专题05 概率与统计初步（A卷·基础巩固）--2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为概率与统计初步。 2026版河北省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题05概率与统计初步 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．某校高二年级400名学生参加知识竞赛（满分100分），对成绩进行统计，绘制频率分布直方图如图所示．    (1)求分数不低于70分的学生人数； (2)若分数在的学生有160人，求这400名学生的平均成绩． 2．在学校开展的综合实践活动中，某年级进行了小制作评比，作品上交时间为9月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组统计，绘制的频率分布直方图如图所示．已知从左到右各长方形的高之比为，第三组的频数为15，请解答下列问题： (1)求每组的频率，并指出本次活动共有多少件作品参加评比． (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有6件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？ 3．某学校为调查高一新生上学所需要的时间（单位：分钟），从高一年级全体新生中随机抽取了100人，按上学所需时间分组为：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．得到的频率分布直方图如图所示．    (1)根据图中数据，求a的值； (2)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组中各抽取多少名新生？ (3)在（2）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名学生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1名学生被抽中的概率． 4．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算). （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)： （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望. 附注：若，则，，.参考数据：. 5．在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后，为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性，抽取每个考室中座位号为05的考生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在这个调查采样中，采用的是什么抽样方法？ （2）估计这次测试中优秀（80分及以上）的人数； （3）写出这40名考生成绩的众数、中位数、平均数的估计值． 6．烟台市是我国苹果种植面积最大､产量最多的地区.烟台苹果营养丰富，脆甜可口，深受人们喜爱.为检测一批烟台苹果，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 15 25 5 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在中的频率； (2)用分层抽样的方法从抽取的50个苹果中再抽取10个，其中重量在和中的各有几个？ (3)在（2）中抽出的10个苹果中，任取2个，求只有1个苹果重量在中的概率. 7．某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他6名男同学中安排5名同学依次发言. (1)若甲、乙同时参与，且她们发言时不能相邻，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？ 8．两人各投篮一次，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6. (1)求甲投中而乙没有投中的概率； (2)求至少有一人投中的概率. 9．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； (2)求选取的2个粽子都为同一种粽子的概率. 10．《全民健身计划》(以下简称《计划》)每五年一规划，就今后一个时期深化体育改革､发展群众体育﹑倡导全民健身新时尚，推进健康中国建设作出部署.《计划》要求，各地要加强对全民健身事业的组织领导，建立完善实施全民健身计划的组织领导协调机制，要把全民健身公共服务体系建设摆在重要位置，纳入当地国民经济和社会发展规划及基本公共服务发展规划，把相关重点工作纳入政府年度民生实事并加以推进和考核.某单位响应《计划》精神﹐为缓解员工的精神压力与身体压力､提升工作效率，在办公楼内设置了专业的员工健身房，要求员工每周在健身房锻炼分钟以上，并规定周锻炼时长不少于分钟为“优秀健康工作者”，给予奖励.该单位分为两个员工数相等的部门，现从两部门中各随机抽取名员工，统计得到员工在健身房的周锻炼时长(单位：分钟)，得到如下茎叶图. （1）计算这两组数的平均数﹐比较哪个部门的平均健身时间更长？ （2）用这名员工的周锻炼时长估计总体，将频率视为概率﹐从该单位员工中随机抽取人，记其中“优秀健康工作者”的人数为，求的数学期望及方差. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为概率与统计初步。 2026版河北省（对口升学）《数学考纲专题练》 专题05概率与统计初步 （A卷·基础巩固） 班级 姓名 学号 成绩 一、解答题 1．某校高二年级400名学生参加知识竞赛（满分100分），对成绩进行统计，绘制频率分布直方图如图所示．    (1)求分数不低于70分的学生人数； (2)若分数在的学生有160人，求这400名学生的平均成绩． 【答案】(1)280人. (2)分. 【分析】（1）根据直方图求得成绩为70分及以上的频率，再用频率乘以总数，即得答案. （2）利用频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解. 【详解】（1）分数低于70分的频率为：， 所以分数不低于70分的频率为：， 所以分数不低于70分的学生人数为: 人. （2）分数在的学生所占的频率为： 分数在的学生所占的频率为： 所以这400名学生的平均成绩为: 分. 2．在学校开展的综合实践活动中，某年级进行了小制作评比，作品上交时间为9月1日至30日．评委会把同学们上交作品的件数按5天一组统计，绘制的频率分布直方图如图所示．已知从左到右各长方形的高之比为，第三组的频数为15，请解答下列问题： (1)求每组的频率，并指出本次活动共有多少件作品参加评比． (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有6件和2件作品获奖，这两组哪组获奖率较高？ 【答案】(1)第一至第六组得频率分别为；共有78件作品参加评比. (2)第四小组参加数量最多，有件. (3)第六组获奖率较高. 【分析】（1）根据频率直方图求解每组的频率，再根据第三组的频数计算总数. （2）根据频率直方图可得第四组高最大，进而频数最大. （3）根据频率直方图算出对应小组的获奖率即可比较. 【详解】（1）根据频率直方图的意义，从左到右各长方形的高之比为. 可得第一小组的频率为, 同理可得，第二小组的频率为,第三小组的频率为,第四小组的频率为, 第五小组的频率为,第六小组的频率为, 因为第三组的频数为15. 所以参加评比的作品总数为件 （2）由频率直方图可知，第四组高最大，则其频数最大，即第四组数量最多. 为：件. （3）第四组有21件，获奖6件，则获奖率为. 第六组有件，获奖2件，则获奖率为. 故第六组获奖率较高. 3．某学校为调查高一新生上学所需要的时间（单位：分钟），从高一年级全体新生中随机抽取了100人，按上学所需时间分组为：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组．得到的频率分布直方图如图所示．    (1)根据图中数据，求a的值； (2)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名新生参与交通安全问卷调查，应从第3，4，5组中各抽取多少名新生？ (3)在（2）的条件下，该校决定从这6名新生中随机抽取2名学生参加交通安全宣传活动，求第4组至少有1名学生被抽中的概率． 【答案】(1) (2)3人，2人，1人 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中数据，求a的值； （2）根据数据，分层抽样，计算各组抽取人数； （3）应用古典概型，计算概率. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，得． （2）第3组总人数为，第4组总人数为，第5组总人数为， 则按分层抽样的方法抽取，第3组应抽取（人）， 第4组应抽取（人）， 第5组应抽取（人）． （3）设事件A＝{第4组至少有1名学生被抽中}，由（2）可知， ． 即第4组至少有1名学生被抽中的概率为． 4．为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)； （2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算). （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)： （ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望. 附注：若，则，，.参考数据：. 【答案】（1）千米/时；（2）（i）辆，（ii）. 【分析】（1）利用频率直方图，确定各组中点值，由即可求平均车速. （2）由题设易知，（i），结合所提供的三段区间概率值求概率，进而求10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数. （ii）由（i）知车速低于85千米/时的概率，则利用二项分布的期望公式即可求期望. 【详解】（1）由图知：千米/时. ∴这1000辆机动车的平均车速为千米/时. （2）由（1）及题设知：，则， （i）， ∴10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数辆. （ii）由（2）知：车速低于85千米/时的概率为，故 ∴. 5．在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后，为调查其测试前的培训辅导情况与测试成绩的相关性，抽取每个考室中座位号为05的考生，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． （1）在这个调查采样中，采用的是什么抽样方法？ （2）估计这次测试中优秀（80分及以上）的人数； （3）写出这40名考生成绩的众数、中位数、平均数的估计值． 【答案】（1）系统抽样 （2）420人 （3）77.5分；77.5分；77分． 【分析】（1）根据系统抽样的定义可得，用的是系统抽样； （2）求出80分及以上的频率，再进一步求出优秀人数即可； （3）根据众数是频率分布直方图中最高矩形的宽的中点横坐标，中位数所在的垂直于横轴的直线平分所有矩形的面积，求各个小矩形的面积乘以对应矩形底边的中点之和即为平均数. 【详解】（1）采用的是系统抽样； （2）由于80分及以上的频率，因此这次测试中优秀人数约为（人）； （3）成绩在的人数最多，因此众数的估计值是（分）； 中位数的估计值（分）； 平均数的估计值（分）． 【点睛】本题主要考查系统抽样、中位数、众数、平均数的定义，频率分步直方图的应用，属于容易题. 6．烟台市是我国苹果种植面积最大､产量最多的地区.烟台苹果营养丰富，脆甜可口，深受人们喜爱.为检测一批烟台苹果，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下： 分组（重量） 频数（个） 5 15 25 5 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在中的频率； (2)用分层抽样的方法从抽取的50个苹果中再抽取10个，其中重量在和中的各有几个？ (3)在（2）中抽出的10个苹果中，任取2个，求只有1个苹果重量在中的概率. 【答案】(1) (2)重量在中有3个，重量在中有1个. (3) 【分析】（1）根据表中数据和频率的计算公式即可解得. （2）根据表中数据和分层抽样的计算即可解得. （3）用排列组合求出基本事件总数，再求出满足条件的事件个数即可求得概率. 【详解】（1）苹果的重量在的频率是 （2）重量在中有个，重量在中有个. （3）重量在中有5个， 设A={只有1个苹果重量在中}， ∴只有1个苹果重量在中的概率是. 7．某班某次班会准备从甲、乙2名女同学及其他6名男同学中安排5名同学依次发言. (1)若甲、乙同时参与，且她们发言时不能相邻，则不同的安排方法有多少种？ (2)若甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则不同的安排方法有多少种？ 【答案】(1)1440 (2)2160 【分析】（1）甲、乙同时参与，则还需要从6名男同学中选3人，而甲、乙不相邻，用插空法即可； （2）甲、乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学，则甲、乙被安排在最后两位发言，正难则反，用总的方法减去前3名发言的同学中没有女同学的情况即可. 【详解】（1）若甲、乙同时参与，则只需再从剩下的6名同学中选取3名即可. 在安排顺序时，甲、乙不相邻，则“插空”，不同的安排方法有种. 故甲、乙同时参与，且她们发言时不能相邻的安排方法有种. （2）只考虑甲、乙同时参与，不同的安排方法有种. 若前3名发言的同学中没有女同学，则甲、乙被安排在最后两位发言，不同的安排方法有种. 故甲､乙同时参与，且前3名发言的同学中有女同学的安排方法有种. 8．两人各投篮一次，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.6. (1)求甲投中而乙没有投中的概率； (2)求至少有一人投中的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件的概率公式即可求解； （2）由至少有一人投中的对立事件为两人都投不中，根据对立事件和独立事件的概率公式即可求解. 【详解】（1）因为乙投中的概率为0.6， 所以乙投不中的概率为， 又因为甲投中的概率为0.7， 所以甲投中而乙没有投中的概率为 （2）因为甲投中的概率为0.7， 所以甲投不中的概率为， 又因为乙投不中的概率为， 所以两人都投不中的概率为， 所以至少有一人投中的概率为. 9．端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； (2)求选取的2个粽子都为同一种粽子的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得，E的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解分布列. （2）2个粽子都为同一种粽子可能是两个都是蛋黄粽，也可能两个都是豆沙粽，分别求出他们的可能组合数，再比上总的可能即可. 【详解】（1）依题意可能为0，1，2，对应的概率为      ∴ 0 1 2 （2）依题意得，任意选取2个粽子有种可能， 选取2个粽子都为同一种粽子的，可能两个都是蛋黄粽， 也可能两个都是豆沙粽， 所以选取的2个粽子都为同一粽子的概率为. 10．《全民健身计划》(以下简称《计划》)每五年一规划，就今后一个时期深化体育改革､发展群众体育﹑倡导全民健身新时尚，推进健康中国建设作出部署.《计划》要求，各地要加强对全民健身事业的组织领导，建立完善实施全民健身计划的组织领导协调机制，要把全民健身公共服务体系建设摆在重要位置，纳入当地国民经济和社会发展规划及基本公共服务发展规划，把相关重点工作纳入政府年度民生实事并加以推进和考核.某单位响应《计划》精神﹐为缓解员工的精神压力与身体压力､提升工作效率，在办公楼内设置了专业的员工健身房，要求员工每周在健身房锻炼分钟以上，并规定周锻炼时长不少于分钟为“优秀健康工作者”，给予奖励.该单位分为两个员工数相等的部门，现从两部门中各随机抽取名员工，统计得到员工在健身房的周锻炼时长(单位：分钟)，得到如下茎叶图. （1）计算这两组数的平均数﹐比较哪个部门的平均健身时间更长？ （2）用这名员工的周锻炼时长估计总体，将频率视为概率﹐从该单位员工中随机抽取人，记其中“优秀健康工作者”的人数为，求的数学期望及方差. 【答案】（1）(分钟)，(分钟)，部门的平均健身时间更长；（2），. 【分析】（1）直接利用平均数公式求解即可； （2）由茎叶图可得单位随机抽取人是“优秀健康工作者”的频率为，则其概率为，所以，然后利用二项分布的期望和方差公式求解即可 【详解】解：两部门名员工的周锻炼时长平均数分别为 (分钟)， (分钟)， 故部门的平均健身时间更长. 由茎叶图，知名员工中共有人为“优秀健康工作者”， 将频率视为概率，从单位随机抽取人是“优秀健康工作者”的概率为. 则 所以， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $