专题05 概率与统计初步（讲义）-2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及河北省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版河北省（对口升学）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为概率与统计初步。 2026版河北省（对口升学）二轮复习 《数学考纲专题练》 专题05 概率与统计初步 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 排列与组合 · (1) 理解分步计数原理和分类计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单的实际问题； · (2)理解排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的实际问题； · (3) 了解组合数的性质． 1. 概率与统计初步 · (1) 了解古典概率模型的含义，理解古典概率公式，并能运用它求出简单随机事件的概率； · (2) 了解互不相容事件概率的加法定理和相互独立事件概率的乘法定理，并能利用这些定理解决一些简单的问题； · (3) 了解n次独立重复试验模型，了解n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，并能进行简单实际应用； · (4) 能求离散型随机变量的分布列； · (5)能对数据进行初步整理，并用恰当的统计图表展示数据，会使用计算器或计算机软件处理数据 · (6)理解各特征量的统计意义，能计算并解释实际含义，能用样本特征估计总体特征 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025样卷 解答题 28 频率分布直方图、概率 9 （1）题型：解答题。 （2）分值：2024年前分值一般在6，7分， 2025样卷为9分。 2024 解答题 37 计数原理、概率分布 7 2023 解答题 37 古典概型、独立重复试验 7 2022 解答题 37 概率分布 7 2021 解答题 37 概率分布 6 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年河北省对口招生考试有1道题目考查概率与统计初步解答题，分值为9分。 具体考点可能涉及如下内容： · 统计 · 计数原理 · 概率 · 离散型随机变量的分布列 四、知识梳理 （一）排列组合 1. 排列与排列数 (1)排列的定义：从n个__不同__元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的__顺序__排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． (2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同排列__的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号__A__表示． (3)排列数公式：A＝__n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)__． (4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A＝n×(n－1)×(n－2)×…×2×1＝__n！__．排列数公式写成阶乘的形式为A＝，这里规定0！＝__1__． 2. 组合与组合数 (1)组合的定义：一般地，从n个__不同__元素中取出m(m＜n)个元素__合成一组__，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． (2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有不同组合__的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号__C__表示． (3)组合数的计算公式：C＝＝＝，这里规定C＝__1__． (4)组合数的性质：①C＝__C__；②C＝__C__＋__C__． 重要结论 对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑 (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． （二）概率 1.古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件_只有有限个__. (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性_相等__. 2.古典概型的概率公式 P(A)＝___. 3.事件的相互独立性 设A、B为两个事件，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__，则称事件A与事件B相互独立． 若事件A、B相互独立，则P(B|A)＝P(B)；事件A与，与B，与都相互独立． （三）离散型随机变量 1.离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的_概率分布列__，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②pi＝_p1＋p2＋…＋pn__＝1. 2.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N、M≤N，n、M、N∈N＋，称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝_P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)__. (2)二项分布：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)． 若X～B(n，p)，则E(X)＝_np__，D(X)＝_np(1－p)__. （四）统计 1.统计图表 画频率分布直方图的步骤 1．求极差：极差是一组数据中__最大值__与__最小值__的差. 2．决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成__5～12__组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”. 3．将数据分组. 4．列频率分布表：一般分四列，即分组、__频数累计__、频数、__频率__.其中频数合计应是样本容量，频率合计是__1__. 5．画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝__频率__.各小长方形的面积和等于1． 2. 样本的均值和标准差 从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为，，…，，则称 为样本均值或平均数． 如果样本由n个数，，…，，组成，是这n个数的均值，则 称为样本方差． 样本标准差 五、10分钟小测验 一、解答题 1．某校高一年级共400名学生参加了一项测试（满分100分），从中随机抽取了100名学生为样本，记录他们的测试成绩，并将数据分成6组：，，，，，，整理得到样本的频率分布直方图如下：    (1)从高一年级学生总体中随机抽查一人，估计其测试成绩达到70分以上的概率； (2)已知样本中有3人成绩低于40分，试估计高一年级学生总体测试成绩在内的学生人数． 2．盒中有标记数字小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望． 答案 1．(1) (2)人 【分析】（1）根据频率分布直方图用频率估计概率即可求解. （2）根据频率分布直方图即可求解. 【详解】（1）由题意得，成绩达到70分以上的概率为. （2）由题意得，样本中有3人成绩低于40分，则样本频率为， 则成绩在学生的样本频率为：. 所以高一年级学生总体测试成绩在内的学生人数为：人. 2．(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取一个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果； （2）先确定X的可能取值为1、2、3，然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应2种情况，由此可求分布列和期望. 【详解】（1）（1）记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M， 先确定3个不同数字的小球，有种方法， 然后每种小球各取1个，有种取法， 所以． （2）由题意可知，X的可取值为， 当时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以． 六、经典例题解析 【考试题型1】统计、概率 【例1】（2025河北对口升学样卷）已知某大学艺术专业400名学生参加某次测评，他们的分数都在区间[2090，]内．现使用简单随机抽样的方法从中抽取100名学生，并记录他们的分数，将分数分成7组：[2030，)，[3040，)，…，[8090，]，得到如下频率分布直方图： （1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （2）已知抽取的100名学生中分数小于40的有5人，试估计总体中分数在区间[4050，)内的人数． 解：（1）由频率分布直方图得， 分数在区间[7080，)，[8090，]内的频率分别为0.4，0.2． 所以，分数小于70的频率为1-0.4-0.2=0.4． 因此，可估计从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率为0.4． （2）由抽取的100名学生中分数小于40的学生有5人可得， 分数在区间[20,40)内的频率为， 所以分数在区间[40,50)内的频率为1-0.4-0.2×2-0.1-0.05=0.05． 因此，抽取的100名学生中分数在区间[40,50)内的人数为0.05×100=5人．所以，估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为20人． 【考试题型2】离散型随机变量分布列 【例2】（2024河北对口升学）某职业学校的3名学生可以到A，B，C，D四个实训基地实习，若每名学生只能选择一个基地实习，且选择其中任何一个基地是等可能的，求： （1）3名学生选择同一基地实习的概率； （2）选择A基地实习的学生人数的概率分布． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）所有可能有种，3名学生选择同一基地实习有种，根据概率公式即可求解. （2）可能取值为，分别求出相应的概率，即可列出分布列. 【详解】（1）3名学生从A，B，C，D四个实训基地中进行选择，每名学生有4种选法， 根据分步计数原理可知，共有种选法， 3名学生选择同一基地实习的情况共有种， 所以3名学生选择同一基地实习的概率为. （2）选择A基地实习的学生人数可能取值为， 所以， ， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 【例3】(2022年河北对口升学) 从4名数学教师和2名语文教师中任选3名教师到山区某一学校支教，表示选到的语文教师人数，求随机变量的概率分布. 【答案】 0 1 2 P 【解析】 【分析】先根据题意得出可能的取值并求出对应的概率，即可画出概率分布列. 【详解】 所以的概率分布列为： 0 1 2 P 【例4】(2021年河北对口升学) 为备战年北京冬奥会，某竞技滑雪运动员精心编排了一套难度系数较高的动作，通过一段时间的训练，每次完美完成这套动作的概率为，求在赛前的4次试滑中该运动员完美完成这套动作的次数的概率分布. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】分别求出为时的概率，列出分布列即可. 【详解】已知每次完美完成这套动作的概率为， 则不完美完成这套动作的概率为， 且每次完成完美完成这套动作的事件是相互独立的， 已知完美完成这套动作的次数， 则可以取， ， ， ， ， . 所以分布列为 【考试题型3】概率 【例5】(2023年河北对口升学) 一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球. （1）求取到不同颜色球的概率； （2）有放回的取3次，求至少两次取到不同颜色球的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用组合和古典概型的公式求概率. （2）至少两次取到不同颜色球，即取到两次或三次，利用独立重复试验的概率公式分别求出，再相加即可. 【小问1详解】 一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 设取到不同颜色球为事件，则 【小问2详解】 一口袋内装有3个红球和2个白球，从中任取两个球， 有放回的取3次，为任取两球的独立重复试验，每次取到不同颜色球的概率为， 则至少两次取到不同颜色球的概率为 七、专题归纳小结 （一）、专题核心内容总结 概率核心概念与公式 1. 一个基础：事件的关系 · 互斥事件：事件A与事件B不可能同时发生。 · 对立事件：事件A与事件B有且仅有一个发生。，。 · 相互独立事件：事件A的发生与否不影响事件B发生的概率。 关键辨析：“互斥”是描述事件能否同时发生，是“你死我活”的关系；“独立”是描述事件是否相互影响，是“井水不犯河水”的关系。 两者无必然联系。 2. 两个模型 模型 古典概型 几何概型 特点 基本事件个数有限；每个事件发生的可能性相等。 基本事件个数无限；每个事件发生的可能性相等。 公式 关键词 “任取”、“抽奖”、“掷骰子”、“抛硬币” “随机游动”、“等时间”、“等角度”、“在区间...内任取一点” 3. 两个数字特征  数学期望 E(X)：衡量随机变量 X 取值的“平均水平”。  方差 D(X)：衡量随机变量 X 取值的“波动大小”。  方差简化公式（必记！）：（此公式计算量远小于定义法） 统计：知识体系框架：从数据采集到数据分析 统计活动遵循一个清晰的流程，理解该流程是解题的基础。其核心工作流与关键概念如下所示： 数字特征“两大家族” 特征类型 代表成员 实际意义 集中趋势 平均数 数据的“平均水平” 中位数 数据的“中等水平”，不受极端值影响 众数 数据的“普遍水平” 离散程度 方差 衡量数据的波动大小 方差大，数据越分散 标准差 衡量数据的波动大小，单位与原数据一致 （二）、解题策略与技巧 1. 概率问题“四步法” 2. 分布列问题“三步法” 1. 定取值：确定随机变量X的所有可能取值。 2. 算概率：求出X取每一个值的概率。 3. 列表格：列出分布列，并验证概率和是否为1。() 易错点：求概率时，“非等可能”事件误用古典概型。例如，比赛胜负概率不等，就不能简单用“正负”次数除以总次数。 3. “读、想、算、判”四步法 1. 统计图表题“读图三步曲” 统计图表是数据的可视化，读图能力是关键。 图表类型 看图要点 典型案例 频率分布直方图 1. 看组距：横坐标轴每段的长度。 2. 看高（频率/组距）：纵坐标高度。 3. 算频率：小长方形面积 = 频率。 求样本容量、特定范围内的频率、众数所在区间、中位数位置 扇形图（饼图） 1. 看比例：扇形的面积比例 ≈ 百分比。 2. 看角度：圆心角 = 360° × 百分比 求各部分的数量、比例 策略：“图表题，细观察；直方图，面积即频率；饼图看比例换算角。” 2. 数字特征题“选择与计算” · 选择策略： · 问“平均情况” → 平均数。 · 问“中等水平”或数据有极端值 → 中位数。 · 问“哪个最多” → 众数。 · 问“稳定性” → 方差/标准差（越小越稳定）。 （三）、易错点总结 易错类型 典型案例 避坑策略 “互斥”与“独立”混淆 误认为互斥事件一定独立，或独立事件一定互斥。 牢记：互斥 ≠ 独立。两者从定义出发判断。 “有放回”与“无放回”混淆 “无放回”抽取时，前后概率不同，不是独立事件。 “无放回”通常用古典概型处理。 忽略概率和为1 列出分布列后未验证。 “概率和验1”是检验计算是否正确的重要标准。 方差公式用错 误用定义法，计算繁琐易错。 首选简化公式： 总体与样本混淆 概念不清 记住：被抽取的才是样本，被调查的全体是总体 中位数计算错误 未排序或未取平均。 先排序！数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均值。 直方图频率算错 概念混淆 牢记：小长方形的面积 = 高 × 组距 = 频率 忽略方差单位 对公式理解不深 提醒：方差是标准差的平方，单位也是平方关系 （四）、复习建议 1、学生能力培养重点： · 模型识别：训练学生快速判断问题是“古典概型”还是“几何概型”。 · 分布列规范：严格按照“定取值→算概率→列表格→验证和”的步骤书写。 · 计算能力：强化方差简化公式和排列组合的计算训练。 · 概念辨析：反复强调“总体 vs 样本”、“平均数 vs 中位数 vs 众数”、“方差 vs 标准差”。 · 计算能力：训练学生使用计算器快速、准确地计算平均数、方差（特别是用简化公式）。 · 读图能力：专项训练频率分布直方图的识图与信息提取。 2. 真题演练方向： · 题型1：古典概型（与排列组合结合）。 · 题型2：几何概型（长度型、面积型）。 · 题型3：互斥事件、独立事件的概率计算。 · 题型4：求离散型随机变量的分布列、期望与方差 · 题型5：：根据具体数据，求平均数、中位数、众数、方差、标准差。 · 题型6：：结合频率分布直方图，求样本容量、频率、众数、中位数估计值、平均数估计值。 · 题型7：利用方差或标准差比较两组数据的稳定性（如：评价两名运动员的成绩谁更稳定）。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $