专题05 概率与统计初步（B卷·能力提升）--2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

公共基础课考纲专题练 今A职教 》 编写说明：2026版河北省（对口升学）三轮复习《数学考纲专题练》依据《中等、 职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试！ !动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每 !个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 「5个专题，内容为概率与统计初步。 2026版河北省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题05概率与统计初步 (B卷·能力提升) 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1.某校为本市“中职数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于90分的有参赛资格， 90分以下（不包括90分）的则被淘汰现有100人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如 图所示 频率/组距 0.0170 0.0140 0.0065 0.0045 0.0030 30507090110130150分数 ()求获得参赛资格的人数； (②)根据频率分布直方图，估算这100名学生测试的平均成绩； (3)现从成绩[110,130)、[130,150]（单位：分）的同学中采用分层抽样随机抽取5人，从这5 人中任选2人，求至少有1人的成绩在[130,150]的概率 6⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 2.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： [40,50,[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100. 频率/组距 0.054 X------------- 0.01 0.006 405060708090100成绩/分 ()求图中x的值： (②)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数 记为，求的分布列及数学期望。 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 今A职教 》》 3.某研究机构为了了解各年龄层对江苏省职教高考的关注程度，随机选取了200名年龄在 [20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制如图所示的频率分布直方图（分第一至五组区 间分别为[20,25)，[25,30，[30,35)，[35,40)，[40,45]) 频率/组距 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01-T 0 2025 30354045年龄 (1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数； (②)若从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，并从中选取2人在座谈会中 作重点发言 ①试写出该试验的样本空间2； ②求作重点发言的两名市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率 66 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 4.下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量x(吨) 2 3 5 6 销售收入y(万元) 8 9 12 (1)画出散点图； (②)求出回归直线方程； (③)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 5.某职高二年级有A,B,C,10个班，从中选派4个班分别到4个工厂进行专业实习， 每个工厂一个班，试回答下列问题 (I)若A班和B班必须去，但C班不去，问有多少种不同的选派方案？ (2)若A,B班恰好有一个班去，问有多少种不同的选派方案？ 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 6.甲、乙等五名志愿者被随机分到A,B,C,D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志 愿者 ()求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率： (2)求甲、乙两人不在同一个岗位的概率： (3)设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的概率分布， 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 7.己知甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中有2个红球3个白球，小球除颜色外其他完全 相同. (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个红球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少2次取到红球的概率： (3)从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个红球的概率。 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇Al职教》 8.一个袋中装有8个形状和大小相同的球，其中有6个红球，两个白球. (①)若从中无放回的任取两个球都是红球的概率. (②)若从中有放回的任取一个，连取2次，求出现红球数的概率分布. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权。侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 9.某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地.已知该班第一小组有5名男生与3名女生， 从中任意选取3名学生去参观 ()用X表示选取的3人中女生的人数，求X的分布列： (2)求选取女生人数X的期望与方差. 6原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课考纲专题练 醇A职教》 10.某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题月进行 作答假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的制本都是号且每道题正确完成与否互不影 响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成 (1)求甲至少正确完成其中2道题的概率： (2)设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求X的分布列及均值E(X); (③)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测， 谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由. ⊙原创精品资源学科网独家享有版权。侵权必究！ 编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为概率与统计初步。 2026版河北省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题05概率与统计初步 （B卷·能力提升） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．某校为本市“中职数学竞赛”进行选拔性测试，规定：成绩大于或等于分的有参赛资格，分以下（不包括分）的则被淘汰.现有人参加测试，测试成绩的频率分布直方图如图所示. (1)求获得参赛资格的人数； (2)根据频率分布直方图，估算这名学生测试的平均成绩； (3)现从成绩、（单位：分）的同学中采用分层抽样随机抽取人，从这人中任选人，求至少有人的成绩在的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意根据频率分布直方图计算即可求解. （2）由平均值组中值组距计算即可求解. （3）先由题意求出各层人数，再由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】（1）由频率分布直方图得， 获得参赛资格的人数为人. （2）设名学生的平均成绩为，则 . （3）成绩在的人数为人， 成绩在的人数为人， 所以应从成绩在中抽取人， 从成绩在中抽取人， 不妨将抽取的人按成绩从低到高编号为， 故, ，从, , , , 中任取两人， 共有和 这种不同的情况， 其中含有，的共有种， 所以至少有人的成绩在的概率为. 2．某班位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：，，，，，．    (1)求图中的值； (2)从成绩不低于分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在分以上（含分）的人数记为，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率性质即可. （2）首先找出的取值为，再求出对应的概率，列出分布列求出数学期望即可. 【详解】（1）利用频率分布直方图的频率性质可得，， 解得. （2）分数在，的人数分别是， 人，人， 所以的取值为， ，， ， 则的分布列为， 0 1 2 数学期望． 3．某研究机构为了了解各年龄层对江苏省职教高考的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制如图所示的频率分布直方图（分第一至五组区间分别为） (1)求选取的市民年龄在内的人数； (2)若从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，并从中选取2人在座谈会中作重点发言. ①试写出该试验的样本空间； ②求作重点发言的两名市民中至少有一人的年龄在内的概率. 【答案】(1)20人 (2)①；② 【分析】（1）根据频率分布直方图，先计算频率，再根据频数（人数）=总数×频率，即可求解. （2）先根据频率比确定分层抽样抽取人数，列举法列出所有可能得到样本空间；再结合样本空间总基本事件数，利用对立事件概率，得到所求概率. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 所以，年龄在内的市民人数为人. （2）由频率分布直方图的信息可知， 年龄在内的市民人数为人 年龄在内的市民人数为人 从第三，四组用分层抽样的方法选取5名市民， 则从年龄在内的市民中抽取人，分别记为：， 从年龄在内的市民中抽取人，分别记为：， ①从这5名市民中随机选出2名作为重点发言人，共包含10个样本点，样本空间为： ②记事件名市民中随机选出2名重点发言，至少有一人的年龄在内}， 所以事件A共包含7个样本点，即， ∴作重点发言的两名名市民中至少有一人的年龄在内的概率为. 4．下表是某种产品销售收入与销售量之间的一组数据： 销售量（吨） 2 3 5 6 销售收入（万元） 7 8 9 12 (1)画出散点图； (2)求出回归直线方程； (3)根据回归直线方程估计销售量为9吨时的销售收入. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)14.5万元. 【分析】（1）根据题中数据，在坐标系中描点可得散点图； （2）求出，，，，代入公式求得，，进而可得回归直线方程； （3）当时，求出即可． 【详解】（1）在坐标系中描出点，，，，散点图如图. （2），， ， ， ，， 所求的回归直线方程为. （3）当时，. 故当销售量为9吨时，估计销售收入为14.5万元. 5．某职高二年级有，，，个班，从中选派4个班分别到4个工厂进行专业实习，每个工厂一个班，试回答下列问题. (1)若班和班必须去，但班不去，问有多少种不同的选派方案？ (2)若，班恰好有一个班去，问有多少种不同的选派方案？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）从除班以外的7个班选个班，再对选中的4个班全排列即可. （2）首先从，班选一个，再从余下的8个班选个班，再对选中的4个班全排列即可. 【详解】（1）已知班和班必须去，班不去， 则从余下的7个班选个班共有种选法， 再对选中的4个班全排列，共有种， 所以共有种不同的选派方案. （2）已知，班恰好有一个班去， 首先从，班选一个有种选法， 再从余下的8个班选个班，有种选法， 再对选中的4个班全排列，共有种， 所以共有种不同的选派方案. 6．甲、乙等五名志愿者被随机分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者 (1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位的概率； (3)设随机变量为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求的概率分布. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）首先运用排列与组合计算五名志愿者分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者的所有基本事件的个数，再求出甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件的个数，最后根据古典概型的概率公式求值即可. （2）根据对立事件的概率公式求值即可. （3）可能取值为，分别求出,的概率，写出分布列即可. 【详解】（1）已知五名志愿者分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者， 所以总的基本事件个数为， 其中甲、乙两人同时参加A岗位服务的基本事件个数为， 所以甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为. （2）已知甲、乙两人不在同一个岗位的事件与 乙两人在同一个岗位的事件为对立事件， 由（1）可知甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率为， 则乙两人在同一个岗位的概率为， 所以甲、乙两人不在同一个岗位的概率为. （3）由题意可知，可能取值为， 当时，首先从五名志愿者中选出一名参加A岗位服务，有种选法， 再从余下的人中，选出人在同一岗位，有种选法， 然后将这组进行全排列有种排法，所以， 当时，首先从五名志愿者中选出一名参加A岗位服务，有种选法， 然后将余下的组进行全排列有种排法，. 所以，的概率分布为： 1 2 P 7．已知甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中有2个红球3个白球，小球除颜色外其他完全相同． (1)若从甲袋中一次性取出3个球，求恰好取到2个红球的概率； (2)若从乙袋中每次任取1个球，取后放回，连续取3次，求至少2次取到红球的概率； (3)从甲、乙两袋中各取2个球，求恰好取到2个红球的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据古典概型的计算公式即可求解. （2）根据二项分布计算公式即可求解. （3）根据古典概型的计算公式，并结合排列组合即可求解. 【详解】（1）设{从甲袋中一次性取出3个球，恰好取到2个红球}， ，∴事件的概率为； （2）设表示从乙袋中取三次红球的次数，则服从参数的二项分布， 则则至少2次取得红球的概率为 . ∴该事件的概率为； （3）从甲袋取得2个白球且从乙袋取得2个红球的概率为， 从甲袋取得1个红球1个白球且从乙袋取得1个红球1个白球的概率为， 从甲袋取得2个红球且从乙袋取得2个白球的概率为， ∴. ∴恰好取到2个红球的全概率为． 8．一个袋中装有8个形状和大小相同的球，其中有6个红球，两个白球． (1)若从中无放回的任取两个球都是红球的概率． (2)若从中有放回的任取一个，连取2次，求出现红球数的概率分布． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据“有放回”先求出现红球数的取值，再根据的不同取值求解对应的概率， 【详解】（1）记事件A：任取两个球都是红球， 则有. （2）的所有可能取值为0，1，2， 从中任取一个，出现红球的概率为， ， ， ， ξ的概率分布如下： ξ 0 1 2 P 9．某班拟组织部分学生参观爱国主义教育基地．已知该班第一小组有5名男生与3名女生，从中任意选取3名学生去参观. (1)用X表示选取的3人中女生的人数，求X的分布列； (2)求选取女生人数X的期望与方差． 【答案】(1)答案见解析 (2)期望，方差 【分析】（1）先表示出X可能的取值，再根据X可能的取值分别求出对应的概率，列分布列即可. （2）由随机变量的数学期望公式和方差公式求解即可. 【详解】（1）根据题意，X可能的取值为0，1，2，3， ，， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）X的期望：， X的方差：. 10．某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成. (1)求甲至少正确完成其中2道题的概率； (2)设随机变量表示乙正确完成题目的个数，求的分布列及均值； (3)现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)乙，理由见解析 【分析】（1）由独立性重复试验的概率计算方法即可得解； （2）由古典概型求出离散型随机变量的概率，写出离散型随机变量的分布列并求出其均值即可； （3）由（1）（2）求出甲、乙两人能至少正确完成其中2道题的概率即可得解. 【详解】（1）设随机变量表示甲正确完成题目的个数， 则当时，， 当时，， 则甲至少正确完成其中2道题的概率为. （2）由题可知，，2，3， ， ， ， 则的分布列为 1 2 3 所以. （3）由（1）（2）可知，. 因为，所以乙进入下一轮比赛的可能性较大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $