中学教研联盟·期中)已知双曲线的上焦点为，渐近线方程为，则该双曲线实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的几何性质可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得解. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为， 所以，，解得， 因此，该双曲线的实轴长为. 故选：D. 2．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准式，即可得到结果. 【详解】由题意可知双曲线标准方程为，则， 则双曲线的焦点坐标为. 故选：C 3．(24-25高二上·河南开封五校·期中)已知离心率为3的双曲线与椭圆有相同的焦点，则（    ） A．13 B．21 C．29 D．31 【答案】C 【分析】由双曲线离心率为3可得，根据双曲线与椭圆焦点相同得，求解可得答案. 【详解】由题意，，解得，， 故. 故选：C. 4．(24-25高二上·江苏泰州·期中)双曲线的一个焦点是，则（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】D 【分析】化双曲线方程为标准形式，再由半径焦距求出. 【详解】由双曲线的一个焦点是，得，方程为， 则，解得. 故选：D 5．(24-25高二上·江苏徐州第三中学等学校·期中)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由椭圆方程可得其顶点与焦点，结合双曲线标准方程，可得答案. 【详解】由椭圆，则左右顶点分别为与， 由，则左右焦点分别为与， 设双曲线方程为，则，，解得， 所以可得. 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二上·山东菏泽·期中)关于双曲线，下列说法正确的是（   ） A．的渐近线方程为 B．的离心率为 C．的焦点坐标为 D．的实轴长是虚轴长的4倍 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程求出、、，再根据双曲线的几何意义一一判断即可. 【详解】双曲线，则，，， 所以渐近线为，故A正确； 离心率为，故B正确； 焦点坐标为，故C错误； 实轴长为，虚轴长为，所以的实轴长是虚轴长的倍，故D错误. 故选：AB 7．(24-25高二上·云南昆明寻甸回族彝族自治县第一中学·期中)已知双曲线的左、右焦点分别为、，过左焦点作直线与的右支交于点，与轴交于点，若为正三角形，则（    ） A．双曲线的焦距为 B．双曲线的虚轴长为 C．双曲线的离心率为 D．的面积为 【答案】AC 【分析】求出的值，可判断A选项；利用双曲线的定义可得出，，然后解，可求出的值，可得出的值，进一步可得出的值，可判断BC选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】因为，，所以，， 所以，双曲线的焦距为，故A正确； 因为为等边三角形，所以，， 因为，， 由对称性可知，（为原点）， 又因为， 所以在中，，得， 所以，，故虚轴长为，离心率，故B错误，C正确； 因为，故D错误． 故选：AC． 三、非选择题 8．(24-25高二上·天津实验中学滨海学校·期中)双曲线的焦点坐标为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程求焦点坐标. 【详解】因为双曲线的标准方程为：， 所以：双曲线的焦点在轴上，且，，所以 . 所以：双曲线的焦点为：. 故答案为： 26．(24-25高二上·吉林延边朝鲜族延吉延边第二中学·期中)已知曲线：，为上一点， ①的取值范围为； ②的取值范围为； ③不存在点，使得； ④的取值范围为. 则上述命题正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】分段化简方程画出图形，数形结合得到判断①；数形结合，结合椭圆性质判断②；由双曲线渐近线性质及图形判断③；利用的几何意义，结合三角换元得到求出取值范围判断④. 【详解】曲线化为， 画出图形如下，其中直线为曲线对应双曲线的渐近线，    对于①，当时，，①错误； 对于②，当时，；当时，， 当时，，因此的取值范围为，②正确； 对于③，直线与直线平行且在该直线左侧，曲线在直线的右侧， 因此直线与曲线无公共点，不存在点，使得，③正确； 对于④，表示点到直线的距离的倍， 又直线与直线平行且在该直线左侧，且距离为， 于是，随着的增大，值无限接近于， 当在上时，该点到直线的距离可取得最大值， 设，则到直线的距离为 ，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为，④正确. 故答案为：②③④ 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 9．(24-25高二上·江西·期中)已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则 ． 【答案】4 【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案. 【详解】易知双曲线的右顶点坐标为， 且双曲线绕点逆时针旋转得曲线， 又曲线的其中一个顶点坐标为，所以， 解得． 故答案为：4 10．(24-25高二上·上海进才中学·期中)双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】根据双曲线方程直接求出实轴长. 【详解】双曲线的实轴长为. 故答案为： 地 城 考点03 双曲线的渐近线 一、单选题 1．(24-25高二上·河南开封部分学校·期中)双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将标准方程中的1变为0后可求双曲线的渐近线. 【详解】∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是， 整理得． 故选：C． 2．(24-25高二上·山东菏泽鄄城县第一中学·月考)已知双曲线的焦距为4，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的关系，求得，直接求渐近线方程. 【详解】根据双曲线的焦距为4，即， 所以，得， 所以的渐近线方程为. 故选：D 3．(24-25高二上·江苏徐州铜山区·期中)双曲线的一条渐近线的方程为，则m值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线渐近线的方程求解即可. 【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为， 所以，解得. 故选：D. 4．(24-25高二上·广东领航高中联盟·)已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知轴，可得点与，则，化简可得，进而可得，即可得解. 【详解】易知轴，不妨设点在第一象限， 联立得，故， 又，即， 可得，即， 则，解得或（舍）， 即，则， 故渐近线方程为， 故选：C. 二、非选择题 5．(24-25高二上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于M，N两点，以线段MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若的面积为，则双曲线的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】根据以MN为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，得到以MN为直径的圆的方程为，根据三角形的面积求出的坐标，代入双曲线方程进行整理即可得解． 【详解】    以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点， 以为直径的圆的方程为，设点的纵坐标为， 由对称性知的面积， 即点的纵坐标为， 则由，得， 因为点在双曲线上， 则， 即，即， 即， 即，得， 即，得，得，. 则双曲线的渐近线方程为. 故答案为： 6．(24-25高三上·甘肃临夏州高中·期末)双曲线的离心率为，若点为双曲线的左焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为 . 【答案】2 【分析】根据条件可求得，可得左焦点坐标与渐近线方程，然后利用点到直线的距离求解即可. 【详解】由双曲线，可得，解得， 又双曲线的离心率为，所以，解得， 所以，解得， 所以左焦点，一条渐近线， 故双曲线的左焦点到一条渐近线的距离为. 故答案为：. 7．(24-25高二上·广东深圳深圳大学附属实验中学·)已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为. (1)求的方程； (2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用双曲线与圆相切以及渐近线方程即可得结果； （2）设直线方程，联立双曲线方程利用韦达定理以及，再由弦长公式计算可得. 【详解】（1）根据题意可得，即； 所以双曲线的标准方程为 （2）如下图所示： 易知双曲线右焦点的坐标为， 设直线，代入，得， 整理得 设.则 由， 所以，即可得， 解得 此时. 所以， 因此 8．(24-25高二上·江苏连云港灌南县·期中)请写出一个焦点在轴，并与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程： . 【答案】（答案不唯一） 【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在y轴上，可得，即可得解. 【详解】设所求双曲线的方程为， 因为所求双曲线的焦点在y轴上，所以， 则可取， 所以所求双曲线的方程为（答案不唯一）. 故答案为：（答案不唯一） 9．(24-25高二上·黑龙江鸡西第一中学·期中)已知双曲线的离心率，实轴长. (1)求C的方程； (2)过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求； (3)求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知列关于的方程组，求解与的值，则双曲线的方程可求； （2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解； （3）对于不为0的实数，共渐近线的双曲线方程为，将点代入即可解答. 【详解】（1）由已知可得可得：，， 所以双曲线的方程为. （2）双曲线的右焦点为，由点斜式得直线的方程为， 由消去得：， 设，，显然， 所以，， 所以 （3）设所求双曲线的标准方程为， 将代入可得， 所以该双曲线的标准方程为. 地 城 考点04 双曲线的离心率 一、单选题 1．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点为在第一象限上的一点，若为直角三角形，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线定义以及为直角三角形，可得，再结合，即可联立得到，进而求出离心率. 【详解】由题知，， 因为点为在第一象限上的一点，所以，则， 又为直角三角形，所以不可能为， 若，则， 即，可得，无解，此时不存在， 所以，即， 所以，即， 所以，. 故选：C. 2．(24-25高二上·江苏常州奔牛、二中、武高·期中)设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性结合，得到四边形为矩形，设，，在直角中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，从而利用对勾函数的值域得到的范围，进而由即可得解. 【详解】如图所示： 设双曲线的左焦点，由双曲线的对称性可知，四边形为平行四边形， 又，则，所以平行四边形为矩形，故， 设，，则， 在中，，， 所以，则， 所以， 令，得， 又由，得， 因为对勾函数在上单调递增，所以， 所以 ，即， 则，故， 所以， 所以双曲线离心率的取值范围是， 故选：A 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用椭圆的对称性证得四边形为矩形，再利用椭圆的定义与勾股定理，结合条件得到关于的齐次不等式，从而得解. 3．(24-25高二上·江苏泰州兴化·期中)已知双曲线的离心率为，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率公式可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，且，解得. 故选：A. 4．(24-25高三上·江西多校·)已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的离心率公式求解即可. 【详解】由题意得，解得． 故选：A. 5．(24-25高二上·河南许平汝名校·月考)设双曲线，的离心率分别为，.若，则（   ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据离心率列方程，从而求得. 【详解】，，因为，所以，解得. 故选：B 二、非选择题 6．(24-25高二上·福建莆田第四中学·期中)已知双曲线被斜率为1的直线截得的弦的中点为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】设，由条件可得，，由点差法可求出的值，从而得出离心率. 【详解】设，则，， 将两点坐标代入双曲线方程得：，， 将上述两式相减可得： ， 即，可得， 所以，即. 故答案为：. 7．(24-25高二上·河南商丘十校·期中)已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线关于直线对称，且这两条渐近线的夹角为30°，则双曲线与的离心率之积为 . 【答案】/ 【分析】根据条件可得渐近线的倾斜角，进而计算渐近线的斜率，根据离心率与渐近线斜率之间的关系可得结果. 【详解】 不妨设双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线下方， 双曲线的一条渐近线方程为，且在第一象限内在直线上方， 因为这两条渐近线关于直线对称，夹角为，直线的倾斜角为， 所以渐近线的倾斜角为，渐近线的倾斜角为， 所以， 故双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 故与的离心率之积为. 故答案为：. 8．(24-25高二上·广西玉林六校·期中)对于椭圆：，我们称双曲线：为其伴随双曲线.已知椭圆，它的离心率是其伴随双曲线离心率的倍. (1)求椭圆伴随双曲线的方程； (2)点为的上焦点，过的直线与上支交于两点，设的面积为，（其中为坐标原点）.若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆和双曲线的离心率公式即可求解， （2）联立直线与双曲线方程，可得韦达定理，即可根据弦长公式可得，即可根据向量的数量积求解. 【详解】（1）的伴随双曲线为， 设椭圆与其伴随双曲线的离心率分别为， 依题意可得， 即，即，解得， 所以椭圆， 则椭圆伴随双曲线的方程为； （2） 由（1）可知，设直线的斜率为，， 则直线的方程， 与双曲线联立并消去，得， 则，所以，，则， 又， 又，解得， 又， 所以 因为，所以. 【点睛】关键点点睛：，利用韦达定理，代入求解. 9．(24-25高二上·吉林长春第二实验中学·月考)已知双曲线的离心率为，为双曲线的右焦点，且点到直线的距离为. (1)求双曲线的方程; (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值. 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式和离心率列方程求出，，，即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）由题意知，解得， 则， 所以双曲线的方程为. （2）设双曲线的左焦点为，则， 由双曲线的定义知：，则， 可得， 当，，三点共线时，最小，且最小值为. 故的最小值为. 10．(24-25高二上·山东菏泽·期中)已知双曲线的离心率为，点为上一点． (1)求的标准方程； (2)若直线与相交于，两点，且的垂直平分线过点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得、，即可得解； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，即可表示出的中点的坐标，再根据两直线垂直斜率之积为计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 由，得，显然， ∴， 即，且， 则， ∴的中点， 又的中垂线过点，且， ∴，整理得，即为定值. 地 城 考点05 双曲线的弦长及中点弦问题 一、单选题 1．(24-25高二上·浙江宁波五校联盟·期中)已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，利用点到直线距离公式，结合圆的弦长公式可得：，运算求解即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则，解得：， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为， 因为圆的圆心为，半径， 可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即， 则圆心到渐近线的距离，可得：. 又因为圆与双曲线的一条渐近线相交弦长为， 由题意可得：，解得：. 综上可得：的取值范围是. 故选：B 二、非选择题 2．(24-25高二上·天津和平区双菱中学·期中)已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求解即可； （2）先求出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即， 又，所以，解得， 则双曲线的方程为. （2）由题意，直线的方程为， 联立，消去y并整理得， 设，，此时， 由韦达定理得，， 所以. 3．(24-25高三上·海南文昌中学·月考)已知双曲线的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点． (1)求双曲线的方程； (2)若直线的斜率为，求弦长； (3)记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的焦距、结合双曲线方程求出值即可； （2）先求出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及弦长公式计算即可； （3）设出直线l的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式，推理计算即得. 【详解】（1）由题意，双曲线的焦距为， 则，即， 由，得， 所以双曲线的方程为. （2）依题意，直线的方程为， 联立，即， 设，， 则，， 所以弦长. （3）证明：依题意，设直线的方程为，，， 联立，即， 则， 且，，即， 而，， 所以 为定值. 4．(23-24高二上·山东潍坊·)已知双曲线：的一个焦点为，一条渐近线方程为，为坐标原点. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的几何性质即可求解， （2）根据点差法，结合中点弦可得直线方程，即可根据弦长公式求解. 【详解】（1）由焦点可知， 又一条渐近线方程为，所以， 由可得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设中点的坐标为， 则   两式子相减得：， 化简得， 即，又，所以， 所以中点的坐标为， 所以直线的方程为，即. 将代入得，， 则， , 5．(24-25高二上·四川绵阳南山中学实验学校·期中)已知椭圆C与双曲线有相同的焦点，且椭圆C经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l与椭圆C相交于，且的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可； （2）设利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可. 【详解】（1）由题意可设椭圆方程，焦距为， 易知双曲线焦点坐标为，则椭圆C的焦点坐标为，即， 又椭圆C经过点， 根据椭圆的定义可知：， 所以， 所以， 所以椭圆C的标准方程为； （2）易知点在椭圆内部，设，则 ，作差得， 则， 所以，则直线l的斜率为， 由点斜式可知直线l的方程为 所以直线l的方程为：. 6．(24-25高二上·上海进才中学·期中)设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【分析】根据双曲线方程利用点差法求得直线的斜率表达式，再根据各点坐标以及中点坐标公式得出直线方程，与双曲线方程联立根据判别式判断方程根的个数可得结论. 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线弦中点问题时，经常利用点差法由中点坐标求得弦所在直线的斜率或直线方程，即可得出相应结论. 7．(24-25高二上·陕西榆林·期中)已知双曲线：（，）的一个焦点到一条渐近线的距离为1，离心率为.设直线交双曲线的右支于、两点，交轴于点，且线段的中点为，为原点. (1)求双曲线的方程； (2)求直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用点到直线的距离即可求出，结合离心率可以求出； （2）中点弦问题利用点差法求解即可； （3）运用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出三角形的高，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）不妨设双曲线的一个焦点为，双曲线的一条渐近线为，即， 依题意，结合，化简得， 又离心率，所以所以双曲线C的方程为. （2）设，由题意得， 又，，两式相减得， 所以， 又直线l过点,所以直线l的方程为,即，经验证此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. （3）联立，消去y得， 所以， 所以， 又点到直线l的距离， 所以的面积.    8．(24-25高二上·湖南部分学校·期中)已知双曲线的实轴长为，且过点 (1)求双曲线C的方程. (2)过双曲线C的右焦点F作斜率为的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求 (3)若M，N是双曲线C上不同的两点.且直线MN的斜率为，线段MN的中点为P，证明：点P在直线上. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，将点的坐标代入得，即可求解. （2）由（1）得，进而得直线l的方程为，联立双曲线方程，得韦达定理，进而求解. （3）利用点差法即可证明. 【详解】（1）根据题意可得，则 将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线C的方程为 （2）由（1）得，则， 则直线l的方程为 设， 由，得， ，，， 所以 （3）设，，则， 两式相减得 设，则， 所以， 即，所以， 即，所以点P在直线上. 9．(24-25高二上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，，双曲线C上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于4. (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线交双曲线的右支于A，B两点，且M为的中点，求直线的方程； (3)已知定点，点D是双曲线右支上的动点，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用双曲线的定义求出双曲线C的标准方程. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合中点坐标公式求出直线方程. （3）利用双曲线定义，结合线段和差大小关系求出最小值. 【详解】（1）依题意，双曲线焦点在轴上，半焦距，实半轴长，则虚半轴长， 所以双曲线C的标准方程为. （2）显然直线不垂直于轴，否则弦中点纵坐标为0， 设直线的方程为，即，设， 由消去得：， 依题意，，由M为的中点，得，解得， 此时方程为，，符合题意， 所以直线的方程为. （3）由，得点在双曲线夹含虚轴的区域内， 又点在双曲线右支上，即， 因此， 当且仅当是线段与双曲线右支的交点时取等号， 所以的最小值为. 地 城 考点06 双曲线中的三角形 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏泰州兴化文正实验学校·期中)已知双曲线C：的左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若，则的周长为（    ） A．12 B．14 C．10 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线的定义求解即可； 【详解】 由题意可得， 的周长为， 由双曲线定定义可得， 又 所以， 所以的周长为12， 故选：A 2．(24-25高二上·山东多校·期中)已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点， ，且的面积等于4，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】先由的面积得，再由勾股定理结合双曲线的定义以及即可求解. 【详解】由题得，所以， 因为，所以， 则，所以即， 又，所以即. 故选：B. 二、多选题 3．(24-25高二上·重庆鲁能巴蜀中学校·期中)已知双曲线的左，右焦点分别为、，直线与双曲线右支相交于（其中在一象限），若，则列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为15 【答案】ACD 【分析】根据题意，然后根据双曲线的定义，结合通过余弦定理即可得出结果. 【详解】，因为,则，A正确； 由，根据双曲线的定义可得，知，则， 中由余弦定理可得，解得(舍)或，故B错误； 设，则中由余弦定理,可得， 则，C正确； ， D正确； 故选：ACD 4．(24-25高二上·山东百师联考·期中)已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点是与的一个公共点，则（   ） A．椭圆的方程为 B． C．为等腰三角形 D．对于上的任意一点， 【答案】ABC 【分析】根据椭圆的关系可求解选项A；利用椭圆和双曲线的定义求解选项B、C；利用向量数量积的坐标表示求解选项D. 【详解】 由双曲线：的方程可知，双曲线的焦点，， 离心率为， 所以椭圆的焦点为，，离心率为， 所以椭圆中，， 所以椭圆的方程为，A正确； 因为点是与的一个公共点， 所以点在双曲线上， 所以根据双曲线的定义可知， ，且， 所以，B正确； 根据对称性，不妨设，则， 又根据椭圆的定义可知，， 所以联立，解得 ，所以，所以为等腰三角形，C正确； 设，则，， 所以， 解得，此时， 所以存在点的坐标为或或或， 使得，D错误； 故选：ABC. 三、非选择题 5．(24-25高二·浙江台州六校联盟·期中)设是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于 . 【答案】24 【分析】利用双曲线定义易得，结合得为直角三角形，即可求面积. 【详解】由题设，令且，则，即， 所以，而，则， 所以为直角三角形，且，故其面积为. 故答案为： 6．(24-25高二上·黑龙江鸡西第一中学·期中)已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则 . 【答案】5 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】设是双曲线的右焦点，连接，    又在双曲线的左支上，所以， 又，所以， 又为的中点，为的中点， 所以. 故答案为：. 7．(24-25高二上·湖南湖湘教育三新探索协作体·期中)设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为 . 【答案】1 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 8．(24-25高二上·辽宁普通高中部分学校·期中)已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 【答案】 【分析】利用双曲线的定义结合焦点三角形的特征求解. 【详解】 设双曲线的标准方程为，， 由已知可得，即， 因为， 所以， 所以，故双曲线的方程为. 故答案为：. 地 城 考点07 双曲线的综合问题 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏泰州民兴实验中学·期中)3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为8cm，则该塔筒的高为（   ）      A． B．18cm C． D． 【答案】D 【分析】根据模型建立平面直角坐标系，由已知条件先求双曲线的标准方程，再计算高度即可. 【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A与分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为， 由双曲线的离心率为，得，则， 由喉部（中间最细处）的直径为，得， 所以双曲线的方程为，设点， 由，得，所以该塔筒的高为. 故选：D    2．(24-25高二上·辽宁县级重点高中协作体·期中)某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】分析可知，在以、为焦点的双曲线的右支上，建立平面直角坐标系，求出双曲线方程，将线段的垂直平分线方程与双曲线的方程联立，求出点的坐标，可求出直线的斜率及倾斜角，即可得出结论. 【详解】因为、同时接到信号，所以，，则点在线段的垂直平分线上， 因为、比处同时晚收到信号，所以有， 从而在以、为焦点的双曲线的右支上，所以，，，则， 如图，以线段的中点为坐标原点，的垂直平分线为轴，正东方向为轴的正方向， 建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，， 所以，双曲线的方程为， 线段的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，即点， 从而，所以，直线的倾斜角为， 则在处测得的方向角为北偏东， 故选：A. 二、多选题 3．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（    ）              A．射线所在直线的斜率为，则 B．当时， C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13 D．若点坐标为，直线与相切，则 【答案】ABD 【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断；B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得；C选项，由双曲线定义可判断；D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得. 【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为， 选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确； 选项B，由双曲线的定义知，， 若，则， 因为， 所以， 解得，即B正确； 选项C：，即C错误； 选项D，因为平分，由角分线定理知，， 所以， 又， 所以，解得，即D正确. 故选：ABD. 三、非选择题 4．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县·期中)双曲线的光学性质如下：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图2，其方程为分别为其左，右焦点，且，从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后分别经过点（在同一直线上，在第一象限）.当轴时，的斜率为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由轴时，求出点坐标，结合的斜率为，列式求出得解； （2）设，由，可得，结合，求出点坐标，得解. 【详解】（1）由光学性质知，三点共线， 因为，所以， 当轴时，在双曲方程中令，解得，则， 所以，即， 又因为，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设，因为， 所以，即，可得， 又，所以，，所以 所以方程为，即：. 5．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·期中)如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy. (1)求道路的曲线方程； (2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标） 【答案】(1)： ，: (2) 【分析】（1）根据题意，由双曲线的定义可得线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上，求得其标准方程，再结合圆的定义，得到线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，求得此圆的方程，即可得到答案； （2）根据题意，分点在线路与线路上两种情况讨论，分别求得的最小值，比较大小，得出最小值，以及点的坐标. 【详解】（1）根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多， 则线路所在的曲线是以定点为左右焦点的双曲线的右支上， 且，所以， 所以方程为， 又点纵坐标为6，代入方程可得M点横坐标为， 所以道路所在的曲线方程为 ， 又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为 以为圆心，为半径的圆，其方程为， 故道路曲线方程为段：为 ， 段：. （2）当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 当点在线路上，设， 又由，则， 由（1）可得，则， 可得当时，有最小值，且， 因为，所以有最小值为，此时，则， 则点的坐标为，此时到的距离最小. 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $