专题04 指数函数与对数函数 4大高频考点（期中真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04指数函数与对数函数 ☆4大高频考点概览 考点01指数函数 考点02对数函数 考点03幂函数 考点04函数的应用 目目 考点01 指数函数 一、单选题 1.(2425高一上浙江杭州西湖区东方中学期中)函数f(x)=3+1,则f(x)的值域为() A.(1,+∞)B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞) 2.(24-25高一上浙江温州环大罗山联盟期中)若a=20.6,b=404，c=0.83,则() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a 3.(24-25高一上浙江浙江星辰联盟·期中)函数f(x)图象的一部分如图所示，则函数f(x)的解析式有可 能是() 1h 2 012右 A.y=2-1B.y=21 C.y=2x-1 D.y=21 4.(2425高一上浙江台州六校联盟期中)已知x1=1og,克，x2=3,3满足()=1nX3,则(） A.X1<X2<X3B.X1<X3<X2C.X2<X1<X3D.X3<X1<X2 5.(24-25高一上浙江G5联盟期中)若a=0.5.6,b=0.605,c=31og。2,则a、b、c的大小关系为() A.c<a<bB.a<b<c C.b<a<c D.a<c<b 6.(24-25高一上浙江G5联盟·期中)已知函数f(x)=a2+1(a>0,a≠1)恒过定点A(t,s),则函数 g(x)=t++1的图象不经过() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.(24-25高一上浙江温州环大罗山联盟期中)为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年 1/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳 排放的年均减排率最低是() A.0.036 B.0.82 C.1-0.82 D.1+V0.82 8.(24-25高一上·浙江温州中学期中)一个质量为m的物体在空气中以初始速率Vo落下，假设空气阻力大小 F与物体的速率v满足f=kv(k为正常数)可求得在t时刻物体的速率v=罩+(Vo爱)e片：，其中自 然常数e=2.71828.··，g为重力加速度的大小，按照此模型，可推得() A.当V0>时，随着t变大，物体速率v减小，但始终大于 B.当vo>时，随若t变大，物体速率增大，且始终大于 C.当vo<哭时，随着t变大，物体速率减小，且始终小于哭 D.当<时，随着变大，物体速率v增大，最终会等于要 二、多选题 9.(24-25高一上·浙江宁波余姚中学期中)下列结论正确的是（) A.Va∈Rn∈N,都有an=a B.已知a为常数且a>1,则归x0>0,当x>xo时，恒有x>ax>1ogx C.函数f(x)=(3)4的单调递减区间是[3，十o0) D.f(x)在(a,b)上具有零点的必要不充分条件是f(a)·f(b)<0 三、填空题 10.(2425高一上·浙江杭州江干区杭四吴山期中)数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注 意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数 f(x)=as2023+1(a>0且a≠1)的图象必过定点 11.(2425高一上浙江衢州五校联盟期中)4+(22)-(e)°+323=— 12.2425商-上新江温州中学期中10*82+1m+1o8,7·1og,8- 13.(24-25高一上浙江宁波余姚中学期中)求值： 2/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)(2)-(9.6)°(3喝)+152= (2)0g5)2+1g2-1g50+22+oF= 四、解答题 14.(2425高一上浙江杭州西湖区东方中学.期中)(1)求值： 2×(5×5)°+(V2W2)-4×(8)+(2024)°， (2)己知x2+x是=3，求x十x1的值 15.(24-25高一上浙江台州六校联盟·期中)化简求值 (3-m°+要+0.008)×() (2lg225+lg25×1g16-(1og2+log,21og23+1ogg3)+1g4 目目 考点02 对数函数 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州江干区杭四吴山期中)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位： C)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718..为自然对数的底数，k,b为常数).若该食品在30C的保鲜时 间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是() A.54小时 B.72小时 C.108小时 D.144小时 2.(24-25高一上浙江温州中学期中)已知a<b,1o82a和lo82b是方程x2-3x+2=0的两根，则 1og,b=() A.0 B.1 C.2 D.3 3.24-25高一上浙江台州六校联盟期中)已知f)=log,(N2+2+x,f(包)=V5,f(-a)=() A.1 B.3 c.-5 D.1-V5 4.(24-25高一上浙江台金七校联盟·期中设a>0,且a≠1，则下列运算中正确的是() A.aiai=a B.alog,日= C.log 2=-l0g2a 5049=1 D.( 3/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 5.(2425高一上新江杭州西潮区东方中学期中)已知常数a>0,f(x)=本云的图象经过点 P(p,号)，Q(9-吉)，且2+9-36p9,则() A.a=6 B.f(x)的图象与y=1无限接近但又不与该直线相交 C.x∈(2，+o),不等式f(x)>2恒成立 D.方程f(2x)=f(x)有且只有一个实数解 6.(24-25高一上浙江G5联盟期中)若2=3y=1og8,则下列等式正确的是() A.x=等 B.y2=8 C.x+y=3 D.xy=3. 7.(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)下列不等式正确的是() A.0.302<203<402 B.0.301<0.401<0.501 C.1o843<1o803<1ogo.23 D.1og63<号<lg5 三、解答题 8.(24-25高一上·浙江杭州拱墅区杭十一中.期中)已知a>1,函数 f(x)=a*1+x-3,g(x)=x-2+l0gx (1)若a=2,f(m)=m,求m; (2)若f(m)=-1,g(m)=-1,求m: (3)若f(m)=0,g(n)=0,问：m十n是否为定值（与a无关）？并说明理由. 9.(24-25高一上浙江台金七校联盟期中)设奇函数f(x)=ln器-e+b,(e为自然对数的底数， e≈2.71828…） (1)求f(x)的定义域和b: (②x∈(，1)，求函数f(x)的值域， 10.(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)求值： (1)-2l0g2+log+log 8 (2若x=1g2(a>0,a≠1)，求 4/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.(2425高-上浙江宁泼北仑中学期中判)(1)8.V16+1-V②-（π-） (2)求1og,2+(1g5+2lg21g5+（1g2)2-4a3的值. 12.(18-19高一上浙江金兰教育合作组织期中)设函数f8)=g[(2x-3)(x-)]的定义域为集合A,函 数g8)=√x2+4x-3a2的定义域为集合B(其中aeR,且a>0) (1)当a=1时，求集合A∩B; (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围， 目目 考点03 幂函数 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江衢州六校联盟期中)下列函数中，既是偶函数，又在(0，+∞)上单调递减的函数是 () A.y=x2 B.y=x C.y=最 D.y=-|2x 2.(24-25高一上浙江浙江星辰联盟期中)已知a=2,b=7方，c=V5,则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 3.(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体期中)已知幂函数f(x)=(3m2-2m)xm是定义域上的 奇函数，则m=() A.-青 B.1 c. D.-青或1 4.(24-25高一上浙江衢州五校联盟期中已知幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm1为偶函数，则() A.m=1 B.m=2 C.m=1或m=2 D.m不存在 5.(19-20高二下·浙江环大罗山联盟期末)已知函数f8)=(m2-m-1)xm1是幂函数，对任意的 XX2∈(0，+)且x1≠x2,满足型>0，若a bER.a+b<0,则f(a)+fb)的值() XTX2 A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 二、多选题 6.(24-25高一上·浙江杭州第九中学期中)幂函数f(x)=x满足x>1时，f(x)>1,则a的值可以是() 5/9 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-1 B.3 C. D.-2 7.(24-25高一上浙江衢州六校联盟期中已知幂函数f(x)的图象经过点(2，专)，则() A.函数f(x)为奇函数 B.f(4)=言 C.函数f(x)的值域为R D.当x2>x>0时，型>f() 8.(24-25高一上浙江衢州五校联盟·期中)下列选项中正确的是() A.1.924>1.931 B.(倩)<3 C.1.103>0.931 D.()3<(品) 9.(22-23高一上·浙江湖州三贤联盟·期中)下列关于幂函数描述正确的有() A.幂函数的图象必定过定点(0,0)和(1,1) B.幂函数的图象不可能过第四象限 C.当幂指数&=-1，克，3时，幂函数y=x是奇函数 D.当幂指数=，3时，幂函数y=x是增函数 三、填空题 10.(2425高一上浙江杭州拱墅区源清中学期中)若幂函数f(x)经过点(8,2)，则f(27)= 11.(2425高一上浙江温州中学期中)已知幂函数f(x)的图像经过第二象限，且在区间(0，+∞)上单调 递减，则一个符合要求的f(x)= 12.(24-25高一上浙江宁波北仑中学期中)幂函数f(x)=(m2+m-5xm在x∈(0，+o∞)上单调递减，则 m的值为一 13.(24-25高一上浙江温州新力量联盟期中)0.3 0.2（填“>”或“=”或“<”) 目目 考点04 函数的应用 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州拱墅区源清中学期中)函数f(x)=专x+x-2的零点所在的区间是() A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 6/9 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 二、多选题 2.(2425高一上浙江G5联盟·期中)已知a,b∈R,，对关于x的方程xx+ax+b=0的实数解情况进行 讨论，则下列结论中正确的是() A.存在a,b∈R,使该方程无实根 B.对任意a,b∈R,该方程至少有一个实根 C.存在a,b∈R,使该方程有两个实根D.存在a<0,b>0,使该方程有三个实根 3.(24-25高一上浙江台州六校联盟期中)已知f(x)=x2+ex-专(x<0)与g(x)=x2+ln(x+a)的 图象上存在关于V轴对称的点，则a的取值可能是() A.e B.1 C.-1 D.-e 4.(24-25高一上浙江浙江星辰联盟期中)已知函数f(x)=2料，则下列说法正确的有() A.存在实数a和x使得f(x)<0 B.当实数a>0时f(x)在x∈(0，+o)上单调递增 C.对任意实数a,函数f(x)的图像恒过定点(0,1) D.对任意小于0的实数a,方程f(x)-=0都有两实数解 5.(24-25高一上浙江台金七校联盟·期中)若函数f(x)=xx+ax+b,当xE[-2,2]时，f(x)的最 大值为M,最小值为；则下列说法正确的是() A.M-m的值与b无关 B.M-m的值与a无关 C.函数f(X),xER至少有一个零点D.函数f(x),xER至多有三个零点 a,azb 6.2425高一上浙江丽水丽水五校高中发展共同体期中)定义max{ab}={6,a<b,已知函数 f(x)=max{a-x-1,x2-(2+a)x+2a},0<a<1,则函数y=f(x)的零点个数可能为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 三、填空题 7.24-25高一上浙江杭州拱墅区源清中学期中已知函数f(x)三】 x-是-ax>a (a(x+是)，x≤a，关于x的方程 |f(x)-a=4恰有四个不同的实数解，则正实数a的取值范围是 8.2425高一上浙江衢州五校联盟期中)已知函数f(x)={ -2x2-4x+1,X≤0 -38+2x>0 ,关于x的方程 f2(x)-（m+2y2)f(x)+2V2m=0恰有2个不同的解，则实数m的取值范围是一， 7/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.(24-25高一上浙江温州中学期中)设常数a≠0，若存在x≠0且x≠a,使得引x-a=(x-a)(安-a) ,则a的取值范围是 10.(24-25高一上浙江温州新力量联盟·期中)已知函数f(x)=3mx-4,若f(x)=0在[-2,0]上有解， 则m的取值范围是 四、解答题 11.(2425高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）期中某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废 气的污染物数量Pmg/几与时间h间的关系为P=Poekt(其中Po,k是大于0的常数).已知在前5个小 时消除了10%的污染物. (1)求k的值： (2)求污染物减少50%需要花的时间（精确到0.1h)?参考数据：1n2≈0.69,1n3心1.10,1n5≈1.61 12.(2425高一上·浙江G5联盟期中)某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形 ABCD下底边AB为半圆直径，C、D在圆周上. (I)写出这个梯形周长y与腰长x的函数解析式，并求出它的定义域； (2)当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边AB(垂足为F)的直线1从左至右移动（与梯形ABCD有 公共点)时，直线！把梯形分成两部分，若左边部分的面积为V3时，求AF的长。 13.(2425高一上·浙江强基联盟)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程 中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系 式为y=(竞)9(a为常数，根据如图提供的信息， y(毫克) 00.1 小时) (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式： (2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请 计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室 14.(24-25高一上浙江杭州S9联盟期中)已知函数fx是定义在R上的偶函数，且当x≤0时， 8/9 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 fx)=x2+2x现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示. -2、 7012 (I)画出f(x)在y轴右侧的图象并写出函数f(x&∈R)的增区间； (2)写出函数f(xx∈R)的解析式； (3)讨论方程fx)=m(meR)解的个数 15.(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)某企业生产A,B两种产品，根据市场调查和预 测，A产品的利润y(万元)与投资额x(万元)成正比，其关系如图(1)所示；B产品的利润y(万元) 与投资额x(万元)的算术平方根成正比，其关系如图(2)所示， 22.8 (1) 2) (I)分别将A,B两种产品的利润表示为投资额的函数： (2)该企业已筹集到40万元资金，并全部投入A,B两种产品的生产，问：怎样分配这40万元投资，才能使 企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 16.(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳 游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流 动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待x万名游客需要投入的流动成本为f(x)(单位：万元)， 当游客人数不超过14万人时，f(x)=2x2-1040x+3850: 当游客人数超过14万人时，f(x)=170x+-1900. (1)写出该市旅游净收入g(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数解析式：（注：旅游净收入=旅游收 入-固定成本-流动成本) (②)当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 9/9 专题04 指数函数与对数函数 4大高频考点概览 考点01 指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 考点04 函数的应用 地 城 考点01 指数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的值域为求解即可. 【详解】因为，所以， 即函数的值域为， 故选：A. 2．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，且，则； 由函数在上单调递增，且，则， 由，则. 故选：A. 3．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)函数图象的一部分如图所示，则函数的解析式有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性排除C、D，再由函数过点，即可判断B. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 因为，在定义域上单调递减，故排除C、D； 又当时，显然不过点，故B错误； 在定义域上单调递增，且，所以，符合题意. 故选：A 4．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知，，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数、对数函数单调性可限定出各数值的取值范围，可得结论. 【详解】根据题意可知， 而， 由可知是函数和图象交点的横坐标，如下图所示： 由图可知. 因此可得. 故选：A 5．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)若，，，则、、的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数、对数函数以及幂函数结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数在上为减函数，函数在上为增函数， 则，即， 因为对数函数在上为增函数，则， 因此，. 故选：B. 6．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知函数恒过定点，则函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由函数恒过定点，列方程组解得，，从而，由此能求出结果． 【详解】函数恒过定点， ，解得，， 在上为递增的奇函数，其图象经过第一第三象限及坐标原点， 的图象不经过第四象限． 故选：D． 7．(24-25高一上·浙江温州环大罗山联盟·期中)为实现碳达峰、碳中和，中共中央国务院提出，到2025年单位国内生产总值二氧化碳排放比2020年下降18%，则2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低是（   ） A．0.036 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，列出等式，再结合指数函数的公式，即可求解． 【详解】设2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为，2020年至2025年要求单位国内生产总值二氧化碳排放的年均减排率最低为， 则2020年单位国内生产总值二氧化碳排放量为， 故，解得． 故选：C． 8．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)一个质量为的物体在空气中以初始速率落下，假设空气阻力大小与物体的速率满足（为正常数）可求得在时刻物体的速率，其中自然常数，为重力加速度的大小，按照此模型，可推得（   ） A．当时，随着变大，物体速率减小，但始终大于 B．当时，随䒴变大，物体速率增大，且始终大于 C．当时，随着变大，物体速率减小，且始终小于 D．当时，随着变大，物体速率增大，最终会等于 【答案】A 【分析】根据题目条件，结合指数型复合函数的单调性，判断关于的变化情况即可. 【详解】时，由，可得，故恒成立， 又，，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递减函数， 于是随着变大，物体速率减小，A正确B错误； 时，由，可得，故恒成立， 又，由指数型复合函数的单调性，关于是单调递增函数， 于是随着变大，物体速率变大，CD均错误； 故选：A. 二、多选题 9．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)下列结论正确的是（    ） A．，都有 B．已知为常数且，则，当时，恒有 C．函数的单调递减区间是 D．在上具有零点的必要不充分条件是 【答案】BC 【分析】由指数幂的运算即可判断A，由指对幂函数的特点即可判断B，由复合函数的单调性即可判断C，由函数零点的定义即可判断D. 【详解】对于A，当为奇数时，，当为偶数时，，故A错误； 对于B，当时，函数均为单调递增函数， 且各类函数的增长速度为指数函数最快，对数函数最慢， 所以 ，当 时，恒有 ，故B正确； 对于C，由解得或， 又在单调递减，在单调递增， 且是减函数，由复合函数的单调性可知， 在单调递增，在单调递减，故C正确； 对于D，取函数，则函数的零点为和， 即在上存在零点，但是，故D错误； 故选：BC 三、填空题 10．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数（且）的图象必过定点 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质求图象所过定点坐标. 【详解】由，故函数图象必过定点. 故答案为： 11．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中) ． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算法则及指数、对数恒等式计算可得. 【详解】 . 故答案为： 12．(24-25高一上·浙江温州中学·期中) . 【答案】6 【分析】根据指对数的运算求解即可. 【详解】 . 故答案为：6 13．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)求值： （1） ； （2） ． 【答案】 /0.5 11 【分析】（1）根据指数幂的运算法则逐项化简运算即可的答案； （2）根据对数运算法则、对数恒等式、指数运算化简即可得答案. 【详解】（1）原式； （2）原式. 四、解答题 14．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)（1）求值：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算可得. （2）将两边平方即可得解. 【详解】（1） . （2）因为，所以， 即，所以. 15．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)化简求值 (1) ; (2) 【答案】(1)12 (2)2 【分析】（1）根据指数运算法则和根式的性质直接计算可得答案； （2）根据对数运算的运算律和性质直接计算可得答案. 【详解】（1） ； （2） . 地 城 考点02 对数函数 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州江干区杭四吴山·期中)某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（…为自然对数的底数，，为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（    ） A．54小时 B．72小时 C．108小时 D．144小时 【答案】D 【分析】将两组数据代入解析式，利用指对互化和对数的运算法则求出和的值，令，求解即可. 【详解】由题知，即，解得，则， 令，则， 所以该食品在0℃的保鲜时间是144小时. 故选：D. 2．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知，和是方程的两根，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意可得，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 又因为方程的两根为1，2， 则，解得， 所以. 故选：C. 3．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知，， ＝（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数运算公式，计算的值，即可求解. 【详解】， 因为，所以. 故选：D 4．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)设，且，则下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂运算以及对数的定义逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：例如，则，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：D. 二、多选题 5．(24-25高一上·浙江杭州西湖区东方中学·期中)已知常数，的图象经过点，且，则（   ） A． B．的图象与无限接近但又不与该直线相交 C．，不等式恒成立 D．方程有且只有一个实数解 【答案】AC 【分析】根据图象经过点列方程可判断A；求出可判断B；根据一次函数与指数函数的增长速度判断C；求出判断D. 【详解】的图象经过点， 所以，，所以 化简可得，又可得， 由可得，A正确； 则，， 所以是的图象与直线的一个交点，即的图象与直线相交，B不正确； ，不等式恒成立，即，不等式恒成立， ，设，则 因为时，增长速度不变，而增长速度越来越快， 所以越大越小，所以时，， 所以，故C正确； 因为，所以是的一个解， 又因为，，即， 所以也是的解，故D错误. 故选：AC. 6．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)若，则下列等式正确的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】AD 【分析】根据对数函数与指数函数的性质结合指对运算逐项判断即可得结论. 【详解】由，可得，利用换底公式可得，A项正确； 因为，且， 所以，则， 所以，选项B错误， 因为，所以，C项错误； ，所以，D项正确． 故选：AD． 7．(24-25高一上·浙江宁波余姚中学·期中)下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的单调性即可判断A，由的单调性即可判断B，由对数函数的单调性以及换底公式代入计算，即可判断C，由作商法代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，因为，且在上单调递增， 则，故A正确； 对于B，由在单调递减可得，故B错误； 对于C，由在上单调递增， 则，所以， 即，故C正确； 对于D，由可得， 由可得，故D正确； 故选：ACD 三、解答题 8．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区杭十一中·期中)已知，函数 (1)若，求m； (2)若，求m； (3)若，问：是否为定值（与a无关）?并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，理由见详解 【分析】（1）当时，由可得，即可得结果； （2）由，可得；由，可得，故，再借助于指数幂的运算即可求得； （3）由，化简可得，又，结合函数是单调递增函数即可求得． 【详解】（1）当时，， 由得，，故，即. （2）由得，. 由得，，故. 注意到， 所以，解得. （3）因为，所以， 变形得，，所以. 又因为，函数在定义域内为单调增函数， 则，可得，即， 所以为定值（与无关）. 9．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)设奇函数，（为自然对数的底数，）. (1)求的定义域和； (2)，求函数的值域. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，进而可求定义域，根据奇函数的定义和性质分析求解； （2）由（1）可知，换元令，结合函数单调性求值域即可. 【详解】（1）因为， 令，可得，可知的定义域为； 因为是奇函数，则，解得， 可得，则， 即，可知是奇函数. 综上所述：. （2）由（1）可知， 令，则， 因为在上单调递减， 当时，；当时，；可知，即 且在定义域内为增函数，则，所以的值域为. 10．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)求值： (1)； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数的运算性质计算可得； （2）根据指数、对数恒等式及对数的运算性质计算可得. 【详解】（1） ; （2）因为， 所以. 11．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)（1）； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用对数运算性质计算即得. 【详解】（1）. （2）. 12．(18-19高一上·浙江金兰教育合作组织·期中)设函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B (其中，且) . (1)当时，求集合； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1)；(2) ． 【分析】(1)分别利用对数函数的定义域与根式函数的定义域求解集合,再求解即可. (2)由题可得,再利用区间端点列出不等式求解即可. 【详解】（1）由或, 当时,由, , ． （2）当时,若 或, 解得或, 故的取值范围是． 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一般幂函数的奇偶性、单调性判断各函数是否满足题设即可. 【详解】在上递增，A不符；、为奇函数，B、C不符； 为偶函数且在上递减. 故选：D 2．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质判断即可. 【详解】因为， 因为函数在上单调递增， 所以， 所以. 故选：B 3．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)已知幂函数是定义域上的奇函数，则（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由幂函数定义得到等量关系，解出的值，代入的验证函数为奇函数. 【详解】因为函数是幂函数， ∴，解得或， 当时，是奇函数，满足题意； 当时，是奇函数，满足题意; ∴或. 故选：D. 4．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)已知幂函数为偶函数，则（   ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义，结合偶函数特征求解即得. 【详解】由是幂函数，得，解得或， 当时，是偶函数，符合题意； 当时，是奇函数，不符合题意， 所以. 故选：A 5．(19-20高二下·浙江环大罗山联盟·期末)已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【解析】根据函数为幂函数以及函数在的单调性，可得，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果. 【详解】由题可知：函数是幂函数 则或 又对任意的且，满足 所以函数为的增函数，故 所以，又， 所以为单调递增的奇函数 由，则，所以 则 故选：B 二、多选题 6．(24-25高一上·浙江杭州第九中学·期中)幂函数满足时，，则的值可以是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】BC 【分析】根据题中条件，确定幂函数在上单调递增，进而可得结果. 【详解】因为幂函数满足时，， 所以幂函数在上单调递增， 因此，故AD错，BC正确； 故选：BC 7．(24-25高一上·浙江衢州六校联盟·期中)已知幂函数的图象经过点，则（   ） A．函数为奇函数 B． C．函数的值域为 D．当时， 【答案】AD 【分析】先求出，再根据幂函数图象性质解决即可. 【详解】设幂函数为 将代入解析式得，故，所以， 定义域为， 因为，故函数为奇函数，故A正确； 函数，故B错误； 显然的值域为，故C错误； 当时，， 即满足，故D正确 故选：AD 8．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)下列选项中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用指数函数的单调性可判断AB选项；利用中间值法可判断C选项；利用幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为函数为上的增函数，则，A错； 对于B选项，因为函数为上的增函数，则，B对； 对于C选项，因为函数为上的增函数，函数为上的减函数， 所以，，C对； 对于D选项，因为函数在上为增函数，则，D对. 故选：BCD. 9．(22-23高一上·浙江湖州三贤联盟·期中)下列关于幂函数描述正确的有（    ） A．幂函数的图象必定过定点和 B．幂函数的图象不可能过第四象限 C．当幂指数时，幂函数是奇函数 D．当幂指数时，幂函数是增函数 【答案】BD 【分析】依据幂函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：幂函数的图象必定过定点，不一定过，例，故A错误； 选项B：幂函数的图象不可能过第四象限，正确； 选项C：当幂指数时，幂函数不是奇函数，故C错误； 选项D：当幂指数时，幂函数是增函数，正确； 故选：BD 三、填空题 10．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)若幂函数经过点，则 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的定义可求解解析式，即可代入求解. 【详解】设，则，故, 则， 故答案为：3 11．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)已知幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，则一个符合要求的 . 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】举例，根据幂函数的性质分析判断即可. 【详解】例如，可知的定义域为，且， 所以幂函数的图像经过第二象限，且在区间上单调递减，符合题意. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 12．(24-25高一上·浙江宁波北仑中学·期中)幂函数在上单调递减，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义，以及性质，即可求解. 【详解】由条件可知，得或， 当时，，在上单调递增，所以不成立， 当时，，在上单调递减，所以成立， 则. 故答案为：2 13．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中) （填“＞”或“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】根据幂函数的单调性比较． 【详解】因为函数是增函数，， 所以， 故答案为：． 地 城 考点04 函数的应用 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析函数单调性，再利用零点存在性定理求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 又，， 所以由零点存在性定理可知，函数存在唯一零点，且. 故选：B. 二、多选题 2．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)已知，对关于的方程的实数解情况进行讨论，则下列结论中正确的是（   ） A．存在，使该方程无实根 B．对任意，该方程至少有一个实根 C．存在，使该方程有两个实根 D．存在，使该方程有三个实根 【答案】BCD 【分析】方程根的个数问题可化为函数与的图象交点个数的问题求解. 【详解】对于AB，由题意知：的方程的实数解，即为函数与的图象交点的横坐标， ，作出其图象如下： 由函数图象特征可知直线一定会与的图象有交点，故A错误，B正确； 对于C，如图，当直线位于位置①时，直线与的图象有两个公共点，C正确； 对于D，如图，当，时，直线位于位置②，此时直线的图象有三个交点，D正确. 故选：BCD. 3．(24-25高一上·浙江台州六校联盟·期中)已知与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】在函数的图象上取点，可知点关于轴的对称点在函数的图象上，可得出，由参变量分离法可得出，求出函数的值域，即为实数的取值范围. 【详解】在函数的图象上取点， 则点关于轴的对称点在函数的图象上， 所以，，整理可得， 可得， 所以，实数的取值范围即为函数的值域， 因为内层函数在上为增函数， 外层函数为增函数，故函数为增函数， 又因为函数为增函数，故函数为增函数， 所以，，所以，函数的值域为， 因此，实数的取值范围是. 故选：BCD. 4．(24-25高一上·浙江浙江星辰联盟·期中)已知函数，则下列说法正确的有（   ） A．存在实数和使得 B．当实数时在上单调递增 C．对任意实数，函数的图像恒过定点 D．对任意小于0的实数，方程都有两实数解 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：因为恒成立，所以恒成立，故A错误； 对于B：因为， 当时，在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故B正确； 对于C：因为，所以对任意实数，函数的图像恒过定点，故C正确； 对于D：因为， 当时在上单调递减，在上单调递增， 又，且恒成立，当时，当时， 所以与必有两个交点，故对任意小于0的实数，方程都有两实数解，故D正确. 故选：BCD 5．(24-25高一上·浙江台金七校联盟·期中)若函数，当时，的最大值为，最小值为；则下列说法正确的是（   ） A．的值与无关 B．的值与无关 C．函数，至少有一个零点 D．函数，至多有三个零点 【答案】ACD 【分析】对于AB：，作差求即可分析；对于CD：构建，分和两种情况，结合函数图象分析与的交点个数即可. 【详解】对于选项AB：假设，， 则， 显然，可知的值与无关，与有关，故A正确，B错误； 对于选项CD：令，可得， 构建，则， 可知为奇函数， 若，在单调递增，其图象如图所示：    可知与恒有1个交点，即恒有1个零点； 若，在单调递减，在上单调递增，其图象如图所示：    可知与可能有1、2或3个交点，即可能有1、2或3个零点； 综上所述：函数，至少有一个零点，至多有三个零点，故CD正确； 故选：ACD. 6．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)定义，已知函数，，则函数的零点个数可能为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】BCD 【分析】分别令内的两个表达式为函数，先求出这两个函数的所有零点，再分别讨论每个零点.当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值小于0，则这个值一定为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值可能小于0也可能大于0 ，则这个值可能为函数的零点；当其中一个函数取零点时，另一个函数的函数值大于0，则这个值一定不为函数的零点.由此判断的这四个零点中哪些一定是函数的零点，哪些可能是零点，哪些一定不是零点. 【详解】令， 当时，或， 当时，或， ①当时，，， 令，则， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ②当时，，， ∵，∴，即是的零点； ③当时，，， ∵，∴， 即当时， 是的零点；当时， 不是的零点. ④当时，，， ∵，∴， 是的零点. 综上所述：和一定是的零点，和可能是的零点. 故选：BCD. 三、填空题 7．(24-25高一上·浙江杭州拱墅区源清中学·期中)已知函数，关于x的方程恰有四个不同的实数解，则正实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】令，根据题意可知与在内有且仅有3个不同的交点，分和两种情况，结合函数图象分析求解. 【详解】令， 由，可得， 可知与有4个不同的交点， 当，， 当且仅当，即时，等号成立， 可知与在内有且仅有1个交点， 所以与在内有且仅有3个不同的交点， 若，则的图象如图所示： 因为在内单调递增， 可知与在有且仅有2个不同的交点，不合题意； 若，则的图象如图所示： 可知与在内有3个不同的交点，符合题意； 综上所述：正实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)已知函数，关于的方程恰有2个不同的解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出函数的图象，由题设方程可得或，结合图象可知，时有2个不同的解，可得无解或，进而结合图象求解即可. 【详解】画出函数的图象，如图， 由， 即，即或， 因为关于的方程恰有2个不同的解， 结合图象可知，时有2个不同的解， 所以无解或， 则或， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 9．(24-25高一上·浙江温州中学·期中)设常数，若存在且，使得，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先去绝对值讨论的值，再讨论与两种情况满足的不等式，再求解不等式即可. 【详解】由题意，若成立，则： 当时有解，或当时有解. 即当时有解，或当时有解. ①当时，无解，此时，，不满足； ②当时，无解，此时，，不满足； 故，则当时有解，或当时有解. 故或，即或， 即或. 求解可得或； 求解可得或； 综上有的取值范围是. 故答案为： 10．(24-25高一上·浙江温州新力量联盟·期中)已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由可得． 【详解】由题意，解得， 故答案为：． 四、解答题 11．(24-25高一上·浙江杭州西湖区浙附（玉泉丁兰）·期中)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间th间的关系为（其中，k是大于0的常数）．已知在前5个小时消除了10%的污染物． (1)求k的值； (2)求污染物减少50%需要花的时间（精确到）?参考数据： 【答案】(1)0.02； (2) . 【分析】（1）由题意可得，求解即可. （2）由题意可得，求解即可. 【详解】（1）在中，当时，，则， 解得， 所以. （2）由（1）知，，当时，，即， 则. 所以污染物减少需要花的时间约为 . 12．(24-25高一上·浙江G5联盟·期中)某学校计划在半径为2的半圆形广场规划一等腰梯形绿化，等腰梯形下底边为半圆直径，、在圆周上． (1)写出这个梯形周长与腰长的函数解析式，并求出它的定义域； (2)当所截梯形的周长最大时，用一条垂直于底边（垂足为）的直线从左至右移动（与梯形有公共点）时，直线把梯形分成两部分，若左边部分的面积为时，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）过作于，圆心为，连接，设，由勾股定理得，进而求解即可； （2）令，表示出梯形左边部分的面积列出方程求解即可． 【详解】（1）如图，过作于，圆心为，连接， 设，则，由， 得，整理得， 则，所以， 由于，，所以． 故所求函数为，. （2）由（1）知，，， 则当时，取得最大值， 此时，，，， 则等腰梯形的底角为，面积为， 令，则时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 当时，， 解得（舍去）或（舍去）. 综上所述，.    13．(24-25高一上·浙江强基联盟·)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），根据如图提供的信息， (1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式； (2)为保证学生的身体健康，规定当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克及以下时，学生方可进教室.请计算从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. 【答案】(1) (2)0.5小时 【分析】（1）由图可知在上是一条直线且过点，所以可知方程为；又因为点在曲线上，求得，曲线方程可得，最后综合可得答案. （2）分析可知只有当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，可出，解此不等式即可得解. 【详解】（1）因为图中直线过点，所以图象中线段的方程为， 又点在曲线上，所以，所以， 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）之间的 函数关系式为. （2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室， 所以只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克及以下时学生方可进入教室， 即，所以，所以，解得， 所以从药物释放开始，至少需要经过0.5小时，学生才能回到教室. 14．(24-25高一上·浙江杭州S9联盟·期中)已知函数是定义在上的偶函数，且当时，.现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示.    (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)讨论方程解的个数. 【答案】(1)作图见解析， (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数定义即可画出图象，由图象即可求出单调区间； （2） 根据偶函数定义即可求出解析式； （3）数形结合即可讨论方程解的个数. 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，图象如下：    其递增区间为； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则， 则； （3）当时，， 所以当时，， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，， 方程解的个数即为函数与图象的交点个数， 由图象可知，当时没有解； 当或时有2个解；       当时有4个解；       当时有3个解. 15．(24-25高一上·浙江丽水丽水五校高中发展共同体·期中)某企业生产，两种产品，根据市场调查和预测，产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图（1）所示；产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系如图（2）所示，    (1)分别将，两种产品的利润表示为投资额的函数； (2)该企业已筹集到万元资金，并全部投入，两种产品的生产，问：怎样分配这万元投资，才能使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 【答案】(1)；； (2)投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大，最大利润为万元. 【分析】（1）设投资为，分别用和表示产品的利润，由函数图像设出解析式，然后代入图中的点坐标，求得解析式； （2）设产品投资为万元以及企业的利润为万元，列出函数的解析式，用换元法，配方法得到最大值点和最大值. 【详解】（1）设投资为万元，产品利润为万元，产品利润为万元， 由题意设，， 由图可知，所以，即； ，所以，即； （2）设产品投资为万元，则产品投入万元，企业的利润为万元， 则，， 令，， 则， 当即时，， 此时投入产品万元，投入产品万元，使得企业获利最大， 最大利润为万元. 16．(24-25高一上·浙江衢州五校联盟·期中)某市为迎接国庆游客，出台了一系列政策.已知该市最多能容纳游客35万人，每万名游客平均可创造160万元的经济效益.已知该市维持旅游市场的成本分为固定成本和流动成本两部分，其中固定成本为300万元/年，每接待万名游客需要投入的流动成本为（单位：万元）， 当游客人数不超过14万人时，； 当游客人数超过14万人时，． (1)写出该市旅游净收入（万元）关于游客人数（万人）的函数解析式；（注：旅游净收入旅游收入固定成本流动成本）； (2)当游客人数达到多少万人时，该市的旅游净收入能达到最大？ 【答案】(1) (2)9万 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得， 当时，， 当时，， 故； （2）当时，， 且当时，在单调递增，当时，在单调递减， 此时． 当时，， 当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值1250， 即为使该市旅游净收入达到最大，游客人数应为9万人． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $