专题04 解析几何（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第4个专题，内容为解析几何。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题04 解析几何 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 理解椭圆的定义和椭圆的标准方程，能够根据条件写出椭圆的标准方程； 2. 理解双曲线的定义和双曲线的标准方程，能够根据条件写出双曲线的标准方程； 3. 理解抛物线的定义和标准方程，能够根据条件写出抛物线的标准方程； 4. 直线与圆锥曲线相交得弦，弦长问题、面积问题、定值问题。 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 解答题 30 椭圆标准方程、椭圆弦的问题 10 （1）题型：解答题 （2）分值：2024年前分值在6-7分，2025年样卷为10分。 2024 解答题 36 抛物线弦的问题 7 2023 解答题 35 抛物线弦的问题 6 2022 解答题 35 椭圆标准方程、定值问题 6 2021 解答题 35 双曲线标准方程、弦长问题 7 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试可能有1道解答题考查解析几何，分值为10分。 具体考点可能涉及如下内容： · 椭圆标准方程、椭圆弦的问题 · 双曲线标准方程、双曲线弦的问题 · 抛物线标准方程、抛物线的弦的问题 四、知识梳理 知识模块 核心考点 典型要求/方法 直线与方程 倾斜角与斜率、直线方程形式（点斜式、两点式、一般式等）、两直线位置关系（平行、垂直）、距离公式（点线距、线线距） 能根据条件求直线方程；能判断两直线位置关系；能应用距离公式。 圆与方程 圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）、圆的几何性质 能求圆的方程；能利用几何法或代数法判断直线与圆的位置关系；能解决弦长、切线等问题。 椭圆 椭圆的定义、标准方程、几何性质（焦点、顶点、轴长、离心率） 掌握椭圆的标准方程，理解其几何性质。 双曲线 双曲线的定义、标准方程、几何性质（焦点、顶点、轴长、渐近线、离心率） 掌握双曲线的标准方程，理解其几何性质。 抛物线 抛物线的定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、离心率） 掌握抛物线的标准方程，理解其几何性质。 直线与圆锥曲线 位置关系判断（相交、相切、相离）、弦长问题、中点弦问题、定点定值问题、最值问题 会联立方程判断位置关系；能利用韦达定理、设而不求等思想方法解决弦长、中点弦等问题；了解定点、定值、最值等综合问题的解法。 五、10分钟小测验 一、解答题 1．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 2．已知椭圆：与直线相交于，，当椭圆的半焦距，且，，成等差数列时，求椭圆的方程，并求出弦的长度. 答案 1．(1) (2) 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为，即. （2）设两点坐标为， 联立方程组，可得， ， 抛物线中， 所以. 线段的长度为. 2．， 【分析】设出交点坐标，根据已知条件椭圆方程与直线方程联立，再利用弦长公式即可解得 【详解】解：设，，已知成等差数列，焦距 ∴，∴ ∴椭圆的方程为 ∴，∴ 即， 故 六、经典例题解析 【考试题型1】椭圆 【例1】（2025河北对口升学样）已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴的两个端点分别为，，离心率，四边形的面积为24． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆交于M，N两点，求△OMN的面积. 解：（1）由，四边形的面积为24得， 又因为，解得． 所以，椭圆的标准方程为 （2）由椭圆的右焦点为，故过椭圆右焦点的直线方程为， 设， 联立方程组， 由根与系数关系得， 所以， 原点到直线MN的距离 所以△OMN的面积 【例2】（2022年河北对口）已知椭圆的一个顶点为，离心率.以椭圆的焦点为顶点作等轴双曲线，该双曲线上一点P与椭圆两个焦点，连线的斜率分别为，. （1）求椭圆的标准方程； （2）求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出a,b,c,即可求出椭圆方程. （2）结合双曲线和椭圆方程求出，，进而可证. 【小问1详解】 因为椭圆的一个顶点为，所以， 又因为离心率，已知， 得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 证明：因为双曲线是以椭圆的焦点为顶点的等轴双曲线， 所以在双曲线中， ， 等轴双曲线方程为， 已知椭圆焦点为， 设双曲线上一点P坐标为， 则， 所以， 将点P代入双曲线方程得， 综上所述，. 【考试题型2】抛物线 【例3】（2024河北对口升学）已知抛物线，斜率为2的直线l交抛物线于不同于原点O的A，B两点，若，求直线l的方程． 【答案】. 【分析】根据题意设出直线方程，联立方程组结合韦达定理求出与的值，利用即可得解. 【详解】直线l斜率为2，设直线方程为， 联立方程组得， 设，，则，， 所以，， 所以， 若，则， 化简得， 解得或， 由题意可知时，不成立， 所以，直线方程为化为一般式方程为. 【例4】（2023河北对口升学）已知抛物线直线l经过抛物线的焦点F和点，且交抛物线于A、B两点. （1）求; （2）求三角形OAB的面积. 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的标准方程求出焦点，再求得直线方程，联立方程组结合两点间的距离公式即可求解. （2）根据点到直线的距离公式结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意得，抛物线的焦点. 则直线的斜率为. 由斜截式方程可得， 直线方程为. 联立方程， 则. 设点， 则. 所以 . 【小问2详解】 由（1）得，， 直线的方程为. 则点O到直线距离为三角形的高， 即. 所以三角形的面积为. 【考试题型3】双曲线 【例5】（2022年河北对口）已知双曲线的右焦点为，过左焦点且倾斜角为的直线l交双曲线于两点. （1）求直线的方程和双曲线的标准方程； （2）求线段的长度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求出，进而求得，从而求得双曲线方程；根据题意得到双曲线的左焦点坐标，再利用直线的倾斜角求出斜率，最后用点斜式求出直线的方程即可； （2）先联立直线和双曲线方程，结合韦达定理求出，再利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 由可知， 所以双曲线方程为， 由双曲线的左焦点为，直线的倾斜角为， 所以直线的方程为：，即. 【小问2详解】 设， 联立， 所以，即， 由韦达定理可知， 所以， 而. 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 1. 直线与圆锥曲线的综合问题，核心解题思维路径 第一步：几何条件代数化 这是解题的起点，目的是将题目中的文字语言和几何条件转化为数学符号和方程。 · 设元： · 设直线：优先考虑点斜式 y - y₀ = k(x - x₀)。至关重要的一步：务必先考虑斜率 k 是否存在，单独讨论 k 不存在（直线垂直x轴）的情况。 · 设交点：设交点 A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)，但不需求出（“设而不求”）。 · 联立：将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 x 或 y，得到一个关于 x（或 y）的一元二次方程 Ax² + Bx + C = 0。 · 判别：立即写出判别式 Δ = B² - 4AC > 0。这是保证直线与曲线有两个交点的隐含条件，在求参数范围时必不可少。 第二步：核心代数运算 这是解题的核心，所有分析都基于这一步的结果。 · 韦达定理：若第一步中方程的两根为 x₁, x₂，则立即应用韦达定理： · 这是“设而不求”思想的灵魂，它将交点的关系转化为系数的关系。 · 弦长公式：若需要求弦长 |AB|，直接套用公式： 第三步：转化与求解 这是最终解决问题的临门一脚，需要将题目目标与前面的运算联系起来。 · 目标转化：仔细阅读题目所求（是求弦长、中点、斜率关系、定点、定值还是范围？），将其转化为包含 x₁ + x₂ 和 x₁x₂ 的数学表达式。 · 代入韦达定理：将第二步中韦达定理的结果代入到这个目标表达式中。至此，问题便转化为一个只关于参数 k 或 m 的方程或函数。 · 求解与验证：解这个关于参数的方程。特别注意：求出结果后，必须代回验证是否满足第一步中 Δ > 0 的条件，否则需要舍去。 2. 三大核心工具（重中之重） 韦达定理 - “设而不求”的灵魂 作用：当直线与圆锥曲线相交于两点时，无需解出的具体值，直接用韦达定理表示它们的和与积。 公式：若联立后所得一元二次方程为 ，则： 应用：几乎所有涉及交点关系的问题（如弦长、中点、垂直、定点、定值）都要用它。 弦长公式 公式： 记忆口诀：“1加K方，开根乘距差”。 判别式- 隐含条件 作用：保证直线与圆锥曲线相交（有两个交点），这是使用韦达定理的前提。 条件：联立后的方程需满足 Δ > 0。求参数范围时，必须由此列出不等式。 （二）、解题策略与技巧 1. 弦长与中点弦问题 策略： 弦长：直接套用弦长公式。 中点弦：点差法是利器。将两点坐标代入曲线方程作差，可快速得到中点坐标与斜率的关系。 示例：求椭圆中某弦的中点轨迹。用点差法得到斜率与中点关系，再结合其他条件求解。 2. 定点与定值问题 策略： 定点：证明动直线恒过某一点。先设直线方程（如y = kx + m），通过运算证明无论k如何变化，其坐标都满足某固定关系。 定值：证明某表达式（如斜率之和、向量积）为定值。利用韦达定理将表达式转化为关于参数的函数，最终证明该函数值与参数无关。 3. 范围与最值问题 策略： 将待求量（如面积、距离）表示为某个参数（如k, m）的函数。 利用函数求值域的方法（配方、单调性、基本不等式、求导）求最值。 切记！ 必须考虑 Δ > 0 和参数本身的隐含条件（如k ≠ 0），从而确定函数的定义域。 （三）、易错点总结 易错点 典型案例 避坑策略 忽略斜率不存在 设直线方程为y=kx+b，漏掉垂直x轴的情况。 优先讨论斜率k不存在的情况，再设一般式。 忽视判别式Δ>0 求出的参数范围使Δ≤0，导致错误。 联立后立即写出Δ>0，并参与求范围。 韦达定理记错 将x₁+x₂误记为B/A（漏负号）。 强化记忆：x₁+x₂ = -B/A。 弦长公式漏项 忘记根号下的(1+k²)项。 口诀：“1加K方，开根乘距差”。 （四）、复习建议 一、平面向量 1、学生能力培养重点： 夯实基础：首先要熟练掌握直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程及其几何性质。这是解决所有问题的基础。 强化计算：这类题目计算量往往较大，要提高运算的准确性和速度。平时练习时，即使思路清晰，也要坚持把题目完整算完，提高计算耐力。 掌握通法：重点掌握联立方程法、判别式法、韦达定理的应用（“设而不求”）、弦长公式等通用方法。 分类归纳：对不同类型的题目（如弦长问题、中点弦问题、定点定值问题等）进行分类归纳，总结解题规律和技巧。 2. 真题演练方向： 题型1：椭圆标准方程、椭圆弦的问题； 题型2：椭圆标准方程、双曲线弦的问题； 题型3：抛物线标准方程、抛物线弦的问题； 题型4：定值问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $