22.1 二次函数的图象和性质-【新课程能力培养】2025-2026学年九年级上册数学同步练习（人教版）

数学 九年级上册（人教版） 第二十二章二次函数 学习路径 二次函数 图象 实际问题 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)》 性质 目标 实际问题的答案 利用二次函数的 图象和性质求解 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1二次函数 知识梳理①形成联系 【知识点1】二次函数概念 ⊙一般地，形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. 下列y关于x的函数中，二次函数是() A B.y=x+l C.y=2x2-1 D.y=2 【知识点2】从实际问题中抽象二次函数 用一根长为800cm的木条做一个长方形窗框，若一边长为xcm,写出它的面积y与x 之间的函数关系式，并判断y是不是x的二次函数. 30 二次函数 第二十二章 例题点拨Q素养导向 【例】如图所示，一个矩形的长为4cm,宽为3cm,如果将这 4 cm 个矩形的长与宽都增加xcm,那么这个矩形的面积增加ycm. 3 cm (1)求y与x之间的函数关系式 (2)这个函数是二次函数吗？ (3)直接写出自变量的取值范围. 图22.1-1 【点拨】由图形关系可知，y随x的变化而变化，矩形面积的增加量等于后来得到的矩形 与原矩形的面积差.即“增加面积=现矩形面积-原矩形面积”，进一步用代数式表示为“y= (4+x)(3+x)-4x3”,化简可得函数关系. 夯实四基飞)达标闯关 1.若函数y=(m+1)x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范围是（) A.m=-1 B.m>-1 C.m<-1 D.m≠-1 2.下列函数中，是二次函数的是() A.y=2x+3 B.=16 C.y=x2+3x D.y=2+1 3.下列函数哪些是二次函数？是二次函数的写出它们的二次项、一次项、常数项 (1)y=9x2+2x; (2)y=-0.5(x-1)(x+4); (3)s=3-2t2; (4)y=2x(x2+3x-1). 数学 九年级上册（人教版） 4.已知关于x的函数y=(m2-m)x2+(m-1)x-2(m为常数)· (1)若此函数是一次函数，求m的值. (2)若此函数是二次函数，求m的值， 5.正方形的边长为4，当边长增加x时，面积增加y,求y与x之间的函数关系式.这个 函数是二次函数吗？ 能力提升蹄综合拓展 6.如图所示，圆柱的高为10cm,圆柱的底面直径为xcm,圆柱的表面积为Scm2. (1)求圆柱的表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式，并判断这个函数是否为 二次函数. (2)当圆柱的底面直径从4cm增加到10cm时，圆柱的表面积增加了多少（最后结果 保留π)？ -x cm- 10 cm 第6题图 中考链接©真题演练 -卡B多每 7.(2023·沈阳)圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是() A.S是R的正比例函数 B.S是R的一次函数 C.S是R的二次函数 D.以上答案都不对 32 二次函数 第二十二章 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数1=ax2的图象 在同一坐标系中画出2，g-2,的图象，正确的是（ 米丝 A 【知识点2】二次函数y=ax2的图象的性质 y=ax? a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0,0) (0,0) 最值 当x=0时，y我小位=0 当x=0时，y我大位=0 当x<0时，y随x的增大而减小； 当>0时，y随x的增大而减小； 增减性 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大 关于二次函数y=2x2,下列说法正确的是( A.图象开口方向是向下 B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.对称轴是直线x=2 D.当x=0时，y有最大值，最大值是0 例题点拨Q素养导向 【例】已知一个二次函数，它的对称轴是y轴，顶点是原点，且经过点(1，-3)· (1)求出这个二次函数的解析式. (2)图象在对称轴右侧部分，y随x的增大怎样变化？ (3)指出这个函数是有最大值还是有最小值，并求出这个值. 【点拨】要想求出解析式，可以根据此二次函数图象的性质直接设y=ax2,把点(1，-3) 代入即可，再根据求得a的正负可判断其增减性并且求出其最值. 33 口数学 九年级上册（人教版） 夯实四基U达标闯关 1.若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4),则该图象必经过点() A.(2,4) B.(-2,-4) C.(-4,2) D.(4,-2) 2.下列函数中，当>0时，y随x的增大而减小的是() A.y=x B.y=x+1 C.y=x2 D.y=-x2 3.关于二次函数y=-5x2,下列说法中正确的是() A.图象的开口向上 B.当x<0时，y随x的增大而增大 C.图象的顶点坐标是(-5,0) D.当x=0时，y有最小值是0 4.已知二次函数y=(m-2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是 5.已知抛物线y=3x2,当x<0时，y随x的增大而 6.如图，在同一平面直角坐标系中，作出了二次函数①y=3x2; ②=？；③=2的图象.则开口由小到大的三条抛物线分别对应的二 次函数依次是 (按照要求只填写序号)》 7.二次函数y=-5x2的图象是一条 它的对称轴是」 第6题图 顶点是 ,开口方向 ，经过 象限，当x 时，函数值随x的 增大而减小 8.二次函数y=x与一次函数y=2x+1,C是一次函数图象上一点，D是抛物线的顶点， 若CDLx轴，则线段CD的长为 9.已知点(-2，-3)在二次函数y=2的图象上. (1)求a的值 (2)画出这个二次函数的图象， (3)图象有最高点还是最低点？ (④若点Y,n小，0，，V7,都在二次函数)a的图象上，请将， y2,y3直接用“<”连接起来。 第9题图 34 二次函数 第二十二章 能力提升螂综合拓展 -卡多多 10.二次函数y=2V3x2的图象如图所示，点0为坐标原点，点A在y 轴的正半轴上，点B,C在函数图象上，四边形OBAC为菱形，且∠AOB= 30°，则点C的坐标为() A2,V3 B3, 第10题图 c-1, D.(-1,V3) 1.已知二次函数y=子的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物 线于A,B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为 I2.如图，正方形ABCD,CEFG的顶点D,F都在抛物线=)P 第11题图 上，点B,C,E均在y轴上.若点O是BC边的中点，则正方形CEFG的 边长为 13.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于 点A(1,m)和B(-2,4). (1)求两个函数的解析式. (2)求△AOB的面积. 第12题图 y=kx+b 第13题图 中考链接©真题演练 14.(2022·武汉)如图，正方形的边长为4，以正方形中心为原点建 立平面直角坐标系，作出函数=？与y=子2的图象，则阴影部分的 面积是 第14题图 35 数学 九年级上册（人教版） 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（第一课时) 知识梳理@形成联系 【知识点1】二次函数1y=ax2+k的图象 Oy=a2+k的图象由y=ax2的图象向上（或向下）平移得到. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+1的图象由y=x2 平移1个单位长度得到. 【知识点2】二次函数)=ax2+k的性质 y=ax2+h a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0,k) (0,k) 最值 当x=0时，y策小位=b 当x=0时，y大值=k 当x<0时，y随x的增大而减小； 当x>0时，y随x的增大而减小； 增减性 当x>0时，y随x的增大而增大 当x<0时，y随x的增大而增大 对于二次函数y=3x+2,下列说法错误的是() A.最小值为2 B.图象为y=3x2向下平移2个单位长度 C.当x<0时，y随x的增大而减小 D.其图象的对称轴是y轴 例题点拨Q素养导向 一s年多 【例】在同一坐标系中，画出函数y=-x2和y=-x2+1的图象，根据图象回答： (1)抛物线y=-x+1经过怎样的平移得到抛物线y=-x2. (2)对于函数y=-x2+1: ①当x为何值时，y随x的增大而减小？ ②当x为何值时，函数y有最大值？最大值是多少？ ③求y=-x+1的图象与x轴、y轴的交点坐标. 【点拨】作出函数图象即可得到平移方向和距离；再利用二次函数y=x+k的性质求解 即可 36 二次函数 第二十二章 夯实四基U达标闯关 1.关于抛物线y=-x+2,下列说法正确的是（) A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.有最小值 D.当x<0时，函数y随x的增大而减小 2.抛物线y=3x2+2的顶点坐标是( A.(0,2) B.(-2,0) C.(2,0) D.(0,-2) 3.当a<0,c>0时，二次函数y=ax2+c的图象大致是( 4.已知二次函数y=ax2+2的图象经过点（1，-1) (1)求二次函数的解析式。 (2)在直角坐标系中画出该函数图象。 (3)写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标. (4)已知点(-2，y1),(-1,y2),(1.5,y3)都在此函数图象上，试比较y1,y2,y3的 大小 第4题图 能力提升肿综合拓展 5.在同一直角坐标系中，一次函数y=-a+b与二次函数y=x2b的大致图象可能是() 37 数学 九年级上册（人教版） 6.抛物线y=ax2+c与抛物线y=-ax2+c的关系是(） A.关于y轴对称 B.关于x轴对称 C.有公共顶点且开口相反 D.关于原点对称 7.与抛物线)=-号2一1顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数 表达式是（) A青1 B.y=42-1 C. D.y号 y=+l 6 8.如图为函数)+1和=之：的图象，则图中阴影部分 的面积为 9.求下列各抛物线的解析式， -2-10 234x (1)已知一条抛物线的顶点在y轴上，且经过(1，-2)， (2,3)两点 第8题图 (2)已知某抛物线与抛物线y=2x2+3的形状、开口方向都一样，顶点为(0,4)· (3)已知抛物线y=ax2+c与x轴交于两点(2,0)，(-2,0)，与y轴交于点(0,2). 中考链接©真题演练 10.(2022·吉林)对于二次函数y=2x2-3,当-1≤x≤2时，y的取值范围是() A.-1≤y≤5 B.-5≤y≤5 C.-3≤y≤5 D.-2≤y≤5 11.(2023·盘锦)在同一坐标系中，一次函数y=-kx+2与二次函数y=x+k的图象可能是 38 二次函数 第二十二章 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+h的图象和性质（第二课时) 知识梳理四形成联系 -s多 【知识点1】二次函数)=a(x-h)2的图象 Oy=a(x-h)P的图象是由y=ax2的图象向左（或向右）平移得到的， 在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小，则二次函数y=k(x-1)2的图象大致是() 妆卡和 D 【知识点2】二次函数y=a(x-h)2的性质 y=a(x-h)2 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h,0) (h,0) 最值 当x=h时，y孩小值=0 当x=h时，y孩大位=0 当<h时，y随x的增大而减小； 当x>h时，y随x的增大而减小； 增减性 当x>h时，y随x的增大而增大 当<h时，y随x的增大而增大 抛物线y=2(x-1)2过(-2，y),(0,y2), 名，为三点，则，，%的大小关系是 ( A.y2>y3>y1 B.y1>y2>y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2 例题点拨Q素养导向 -卡多每 【例】已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,且过点(1，-3). (1)求抛物线对应的函数表达式 (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标. 【点拨】若想求得抛物线解析式，可以由对称轴求得h的值，再把(1，-3)代入求得a 的值，再直接根据抛物线解析式写出顶点坐标即可. 39参考答案 12.解：(1)设剪去的正方形的边长为xcm,则 (2)依题意m2-m≠0，.m≠1且m≠0. 折成的方盒的底面长为(30-2x)cm、宽为(12-2x)cm 5.解：由题意，得(x+4)2=y+4,整理，得y=x2+ 的矩形，依题意，得(30-2x)(12-2x)=144.解得x=3, 8x,故y是x的二次函数. x2=18(舍去).答：剪去的小正方形的边长为3cm. 6.解：(1)由题意，得圆柱的表面积S=2mh+ (2)设剪去的正方形的边长为ycm,则折成的长 2m=2m·竞10+2m受分m+10m,圆柱的 方体盒于的底面长为9y)cm、宽为(12-2ycm的 表面积S与圆柱的底面直径x之间的函数关系式为S= 矩形，依题意，得9小12-2y=104,整理，得入 +10m.3m≠0，函数子m+10mx是二次 2 21y+38=0,解得y=2,2=19(不合题意，舍去)，盒 函数 子的体积为104x2=208(cm).答：能折出底面积为 (2)7mx10+10m×10-7Tx4-10m×4=150m- 104cm2的有盖盒子，盒子的体积为208cm3. 48m=102m(cm2),.圆柱的表面积增加了102xcm2. 13.C14.2 第二十二章二次函数 7.C 22.1.2二次函数y=a2的图象和性质 22.1二次函数的图象和性质 【知识点1】D 22.1.1二次函数 【知识点2】B 【知识点1】C 【例】解：(1)：抛物线对称轴是y轴，顶 【知识点2】解：设宽为xcm,由题意，得矩 点是原点，可设y=2(a≠0)，把点(1，-3) 形的周长为800cm,、矩形的长为800-24cm 2 代人，得=-3，=-32 y=.800-2x=x24400e(0<200).y是x的二次 (2)a=-3<0,.在对称轴右侧部分，y随x 2 的增大而减小 函数 (3)a=-3<0,.函数有最大值，即当x=0 【例】解：(1)矩形的长为4cm,宽为： 时，函数最大值为0 3cm,∴.矩形的面积=4×3=12(cm2).矩形的 1.A2.D3.B4.m<25.减小6.①③② 长与宽都增加xcm,∴.增加后矩形的面积=(4+x) 7.抛物线y轴(0,0)向下第三、第四>0 (3+)cm2,y=(4+x)(3+x)-12,即y=x2+7x,y 8.1 与x之间的函数关系式为y=x2+7 9.解：(1)点(-2，-3)在二次函数y=a2的 (2)y=x2+7x是二次函数 图象上，-3=(-2)2a,r-4 (3)x为矩形增加的长与宽，∴.自变量x的 (2) 取值范围为x≥0. 1.D2.C 3.解：(1)y=9x2+2x是二次函数，二次项是92， 一次项是2x,常数项是0 (2)y=-0.5(x-1)(x+4)是二次函数，二次项是 0.5x2,一次项是-1.5x,常数项是2. 第9题答图 (3)s=3-22是二次函数，二次项是-22，一次项 (3)最高点.(4)y<<y2 是0，常数项是3. 10.B11.412.1+V2 (4)y=2x(2+3x-1)不是二次函数. 13.解：(1)二次函数y=x2的图象过点A(1, 4.解：(1)依题意m2-m=0且m-1≠0，∴m=0 m)和B(-2,4),.4a=4,解得a=1,.二次函数的解 7数学 九年级上册（人教版） 析式y=2.把点A(1,m)代入二次函数解析式，得m=:点为(0,2)，且为顶点，该函数图象如下. 1,把点A(1,1),B(-2,4)代入一次函数y=kx+b, k+b=1, 得 解得{ -2k+b=4, =小·故一次函数的解析式为) b=2. -x+2. (2)一次函数y=-x+2与y轴交于点C(0,2), Saw=56r+5ear7×2xl+号x22-3 2 14.8 第4题答图 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 (3)由(2)函数图象可知，此函数的开口方向向 (第一课时) 下、对称轴为y轴，顶点坐标为(0,2)· 【知识点1】向上 (4)当x=-2时，y=-3×(-2)2+2=-10,当x=-1 【知识点2】B 时，2=-3×(-1)2+2=-1，当x=1.5时，y3=-3×(1.5)2+ 【例】解：图象为： 2=-4.75,.-10k-4.75<-1,y1<y3×2 5.D6.C7.B8.4 9.解：(1)抛物线的顶点在y轴上，∴.设抛物 线的解析式是y=a+h,把(1，-2)，(2,3)代入得 a+k=-2, 4a+k=3, 解得a子，：=一号，即抛物线的解析式是 号 (2):抛物线的顶点坐标为(0,4)，形状开口方 向与抛物线y=2x+3相同，.这个二次函数的解析式 为y=2(x-0)2+4,即y=2x244. 例题答图 (3):抛物线y=ax2+c与x轴交于两点(2,0)， (1)抛物线y=-x+1向下平移1个单位长度 |4a+c=0, (-2,0),与y轴交于点(0,2)，.代人得 得到抛物线y=-x2 c=2, (2)对于函数y=-x2+1:①当>0时，y随x 解得a=7,6=2,即抛物线的解析式是)=子2 的增大而减小；②当x=0时，函数y有最大值， 10.C11.A 最大值是1；③令y=-x+1-0,解得x=±1，.与x 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 轴的交点坐标为(-1,0)，(1,0)，令x=0,解 (第二课时) 得y=1,∴.与y轴交于(0,1). 【知识点1】B 1.B2.A3.D 【知识点2】D 4.解：(1)二次函数的图象经过点(1，-1)， 【例】解：(1)：抛物线y=a(x-h)2的对称 ,a+2=-1,解得a=-3,.二次函数的解析式为y=-3x2+2. 轴是直线x=-2,h=-2,.抛物线解析式为y= (2)y=-3x2+2,令y=0,则-3x+2=0,解得x= a(x+2)2.…抛物线过(1，-3)，.-3=9a,解得 ±Y石，·二次函数与x轴的交点为-V6,0和 3 3 0= 子，抛物线解析武为)子(x+2明 5,0,令x0,则)-2，二次函数与y轴的交 (2)指物线为y=号(x+2只，抛物线的 58 参 考答 案 开口向下，顶点为(-2,0) 【知识点2】(1)向下 （-2,-2)》 1.C2.D3.向下(1,0)=1>1 <1 (2)>-2(3)先向左平移2个单位长度，再向 4.(2,0)(0,16)5.2(2,0) 下平移2个单位长度 6.解：如图，(1)抛物 【例】C 线)=写x-5的顶点为A5, 1.A2.A3.B4.B5.D6.C7.A 0),由x=0,则y=5,抛物 8.解：()y=子-1月，抛物线开口向下， 线与y轴交于点B(0,5), A 对称轴为直线=1，顶点坐标为(1,0). 对称轴为直线=5，.点C (2)y=22-7,∴.抛物线开口向上，对称轴为y 的坐标为(10,5)· 第6题答图 轴，顶点坐标为(0，-7)· （2)Sar7×105=-25, (3)y=2(x+3)2+6,.抛物线开口向上，对称轴 为直线=-3，顶点坐标为(-3,6)· (3)AB=AC=5V2,BC=10,.AB+AC=BC2, 9.解：：抛物线y=a(x-h)?有最大值，.该抛物线 .△ABC是等腰直角三角形 的开口方向向下.又当x=2时，函数有最大值， 7.C8.D9.m<n 对称轴是直线=2，.当x>2时，y随x的增大而减小 10.解：(1)令y=0,则(x+4)2=0,解得x=2= -4,.点A(-4,0),令x=0,则y=(0+4)2=16,.点 B(0,16). (2)y=(x+4)2,.对称轴方程为直线=-4. (3)存在.：以P,A,O,B为顶点的四边形为平 行四边形，AP=OB=16,当点P在点A的上方时，点 第9题答图 P的坐标为(-4,16)，当点P在点A的下方时，点P 10.-3≤y<111.D12.B13.B14.C 的坐标为(-4，-16).综上所述，点P的坐标为(-4， 22.1.4 二次函数y=ar2+bx+c的图象和性质 16)或(-4，-16)时，以P,A,0,B为顶点的四边 (第一课时) 形为平行四边形 【知识点】D 11.-2≤h≤2 22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 【例】解：(1)将抛物线解析式配方，得 (第三课时) =2(x-1)+11,∴.该函数图象对称轴为直线x=1, 【知识点1】解：(1)分别将x=1,2,3代 顶点坐标为(1,11) (2)将抛物线解析式配方，得y=-(x-3)2+9, 人y=(x-2)2+1得y=2,1,2,故答案为2,1,2 (2)如图， .该函数图象对称轴为直线3，顶点坐标为(3,9)。 1.B2.A3.D4.D 6 5.y=(x+1)241 6.解：(1)将抛物线解析式配方，得y=x2-2-3= -3 (x-1)2-4,.对称轴为直线=1，顶点坐标为(1，-4) 2 (2)当y=0时，x2-2x-3=0,解得x1=-1,2=3. 3-2-10 抛物线与x轴的交点坐标为(-1,0)，(3,0).当 =0时，y=x2-2x-3=-3,.抛物线与y轴的交点坐标为 (0,-3) (3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,.抛物线的顶点坐标 知识点1答图 59 7数学 九年级上册（人教版） 为(1，-4)，如图 7.解：(1)0 (2)抛物线的顶点坐标为(2，-1)，设抛物 线的解析式为y=a(x-2)2-1,由条件，可得3=a(0-2)2 1,解得a=1,y=(x-2)2-1.根据题干表格中的数据， 描点、连线，画出函数图象如图所示. y 6 第6题答图 (4)当y=-4时，=1；当y=0时，=-1，=3，. 当-4≤y≤0时，x的取值范围为-1≤x≤3. 65-4-31-2-101224561 7.C8.(2,1)9.210.C11.A 22.1.4二次函数y=a2+bx+c的图象和性质 (第二课时)》 6 【知识点】A 第7题答图 【例】解：(1).点A(-1,0),B(2,-3) (3)-1≤y≤8 1aw-b-3-0, 都在二次函数=+hx-3的图象上.· 8解：()设二次函数的解析式为)+户 4a+2b-3=-3. k,把A(-2,5)代人，得-2+号+h-5,解得=4 a=, 解得 ∴.=1，b=-2. b=-2, (2)a=1,b=-2,∴3y=x2-2x-3=(x-1)2-4, (2)点B平移后的点的坐标为(1-m,9),则9= 对称轴为直线=1.a=1>0,在对称轴的右侧y (1-m)2+(1-m)+3,解得m=4或m=-1(舍去)，∴m的 随x的增大而增大，又(-2，y)关于对称轴 值为4. 的对称点为(4，y),(0,y2)关于对称轴的对 9.解：(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x 称点为2，，2<号<4,9 3),将C0,代人，得-3a=号，解得a=7,抛 1.C2.C3.y=-x2-2+34.5 5.解：(1)将点(1,4)，(2,7)，代入y=2+ 物线的解析式为)了+号 4=a+b+5, a=2, (2)过点P作PD⊥x轴，垂足为D.设点 bx+5,得 7=4a+2b+5,b=-3, .y=2x2-3x+5. Px,)5 (2)=2r-345-2-子+这条抛物线的 +3-)+=x-+呈 := 对称轴为直线？，厦点坐标为子，智】 -+-？号，整理，得 4 6.解：(1)设二次函数的解析式为y=a(x-h)+h, 3x+2=0,解得x=1或x=2..点P的坐标为(1,2)或 由二次函数的图象可知抛物线的顶点坐标是(2，-2)， ∴y=a(x-2)2-2,把坐标(3,0)代入解析式，得a(3- 2. 3 2)2-2=0,解得a=2,“.二次函数的解析式为y=2(x-2)2 2=2x2-8x+6,即二次函数的解析式为y=2x2-8x+6. (2)由图象可知，y随x的增大而减小的自变量x 的取值范围是x<2. 第9题答图 60