22.3 实际问题与二次函数-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

口数学 九年级上册（人教版） 22.3 实际问题与二次函数（第一课时） 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数与最大高度问题 ©根据待定系数法求出解析式，再根据函数性质求最值. 2022年的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，一球员的一脚射门使足球沿着抛 物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为 h=-P+bt.已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为() A.3s B.3.5s C.4s D.4.5s 【知识点2】二次函数与利润问题 ©总利润=单个利润×销售量 2023年第19届杭州亚运会的举办带热了吉祥物“宸宸、琮琮和莲莲”的销售.某网店 经营亚运会吉祥物玩偶礼盒装，每盒进价为30元.当地物价部门规定，该礼盒销售单价最高 不能超过50元/盒.在销售过程中发现该礼盒每周的销量y(件)与销售单价x(元)之间近 似满足函数关系：=-2x+180(30≤x≤50). (1)设该网店每周销售该礼盒所获利润为心（元），求w与x的函数关系式. (2)求该网店每周销售该礼盒所获最大利润. 例题点拨Q素养导向 【例】随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计 划投资种植树木及花卉，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关 系，如图1所示.种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图2示.（注：利润与 投资量的单位：万元) (1)分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式. (2)如果这位专业户以8万元资金投入种植树木和花卉，他至少能获得多少利润？他能 获取的最大利润是多少？ 58 二次函数 第二十二章 【点拨】本题可先根据图象利用待定系数法求解函数解析式，掌握函数的图象的特点是 解决本题的关键，根据总利润=树木利润+花卉利润，列出函数关系式，再求函数的最值， 0(2.2) 1 0 图1 图2 图22.3-1 夯实四基)达标闯关 1.某种型号的飞机着陆后滑行的距离s(单位：m),关于滑行时间t(单位：s)的函数 解析式是s=100t-2.5t2,则此型号飞机着陆后滑行m停下来 2.公路上正在行驶的甲车，发现前方30m处沿同一方向行驶的乙车后，为了行驶安全， 开始减速，减速后甲车行驶的路程s(单位：m)、速度v(单位：ms)与时间t(单位：s) 的关系可以分别用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示. (1)当甲车减速至6ms时，它行驶的路程是多少？ (2)若乙车以10s的速度匀速行驶，当时间t在什么范围时，两车间的距离不超过 25.5米？ 52 40.5 28 234 第2题图 能力提升坤综合拓展 3.将进货单价为90元的某种商品按100元售出时，能卖出500个，单价每上涨1元， 其销售量就减少10个，为了获得最大利润，售价应定为每件（) A.110元 B.120元 C.130元 D.150元 59 数学 九年级上册（人教版） 4.随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展.某电商以 每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售.经统计，元旦前一周的销量为 500件，该电商在元旦期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在元旦前一周销量的基础上， 每降价1元，销量就会增加50件.设该T恤的定价为x元，获得的利润为心元， (1)求心与x之间的函数关系式. (2)若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于30%，如何定 价才能使得利润最大？最大利润是多少元？ 利润率=利润×100% Γ进价 中考链接©真题演练 卡多 5.(2023·泉州)福建漳州的优质甘蓝菜的所有种植成本为2元/kg,经市场调查发现， 甘蓝菜的销售量y(kg)与销售单价x(4≤x≤18)（元g)成如图所示的一次函数关系. (1)根据图象提供的信息，求y与x之间的函数关系式. (2)若销售甘蓝菜获取的利润为心元，当销售单价x为多少元时，获得的利润最大？最 大利润是多少？ y 4 6 第5题图 60 二次函数 第二十二章 22.3 实际问题与二次函数（第二课时） 知识梳理©形成联系 【知识点1】几何图形的最值问题 ©对于几何图形的实际问题，要结合实际情况先确定自变量的取值范围，再结合函数图 象和性质求出最值 如图，用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园， 18m 墙 墙长为18m.设矩形菜园的边AB的长为xm,面积为Sm,其中 AD≥AB.有下列结论： 菜园 ①x的取值范围为5≤x≤10： 图22.3-2 ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为100； ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为225.其中，正确结论的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 【知识点2】建立坐标系解决二次函数实际问题 ©实际问题中如果没有坐标系，可以根据需要先建立适当的坐标系，再利用待定系数法 求出解析式，进而解决问题， 廊桥是我国古老的文化遗产，抛物线形的廊桥示意图如图所示.已知 抛物线的函数表达式为0+10，为增加安全性，在该抛物线上同一 高度且水平距离为8m的C,D两处安装警示灯，则警示灯D距离水面 0 AB的距离为() A.8.4m B.9.6m 图22.3-3 C.10.4m D.11.6m 例题点拨Q素养导向 EE 【例】如图是某地一座抛物线形拱桥示意图，桥拱在竖直平面内与 水平桥面相交于A,B两点，桥拱最高点C到AB的距离为10m, B AB=40m,D,E为桥拱底部的两点，且DE∥AB,点E到直线AB的 距离为10m,则DE的长为 m. 图22.3-4 【点拨】要想求DE的长度，需要求出D和E点的坐标，因此要在图中先建立平面直角 坐标系，以DE为x轴，DE中点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设AB与y轴交于点 H,求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为y=ax+h,根据题干条件求出a和k的值，再 令y=0,求出x的值即可. 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基飞U达标闯关 1.如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高 D 0D为13的奖杯，杯体轴载面ABC是抛物线y=号+6的一部分，则怀口 的口径AC长为() A.6 B.7 第1题图 C.8 D.9 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=6cm,点P从点A开 始沿AB向点B以2cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC向C点 以1cms的速度移动，如果P,Q分别从A,B同时出发，当△PBQ的面 A P 积为最大时，运动时间t为 S. 第2题图 3.在一幅长80cm、宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂 图，如果要使整个挂图的面积是ycm?,设金色纸边的宽为xcm,要求纸边的宽度不得少于 1cm,同时不得超过2cm. (1)求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围. (2)此时金色纸边的宽为多少厘米时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值. 80 cm 50 cm 第3题图 ② 二次函数 第二十二章 4.为庆祝2024年元旦，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场 进行装饰，如图1所示，他在会场的两墙AB,CD之间悬挂一条近似抛物线y=2-4x+3的 5 彩带，已知墙AB与CD等高，且AB,CD之间的水平距离BD为8m (1)如图2，两墙AB,CD的高度是m,抛物线的顶点坐标为 (2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3 所示，使得点M到墙AB的距离为3m,使抛物线F,的最低点距墙AB的距离为2m,离地 面2m,求点M到地面的距离. y/m y/m F B(O) x/m B(O) D x/m 图1 图2 第4题图 能力提升睡综合拓展 5.如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-0.2x+3.5的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮圈底的距离1是() A.3m B.3.5m C.4m D.4.5m ◆PW 165F- R 3.05m 11 4 I/A o220 Vo- 2 t2.5m 图1 图2 第5题图 第6题图 6.某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，将变阻器R的滑片从一端滑到 另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象如图所示，该图象是经过 原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P最大为W. 63 数学 九年级上册（人教版） 中考链接⊙真题演练 -卡多多务 7.(2022江西)2023年5月8日，国产大飞机C919商业首航完成，12时31分在北京 首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”）·两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷 射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分.如图，当两辆消防车喷水口A,B的水 平距离为80m时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇，此时相遇点H距地面20m,喷水 口A,B距地面均为4m.若两辆消防车同时后退10（两条水柱的形状及喷水口A',B'到 地面的距离均保持不变，按照图中所示建立平面直角坐标系)，此时两条水柱相遇点H'距地 面多少米？ y H H A'(A BB' 0 第7题图 6函参 考答案 22.2二次函数与一元二次方程 (1,0)代人解析式得，4a-4-0,解得a=1,.二次函 (第一课时) 数的表达式为y=(x+1)2-4. 【知识点1】A (3)抛物线开口向上，顶点坐标为(-1，-4)， 【知识点2】B 抛物线的最小值为-4.-1-(-4)=3>0-(-1)=1，.当 【例】A x=-4时，y=5,.当-4<x<0时，y的取值范围为 -4≤y<5. 1.(-4,0),(2,0)2.D3.14.2024 6.D 5.(-3,0) 6.D7,B8k<}且k≠09A 7.解：(1)②方程-2x24=0的解为x=0,2=-2. 10.(1)解：把点(1,2b)代人抛物线y=22+ ③不等式-22-4x≥0的解集为-2≤x≤0. bx-1中，得2+b-1=2b,解得b=1. (2)①构造函数，画出图象.构造函数y=x2-2x+1, (2)证明：·.△=b2-4×2×(-1)=b2+8.·.·无论b取何 抛物线的对称轴x=1,且开口向上，顶点坐标(1,0)， 值，b2≥0，b2+8>0,.二次函数y=2x2+bx-1的图象 关于对称轴x=1对称的一对点(0,1)，(2,1)，用 与x轴必有两个交点」 三点法画出图象如图所示： 1y=x2-2x+1 11.A 22.2二次函数与一元二次方程 (第二课时) 【知识点1】D 【知识点2】解：(1)y=-x2-2x+8=-(x2+ 2x)+8=-(x+1)+9,∴.抛物线的对称轴为直线x -1,顶点坐标为(-1,9)。 第7题答图 (2)在y=-2-2x+8中，令y=0,得-x2-2+ ②数形结合，求得界点.当y=4时，方程x2-2+1= 8=0,解得=-4,2=2，：a=-1<0,∴.抛物线开 4的解为x=-1,x2=3. 口向下，·.当y>0时，自变量x的取值范围是 ③借助图象，写出解集.由图知，不等式x2-2+1< 4<x<2 4的解集是-1<x<3. (3)y=-x2-2x+8=-(x2+2x)+8=-(x+1)2+9 8.B 抛物线开口向下，对称轴为直线=-1，.当x=-1 22.3实际问题与二次函数（第一课时) 时，抛物线有最大值，最大值为9，当=-3时， 【知识点1】D y=-(-3)2-2×(-3)+8=5,当x=0时，y=8,.当 【知识点2】解：(1)该网店每周销售该礼 -3<x<0时，函数值y的取值范围是5<≤9. 盒所获利润为0=(x-30)(-2x+180),,'.w=-2x2+ 【例】B 240x-5400 1.C2.C (2)由题意，0=-22+240x-5400=-2(x2 3.（1)x=-1,x2=3(2)x=0,x2=2 120x+3600)+1800=-2(x-60)2+1800,又30≤ (3)=x=1(4)方程无解(5)<-1或>3 x≤50，抛物线开口向下，对称轴是直线x=60 (6)-1<x<3(7)x≤0或x≥2 :.当x=50时，该网店每周销售该礼盒所获利润 4.<<>>> 最大，最大利润为-2(50-60)+1800=白1600（元）. 5.解：(1)二次函数的对称轴为直线x=-1, 与x轴的一个交点坐标为(1,0)，.二次函数图象与 【例】解：(1)设y=kx,函数y=kx的图 x轴的另一交点为(-3,0). 象过(1,2)，k=2,故利润1关于投资量x的 (2)设二次函数的表达式为y=a(x+1)2-4,把 函数关系式是1=2(x≥0).该抛物线的顶点 数学 九年级上册（人教版） 是原点，.设y2=2.又函数y2=2的图象过a=-50<0,.抛物线开口向下.抛物线的对称轴为直 (2,2,2=-2,解得a=分，故利润⅓关于投 线x=55,当40≤x≤52时，w随x的增大而增大， 当x=52时，w的最大值为w=(52-40)[500+50×(60 资量：的函数关系武是子P(任≥0) 52)]=10800(元).答：当定价为每件52元时，才能 使利润最大，最大利润为10800元. (2)设这位专业户投人x万元(0≤x≤8) 5.解：(1)由题意，可知y与x之间的关系式为 种植花卉，则投入(8-x)万元种植树木，他获 120=4k+b, 得的利润是：万元，根据题意，得2（保4分六 =kx+b,代入(4,120)，(6,110)，可得 110=6k+b, -2416=号-2414号0，当=2时， k=-5, .解得 y与x之间的函数关系式为y=-5x+ b=140. z的最小值是14.∴.当0≤x≤2时，z随x的增大： 140(4≤x≤18). 而减小；当2<x≤8时，z随x的增大而增大 (2)由题意，得0=(x-2)(-5x+140)=-5x2+150x- 0≤x≤8，.当x=8时，z有最大值，最大值为 280=-5(x-15)2+845.-5<0,4≤x≤18，.当x=15时， 32.答：他至少能获得14万元的利润，他能获取 w取得最大值，最大值为845.答：销售单价定为15元kg 的最大利润是32万元. 时，获得的利润最大，最大利润为845元 1.1000 22.3实际问题与二次函数（第二课时) 2.解：(1)二次函数图象过原点，可设二次函数 【知识点1】B 解析式为s=a2+t(a≠0)，代入(1,14.5)，(2,28)， 【知识点2】B 可得 a+n=14.5,解得 1 -2'即二次函数解析式为 【例】40V2【解析】设该抛物线的解析式 (4a+2n=28. n=15, 为y=aax2+h,根据题意，可得顶点C(0,20),.抛 s=-】+15t.设一次函数解析式为u=kt+m(k≠0)，代 物线y=a2+20,代人点(20,10)，10=400a+ 2 入(0,15)，(8,7)得， m=15,解 m=l5,即 20,400=10,a=0抛物线)=0 8k+m=7, k=-1, 20,当y=0时，0=-+20，E(20V2,0). 一次函数解析式为v=-t+15,当=6时，代人一次函数 40 解析式，解得=15-9，此时，=子9415x919, D(-20V2,0),∴.0E=0D=20V2m,.∴DE= 0D+0E=20V2+20V2=40V2(m). :当甲车减速至6m5时，它行驶的路程是189m. (2)乙车行驶速度是10ms,时间是t,行驶路程 H 为10t,设甲、乙之间的距离为hm,则h=30+10t-s= 30+10r-2r415tF2-54302-542.号a 例题答图 5)435-25.5,解得1或9.1≤t≤9. 2 1.B2.2 3.B 3.解：(1)镶金色纸边后风景画的长为(80+ 4.解：(1)根据题意，可得w=(x-40)[500+ 2x)cm,宽为(50+2x)cm,y=(80+2x)(50+2x)=4x2+ 50(60-x)]=-50x2+5500x-140000,0与x之间的函 260x+4000(1≤x≤2)· 数关系式为0=-50x2+5500x-140000. (2):二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为 [x≥40， 260=-的，在1≤x≤2上，y随x的增大而增 X=- (2)由题意，可得 解得40≤x≤52. 2 x-40≤0.3， 40 大，.当=2时，y取最大值，最大值为4536. 62 参考答案 答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最：到y轴的距离为2，D'(2,10),综上所述，点 大，最大面积的值为4536cm2. D的坐标为(2,10)或(-2,0). 4.解：(1)由题意，得抛物线的对称轴为x=4, 4 则4多2，解得01，抛物线的表达式 为y=0.1x2-0.8x+3,.点A(0,3),即AB=CD=3(m), 当x=4时，y0.12-0.8+3=1.4,即顶点坐标为(4,1.4)， 故答案为3，(4,1.4)· (2)设抛物线的表达式为y=a'(x-2)2+2,将点A D 的坐标代入上式，得3a(0-242,解得。4，抛 4321,023456x 物线的表达式为)(-2P+2,当x3时，y=(x 例题答图 2)2+2=2.25(m),.点M到地面的距离为2.25m. 5.C6.220 1.B2.(3,-2)3.V2 7.解：设经过点A,B,H的抛物线的解析式为= 4.解：.·将△ABC绕点A逆时针旋转a得到 ax2+c,根据题意，得H(0,20),B(40,4),代入y= △ADE,点B的对应点是D,∴.∠CAE=Q,△ABC≌ a2c,得c-20,解得a=,一02+20.经 △ADE,∴AC=AE,.∠ACE=∠AEC.CE∥AB, ∠ACE=∠BAC=65°，∴.∠AEC=65°，∴.∠CAE=180°- 过点B,A的抛物线是由抛物线)=02420向右平 ∠AEC-∠ACE=180°-65°-65°=50°，.旋转角α的度数 移得到的，.经过点B',H的抛物线的顶点为(10， 是50°. 5.D 20)、经过点B,的甜物线的解折式为y0: 23.1图形的旋转（第二课时) 10420.将0代人y0-10420.得)100- 1 【例】解：(1)如图所示 10)2+20=19,.消防车后退10m后两条水柱相遇点 A 距地面19m 第二十三章旋转 23.1图形的旋转（第一课时)】 【知识点1】转动一个角度旋转中心旋转 角对应点 例题答图 1.①②2.点C35A'B'C 【知识点2】距离旋转角全等 (2)过点F作FH⊥CB,交CB的延长线于 点H,·四边形ABCD是正方形，.CD=AB=BC 1.B'OB'OB'A'BA'B∠A'∠A' ∠B∠BOA'全等 6,∠C=90°，.∠FHE=∠C.:∠DEF=∠C=90°， 2.55°3.2 .∠DEC+∠FEH=90°，∠DEC+∠EDC=90°， ∠FEH=∠EDC,∴.△DEC≌△EFH(AAS),.EC= 【例】解：点D(5,3)在边AB上，4D= 3,BC=5,∴BD=AB-AD=5-3=2.①若顺时针旋 FH=2,CD=BC=EH=6,.HB=EC=2.在RL△FHB 转，则点D'在x轴上，OD'=2,D(-2,0), 中，由勾股定理，得BF=VFHP+BP=V2+2= ②若逆时针旋转，则点D'到x轴的距离为10，：2V2,∴BF的长为2V②， 63