25.1 随机事件与概率-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

概率初步 第二十五章 第二十章 概率初步 学习路径 用列举法求概率 随机事件 概率 用频率估计概率 25.1 随机事件与概率 25.1.1随机事件 知识梳理四形成联系 【知识点1】确定性事件的定义 ©在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为 事件。 ©相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为 事件 O 事件与 事件统称确定性事件】 1.下列事件必然发生的是() A.某人买一张彩票就中了大奖 B.李同学下次数学考试满分 C.三点确定一个圆 D.两点确定一条直线 2.有下列事件：①一个玻璃酒杯从10层高楼落到水泥地面上会摔坏；②明天是晴天； ③明天太阳从西方升起；④掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；⑤下个月有32天；⑥某人 买体育彩票，连续两次中奖；⑦打开电视，正在播放综艺节目.其中，是确定性事件的有 (填序号)· 【知识点2】随机事件的定义 ©在一定条件下，可能 也可能 的事件，称为随机事件 1.下列事件中，属于随机事件的是()》 A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 B.从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 C.通常水加热到100℃时沸腾 D.将食用油滴入水，油会浮在水面上 2.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是 (填“随机”或“确定”)事件」 数学 九年级上册（人教版） 例题点拨Q素养导向 【例】盒中装有红球、黄球共10个，每个球除颜色外其余都相同，一次性从盒子里摸出 3个球，请你按要求设计出摸球方案： (1)“摸到3个球都是红球”是不可能事件」 (2)“摸到红球”是必然事件 (3)“摸到2个黄球”是随机事件 (4)“摸到2个黄球”是确定事件」 【点拨】分别根据不可能事件、必然事件、随机事件及确定事件的定义进行解答即可 (答案不唯一)· 夯实四基达标闯关 1.一个不透明的口袋中有四张相同的卡片，将卡片分别标上数字1,2,3,4.从这个口 袋中同时摸出两张卡片，则下列事件为必然事件的是() A.两张卡片上的数字之和等于2 B.两张卡片上的数字之和等于7 C.两张卡片上的数字之和大于2 D.两张卡片上的数字之和大于7 2.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是 (填“随机”或“必然”) 事件 3.杜牧的《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件 是 (填“确定”或“随机”)事件 4.盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个. 小军从中任意摸一个球，摸出 色球的可能性最大 5.下列6个事件中： ①掷一枚硬币，正面朝上； ②从一副没有大小王的扑克牌中抽出一张恰为黑桃； ③随意翻开一本有400页的书，正好翻到第100页； ④天上下雨，马路潮湿； ⑤买奖券中特等奖： ⑥掷一枚正方体骰子，得到的点数大于7. 概率初步 第二十五章 其中确定事件为 随机事件为 不可能事件为 必然事件为 随机事件中，发生可能性最大的是 发生可能性最小的是 ·(均填 序号)》 能力提升睡综合拓展 6.在一个不透明的袋子里，装有9个大小和形状一样的小球，其中3个红球、3个白 球、3个黑球，它们已在口袋中被搅匀，现在有一个事件：从口袋中任意摸出个球，红 球、白球、黑球至少各有一个 (1)当n为何值时，这个事件必然发生？ (2)当n为何值时，这个事件不可能发生？ (3)当n为何值时，这个事件可能发生？ 中考链接©真题演练 7.(2023·盘锦)下列事件中，是必然事件的是() A.任意画一个三角形，其内角和是180° B.任意买一张电影票，座位号是单号 C.掷一次骰子，向上一面的点数是3 D.射击运动员射击一次，命中靶心 8.（2023·营口)下列事件是必然事件的是（) A.四边形内角和是360° B.校园排球比赛，九年一班获得冠军 C.掷一枚硬币时，正面朝上 D.打开电视，正在播放“神舟十六号”载人飞船发射实况 113 口数学 九年级上册（人教版） 25.1.2概 率 知识梳理@形成联系 【知识点1】概率的定义 ©一般地，对于一个随机事件A,我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A发生的概率，记为P(A). 1.抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是() A司 B号 C. D.1 2.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上 的点数为3的概率为() A吉 B c D号 【知识点2】概率的计算 ©一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的 都相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)= (1)必然事件A发生的概率P(A)= (2)不可能事件A发生的概率P(A)= (3)随机事件A发生的概率P(A)满足 (4)随机事件发生的概率的规律：事件发生的可能性越大，则它的概率越接近于 反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近于 1.某校对《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》四大名著开展“传统文化经典 著作”推荐阅读活动.小明从这4部名著中，随机选择1部阅读，他选中《西游记》的概率 为 2.掷一枚均匀的骰子，点数为6的概率是 例题点拨Q素养导向 【例】在一个不透明的袋子里，装有6个红球、3个黑球、1个白球，它们除色外都 相同。 (1)求从袋中任意摸出1个球为红球的概率 (2)现从袋中取走若干个红球，并放入相同数量的白球，充分摇匀后，要使从袋中随机 摸出1个球是白球的概率是号，问取走了多少个红球 【点拨】(1)明确此次试验所有可能结果和指定事件发生的所有结果，正确计数是关键： (2)根据题意，明确变化后，试验所有可能结果依然是10，指定事件发生的所有结果 14 概率初步 第二十五章 是1+x,借助方程求解即可. 夯实四基飞达标闯关 :长修多色 1.如图，飞镖游戏板中的每一块小正方形都完全一样.假设飞镖击中任何 一个位置都是等可能的，任意投掷飞镖1次（击中阴影区域的边界或者没有击 中游戏板，则重投1次)，则飞镖击中阴影区域的概率是() A青 B合 c n号 第1题图 2.从“数学”的英文单词“mathematics”中随机抽取一个字母，抽中字母m的概率为 ( A吉 84 c D品 3.小张进行投壶训练，经过大量重复的练习，他投中的概率为0.7，下列说法正确的是 () A.小张投壶1次，一定投不中 B.小张投壶10次，一定可以投中7次 C.小张投壶6次，至少可以投中2次D.小张投壶1次，不一定能投中 4.如图所示电路中，灯泡L,L2,L无损，若闭合其中一开关，则灯泡 Hes,& L3能发光的概率是 L 5.任意掷一枚质地均匀的骰子」 (1)掷出的点数小于4的概率是 第4题图 (2)掷出的点数是奇数的概率是 (3)掷出的点数是7的概率是 (4)掷出的点数小于7的概率是 能力提升蹄综合拓展 6.用10个除颜色外完全相同的球设计一个摸球游戏. (1)使摸到红球的概率为1. (2)使摸到黑球的概率为)，摸到红球的概率也为】 (3)若有绿球2个，使摸到红球的概率为7， 问黑球的个数是多少 10 115 口数学 九年级上册（人教版） 7.如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1,2,3,4,5,6,7,8,9， 10这十个数字.转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字 两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的 人获胜，否则转动转盘的人获胜.猜数的规则从下面三种中选一种 10 ①猜“是奇数”或“是偶数”， ②猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”. ③猜“是大于6的数”或“不是大于6的数” 如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？ 第7题图 怎样猜？请说明理由。 8.一个不透明的袋子中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，将 球搅匀，从中任意摸出1个球 (1) (填“能”或“不能”)事先确定摸到的这个球的颜色. (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率最大，哪种颜色的球的概率最小？ (3)怎样改变袋子中的红球、黄球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ (要求：只能从袋子中拿出球，且拿出球的总数量最小) 中考链接©真题演练 -:多s 9.(2024·广东)长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆 楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则 选中“巴蜀文化”的概率是（) A. B.3 c D.3 10.(2024威海)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是A0的中 点.过点C作CE⊥AO交AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足为D.在扇形内 随机选取一点P,则点P落在阴影部分的概率是() A. B. c D.2 第10题图 116数学 九年级上册（人教版） ∠D4P90°.在Rt△AFD中，根据勾股定理ADP 11.B12.A13.C14.11m AF2+FD2,AD=2AF,..DF=V3 AF,..S MDF= 24.4弧长和扇形面积（第二课时) AF-DF-VAP2V3.AF-2.0- 【知识点】rl+2A 2 【例】解：圆锥的母线与高的夹角为30°， AF=2,即⊙0的半径为2. 母线长为6cm,.圆锥的底面圆的半径为3cm, 1.B2.B3.A4.12V35.183 、.它的侧面积=πRr=T3·6=18T(cm). 6.72°7.12 1.D2.D3.A4.35.56.3m 8.解：连接OB,OA,延长 7.解：小张的说法不正确.设直角三角尺三边长 AO交BC于点D,:等边△ABC外 分别为BC=a,AC=V3a,AB=2a,∴.甲圆锥的侧面积 接圆是⊙O,AD⊥BC,BD=CD= 0 S甲=T·BCAB=Txax2a=2md.乙圆锥的侧面积Sz=T 3Ac,∠0BD:3∠ABC=X60 D 2 ACAB=TxV3ax2a=2V3πd,S甲≠S,∴.小张的 第8题答图 说法不正确。 30°，即边心距0D=号0B=3×2= 8.B9.410.311.c12.5 3 1,由勾股定理，得BD=VOB-OD=V22-平=V3, 即三角形边长为BC=2BD=2V3,AD=A0+OD=2+1=3, 第二十五章概率初步 则△ABC的周长是3BC=3x2V3=6V3,则△ABC 25.1 随机事件与概率 的面积是号BC~AD=22V3x3=3V了. 25.1.1随机事件 【知识点1】必然不可能必然不可能 9.B10.D 1.D2.①③⑤ 24.4弧长和扇形面积（第一课时)】 【知识点2】发生不发生1.A2.随机 【知识点】=迟 【例】解：(1)盒中装有红球2个、黄球8 180 360 个，则“摸到3个球都是红球”是不可能事件： 1.C2.12m (2)盒中装有红球8个、黄球2个，则“摸到红 【例】解：如图，连接OC,AB是直径， 球”是必然事件；(3)盒中装有红球8个、黄 ∠ACB=90°.∠ACD=120°，∠ACB=90°，∴∠A= 球2个，则“摸到2个黄球”是随机事件；(4) ∠BCD=120°-90°=30°，∴.∠B0C=2∠A=60°..：在 盒中装有红球9个、黄球1个，则“摸到2个黄 Rt△0CD中，CD=2V3，∠A=30°，∴0C=2, 球”是不可能事件，属于确定事件.（答案不唯一） 5e=5amSa形r=子×2V3X2-602 360 1.C2.随机3.随机4.红 2V3-2π 5.④6①②3⑤⑥④①⑤ 3 6.解：(1)当n>6时，即n=7或8或9时，这个 事件必然发生」 (2)当n<3时，即n=1或2时，这个事件不可能 发生 (3)当3≤n≤6时，即n=3或4或5或6时，这 个事件可能发生 例题答图 7.A8.A 1.A2.D3.A4.C5.20m6.3m7.120° 25.1.2概 率 &27m9810Y2m 【知识点1】1.A2.A 参考答案 【知识点2】可能性m(1)1(2)0 8.解：(1)不能 (2)摸到白球的概率最大， 摸到红球的概率最小. (3)拿出1个黄球和2个白 3)41④101子2石 球即可.（答案不唯一） 【例】解：(1)从袋中任意摸出一个球有10种 9.A10.B 25.2用列举法求概率（第一课时) 结果，即红球、红球、红球、红球、红球、红球、 黑球、黑球、黑球、白球，这些结果出现的可能性 【例】解：(1)已确定A打第一场，再从其 相等.其中是红球（记为事件4）的有6种结果，即 余3名同学中随机选取1名，恰好选中B同学的 从袋中任意摸出一个球为红球的概率为P4)=6-3 概率是}，故答案为 105 3 (2)可以用表列出所有可能出现的结果 (2)设取走了x个红球，根据题意，得 告号，解得3，答：取走了3个红球 第一名 B C 0 第二名 1.C2.D3.D4.0 (B,A) (C,A) (D,A) s)32)(3)0(4)1 (A,B) (C,B)(D,B) 6.解：(1)摸到红球的概率为1，即为100%， (A,C) (B,C) (D,C) 因此这10个球都是红球，从10个除颜色外完全相同 D (A,D) (B,D) (C,D) 的红球中随机摸出1球，得到红球的可能性为1. (2)袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和5 由表格可以看出，选取2名同学打比赛，可 个黑球，从中随机摸出1球，得到红球或黑球的可能 能出现的结果有12个，并且它们出现的可能性 性为 相等.其中符合选中B同学（记为事件A)的结 2 果有6个，即(A,B),(B,A),(B,C), (3)有绿球2个，那么摸到绿球的概率为2 0 (B,D),(C,B),(D,B),P4)=6=1 122 写，“摸到红球的概率为品即红球7个，那么摸到 1.B2.B3.C4.B 器球的餐率为1品品，器球的个数为102-7 5.解：(1)由题意，知共有4种等可能的结果， 其中所标的数字不超过3的结果有3种，：.所标的数 1,.黑球的个数是1个. 字不超过3的概率为3 7.解：①共有10种等可能出现的结果数，其中 41 “是奇数”的有5种，“是偶数”的也有5种，因此 (2)列表如下： “是奇数”“是偶数”的可能性都是50%. 1 2 3 4 ②共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 倍数”的有3种，“不是3的倍数”的有7种，因此 “是3的倍数”可能性是30%，“不是3的倍数”的可 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 能性是70%. 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) ③共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种， 因此“是大于6的数”的可能性是40%，“不是大于 共有16种等可能的结果，其中摸到的这两个小球 6的数”的可能性是60%，因此，猜数者选择“不是3 所标数字之和能被3整除的结果有(1,2)，(2,1)， 的倍数”，这样获胜的可能性为70%，获胜的可能性 (2,4),(3,3),(4,2),共5种，摸到的这两个 最大.