第一章空间向量与立体几何章末单元卷-2025-2026学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何章末复习 一、单选题 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，等于（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 3．已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 4．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 5．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 10．如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 11．已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则到直线的距离为 C．若，则有且仅有一个点，使得平面 D．若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题 12．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是 ． 13．已知空间三点，，.若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是 . 14．某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得，，，则该石雕所在正方体的棱长为 ；该石雕最高点到地面的距离为 ． 四、解答题-问答题 15．已知空间中三点，，． (1)若，，三点共线，求的值； (2)若，的夹角是钝角，求的取值范围． 16．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 17．如图，在四棱台中，四边形和均为正方形，四边形为直角梯形，，已知，，. (1)求证：平面. (2)若二面角的正弦值为，求该四棱台的体积. 18．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，经过数千年的发展，灯笼发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态.现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且. (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 19．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何章末复习 一、单选题 1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，等于（    ） A． B． C． D． 【详解】故选：A 2．已知空间向量，，若，则的值为（    ） A．1或 B．2或 C．1或 D．2或 【详解】，，，解得或.故选：A 3．已知，分别是平面的法向量，则平面的位置关系为（    ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 【详解】因为，，所以，故，所以.故选：B. 4．已知空间向量，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．1 C．2 D． 【详解】由向量，得，，则在上的投影向量为， 所以在上的投影的模为．故选：A 5．已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】设向量在基底下的坐标为，则， 整理得，所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为．故选：B 6．已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【详解】如图所示，由题意得，连结相交于点E，取的中点F，连结. 根据作图可知，，，且， 取的中点G，连结， 则可得平行且相等，四边形为平行四边形，. 在等边中，因为G是AC中点，所以， 故由勾股定理，，所以. 又因为在中，，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 因为是平面内的两条相交直线，所以故平面， 所以根据线面角的定义，与平面所成的角为， 又因为，所以在中，，故选：B. 7．如图，已知，均为正方形，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（    ）． A． B． C． D． 【详解】解法一：根据题意可知，即为二面角的平面角，所以， 设正方形与边长均为1，异面直线与所成的角为. 因为，，，， 所以，所以，即. 解法二：不妨假设正方形与的边长均为2， 如图，补形成直三棱柱，以中点为原点，建立空间直角坐标系， 则有，，，，由此可得，. 设异面直线与所成的角为，则. 故选：A. 8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ）． A． B． C． D． 【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，．设A关于平面的对称点为，， 则，．设平面的法向量，则， 令，则，，所以， 所以A与到平面的距离， 即        ①．又，所以，即        ②． 由①②得，由可得，，，所以， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：C. 二、多选题 9．在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 选项 正误 原因 A × ，，因为， 所以，解得. B √ ，， 则是直线AB的一个方向向量. C √ ， 则. D × 易知点在Oyz平面内的射影为， 可知，即可得. 故选：BC. 10．如图，在三棱锥中，，平面，，E，F，G，H分别为，，，的中点，M是的中点，N是线段GH上的动点，则（    ）． A．存在，，使得 B．不存在点N，使得 C．的最小值为 D．异面直线AC与EF所成角的余弦值为 【详解】在三棱锥中，，平面，故，，，两两垂直，以B为坐标原点， 以，，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，． 所以，，． 由，得，则，方程组无解， 因此不存在a，b使得，故A错误； 由N是线段上的动点，设，则，， 由，所以不存在点N，使得，故B正确； ，当且仅当时取等号，故C正确； ，，所以，，， 则，所以异面直线AC与EF所成角的余弦值为，故D不正确．故选：BC. 11．已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则到直线的距离为 C．若，则有且仅有一个点，使得平面 D．若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 【详解】以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 对于A，， 则， 又，所以，故，故A正确； 对于B，若，则为线段的中点，即点， 又，， 所以点到直线的距离为，故B正确； 对于C，，其中， 则，，， 因为平面， 平面，平面， 所以，， 则，，解得， 因此不存在点，使得平面，故C错误； 对于D，若，其中， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，且， 易知平面的一个法向量为， 设平面与底面所成角为，，所以， 则，故D正确.故选：ABD. 三、填空题 12．一束光线自点发出，被平面反射后到达点被吸收，则该光线所走的路程是 ． 【详解】因为入射光线被平面反射后到达点被吸收，所以根据光的反射定律可知，入射光线必过点， 故该光线从发射到吸收所走过的路程为．故答案为：. 13．已知空间三点，，.若空间中点满足平面，则符合条件的一个点的坐标是 . 【详解】，，设平面的法向量为， 则，.令，则，.. 设点的坐标为，则.由题知，，即. 点的坐标满足，其中.令，则.故答案为：（答案不唯一）. 14．某公园有一个坐落在地面上的大型石雕，如图是该石雕的直观图．已知该石雕是正方体截去一个三棱锥后剩余部分，是该石雕与地面的接触面，其中是该石雕所在正方体的一个顶点．某兴趣小组通过测量的三边长，来计算该正方体石雕的相关数据．已知测得，，，则该石雕所在正方体的棱长为 ；该石雕最高点到地面的距离为 ． 【详解】如图，补齐为正方体，设，，， 则，解得，，， 即该石雕所在正方体的棱长为. 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，可得， 所以点到平面的距离为， 即该石雕最高点到地面的距离为.故答案为：6；. 15．已知空间中三点，，． (1)若，，三点共线，求的值； (2)若，的夹角是钝角，求的取值范围． 【详解】（1）由题设，，又，，三点共线， 所以存在使，即，可得，所以. （2）由，由（1）知：当时，有； 而，又，的夹角是钝角， 所以，可得；综上，且不同时成立. 16．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 【详解】（1）连接， ，，， ，， 为线段的中点，， . （2）以顶点为端点的三条棱长都是，，， ，，， 由（1）知：，， ， ，即对角线的长为. （3）由（1）（2）知：，， ，， ， . 17．如图，在四棱台中，四边形和均为正方形，四边形为直角梯形，，已知，，. (1)求证：平面. (2)若二面角的正弦值为，求该四棱台的体积. 【详解】（1）连接分别与交于， 易得为与的中点，又，所以， 因为在正方形中，， 又，平面，所以平面， 又平面，则， 又，平面，所以平面. （2）由（1）知平面，，故两两垂直， 以点为原点，建立空间直角坐标系，如图， 则，设，则， 故， 设平面法向量为，则， 取，则，故， 设平面法向量，则， 取，则，故， 所以， 因为，所以， 则，即， 即，即，则，故， 而四边形面积，四边形面积， 所以该四棱台的体积为. 18．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品，经过数千年的发展，灯笼发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态.现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，是圆柱底面的直径，为底面圆心，为母线的中点，已知为一条母线，且. (1)求证：平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求二面角的余弦值. 【详解】（1）因为是圆柱底面的直径，所以， 且，平面， 则，， ，， 有，所以， 又为的中点，所以，，， 则有，所以， ，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）由题意可知，平面，， 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，，，，， 则，， 设异面直线与所成角为， 则. 即异面直线与所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，则， 所以， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 19．如图，在中，是中点，分别是边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥. (1)求证：平面； (2)若，二面角是直二面角，求线段中点到平面的距离； (3)当时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）在四棱锥中，，而平面平面， 所以平面 （2）由，，得，折叠后，在四棱锥中，， 由二面角是直二面角，即平面平面， 平面平面，平面，平面， ∵平面，∴ 以分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 设平面法向量为，则， 令，得，所求点面距为. （3）以直线和分别为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 设，显然， ， ，得出，则， 则， 点与其在直线上射影点及点围成以线段为斜边的直角三角形， 则，即，且且，即， 平面的法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $