专题02 空间向量及其运用 （4大题型）（期中真题汇编 陕西专用） 高二数学上学期

命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 专题02 空间向量及其运用 (4大题型) ☆4大高频考点概览 考点01空间向量及其运算 考点02空间角的求法 考点03空间距离的求法 考点04空间中的探究型问题 目目 考点01 空间向量及其运算 1.(24-25高二上陕西减阳淳化中学期中)已知=(1,1,0)，=（一1,0,2），且 ka+6与2-6垂直，则k的值为（) A.等 B. C. D.名 2.(24-25高二上陕西宝鸡金台区期中)已知向量=(0，-1,2)，6=（20,1)，以有，6为 邻边的平行四边形的面积为() A.21 B.耍 C.2 D.12 3.(2425高二上陕西安康期中)已知点A(0,1,3,B(3,0,1),C(1,2,1),则下列各点与点 A,B,C不共面的是() A.D2,1,1 B.D-6,3,7) C.D5,2,-3) D.D4(4,-1,3) 4.(24-25高二上陕西咸阳淳化中学期中)已知点AB的坐标分别为(-2,3,5)、 (1,-1,一7)，则向量A的相反向量的坐标是() A.（-3,4,12)B.(3,-4,-12)C.（-1,2,-2)D.(1,-2,2) 5.(24-25高二上陕西榆林第十二中学期中)已知向量a=(1,-1,3),乙=(x2,-1), 若a1(a-),则x=() A.16 B.15 C.14 D.13 6.24-25高二上陕西咸阳淳化中学期中)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示， 其中AB=BC=2,AA1=3,∠BAD=∠A1AD=∠BAA1=60°，线段AC,BD交于 1/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点O,点E是线段AA1上靠近A1的三等分点，则下列说法正确的是（) A B E A.E0=-号AA1+A丽+A而 B.EC1=AA1+A店+A c.|E=3 D.EC1·AA1=8 7.(24-25高二上陕西咸阳淳化中学期中)已知棱长为a的正四面体ABCD中，E、F在BC上， G在AD上，E是BC的中点，CF=CB,AG=AD,给出下列四个命题：①AC⊥BD; ②G=平a:③侧面与底面所成二面角的余弦值为：④花.C成<花.C市其中真命题 的序号是() A.① B.② C.③ D.④ 8.(24-25高二上陕西西安鄂邑区·期中)已知点P是△ABC所在平面外一点，若 A=(-2,1,4),A正=(1，-2,1)，A记=(4,2,0)，下列结论正确的有() A.AP⊥AB B.BC=(6,1,-4) C.BC=53 D.AP//BC 9.(2425高二上陕西咸阳礼泉县期中设x,y∈R,若五1=(1，-2，y), 2=(x,1,-2)分别是平面a,的法向量，若/B,则xy= 10.(24-25高二上陕西西安蓝田县城关中学大学区联考期中)己知向量 a=(1,2,-1),6=(m,m2+3m-6,n),若向量，6同向，则实数m,n分别等于 11.(2425高二上陕西师范大学附属中学期中)如图，已知四面体ABCD的所有棱长都等于 a,E,F,G分别是棱AB,AD,DC的中点，则GE.G序=_ 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.24-25高二上陕西商洛洛南中学期中)设x、y、z∈R,a=(1,1,1), 6=(1,yz),c=(x-4,2),且a1,6/,则|a+= 目目 考点02 空间角的求法 13.(2425高二上陕西宝鸡金台区·期中)二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在 这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB,已知AB=2,AC=3,BD=4, CD=√41，则该二面角的大小为() A.309 B.60° C.120° D.150 14.(23-24高二上陕西西安长安区第一中学期中)在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC⊥BC,AC=AA1=4,BC=2,则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为() A.写 B. c. D.29 15.(24-25高二上陕西师范大学附属中学期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分 别为线段B1D1,BC1上的动点，则下列结论正确的是() A.直线DB1⊥平面ACD1 B.直线AE与平面BB1D1D所成角的正弦值为定值 C.平面A1C1B//平面ACD1 D.点F到平面ACD1的距离为定值 16.(24-25高二上陕西安康期中)如图，在几何体ABCDE中，AB,AC,AD两两垂直， AB=2,AC=AD=1,四边形ACED是梯形，AD//CE,平面BCD⊥平面BDE 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求CE的长； (2)求直线BE与平面BCD所成角的正弦值. 17.(24-25高二上陕西咸阳礼泉县期中)如图，四棱锥P一ABCD中，AD⊥平面PAB, BC/AD,∠PAB=90°，PA=AB=2,AD=3,BC=m,E是PB的中点 D (I)证明：AE⊥平面PBC; (②若二面角C-AB-D的余弦值是号，求实数m的值 18.(24-25高二上陕西西安西安高新第一中学期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1 平面ABCD,AD⊥CD,AD/BC,PA=AD=CD=2,BC=3,E为PD的中点，点 F在PC上，且既=寺 (I)求证：AE⊥平面PCD: (2)求二面角F一AE-D的正弦值： (3)设点G在PB上，且号=判断直线4G是否在平面AEF内，说明理由 19.(24-25高二上陕西咸阳三原县南郊中学期中)如图，PA⊥平面ABC,AB为圆0的直 径，E,F分别为棱PC,PB的中点 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F (1)证明：平面EFA⊥平面PAC: (2)若PA=AB=4,AC=2,求二面角E-AB-C的余弦值 20.(2425高二上陕西榆林期中)如图，在四棱锥M-ABCD中，底面ABCD是边长为6 的正方形，△MAB是等边三角形，平面MAB⊥平面ABCD D (I)求平面CDM与平面ABM所成二面角的正弦值； (2)已知E,F,G分别是线段AM,DM,CD上一点，且AE=青AM,DF=号DM,CG=青CD ,若H是线段BM上的一点，且点H到平面EFG的距离为V5,求器的值 目目 考点03 空间距离的求法 21.(23-24高二上陕西西安中学期中)己知A(2,2,0)、B(1,4,2)、C(0,2,0),则原点 O到平面ABC的距离是() A.V2 B.22 C.2 D.号 2.2324商二上陕西西安中学期中)如图，在菱形ABCD中，AB=9,∠BAD=60 ,沿对角线BD将△ABD折起，使点A、C之间的距离为22，若P、Q分别为线段BD、 CA上的动点，则下列说法正确的是() 5/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D P B A.平面ABD⊥平面BCD B.线段PQ的最小值为V2 C.当AQ=QC,4PD=DB时，点D到直线PQ的距离为 14 D.当P、Q分别为线段BD、CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为写 23.(24-25高二上陕西西安鄂邑区·期中)如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩 形，PB⊥底面ABCD,AB=BC=3,BP=3,CF=CP,DE=专DA (I)证明：直线EF//平面ABP; (2)求点P到平面ADF的距离 24.(2425高二上陕西西安西北工业大学附属中学·开学考)如图，在四棱锥0一ABCD中， 底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD,OA=2,M,N分别是OA,BC的中 点 M D B (I)求直线MN与平面OCD的距离； (2)若点R为AD的中点，求平面MNR与平面OCD的距离 6/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 25.(24-25高二上陕西西安西咸新区泾河新城第一中学)如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AA1=AC=2,D,E分别为CC1A1B的中点 C (I)求直线CC1与平面A1BD所成角的大小： (2)线段BC上是否存在点G,使得A1G⊥BD?若存在，求出点G到平面A1BD的距离；若不 存在，说明理由 26.(23-24高二上陕西西安部分学校)如图，在棱长4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E 是AA1的中点，点F在棱CC1上，且CF=1. D B B (I)求平面ABCD与平面DEF夹角的余弦值； (2)若P为平面ABCD内一点，且D1P⊥平面DEF,求点P到平面DEF的距离 27.(22-23高二上陕西西安临潼区铁路中学月考)在长方体0ABC-01A1B1C1中， |OA=2,AB=3,AA1=2,E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解 下列问题： C B (1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值； 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求点01到直线AC的距离， 目目 考点04 空间中的探究型问题 28.(24-25高二上·陕西西安碑林区铁一中学月考)如图，己知四棱锥P一ABCD的底面 ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC=2AB=4,AB⊥AC,PB⊥AC (I)证明：平面ABCD⊥平面PAB,并求PD与平面PAB所成角的大小： (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B,Q两点的截面，且AC//平面BEQF, 是否存在点Q,使得平面BQF与平面P4D夹角的余弦值为雷？若存在，求器的值：若 35 不存在，说明理由。 29.(21-22高二上陕西西安博爱国际学校期末)如图所示的四棱锥P一ABCD的底面 ABCD是一个等腰梯形，AD/BC,且AD=2AB=2BC=4,P0是△PAD的中线， 点E是棱PD的中点. (I)证明：CE//平面PAB (2)若平面PAD⊥平面ABCD,且PA=PD,P0=AO,求直线PC与平面PAB所成角的 正弦值 30.(22-23高二上陕西西安西航一中期中)如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面 为矩形，平面AAD1D1平面CC1D1D,且CC1=CD=DD1=C1D1=1. B 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)证明：AD⊥平面CC1D1D: (2)若A1C与平面CC1D1D所成角为亏，求平面AA1C与平面AA1D的夹角余弦值. 31.(24-25高二上陕西安康高新中学·月考)图①是直角梯形ABCD,AB//CD,∠D=90°， 四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE=60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C 到达C1的位置，且AC1=V6 C E B ① ② (1)求证：平面BC1E⊥平面ABED: (②在棱DC上是否存在点P,使待点P到半面A8C,的距离为雪若存在，求出P的位凰： 若不存在，请说明理由 32.(23-24高二上陕西咸阳武功县普集高级中学·月考)如图，己知SA垂直于梯形ABCD所 在的平面，矩形SADE的对角线交于点F,G为SB的中点，∠ABC=∠BAD=号， SA=AB=BC=AD=1. G B (I)求平面SCD与平面ESD夹角的余弦值； (2)在线段EG上是否存在一点H,使得BH与平面SCD所成角的大小为号？若存在，求出 GH的长；若不存在，说明理由. 33.(20-21高二上陕西咸阳实验中学月考)如图，在四棱锥P一ABCD中，四边形ABCD为 平行四边形，PD⊥面ABCD,DP=DC,E是PC的中点，过点D作DF⊥PB于点F 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F D长 (1)求证：PA/平面BDE: (2)若AD⊥BD,求证：PC⊥DF: (3)若四边形ABCD为正方形，在线段PA上是否存在点G,使得二面角E-BD-G的平 面角的余弦值为？若存在，求器的值；若不存在，请说面理由 34.(24-25高二上·陕西榆林府谷县府谷中学、府谷一中·调研)如图，在空间几何体 ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，BF⊥平面ABCD, CG=1,AE=2,BF=3,CGIIAElIBF. E G A D (1)求证：D,EF,G四点共面； (2)在线段FG上是否存在一点M,使得平面FAC与平面MAC所成角的余弦值为匠？若存 33 在，求出器的值：若不存在，请说明理由. 10/10 专题02 空间向量及其运用 （4大题型） 4大高频考点概览 考点01 空间向量及其运算 考点02 空间角的求法 考点03 空间距离的求法 考点04 空间中的探究型问题 空间向量及其运算 地 城 考点01 1．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的充要条件与空间向量数量积的坐标公式，建立方程，解之即得. 【详解】由与垂直， 可得（*）， 因，，则，，， 代入（*），可得，解得. 故选：C. 2．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期中)已知向量，，以，为邻边的平行四边形的面积为（   ） A． B． C．2 D．12 【答案】A 【分析】利用空间向量夹角及模的坐标表示，再结合三角形面积公式计算即得. 【详解】向量，，则，， ，， 所以以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：A 3．(24-25高二上·陕西安康·期中)已知点，则下列各点与点不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面基本定理，列出方程组，根据方程组有解无解可判断是否共面. 【详解】由题意，可得， , 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故A错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故B错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，解得，即四点共面，故C错误； 若共面，则存在使得成立， 代入坐标可得，此方程组无解，即四点不共面，故D正确. 故选：D 4．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)已知点的坐标分别为、，则向量的相反向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知向量的相反向量的定义和向量的空间坐标计算公式即得. 【详解】向量的相反向量为，其坐标为：. 故选：A. 5．(24-25高二上·陕西榆林第十二中学·期中)已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出向量的坐标，由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值. 【详解】因为，，则， 因为，则，解得. 故选：A. 6．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)已知平行六面体如图所示，其中，，，线段，交于点，点是线段上靠近的三等分点，则下列说法正确的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设作为空间的一组基底，求出基向量的模和两两数量积，逐一考虑各选项，将相关向量用基底表示，运用向量数量积的运算律求模长和数量积即得. 【详解】不妨设 则， 则. 对于A，由图知，，故A正确； 对于B，,故B错误； 对于C，由A项已得：，即， 两边取平方， ，则，故C错误； 对于D，由B项已得，， 则，故D错误. 故选：A. 7．(24-25高二上·陕西咸阳淳化中学·期中)已知棱长为的正四面体中，、在上，在上，是的中点，，，给出下列四个命题：①；②；③侧面与底面所成二面角的余弦值为；④.其中真命题的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】ABC 【分析】对于 ① ，通过证明平面即得；对于② ，将用空间的一组基线性表示，再利用向量数量积的运算律求模即得；对于③ ，根据条件证明即侧面与底面所成的二面角的平面角，借助于直角三角形求边即得；对于④ ，利用向量数量积的运算化简即可比较得到. 【详解】 如图，设点在底面上的射影为点， 因正四面体，故点为的中心， 连接，则点为的靠近点的三等分点，且. 对于① ，因底面，而底面，故， 又平面，则平面， 因平面，故，即① 正确； 对于② ，因   ， 则 ， 故，故② 正确； 对于③ ，正四面体中，都是正三角形， 因为是的中点，所以， 则即侧面与底面所成的二面角的平面角， 易得， 在中，，故③ 正确； 对于④ ，因，故， 而 ，故，即④ 错误. 故选：ABC. 8．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期中)已知点是所在平面外一点，若，下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量的线性运算可判断BD的正误，利用向量垂直的坐标形式可判断A的正误，求出后可判断C的正误. 【详解】因为，故，故A正确； 而，故B正确； ，故C正确； 若，则，故，此方程组无解； 故不共线，故不成立，故D错误； 故选：ABC. 9．(24-25高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)设，，若，分别是平面，的法向量，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意有，利用向量平行的坐标表示列方程，即可得结果. 【详解】由题意，则，故. 故答案为： 10．(24-25高二上·陕西西安蓝田县城关中学大学区联考·期中)已知向量，若向量同向，则实数m，n分别等于 . 【答案】； 【分析】根据题意，由两向量平行的坐标公式，列出方程代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，向量反向，舍去； 当时，，向量同向，符合题意； 综上，. 故答案为：； 11．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)如图，已知四面体的所有棱长都等于，，，分别是棱，，的中点，则 .    【答案】 【分析】记，由题知，，利用空间向量的运算，将用表示，再利用空间向量数量积定义和运算，即可求解. 【详解】记， 由题知，， 又，所以， 因为，， 所以， 又，所以，    故答案为：. 12．(24-25高二上·陕西商洛洛南中学·期中)设、、，，，，且，，则 . 【答案】 【分析】由已知可得出，可求出的值，可得出向量的坐标，再利用空间向量共线的坐标表示求出、的值，可得出向量的坐标，进而可求得的坐标，结合空间向量的模长公式即可得解. 【详解】因为、、，，，，且，， 则，解得，则， 由可得，解得，，则， 所以，因此. 故答案为：. 地 城 考点02 空间角的求法 13．(24-25高二上·陕西宝鸡金台区·期中)二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为（   ）    A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可向量根据夹角公式求解. 【详解】由可得, 故， 进而可得, 由于， 由于，故， 由于夹角的大小即为二面角的大小，故二面角大小为120°， 故选：C 14．(23-24高二上·陕西西安长安区第一中学·期中)在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】    以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 所以异面直线与所成角的余弦值等于 . 故选：B 15．(24-25高二上·陕西师范大学附属中学·期中)在正方体中，，分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．直线与平面所成角的正弦值为定值 C．平面平面 D．点到平面的距离为定值 【答案】ACD 【分析】设正方体边长为，以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法对各选项逐一判断即可. 【详解】设正方体边长为 ， 以为坐标原点，为轴建立如图所示坐标系，    选项A：，，，， 则，，， 设平面的法向量，则， 取可得平面的一个法向量， 因为，所以平面，A正确； 选项B：设 ，则， 由正方体的性质可知为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则不是定值，B错误； 选项C：，，， 则，， 设平面的法向量，则， 取可得平面的一个法向量， 因为，所以平面 平面，C正确； 选项D：设 ，则， 则点到平面的距离是定值，D正确； 故选：ACD 16．(24-25高二上·陕西安康·期中)如图，在几何体中，两两垂直，，四边形是梯形，，平面平面. (1)求的长; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据法向量垂直可求出； （2）利用向量法直接求线面角的正弦. 【详解】（1）以A为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量， 则，令，可得， 设平面的法向量，， 所以， 则，令，则， 因为平面平面，所以，即， 所以，即CE的长为. （2）设直线与平面所成角为， 则. 即直线与平面所成角的正弦值为. 17．(24-25高二上·陕西咸阳礼泉县·期中)如图，四棱锥中，平面，，，，，，是的中点. (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值是，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（2）根据题意建立空间直角坐标系，然后利用空间向量证明线线垂直，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用空间向量的坐标运算求两个面的夹角的余弦值，最后等于，求得实数的值即可. 【详解】（1）平面，，平面， ，，又， ，，两两垂直， 以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ，，， ，， ，， 又，，平面，平面. （2）由（Ⅰ）中建立的空间直角坐标系可得，，，， 设平面的法向量为， 则取， 平面，平面，， ，是的中点，， 又，，平面，平面， 又，取平面的法向量为， 由图知，二面角的平面角为锐角， 二面角的余弦值为：， 解得， 又，. 18．(24-25高二上·陕西西安西安高新第一中学·期中)如图，在四棱锥中，平面，，，，为PD的中点，点F在PC上，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面内，说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2) (3)直线不在平面内，理由见详解 【分析】（1）根据题意可证平面，可得，由三线合一可得，即可得结果； （2）过点A作的垂线交于点，以A点为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标以及平面、平面的法向量，代入平面与平面夹角的向量公式即可计算. （3）根据条件计算向量，计算，判断结果是否为0即可判断直线是否在平面内. 【详解】（1）因为平面，又平面，则， 且，，，平面，则平面， 由平面，可得， 又因为，为PD的中点，则， 且，平面，所以平面. （2）过点A作的垂线交于点， 因为平面，且，平面，则，， 故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则， 因为为的中点，则， 所以， 又，所以，故， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，故， 又因为平面的法向量为， 所以， 所以二面角的正弦值为. （3）直线不在平面内，理由如下： 因为点在上，且，又， 故， 则， 由（2）可知，平面的法向量为， 因为，所以直线不在平面内． 19．(24-25高二上·陕西咸阳三原县南郊中学·期中)如图，平面，为圆的直径，，分别为棱，的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由为圆的直径得，由平面得，由线面垂直的判定定理得平面，由，得平面，进而可得结论； （2）以A为坐标原点，构建空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【详解】（1）因为为圆的直径，所以， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为，分别为棱，的中点，所以， 所以平面，又平面， 所以平面平面. （2）以A为坐标原点，如图所示构建空间直角坐标系， 因为，， 所以，，，， 中点，即为，，， 设平面的法向量为， 则，可得， 令，则，，， 又平面的法向量可表示为， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角， 所以二面角的余弦值为. 20．(24-25高二上·陕西榆林·期中)如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，是等边三角形，平面平面.    (1)求平面与平面所成二面角的正弦值； (2)已知分别是线段上一点，且，若是线段上的一点，且点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图通过证明平面，可建立以点为原点的空间直角坐标系，后可求出平面与平面的法向量，结合空间向量知识可得答案； （2）由题可得平面的法向量，后设，可得点到平面的距离关于的表达式，即可得答案. 【详解】（1）取的中点分别为，连接， 因为底面是正方形，所以， 因为是正三角形，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，    由题意：， ， 设平面的法向量为，所以， 即，令，则， 即平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面所成二面角为， 则， 所以，即平面与平面所成二面角的正弦值为. （2）因为分别是线段上一点， 且， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，即， 令，则，即平面的一个法向量为， 设， 则， 所以点到平面的距离， 解得（舍去），即. 空间距离的求法 地 城 考点03 21．(23-24高二上·陕西西安中学·期中)已知、、，则原点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出平面的一个法向量坐标，利用空间向量法求得原点到平面的距离. 【详解】由已知可得，， 设平面的法向量为， 则 取，则平面的一个法向量为， 而, 所以原点到平面的距离. 故选：A 22．(23-24高二上·陕西西安中学·期中)如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点、之间的距离为，若、分别为线段、上的动点，则下列说法正确的是（    ） A．平面平面 B．线段的最小值为 C．当，时，点到直线的距离为 D．当、分别为线段、的中点时，与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】先证明出平面，利用面面垂直的判定定理可以证明出平面平面，即可判断A；以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，用向量法判断选项BCD选项. 【详解】取的中点，连接、. 在菱形中，，， 所以. 因为，所以，所以. 又因为，为的中点，则，同理可得， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面，故A正确； 因为平面，， 以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 当，时，，， ，， 所以点到直线的距离为，故C错误； 设、，由得，， ， 当且时，，故B正确； 当、分别为线段、的中点时，、， ，， 设与所成的角为，， 所以与所成角的余弦值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 23．(24-25高二上·陕西西安鄠邑区·期中)如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，. (1)证明：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设建立合适的空间直角坐标系，应用向量法证明与面的一个法向量垂直，即可证结论； （2）根据（1）所得坐标系，应用向量法求点面距离. 【详解】（1）由平面，且四边形为矩形，可建立如图所示空间直角坐标系， 则 由，得，解得，同理， ，显然面的一个法向量为， 显然且面，故面 （2）设面的一个法向量为，且， 由， 取，则， 所以为平面的一个法向量， 又， 点到平面的距离为. 24．(24-25高二上·陕西西安西北工业大学附属中学·开学考)如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形底面分别是的中点.    (1)求直线与平面的距离； (2)若点为的中点，求平面与平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理结合空间向量的坐标运算，证明平面，从而直线与平面的距离为点到平面的距离，利用坐标运算求解； （2）利用面面平行的判定定理结合空间向量的坐标运算，证明平面平面，从而平面与平面的距离为点到平面的距离，即可转化为问题（1）. 【详解】（1）    因为底面底面是边长为的正方形, 所以以为坐标原点，所在直线为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 则 设平面的法向量为， , 则，取则，所以， , 因为，且平面， 所以平面， 所以直线与平面的距离为点到平面的距离， , 所以点到平面的距离. （2）    由小问（1）可知，, 因为平面，所以平面， 因为平面, 所以平面 平面， 所以平面与平面的距离即为点到平面的距离，即为. 25．(24-25高二上·陕西西安西咸新区泾河新城第一中学·)如图，在正三棱柱中，，分别为的中点. (1)求直线与平面所成角的大小； (2)线段上是否存在点，使得？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在，距离为 【分析】（1）分别取中点O，，连接，进而以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可； （2）假设存在点G，设，进而根据得，再计算点到面的距离即可. 【详解】（1）分别取中点O，，连接. 因为是正三棱柱， 所以平面，. 所以平面，平面，所以. 以O为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则. 所以. 设平面的法向量为， 所以，即 令，解得，所以. 设直线与平面所成角为，， 则， 所以. 即直线与平面所成角为. （2）假设存在点G，设. 所以，所以. 由知，若， 则. 解得.即G与C为同一个点. 因为，平面的法向量为， 所以点G到平面的距离. 26．(23-24高二上·陕西西安部分学校·)如图，在棱长4的正方体中，是的中点，点在棱上，且. (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)若为平面内一点，且平面，求点到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，求其夹角的余弦值即可得答案. （2）利用空间向量的方法解决点到面的距离. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 设平面的法向量为，则， 取，则，得. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 则平面与平面夹角的余弦值为. （2）设，则. 因为平面，所以 ，则，得，即. 因为，所以点到平面的距离为. 27．(22-23高二上·陕西西安临潼区铁路中学·月考)在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题： (1)求直线与所成的角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由题意写出点的坐标，求出，的坐标，从而利用空间向量求异面直线所成角即可； （2）先将问题转化为求，再由空间向量平行与垂直的坐标表示求得点坐标，从而得到，再利用向量的模求解即可. 【详解】（1）由题意得，，，． 则，， 设与所成的角为，则， 所以， 所以与所成的角的余弦值为． （2）作于，则点到直线的距离为， 因为，， 又，设，则，，， 所以，解得，则，故， 所以， 所以点到直线的距离为． . 地 城 考点04 空间中的探究型问题 28．(24-25高二上·陕西西安碑林区铁一中学·月考)如图，已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，，，． (1)证明：平面平面PAB，并求PD与平面PAB所成角的大小； (2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF与平面PAD夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或 【分析】（1）先证明线面垂直，再证明出面面垂直.得到两两垂直，建立空间直角坐标系，利用线面角的求解公式得到答案； （2）证明出，求出平面的法向量，设，则，， 设平面的法向量为，根据两平面夹角列出方程，求出或， 设，进而根据求出答案. 【详解】（1）因为，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 取的中点，连接，因为是等边三角形， 所以 ，又平面平面，两平面交线为， 平面， 所以平面， 取的中点，连接，则 ， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以 ， ， 故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，由勾股定理得， 所以， 平面的法向量为，设与平面所成角的大小为， 则， 因为，所以. （2）设平面的法向量为， 则， 令得，则， 连接，因为平面，平面平面 ，所以， 不妨设，则，， 设，则，即， 故，设，则， 即，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，设，则，故， 故， 化简得，两边平方得， ，化简得， 解得或，设，则，设， 则，解得， 故， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 当时，， 因为，所以， 解得，解得，满足要求， 故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时的值为或. 【点睛】立体几何二面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. 29．(21-22高二上·陕西西安博爱国际学校·期末)如图所示的四棱锥的底面是一个等腰梯形，，且，是的中线，点是棱的中点.    (1)证明：平面. (2)若平面平面，且，，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，平行四边形的性质、线面平行的判定可得平面、平面，再根据面面平行的判定得平面平面，利用面面平行的性质能证明平面． （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）证明：连接，，    由，分别棱、的中点，则， 平面，平面，则平面， 又，且， ，且，四边形是平行四边形，则， 平面，平面，则平面， 又，可得平面平面， 又平面，平面． （2）由，知， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点为，连接，， 由，且，四边形为平行四边形， ，为等边三角形，， 以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    由题意得，， ,,，,,，,1,，,2,，,0,， ,2,，,1,，， 设平面的法向量为,,，则， 令，得,,， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为：． 30．(22-23高二上·陕西西安西航一中·期中)如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且．    (1)证明：平面； (2)若与平面所成角为，求平面与平面的夹角余弦值． 【答案】(1)证明见详解； (2)平面与平面的夹角余弦值为. 【分析】（1）利用面面垂直的性质及已知线段关系判定线线垂直，再得线面垂直即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）在梯形中，因为，作于，则，    所以，所以， 连结，由余弦定理可得，， 解得， 所以，所以， 因为平面平面且两平面交于， 所以平面， 因为平面，所以， 因为平面， 所以平面； （2）连结，由（1）可知，平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，    因为平面，所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为，即， 在中，因为，所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则有， 令，则，故， 设平面的一个法向量为， 则有，即， 令，则，故， 所以， 故平面与平面的夹角余弦值为． 31．(24-25高二上·陕西安康高新中学·月考)图①是直角梯形，四边形是边长为的菱形，并且，以为折痕将折起，使点到达的位置，且.    (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得点到平面的距离为?若存在，求出的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点在棱的中点位置 【分析】（1）取的中点，连接，根据题中条件可得由勾股定理逆定理得：，利用线面垂直的判定定理证平面，再利用面面垂直的判定定理证平面平面； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解的值，即可确定点的位置. 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为四边形是边长为的菱形，并且， 所以均为等边三角形，故且， 因为，所以，由勾股定理逆定理得：， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）    以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，故， 解得：， 故， 设平面的法向量为， 则， 故，即， 令，则，故， 其中 则，解得：， 即点在棱的中点位置时，使得点到平面的距离为. 32．(23-24高二上·陕西咸阳武功县普集高级中学·月考)如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点，为的中点，，． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以点为坐标原点，以为正交基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值； （2）假设存在点，设，其中，求出向量的坐标，根据空间向量法可得出关于的方程，结合求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为平面，平面，所以． 又，所以. 以点为坐标原点，以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，.，． 设平面的一个法向量为． 则，即，令，得． 所以平面的一个法向量为． 易知平面的一个法向量为， 所以, 所以平面与平面夹角的余弦值为． （2）解：假设存在点，设，其中， 则． 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以．故存在满足题意的点，此时点与点重合， 此时． 33．(20-21高二上·陕西咸阳实验中学·月考)如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，面，，是的中点，过点作于点. （1）求证：平面； （2）若，求证：； （3）若四边形为正方形，在线段上是否存在点，使得二面角的平面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说面理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，. 【分析】（1）连接交于，连接，根据中位线性质、线面平行的判定即可证平面； （2）由已知有，根据线面垂直的性质有，由线面垂直的判定及性质可得. （3）构建空间直角坐标系，设，且，求面、面的法向量，由二面角的余弦值，结合空间向量夹角的坐标表示求，即可判断存在性，进而求的值. 【详解】（1）如图，连接交于，连接， ∵四边形为平行四边形，即为的中点，又是的中点， ∴在△中，，而面，面， ∴平面. （2）∵，四边形为平行四边形， ∴，而面，面，即， ∴由，知：面，面， ∴，又，，则面， ∵面， ∴. （3）由题意，构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，如下图示：若，且， ∴，则， 若为面一个法向量，则，有，令，即； 若为面一个法向量，则，有，令，即； ∴，令，整理得，解得或(舍去)，故，仅当时二面角的平面角的余弦值为， ∴此时. 【点睛】关键点点睛：第三问中构建空间直角坐标系，假设存在使得二面角的平面角的余弦值为，利用空间向量夹角的坐标表示二面角的余弦值，进而确定的存在性，并求比值. 34．(24-25高二上·陕西榆林府谷县府谷中学、府谷一中·调研)如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且∥∥． (1)求证：四点共面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，． 【分析】（1）以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，只需证出共面即可得证； （2）利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面平面， 所以． 因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直， 则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系： 根据题意，得． 所以． 因为， 所以共面， 又有公共点， 所以四点共面． （2）解：存在，理由如下： ，则， 设为平面的法向量， 则，即，令， 得平面的一个法向量为． 假设线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， 令， 则， 设为平面的法向量，则， 即， 令，得平面的一个法向量为． 设平面与平面所成角为， 则． 化简整理，得，因为，所以， 所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为，此时． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $