第22章 二次函数（29个高频易错考点训练 共58题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册章节复习培优专项训练

第22章 二次函数（易错题考点集训） 【29个高频易错考点 共58题】 易错考点01：根据二次函数的定义求参数 2 易错考点02：y=ax²的图象和性质 2 易错考点03：y=ax²+k的图象和性质 4 易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质 6 易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 7 易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质 8 易错考点07：二次函数图象与各项系数符号 10 易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号 12 易错考点09：y=ax²+bx+c的最值 15 易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径 18 易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式 21 易错考点12：抛物线与x轴的交点问题 25 易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 27 易错考点14：图象法解一元二次不等式 30 易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围 33 易错考点16：根据交点确定不等式的解集 36 易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数） 38 易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数） 41 易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数） 43 易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数） 46 易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数） 48 易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数） 52 易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数） 54 易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数） 55 易错考点25：面积问题（二次函数综合) 59 易错考点26：线段周长问题（二次函数综合） 65 易错考点27：角度问题（二次函数综合) 68 易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合） 75 易错考点29：特殊四边形（二次函数综合） 79 易错考点01：根据二次函数的定义求参数 1．（25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 【答案】， 【思路引导】本题考查根据二次函数的定义求出参数的值，根据二次函数的定义得到，且，进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：，， 解方程，可得， 解不等式，可得， 综上所述，可知， ∴． 2．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【思路引导】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】解： 是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 易错考点02：y=ax²的图象和性质 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【规范解答】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 4．（25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了运用描点法画函数图象、二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 利用列表、描点、连线画出函数、的图象，再根据的图象和的图象关于x轴对称作图即可，． 【规范解答】解：观察三个函数表达式可知，三个函数图象都以y轴为对称轴，都以坐标原点为顶点． 函数图象如图所示： 易错考点03：y=ax²+k的图象和性质 5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 【答案】(1)0，1；y轴 (2)或 【思路引导】熟悉抛物线的图象和性质、等边三角形的性质，是正确解答本题的关键． （1）根据函数的解析式直接写出其顶点坐标和对称轴即可； （2）设．根据轴于B，点，是等边三角形，得，求得x的值即可作为P点的横坐标，代入解析式即可求得P点的纵坐标，即得． 【规范解答】（1）解：抛物线的顶点为，对称轴为y轴． 故答案为：0，1；y轴． （2）解：设． ∵轴，垂足为B， ∴． ∵点， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∴ ， 解得，． ∴ ∴点P的坐标为或．    6．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质 7．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了求二次函数的函数值，比较二次函数函数值的大小，先求出，的值，比较大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 故选：A． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【规范解答】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 9．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 【答案】 【思路引导】本题考查二次函数的图象性质．二次函数图象为开口向上的抛物线，则点到对称轴的距离越远，对应函数值越大，据此即可判断． 【规范解答】解：二次函数图象为开口向上的抛物线，其对称轴为， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【思路引导】本题主要考查二次函数的平移及性质，当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上，此时对称轴为直线，由对称性可知此时点D的坐标为，当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度，所以点D也向右平移3个单位长度，即可求出点D的横坐标最大值． 【规范解答】解：如图， 当点C的横坐标取到最小值时，抛物线的顶点平移到点上， 此时对称轴为直线， 由对称性可知此时点D的坐标为， 当点D横坐标最大时，抛物线的顶点平移到点上，顶点从点A平移至点B，向右平移3个单位长度， 所以点D也向右平移3个单位长度， 此时点D坐标为，横坐标最大， 故选：D. 易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质 11．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数经过点，对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式； (2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求解，即可得出，即可作答． （2）结合的以及对称轴是直线，得出二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵二次函数经过点，对称轴是直线， ∴，， 解得，， ∴， （2）解：由（1）得， ∵，对称轴是直线， ∴二次函数的开口方向向上，且在时，y随x的增大而增大． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【规范解答】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 易错考点07：二次函数图象与各项系数符号 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【规范解答】解：①，，， ，错误； ②由图象可知：对称轴为直线，且， ，正确； ③由图象可知：当时， ， 又当时，， ； 与相加得， ，正确； ④， ， 又， ，正确． 综上，正确结论的序号是②③④． 故选：D． 14．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，通过，两点，则，由，从而可判断；当时，抛物线为，，，然后代入即可判断；由方程有四个根，则或，可得每个方程的根和为，然后由，则，，即，再通过，即可判断；由，则，可得点在对称轴处，即顶点，然后通过二次函数对称轴即可判断；掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵过，两点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴， ∴，故正确； 当时，抛物线为， ∴，， ∴，故错误； ∵方程有四个根， ∴，各有两个根， ∴每个方程的根的和为， ∴四个根总和， 由抛物线（，，是常数）开口向下，过，两点， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴点在对称轴处，即顶点， ∴为最大值，故且， 要满足，由，则需比离对称轴更近， ∴，解得，故错误； 综上，正确结论为， 故选：． 易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路引导】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出，结合对称轴位置判断出，再根据与y轴的交点位置，判断，进而得出结论①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出，进而得出，即可判断⑤错误；综上即可得答案． 【规范解答】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ， 故①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ②正确； 抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， ， ③正确； 点到直线的距离比点到直线的距离小，且抛物线开口向上， ， 故④错误； ， ， 故⑤错误． 综上所述，正确的有②③，一共2个． 故选：A． 16．（22-23九年级上·四川广安·期中）已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查二次函数图象与性质等知识，涉及的知识点有抛物线的对称轴、抛物线与轴的交点、二次函数的最值等，是重要考点，难度较易，掌握二次函数图象与性质是解题关键． 根据抛物线图象开口方向判断，根据对称轴为，得到，，根据图象可知抛物线与轴交于正半轴，可判断，据此可判断①②；根据可得，即有，可判断③；由二次函数的图象可知最大值在时，即最大值为，据此解题可判断④． 【规范解答】解：①由图象可知，抛物线开口向下，即， 对称轴为， ， 且， 抛物线与轴交于正半轴， ， 故①错误，②正确； ③， ， 故③正确； ④抛物线的对称轴为， 当时，函数的最大值，且为， （为任意实数） （为任意实数）， 故④正确； 综上所述，正确的是②③④， 故选：D． 易错考点09：y=ax²+bx+c的最值 17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键． 根据抛物线的开口方向，对称轴可得，即可判断①，时，函数值最大，即可判断②，根据时，，即可判断③，根据图象当，，代入，即可判断④，根据对称性可得即可判断⑤，即可求解． 【规范解答】解：∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵对称轴为直线， ∴ ∴ ∵抛物线与轴交于正半轴，则 ∴，故①错误， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线, ∴当时，取得最大值，最大值为 ∴（m为任意实数） 即，故②正确； ∵时，, 即 ∵ ∴ 即 ∴，故③正确； 当，，，故④正确； ∵、是抛物线上不同的两个点， ∴关于对称， ∴即，故⑤不正确， 正确的有②③④， 故选：A． 18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①直接写出抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值． (3)已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)最大值为0，最小值为 (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①将代入抛物线解析式即可得解；②将抛物线的解析式化为顶点式，由此即可得解； （2）先求出原抛物线关于y轴对称的解析式为，再结合二次函数的性质计算即可得解； （3）先求出抛物线的对称轴为，再分两种情况：当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为；分别利用二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：①当时，抛物线的解析式为； ②∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：关于y轴对称的点是， ∴原抛物线关于y轴对称的解析式为， ∵，对称轴为直线，， ∴，， ∴，； （3）解：，理由如下： ∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为， ∵，，， 当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∴， ∴到对称轴的距离大于到对称轴的距离， ∴， 当时，到对称轴的距离为，到对称轴的距离为， ∴， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴， 综上所述，． 易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解； 【规范解答】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ， ∴，， ∴． 20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 【答案】②③④ 【思路引导】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，从函数图象中获取信息，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，最值结合对称轴判断②；作点关于对称轴的对称点，连接，的长即为的最小值，勾股定理求出的长，判断③，对称性结合增减性，判断④即可． 【规范解答】解：由图象和题意可知：，当时，， ∴， ∴，；故①错误， 当时，函数取得最小值为：， ∴对于任意实数m，， ∴的值不小于2，故②正确； 作点关于对称轴的对称点，连接， 则：， ∴当点在上时，的值最小为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为；故③正确； ∵抛物线的开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，满足且， ∴， ∴点离对称轴远， ∴；故④正确； 故答案为：②③④． 易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式 21．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值8，最小值是4 【思路引导】本题考查二次函数的图象性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）由题意，因为，而抛物线对称轴为直线，所以抛物线的一段的最小值取在顶点处，为，而最大值与最小值的差为，所以最大值为12，代入抛物线解析式，可求出当时相应的自变量取值，从而由题意可知，需满足，，且或，由此计算求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入， 得：， 解得：； （2）解：由（1）知：， 对称轴为直线， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， 又点为线段的中点， ，即 由对称性知， ， 代入， 得：， ； （3）解， 抛物线的顶点坐标， ∵， ∴抛物线的一段的最小值取在顶点处取得， 即当，， ∵抛物线的一段最大值与最小值的差为， ∴， 当时，代入得： ， 解得：， 由题意可知，需满足，，且或， 当，时，取得最大值； 当时，或当时，取得最小值， 故的最大值为8，最小值为4． 22．（24-25九年级上·广东·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； (3)在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，取得最大值，最大值为； (3)存在，点坐标为或或 【思路引导】本题考查了二次函数的图象与性质，求函数解析式，平行四边形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由直线：可求出点A的坐标，再将点A，点D的坐标代入抛物线的表达式，即可求解； （2），即可求解； （3）先求出，设点，则，由题意知：，即，解得（舍去），，，，即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵直线：过点， ， 又， 将点、的坐标代入抛物线表达式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图： 设点， 轴，轴， 则，， ∵点在直线上方的抛物线上， ，， ， ∴当时，取得最大值，最大值为； （3）解：存在，理由如下： 当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵是所求平行四边形的一边， ， 设点，则， 由题意知：，即， 化简得：或， 解得：（舍去），，，， 则符合条件的点有三个： ，， 易错考点12：抛物线与x轴的交点问题 23．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 【答案】C 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是学会根据表格中的信息求得函数的解析式．由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质得到结果． 【规范解答】解：设二次函数的解析式为, 由题意知 ， 解得， ∴二次函数的解析式为， ∴函数的图象开口向上，顶点为， ∴顶点在第四象限，函数有最小值， 令，则， ∴或， ∴图象与x轴的一个交点是和， 故A、B、D选项不正确，选项C正确，符合题意． 故选：C． 24．（24-25九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图像上的两点，则，其中正确的是（　　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点问题，由二次函数的开口方向、对称轴和与轴的交点位置可得，，，即可判断①；由抛物线与轴的交点个数可判断②；由二次函数的图象和性质可判断③和④，综上即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴当时，的值最大，即，故③正确； ∵抛物线的对称轴是直线，开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴，故④错误； 综上，正确的是①②③， 故选：． 易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 25．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性等解答即可． 本题考查了抛物线的对称性，抛物线与坐标轴的交点，抛物线与各项系数的符号关系，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵抛物线的图象与y轴的交点在正半轴上， ∴； ∵对称轴为直线， ∴, ∴, ∴, 故①正确； 根据抛物线的图象得，直线与抛物线的交点在第一象限， ∴， ∴, 故②正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， 故的两个根分别是， 故多项式可因式分解为， 故③不正确； 根据题意，得，即， 根据题意，当时，抛物线有最大值，且为， 故当时，在抛物线顶点的上方， 故关于的方程无实数根． 故④正确； 故选：C． 26．（2023九年级上·安徽合肥·竞赛）对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图象和性质、含绝对值的函数图象和性质．本题的关键是通过讨论自变量的取值范围将绝对值号去掉，即转化成二次函数进行求解． 分别求出当和时的函数值，从而可判断图象是否关于y轴对称，可判断①．当和时两种情况，去掉绝对值号，从而可分别求出函数的最小值，从而可求出最小值，可判断②．画出函数的图象，当函数图象与直线有两个交点时，即求出m的取值范围，可判断③．构造函数，画出函数图象，则可求出b的范围使得该函数和直线有三个交点，可判断④． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ∴当时和当时，对应的函数值相等， ∴图象关于轴对称，故①正确； 当时，， ∴当时，y有最小值， 当时，， ∴当时，y有最小值， 综上所述，函数有最小值，故②正确； 画出函数图象如图， 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有两个交点， 即当方程有两个不相等的实数根时，或，故③错误； ∵直线与的图象有三个交点， ∴有三个不相等的实数根， 设， 当时，， 当时，， 画出函数图象如下： 观察图象得：当或时，函数的图象与直线有三个交点，故④错误； 故选：B 易错考点14：图象法解一元二次不等式 27．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合题，根据二次函数的性质以及二次函数与一元二次方程的关系来求解是本题解题的关键， （1）当 时，函数为 ．求出抛物线坐标轴交点坐标，进而求出三角形面积； （2）联立二次函数 与直线 ：，得方程，根据线段与二次函数有两个不同的交点，可得函数，与x轴有两个交点，且和3中间．由此可得得顶点在第一象限，当时，，由此解不等式即可； （3）根据对称轴的位置分类讨论，由当时，的最大值为1，最小值，列出不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：当 时，函数为 ． 当时，，解得， 所以，点 ， ， ∴ 当时， ，所以 ． （2）∵点 ， ， ∴直线 函数解析式为 ． 联立二次函数 与直线 ：，得 整理得：， ∵线段与二次函数有两个不同的交点， ∴函数，与x轴有两个交点，且和3中间．如图： ∴当时，，即 ， 解得： 当时，， 当时，，即 ∴， 综上所述： 的取值范围为 （3）∵当 时， 恒成立， ∴当 时，， ∵的图象开口向下，对称轴是，如图： 此时最大值为 当  时，即 ． 解得：， 当 时，即 ． ，不等式组无解； 当 时，即 ． ，不等式组无解； 综上， 的取值范围为 ． 28．（24-25九年级上·广西柳州·期中）如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要掌握抛物线顶点、对称轴、与x（y）轴交点等知识．根据二次函数的图象及性质，逐个判断即可． 【规范解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，①正确； ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴②不正确； ∵图象过点， ∴图象与x轴左侧的交点为， 将代入得： ，③正确； 由图象知顶点在x轴下方， ∴，即， 而开口向上，， ∴， ∴，④正确； ∵抛物线与x轴两个交点分别为，，且开口向上， ∴时，，⑤正确； ∴正确的有①③④⑤， 故选：D． 易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围 29．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 (1)求函数与的交点坐标； (2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，函数值大小比较，不等式的求解，理解题意准确计算为解题关键． （1）联立两个函数的解析式，求解方程组得到交点的横、纵坐标即可； （2）通过联立函数解析式并移项，转化为不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：联立与， ， 整理可得：，解得：，， 当时，代入，可得， 当时，代入，可得， 函数与的交点坐标为和； （2）要使一次函数的值大于二次函数的值，即， 可得不等式， 整理得：， 可得， 解得：， 当时，一次函数的值大于二次函数的值． 30．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 【答案】①②④ 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，根据函数图象可得，得出方程的两个根为和，进而根据当时，，得出当时，，则，对称轴为直线，即可判断①②；根据与无交点即可判断③，根据根与系数的关系可得，结合，即可判断④． 【规范解答】解：根据函数图象可得， ∴方程的两个根为和， 又∵当时，， 设，当时，， ∴，， ∴， 又∵，即， ∴， ∴，故①正确； ∵的函数图象的对称轴为直线， 又，关于直线对称， ∴若，两点均在此函数图象上，则，故②正确； 如图 与无交点， ∴关于的一元二次方程无实数根，故③不正确； ∵方程的两个根为和， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴，故④正确， 故答案为：①②④． 易错考点16：根据交点确定不等式的解集 31．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4) (5) 【思路引导】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，画二次函数图象； （1）根据配方法化为顶点式，即可求解； （2）根据顶点式确定顶点坐标，以及与轴的交点坐标，根据二次函数图象的对称性画出函数图象，即可求解； （3）根据函数图象可得时，， （4）结合函数图象，当时，得出的范围； （5）根据时，函数y的取值范围为，令，得出，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：如图所示， （3）解：根据函数图象可得，当时，， 故答案为：． （4）解：根据函数图象可得当时，， 当时，取得最大值为， ∴当，y的取值范围是； 故答案为：． （5）解：∵当时，函数y的取值范围为， 当时，， 当时，， 当时， 解得：或（舍去） 则a的值为， 故答案为：． 32．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 【答案】(1) (2)，对称轴为直线 (3) 【思路引导】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，将二次函数解析式化为顶点式． （1）根据抛物线与轴交于，两点，设抛物线的解析式为，把代入，求出a的值即可； （2）将（1）的得到的函数解析式化为顶点式，即可解答． （3）结合图象即可得到当时，函数值大于0． 【规范解答】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，． （3）∵抛物线与轴交于，两点， ∴当时，函数值大于0． 易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数） 33．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 【答案】(1) (2)方案二的内部支架节省材料，理由见解析 【思路引导】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，熟练掌握以上知识点是解题的关键 （1）先确定顶点坐标，再利用待定系数法即可求出该抛物线的表达式； （2）分别求出方案一和方案二的内部支架材料长度，再比较即可． 【规范解答】（1）解：∵，，为抛物线的顶点， ∴，∴顶点的坐标为，， 设抛物线的解析式为：， 代入，得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：，即； （2）解：方案二的内部支架节省材料，理由如下： 方案一：∵，， ∴，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案一内部支架材料长度为：； 方案二：∵，， ∴，，， 当时，，即， 当时，，即， ∴方案二内部支架材料长度为：； ∵， ∴方案二的内部支架节省材料． 34．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设，． (1)求y与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 【答案】(1)， (2)当，时矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为 【思路引导】本题考查了一次函数及二次函数的应用，解题的关键是理解题意，能正确列出方程． （1）根据栅栏总长列式得出表达式，再根据，及外墙长列不等式组解决即可； （2）利用矩形面积公式及二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：设，， ∴， ∵外墙长且， ∴， 解得：； ∴y与x的关系式为； （2）解：由题意得： ， ∵， ∴当时，S最大，此时，， ∴当，时矩形羊圈的面积S最大，S的最大值为． 易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数） 35．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 36．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点C、E重合．现将在直线上向右移动，直至点B与F重合时，停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随着x变化的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键． 分为、两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，再根据函数解析式即可解答． 【规范解答】解：如图1所示：当时，过点G作于H． ∵和均为等边三角形， ∴为等边三角形． ∴， ∴． 当时，且抛物线的开口向上． 如图2所示：时，过点G作于H． 易得：函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上． 综上，A选项函数图象符合题意． 故选：A． 易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数） 37．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，设该抛物线的函数表达式为，再把把代入，进行计算，即可作答． （2）先设，再分别表示，则灯带总长度，再结合二次函数的性质进行分析，即可作答． 【规范解答】（1）解：依题意，， 故设该抛物线的函数表达式为， ∵距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度， 即， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵该抛物线的函数表达式为， ∴设， 则， ∵灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为， ∴， ∴灯带总长度， ∵， ∴当时，灯带总长度有最大值， 即， 故的长为． 38．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)①；②点E在水平面上方，见解析． 【思路引导】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）根据图象得到顶点坐标，再利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）①抛物线的顶点，得到．②将E点横坐标代入，则，当水面宽为时，将代入，得，比较后即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由图象可知，顶点C的坐标． 设（）， 代入点，得， 解得， 所以解析式为． （2）①∵ ∴抛物线的顶点， ∴． ②将E点横坐标代入，得， 则， 当水面宽为时， 将代入，得， 因为，所以点E在水平面上方． 易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数） 39．（21-22九年级上·四川泸州·期中）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 【答案】(1)； (2)元/件； (3)万元． 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润单件利润销售量，列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解． 根据利润单件利润销售量，即可解决问题； 当时，可得关于的一元二次方程，解方程即可求出第一年的售价； 根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件，可得：，根据利润单件利润销售量，可得第二年的利润为，求出在的取值范围内二次函数的最小值即可． 【规范解答】（1）解：根据利润单件利润销售量， 可得：； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 该产品第一年的售价是元/件． （3）解：公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件， ， 解得：， ， 第二年的利润， 抛物线的对称轴为直线，开口向下，且， 当时，有最小值，最小值为万元， 答：该公司第二年的利润至少为万元． 40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． (1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润． 【答案】(1) (2) (3)元，元 【思路引导】本题主要考查二次函数在实际销售利润问题中的应用， （）依据利润每件利润销售量，先确定每件利润为元(售价减进价) 根据售价与销售量的关系，计算出销售量为件(原价销量减去因涨价减少的销量) ，两者相乘并整理，得到函数关系式； （）由利润不低于元，列不等式 整理不等式为，因式分解后求解，得出单价范围， （）根据利润不超过列不等式，得，结合()确定，分析二次函数性质：开口向下、对称轴为，在对称轴左侧随的增大而增大，而，当(是的倍数且最接近)时，取得最大值，即可解答． 【规范解答】（1）解：， 故与的函数关系式为：； （2）要使当天利润不低于元，， ∴， 解得，， ∵，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为； （3）∵每件文具利润不超过， ∴， 得， 又∵且是的倍数， ∴且是的倍数， 对于二次函数， 其对称轴为 ∵函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，而， ∴当(是的倍数且最接近)时，取得最大值； 当时，取得最大值，此时， 即每件文具售价为元时，最大利润为元． 易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数） 41．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为；网前吊球击球路线的函数表达式为；（2）；（3）乙能接到网前吊球的击球 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数应用，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． （1）以为坐标原点，所在的中线为轴，所在的中线为轴，建立如图所示的坐标系，再利用待定系数法解答即可； （2）利用网前吊球击球路线的函数表达式求得点坐标，则可求，利用解答即可得出结论； （3）分别利用函数的解析式求得两种击球方式接球所需的时间，通过与0.5秒比较即可得出结论． 【规范解答】解：（1）以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系， 则，， 设直线的解析式为， ， ， 扣杀球击球路线的函数表达式为； 设网前吊球击球路线的函数表达式为， ， ， 网前吊球击球路线的函数表达式为； （2）令，则， ， ， ， ， ． 故答案为：； （3）对于，令，则， ， ， ， ， 扣杀球时，羽毛球的平均速度约为， （秒 ， 乙不能接到扣杀球的击球． 从点击球，击球点是抛物线的最高点， ， ， ， ， 乙能接到网前吊球的击球． 42．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②石块能飞越防御墙 (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的最值，解题关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质． （1）①根据石块在空中飞行的最大高度为米，可得出，再将代入，求出抛物线的函数解析式； ②依据题意，由墙高为6米，则令，得到关于的一元二次方程求解，再结合墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，可判断得解； （2）把，代解析式求出，把，代入解析式求出，得出的取值范围． 【规范解答】（1）解：①∵发石车发射点点离地面高3米， ∴， ∵抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ∴， 把代入， 得：， 解得， 所以抛物线的解析式为； ②∵墙高为6米， ∴当时，， 解得（舍去）或， ∵， ∴， ∴， ∵墙宽为2米，点P与点B的水平距离为米，且， ∴石块能飞越防御墙； （2）由题意，得， 把，代入解析式， 得：，解得：， 把，代入解析式， 得：，解得：， ∴若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点B，C），则． 易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数） 43．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【规范解答】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 44．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1) (2)不会 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，求出的最大值即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【规范解答】（1）解：∵，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． ∴， 令，易得， 令，得， 可求得， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式分别是和； 函数的对称轴为直线， 把代入，得 因此A喷头喷出的水流的最大高度是； （2）解：依题意，函数， 令，得， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数） 45．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是掌握增长率的公式． 已知初始值、年均增长率和增长年数、最终量，利用增长率模型公式即可求解． 【规范解答】解：由题意，年的市场规模为亿美元，年均增长率为，经过2024年和2025年共两年的增长． 第一年（年）：市场规模增长到． 第二年（年）：在第一年的基础上再增长，即． 因此，年的市场规模与年均增长率的函数关系为， 对应选项C． 其他选项中，A未包含初始值，B和D的表达式不符合增长率模型公式，故排除． 故选：C． 46．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，根据题意正确列出二次函数解析式是解题的关键． 根据题意列出二次函数解析式即可． 【规范解答】解：由题意得，与的函数解析式为， 故选：D ． 易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数） 47．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米． (1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标； (2)写出直线的解析式； (3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长； (4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 【答案】(1)； (2) (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数关系式及勾股定理，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）利用抛物线顶点设解析式，再将代入求出，得到抛物线解析式；把代入解析式求点纵坐标，确定坐标． （2）先由、坐标用待定系数法求直线解析式；设横坐标为，根据在抛物线、在直线上，分别表示出、纵坐标，作差得表达式；同理，由、水平距离为3，设横坐标为，求出表达式；根据列方程求解，代入表达式得长度． （3）用两点间距离公式求长度；由（2）得关于E横坐标的二次函数表达式，根据二次函数性质（开口向下，顶点处取最大值）求出最大值；支架长度为，相加得最大长度． 【规范解答】（1）解：由题意可得， ∴设与之间的函数关系式，将点代入， 得，解得． ∴抛物线的解析式为； 当时，， ； （2）已知，设直线的解析式为， 解得 ∴直线的解析式为； （3）设点的横坐标为， ∵在抛物线上，在直线上， ∴点纵坐标为，点纵坐标为． ∴ ， ∵间的水平距离为3米，且在左侧， ∴点的横坐标为， 同理，点纵坐标为 点纵坐标为， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ∴ （4）已知，， 设点的横坐标为， 由（3）得． 在中，， ∴函数图象开口向下，存在最大值， 其对称轴为， ∴ ， ∵支架长度为， ∴支架所需铝合金材料的最大长度为：． 48．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 【答案】(1)， (2) (3)停车距离约为． 【思路引导】本题考查正比例函数与二次函数的实际应用； （1）设，，结合题意可得，，再进一步求解即可； （2）结合（1）可得：； （3）当刹车距离为时，可得，求解，再进一步求解即可． 【规范解答】（1）解：∵与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．骑行速度为， ∴，， ∵当骑行速度为时，反应距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时， ∴， ∵当骑行速度为时，刹车距离为， ∴， 解得：， ∴， 当时，． （2）解：设骑行速度为，而，， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：∵当刹车距离为时， ∴， 解得：，（舍去）， ∴ ∴停车距离约为． 易错考点25：面积问题（二次函数综合) 49．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，已知抛物线经过三点、、（为原点） (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果点是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积，若有，求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果保留根号） 【答案】(1)抛物线解析式为，对称轴为，顶点坐标为 (2)当的坐标为时，的周长最小 (3)的面积有最大值，最大值为，此时点的坐标为 【思路引导】（1）直接将、、三点坐标代入抛物线解析式，可求解析式； （2）因为点，关于对称轴对称，连接交对称轴于点，点即为所求，求直线的解析式，再根据点的横坐标值，求纵坐标； （3）设，用割补法可表示的面积，根据面积表达式再求取最大值时的值． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过三点、、， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线图像的对称轴为：，顶点坐标为； （2）存在．理由如下： 如图所示， ∵抛物线的对称轴为，，，， ∴点与关于对称轴对称， ∵点在对称轴上， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，即点为直线与抛物线对称轴的交点时，取得最小值，即周长的最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴当的坐标为时，的周长最小； （3）∵点是该抛物线上轴上方的一个动点，设， ∴①， 如图所示，过点作轴于点，轴于点，过点作于点，过点作于点，则，， ∴，，，， ∴四边形、是平行四边形， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴ ②， 将①代入②得： ， ∴当时，的面积最大，最大值为，此时， ∴， ∴的面积有最大值，最大值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数的解析式，抛物线的对称轴、顶点坐标、最值，根据对称性求线段和最小值的问题，在坐标系里表示面积及求面积最大值，矩形的判定性质，梯形的判定等问题，掌握抛物线的图像与性质是解题的关键． 50．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； (3)如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【思路引导】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式、一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求得点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求得的值即可； （）过点作轴，交于点，设，，然后用含的式子表示的长，接下来，利用配方法求得的最大值，从而可求得， 面积最大值； （）先求得点的坐标，然后设直线的解析式为，的解析式为，接下来求得点和点的横坐标，然后设直线的解析式为，把，代入得，将的解析式为与抛物线解析式联立得到关于的一元二次方程，然后依据一元二次方程根与系数的关系可求得，最后由的值可得到的值． 【规范解答】（1）解：把代入得，解得， ∴， 把点的坐标代入，得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点作轴，交于点， 设，， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 此时 面积最大，最大值为； （3）解：把代入，得，解得，， ∴， 设直线的解析式为，的解析式为， ∴， 解得：或， ∴， 同理：， 设直线的解析式为，把代入，得 ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， 又∵，， ∴． 易错考点26：线段周长问题（二次函数综合） 51．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点F是的中点，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)最大值为； (3)． 【思路引导】（1）把点，点．代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）作轴交于点Q，得出直线的解析式为，进而得出，，点，表示出，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求得，进而根据中点坐标公式得出，然后勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：把点，点代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图所示，作轴交于点Q， 设直线的解析式为：， 代入，． ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，对称轴为直线， 当时，， ∴， ∵在抛物线上， ∴，点， ∴， ∴ ∴时，的面积最大，最大值为； （3）解：由（2）可得， 则， ∴， ∵F是的中点，． ∴，即， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 52．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【思路引导】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【规范解答】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 易错考点27：角度问题（二次函数综合) 53．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【思路引导】（1）首先求出，再由可得，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，此时点M和点C重合，如图所示取点关于轴对称点，连接、、，可得，，进而可得，当、、、四点共线时，最小，由此即可求出最小值； （3）首先求出， 进而可得将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线时，点的对应点是的中点，由此确定平移方式，进而确定平移后的新抛物线表达式为，再根据，可得，分两种情况求出的函数表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【规范解答】（1）∵抛物线 ∴当时， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴将，代入得 解得 ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设 ∵， 设直线表达式为 则，解得 ∴直线表达式为 ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵轴 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∵ ∴当时，取得最大值 ∴此时， ∴此时点M和点C重合，如图所示， 取点关于轴对称点，连接、、， ∴， 又∵点、是关于抛物线对称轴的对称点， ∴， ∴，当、、、四点共线时，最小， ∵ ∴的最小值为； （3）∵，， ∴， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴点移动到的中点， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵ ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴当点Q在x轴上方时，如图所示，延长交抛物线于点， ∴， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为 设直线表达式为， ∵， ∴，即， ∴设直线表达式为， 联立得，，解得：，（不合题意舍去） ∴点坐标为， 当点Q在x轴下方时，如图所示，在轴负半轴上取点，连接并延长交抛物线于点， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴可得直线表达式为 联立得，，解得：（不合题意舍去）， ∴点坐标为， 综上所述，点Q的坐标为，， 【点睛】此题考查了一次函数，二次函数和几何综合，待定系数法求二次函数解析式，线段最值问题，构造相等角的方法，解（2）问的关键利用轴对称线段和转化为两定点间的线段和，（2）根据已知条件利用平行或全等构造相等的角． 54．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点或 【思路引导】（1）首先求得点，然后利用待定系数法求得抛物线解析式即可； （2）过点作交于点，首先求得点，设点，则点，可求得，进而可得四边形面积，由二次函数的图像与性质即可获得答案； （3）分点在上方和点在下方两种情况进行分析，即可获得答案． 【规范解答】（1）解：直线与x轴交于点， ∴可有，解得， ∴点， ∵抛物线经过点， ∴将点代入，可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如下图，过点作交于点， ∵抛物线与轴的交点为， 当时，可有， 解得， ∴点， 设点，则点， ∴， ∵四边形面积， ∴当时，四边形面积有最大值， 此时点； （3）如下图，当点在上方时，设交轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点， 设直线解析式为，将点，点代入， 可得，解得， ∴直线解析式为， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点， 当点在下方时， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数的图像与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，利用数形结合思想和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合） 55．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时点P (3)存在，点P的坐标为或 【思路引导】（1）用待定系数法即可求解； （2）设点，则点，利用水平宽乘以铅垂高除以2的方法表示出的面积，根据二次函数的性质即可求解； （3）分、两种情况，利用等腰三角形性质分别求解即可． 【规范解答】解：（1）由题意得抛物线的表达式为， ∴，解得， 故抛物线的表达式为； （2）由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， 则， 解得， 故直线的表达式为 设点，则点， ， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为，此时点； （3）存在，理由： 由（2）知，若设点， 则点，，且知点， ①当时，则点C在的中垂线上， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点； ②当时，由，易得， ∴， ∴， 解得（舍去）或， 故点． 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、等腰三角形的性质、面积的计算等，在第（3）问注意分类求解即可． 56．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，待定系数法求解析式即可； （2）连接，先求得的解析式，设，过点作轴的垂线，交于点，则，根据列出关于的式子，进而根据配方法求得最值； （3）根据题意，设，分三种情况讨论，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点， 设抛物线解析式为，将代入得： 解得 抛物线解析式为 即； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点， ， 则直线的解析式为 设，则 当时，最大，最大值为； （3）解：存在，理由如下： ，， ， ， ， 抛物线的对称轴为， 设， 则，， ①当时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴； ②时，，解得：或（不合题意，舍去）； ∴ ③当时，，解得：； ∴； 综上：或或． 易错考点29：特殊四边形（二次函数综合） 57．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【思路引导】（1）用待定系数法求函数的解析式即可 （2）设，分三种情况讨论：①以为对角线时，由，求出m的值，再由中点坐标公式，求得，则平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；②以为对角线时，点P在x轴上，则，从而求得，则平移的方向为向左平移1个单位长度；③以为对角线时，矩形不存在 本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函数图象平移的性质，点的平移性质是解题的关键 【规范解答】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上， ，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 58．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【思路引导】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分三种情况，利用平行四边形的对角线互相平分，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设，， ∵， ∴当以为对角线时，则：，解得：或（舍去）； ∴； 当以为对角线时，，解得：或， ∴或； 当以为对角线时，，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 二次函数（易错题考点集训） 【29个高频易错考点 共58题】 易错考点01：根据二次函数的定义求参数 2 易错考点02：y=ax²的图象和性质 2 易错考点03：y=ax²+k的图象和性质 3 易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质 3 易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 4 易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质 4 易错考点07：二次函数图象与各项系数符号 5 易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号 6 易错考点09：y=ax²+bx+c的最值 6 易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径 7 易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式 9 易错考点12：抛物线与x轴的交点问题 10 易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 10 易错考点14：图象法解一元二次不等式 11 易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围 12 易错考点16：根据交点确定不等式的解集 13 易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数） 14 易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数） 15 易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数） 16 易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数） 17 易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数） 18 易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数） 19 易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数） 20 易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数） 21 易错考点25：面积问题（二次函数综合) 22 易错考点26：线段周长问题（二次函数综合） 23 易错考点27：角度问题（二次函数综合) 25 易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合） 26 易错考点29：特殊四边形（二次函数综合） 28 易错考点01：根据二次函数的定义求参数 1． （25-26九年级上·浙江金华·开学考试）已知是关于的二次函数．求的值及函数表达式． 2．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 易错考点02：y=ax²的图象和性质 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 4． （25-26九年级上·北京·课后作业）在同一平面直角坐标系中作出、和的图象． 易错考点03：y=ax²+k的图象和性质 5．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知抛物线（如图所示）．    (1)填空：抛物线的顶点坐标是（______，______），对称轴是______； (2)已知y轴上一点，点P在抛物线上，过点P作轴，垂足为B．若是等边三角形，求点P的坐标． 6．（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A．B． C． D． 易错考点04：y=a (x-h）²的图象和性质 7．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若点，在抛物线上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 易错考点05：y=a (x-h) ²+k的图象和性质 9．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知函数图象上的三个点，则的大小关系是（从小到大排列） ． 10．（22-23九年级上·福建福州·阶段练习）已知点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为（   ） A． B． C．2 D．5 易错考点06：y=ax²+bx+c的图象与性质 11．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数经过点，对称轴是直线． (1)求二次函数的解析式； (2)自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大． 12．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点07：二次函数图象与各项系数符号 13．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）二次函数的图象过点，，如图所示，给出四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线（a，b，c是常数）开口向下，过，两点，且．下列四个结论： 若时，则 若方程有四个根，且四个根和为，则 已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是 其中结论正确的结论有（   ） A． B． C． D． 易错考点08：根据二次函数的图象判断式子符号 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示．下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的个数有（        ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．（22-23九年级上·四川广安·期中）已知，二次函数图象如图所示，其中对称轴为直线，则下列结论正确的是（   ） ①；②；③；④（其中为任意实数） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 易错考点09：y=ax²+bx+c的最值 17．（24-25九年级上·黑龙江七台河·期末）二次函数（是常数，）部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论：①；②（m是任意实数）；③；④；⑤若是抛物线上不同的两个点，则；其中正确结论是（   ） A．②③④ B．②③⑤ C．①②③④ D．①③④⑤ 18．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时， ①直接写出抛物线的解析式； ②求抛物线的顶点坐标； (2)在（1）的条件下，将该抛物线关于y轴对称后，得到新的二次函数的图象．当时，请分别求出变换后新二次函数的最大值与最小值． (3)已知，为抛物线上的两点，若，，，试判断与的大小，并说明理由． 易错考点10：利用二次函数对称性求最短路径 19．（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 20．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与y轴相交于点，且抛物线的对称轴为直线．给出以下4个结论：①；②对于任意实数m，的值不小于2；③若P是对称轴上的一点，则的最小值为；④若点在抛物线上，满足且，则一定有．其中，所有正确结论的序号为 ． 易错考点11：待定系数法求二次凼数解析式 21．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知抛物线为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段最大值与最小值的差为，求的最大值与最小值． 22．（24-25九年级上·广东·期末）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为，已知P点为抛物线上一动点（不与A、D重合）． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作轴交直线l于点E，作轴交直线l于点F，求的最大值； (3)在直线l上是否存在点M，使得以为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出所有符合条件的M点坐标；若不存在，请说明理由． 易错考点12：抛物线与x轴的交点问题 23．（2023·陕西·中考真题）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值： x … 0 3 5 … y … 16 0 … 则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（   ） A．图象的顶点在第一象限 B．有最小值 C．图象与x轴的一个交点是 D．图象开口向下 24．（21-22九年级上·四川德阳·阶段练习）如图，二次函数的图像过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若，为函数图像上的两点，则，其中正确的是（　　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 易错考点13：根据二次函数图象确定相应方程根的情况 25．（2025·湖北孝感·三模）已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④当时，关于的方程无实数根．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．（2023九年级上·安徽合肥·竞赛）对于函数，下列说法正确的有（　　）个 ①图象关于轴对称； ②有最小值； ③当方程有两个不相等的实数根时，； ④直线与的图象有三个交点时， A．1 B．2 C．3 D．4 易错考点14：图象法解一元二次不等式 27．（2022九年级上·浙江台州·竞赛）已知二次函数，其图像与轴的交点记为C． (1)当时，记二次函数与轴的交点为，求的面积 (2)已知，线段与二次函数有两个不同的交点，求实数的取值范围． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 28．（21-22九年级上·广西柳州·期中）如图是二次函数的部分图象，图象过点，对称轴为直线，给出下面五个结论：①；②；③；④；⑤若，则.其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错考点15：利用不等式求自变量或函数值的范围 29．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）已知二次函数，一次函数 (1)求函数与的交点坐标； (2)自变量x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 30．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数的图象如图所示，与轴交于，且．下列结论： ①； ②若，两点均在此函数图象上，则； ③关于的一元二次方程有两个不相等的实数根； ④． 其中正确结论有 （只需填写正确结论的序号） 易错考点16：根据交点确定不等式的解集 31．（25-26九年级上·北京·阶段练习）已知二次函数． (1)将配方得_____； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象（不需要列表）； (3)当x为 时，； (4)时，直接写出y的取值范围是 ； (5)当时，函数y的取值范围为，则a的值为 ． 32．（24-25九年级上·全国·期中）如图，已知抛物线与交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线顶点D的坐标，及对称轴． (3)根据图像回答：当x为何值时，函数值大于0． 易错考点17：图形问题（实际问题与二次函数） 33．（2023·陕西·中考真题）某加工厂要加工一种抛物线型钢材构件，如图所示，该抛物线型构件的底部宽度米，顶点P到底部的距离为9米．将该抛物线放入平面直角坐标系中，点在轴上．其内部支架有两个符合要求的设计方案：方案一是“川”字形内部支架（由线段，，构成），点，，在上，且，点A，D在抛物线上，，，均垂直于；方案二是“H”形内部支架（由线段，，构成），点，在OM上，且，点，在抛物线上，，均垂直于，E，F分别是，的中点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)该加工厂要用某一规格的钢材来加工这种构件，那么哪一个方案的内部支架节省材料？请说明理由． 34．（25-26九年级上·福建福州·阶段练习）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙长）围成一个矩形羊圈并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料），设，． (1)求y与x的关系式，并写出x的取值范围； (2)请你设计方案使得矩形羊圈的面积S最大，并求出S的最大值． 易错考点18：图形运动问题（实际问题与二次函数） 35．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 36．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，和都是边长为2的等边三角形，它们的边在同一条直线上，点C、E重合．现将在直线上向右移动，直至点B与F重合时，停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随着x变化的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 易错考点19：拱桥问题（实际问题与二次函数） 37．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图是一座廊桥正中间最高的桥拱的示意图，其形状可近似看作抛物线型．工作人员利用无人机经过多次测量，测得桥拱的最高点A到水面的距离为，距离左、右侧桥墩的水平距离均为，已知桥墩露出水面的高度，以所在直线为x轴，垂直于且过最高点A的直线为y轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为让游客能有更好的体验，工作人员计划在桥拱上悬挂灯带（灯带利用卡扣固定），使得灯带与水面平行，，且均与水面垂直，为保证安全，要求灯带底部D，G距水面的距离为，当灯带总长度最大时，求的长． 38．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图1是一座拱桥的示意图，已知当水面宽时，桥洞顶部离水面4m．若桥洞的拱形可以看作抛物线，现以水平方向为x轴，取A点为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)请写出抛物线的顶点坐标，并求出函数解析式； (2)如图2，若拱桥上的路面也可以近似看成一条抛物线，且解析式为：． ①求桥上路面最高点离桥洞顶部的距离的长度； ②已知桥上路面起点E的横坐标为，请问：当水面上涨到水面宽度为10米时，点E在水平面的上方还是下方？并说明理由． 易错考点20：销售问题（实际问题与二次函数） 39．（24-25九年级上·四川泸州·期中）某公司投入万元（万元只计入第一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为元/件．此产品年销售量（万件）与售价（元/件）之间满足函数关系式． (1)求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元/件）之间的函数关系式； (2)若该产品第一年的利润为万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？ (3)第二年，该公司将第一年的利润万元（万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元． 40．（24-25九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）某超市销售一种文具，进价为元/件．售价为元/件时，当天的销售量为件．在销售过程中发现：售价每上涨元，当天的销售量就减少件．设当天销售单价统一为元/件（，且是按元的倍数上涨），当天销售利润为元． (1)求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)要使当天销售利润不低于元，求当天销售单价所在的范围； (3)若每件文具的利润不超过，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元?并求出最大利润． 易错考点21：投球问题（实际问题与二次函数） 41．（2025·江苏盐城·中考真题）［生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示． ［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从点击球，击球点是拋物线的最高点，点到地面的距离，球网上端点到地面的距离，人与球网之间的距离，假设两种击球路线都经过点正上方处的点，网前吊球和扣杀球的落点分别为点、． （1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式． ［模型应用］ （2）网前吊球的落点到球网的距离的长是_________． （3）甲在处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为．网前吊球时，羽毛球下降的高度与时间之间的关系式为．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球． 42．（24-25九年级下·湖北武汉·期中）发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼．如图2，发石车发射点离地面高3米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为2米，高为6米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2) 若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点），求出的取值范围． 易错考点22：喷水问题（实际问题与二次函数） 43．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为 ． 44．（2024·陕西·中考真题）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度与水平距离之间的关系式分别是和． (1)求喷头喷出的水流的最大高度； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 易错考点23：增长率问题（实际问题与二次函数） 45．（25-26九年级上·全国·课后作业）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 46．（24-25九年级上·海南海口·期末）某超市1月份的营业额为100万元，第一季度的营业额为万元，如果每月平均增长率为，那么与的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 易错考点24：其他问题（实际问题与二次函数） 47．（2025·河北邯郸·模拟预测）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．琪琪家计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图1是其横截面的示意图，其中为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为8米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑，建立如图1所示的平面直角坐标系，已知骨架的一端固定在离地面4米的墙体A处，另一端固定在墙体D处，骨架最高点P到墙体的水平距离为2米，且点P离地面的高度为米． (1)求该抛物线的解析式，并写出点D坐标； (2)写出直线的解析式； (3)为了大棚顶部更加稳固，琪琪爸爸计划在棚顶安装铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段三部分组成，其中点E，G在顶棚抛物线形骨架上，，分别交于点F、H，且（在左侧）．当F、H间的水平距离为3米时，求的长； (4)为了节约成本，支架调整为线段两部分组成，如图3所示，直接写出求做这一个支架所需铝合金材料的最大长度． 48．（2025·江苏徐州·中考真题）急刹车时，停车距离是指骑车人从意识到应当刹车到车辆停下来所走的距离，记作；反应距离是指骑车人意识到应当刹车到实施刹车所走的距离，记作；刹车距离是指骑车人实施刹车到车辆停下来所走的距离，记作．已知，与骑行速度成正比，与骑行速度的平方成正比．当骑行速度为时，反应距离为，刹车距离为． (1)若骑行速度为，则_______，_______； (2)设骑行速度为，求y关于x的函数表达式； (3)当刹车距离为时，停车距离为多少（精确到）？（参考数据：，，） 易错考点25：面积问题（二次函数综合) 49．（24-25九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，已知抛物线经过三点、、（为原点） (1)求抛物线的解析式、对称轴和顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的周长最小，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如果点是该抛物线上轴上方的一个动点，那么是否有最大面积，若有，求出此时点的坐标及的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果保留根号） 50．（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）已知直线分别交轴、轴于两点，抛物线经过点，和轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是抛物线上的动点，且在第三象限，求面积的最大值； (3)如图，经过点的直线交抛物线于点，连接分别交轴于点，求的值． 易错考点26：线段周长问题（二次函数综合） 51．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是，与y轴交于点D，且点D的坐标是． (1)求抛物线的解析式； (2)与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，点F是的中点，直接写出的值． 52．（25-26九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 易错考点27：角度问题（二次函数综合) 53．（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A、两点，与y轴交于点C，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作轴交直线于点M，过点P作于点N，若E为y轴上的一动点，F为该抛物线对称轴上的一动点．当取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，Q为新抛物线上的一个动点．当时，请求出所有符合条件点Q的坐标，并写出其中一种情况的解答过程． 54．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方抛物线上一动点，求四边形面积最大时点P的坐标； (3)若M是抛物线上一点，且，请直接写出点M的坐标． 易错考点28：特殊三角形问题（二次函数综合） 55．（24-25九年级上·陕西商洛·期末）如图，已知抛物线（a、b为常数，且），与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是线段BC上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接、，当的面积最大时，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)是否存在点P，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出P点的坐标．若不存在，说明理由． 56．（2025·宁夏银川·三模）小明为了参加学校举办的“趣味数学”作品展，用铁丝摆成如图①中抛物线的形状，并提出以下三个问题，请你解答： (1)建立合适的平面直角坐标系，如图②，可知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，求抛物线的解析式； (2)如图②，钢珠P可沿着铁丝在点A到点C的位置任意滑动，点A，C，P构成，试求面积的最大值； (3)若沿抛物线的对称轴再摆另一条铁丝（足够长），钢珠Q可以沿着铁丝在x轴上方上下滑动，点构成△，是否存在某一时刻，使△为等腰三角形．若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 易错考点29：特殊四边形（二次函数综合） 57．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 58．（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）如图，抛物线与x轴交于 ， B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 与y轴交于点，直线 与x轴交于点 D，动点M在抛物线上运动，过点 M 作轴，垂足为P，交直线于点 N． (1)求抛物线的解析式； (2)E是抛物线对称轴与x轴交点，点F是x轴上一动点，在M 运动过程中，若C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的点F的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $